专题07 圆与圆（解析版）-2023年中考数学二轮复习讲练测（上海专用）

圆与圆专题07

圆与圆专题07圆与圆的问题，注意五种圆位置关系的判定，做题时还是利用半径相等等特性把圆的问题转化为等腰三角形、相似三角形等熟悉的问题来解决，将不熟悉的问题熟悉化.两圆关系对于二模和中考来说是个难点，用到的工具有：⑴定义+勾股定理抓住三要素：两圆半径、、--圆心距建立关系式：外切（）；内切（）①两圆相切，连心线过切点；②两圆相交，连心线垂直平分公共弦．通过寻找或是构造直角三角形，运用勾股定理．⑵锐角三角比（相等的角的锐角三角比是相同的）寻找相等的角，或是通过添加高或是平行线构造相等的角，运用锐角三角比【基本知识】两圆的位置关系,设两圆半径分别为和，圆心距为，：两圆位置关系相离相交相切性质及判定外离内含相交外切内切图形公共点个数没有没有两个一个一个外公切线条数两条没有两条两条一条内公切线数两条没有没有一条没有

★★☆☆☆如图，已知点、，、的半径分别为和，当与相切时，应将沿轴向右平移个单位．分别在圆的左侧内切、外切；在右侧内切、外切共四解或或或★★★☆☆已知与的半径均为，，现将固定不动，沿直线向方向每秒个单位速度匀速运动，同时的半径以每秒个单位的速度增加，问为何值时两圆相切？，，①当两圆外切时，②当两圆内切时，★★★☆☆如图，，点在上，，的半径为，点在射线上运动，且始终与相切，当和相切时，的半径等于．或★★★☆☆⑴已知正方形，，分别以点、为圆心画圆，如果点在圆外，且圆与圆外切，那么圆的半径长的取值范围是__________.⑴⑵如图，的半径为，的半径为，，分别与外切、与内切，那么半径的取值范围是．⑵★★★☆☆抛物线经过点，对称轴是直线，顶点是，与轴正半轴的交点为点．⑴求抛物线的解析式和顶点的坐标；⑵过点作轴的垂线交轴于点，点在射线上，当以为直径的和以为半径的相切时，求点的坐标．⑴；⑵设的半径为．由题意得，可得，∴的半径为，当和相切时，分下列两种情况；①两圆外切：此时点在线段上，可得，解得，②两圆内切：此时点在线段的延长线上，可得，解得，★★★★☆已知：如图①，中，，，点在的延长线上，联结，以为一边作，使点与点位于直线的两侧，且，．⑴如果，请判断四边形的形状并证明；⑵如图②，设是中点，是中点，联结、、，求证：；⑶设，在⑵的前提下，以为直径的与以为直径的存在着哪些位置关系？并求出相应的的取值范围（直接写出结论）．图①图②⑴平行四边形⑵⑶∴∴当与外切时，．∴当时，两圆外切；当时，两圆相交；当时，两圆外离．★★★★★如图，已知中，，，，以点为圆心、为半径的圆交于点，过点作，交延长线于点．⑴求的长；⑵是延长线上一点，直线、交于点．①如果，求的长；②如果以点为圆心，为半径的圆与相切，求的长．⑴∴⑵①∴即②Ⅰ两圆外切时，∴不存在Ⅱ两圆内切时，设，∴∴，（舍）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，DE∥BC，且AD＝2CD，则以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（）A．外离 B．相交 C．外切 D．不能确定【答案】B【分析】由勾股定理求出AC的长，再由△ADE∽△ACB，AD＝2CD，求出CD，BE的长，由两圆的半径和与CE的大小来判断圆的关系；【详解】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴，∵AD＝2CD，∴，∴BE，CD，DE＝2，∴CE，∵BE+CD，BE－CD∴以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是相交，故选：B．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理，相似三角形的性质；两圆外离时，两圆的半径和小于圆心距；两圆外切时，两圆的半径和等于圆心距；两圆相交时，两圆的圆心距小于半径和，大于半径差．2．如图的直径AB为10cm，弦BC为8cm，∠ACB的平分线交于点D，的内切圆半径是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据圆周角定理可得，，角平分线得，再利用勾股定理计算出BC，AD的长，可得等腰直角三角形，设内切圆的半径为rcm，根据切线长定理列出方程求解．【详解】解：∵AB是直径，∴，．∵cm，cm，∴（cm）．∵的平分线交于D，∴，∴．∵，∴，∴，∴cm，∴cm；∴等腰直角三角形，设内切圆的圆心为I，与AD，BD，AB切于点E，G，F，半径为rcm，得正方形DGIE，∴，∴，解得cm，∴的内切圆半径是cm．故选：B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形内切圆与内心，勾股定理的应用，关键是掌握圆周角定理．3．如图，与外切于点，它们的半径分别为和，直线与它们都相切，切点分别为，，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，过点作，利用阴影部分的面积等于梯形的面积减去扇形的面积减去扇形的面积，进行求解即可．【详解】解：连接，过点作，∵与外切于点，它们的半径分别为和，直线与，都相切，∴，四边形为矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴梯形的面积是：；扇形的面积为：；扇形的面积为；则阴影部分的面积梯形的面积扇形的面积扇形的面积；故选D．【点睛】本题考查求阴影部分的面．利用割补法，将阴影部分的面积转化为规则图形的面积，是解题的关键．同时考查了圆与圆的位置关系，切线的性质，以及锐角三角函数等知识，综合性较强．4．如图，在Rt中，，，，点在边上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可．【详解】解：连接交于，如图1，在Rt中，由勾股定理得：，则，，，与相交，且点在外，必须，即只有选项B符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键．5．如图，与相交于点，且是的切线，是的切线，A是切点，若与的半径分别为3cm和4cm，则公共弦的长为__cm．【答案】4.8【分析】连接交于C，由题可知，然后利用勾股定理求解．【详解】解：连接交于C，∵是的切线，是的切线，∴，∴，∴，∴．故答案为：4.8．【点睛】此题综合运用了相交两圆的性质、切线的性质，勾股定理以及直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．6．如果⊙O1与⊙O2相交，⊙O1的半径是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半径r的取值范围是_____．【答案】2＜r＜8【分析】根据数量关系与两圆位置关系的对应情况求得，两圆相交，则R﹣r＜d＜R+r．【详解】解：∵两圆相交，∴圆心距的取值范围是|5﹣r|＜3＜5+r，即2＜r＜8．故答案为：2＜r＜8．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．外离，则P＞R+r；外切，则P＝R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．7．如图，已知在等边△ABC中，AB＝4，点P在边BC上，如果以线段PB为半径的⊙P与以边AC为直径的⊙O外切，那么⊙P的半径长是________________．【答案】【分析】由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求CH，OH，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，连接OP，过点O作OH⊥BC于P，在等边△ABC中，AB＝4，∴AC＝BC＝AB＝4，∠ACB＝60°，∵点O是AC的中点，∴AO＝OC＝2，∵以线段PB为半径的⊙P与以边AC为直径的⊙O外切，∴PO＝2＋BP，∵OH⊥BC，∴∠COH＝30°，∴HC＝1，OH＝，∵，∴∴BP＝，故答案为．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系、等边三角形性质以及勾股定理得应用，利用勾股定理列出关于BP的方程是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面一行的4个小圆都与x轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y轴过第2列两个小圆的圆心，点P是第3列两个小圆的公共点．若过点P有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函数表达式是______________．【答案】【分析】当直线y过P、N两点时，由中心对称图形的特征可得直线y平分7个小圆的面积，由直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系求得N、P的坐标，再待定系数法求一次函数解析式即可；【详解】解：如图，⊙N、⊙G、⊙M与x轴相切于F、O、E，连接NF、NG、GM、ME、PM，直线y过P、N两点，∵右边6个小圆关于点P中心对称，直线y经过点P，∴直线y平分右边6个小圆的面积，∵直线y经过左边小圆的圆心，∴直线y平分⊙N的面积，∴直线y平分7个小圆的面积，NF⊥x轴，GO⊥x轴，则NF∥GO，NF=GO=1，则NFOG是平行四边形，∠GOF=90°，则NFOG是矩形，∵⊙N、⊙G相切，∴NG=2，即N（-2，1），同理可得M（2，1），∵P在⊙M的正上方，E点在⊙M的正下方，∴PE为⊙M的直径，即P、M、E共线，∴P（2，2），设直线y=kx+b，则，解得：，∴，故答案为：；【点睛】本题考查了中心对称图形的特征，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，一次函数解析式；掌握中心对称图形的特征是解题关键．9．如图，圆、圆为两个不相交的圆，记圆的半径为，圆的半径为，有，E是两圆连心线上的一点，满足关系式，点F、G为圆A上任意的动点，作直线EF、EG分别与圆C交于H、I、J、K四点，连接IK(1)设圆、圆的两条外的公切线分别为，证明总是在点E处相交；(2)若固定点，让点在圆上移动，证明：此时的值与的位置无关；(3)当IK时，连接、，设与交于，证明在上，且满足【答案】(1)证明过程见详解(2)证明过程见详解(3)证明过程见详解【分析】（1）根据公切线的性质，证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例即可求证结果；（2）利用对应边成比例证明两个三角形相似，利用比例的性质即可求证结果；（3）根据两个三角形全等，对应边也相等，证明等腰三角形性，利用等腰三角形的三线合一即可求证结果．（1）证明：如图所示，是公切线，是公切线，∵是，的公切线，点，点，点，点是切点，∴，，，，且点，点，点在公切线上，点，点，点在公切线上，∴，，，，∴，，∴，∴，的公切线总是在点E处相交．（2）证明：如图所示，连接，，点，点在圆上，∴，，∵，∴，∴，∴，∴的值与的位置无关．（3）证明：如图所示，连接，，所在直线是，的直径，∵，垂足为点，∴直线平分，，，∴，∴，∴，，，在，中，∵，∴，∴，∴点在的角平分线上．如图所示，连接，，且，，由等腰三角形，等腰三角形得，，∴，又∵，∴，即．【点睛】本题主要考查动点，圆的性质，相似三角形，全等三角形的性质，理解题意，正确处理数据之间的相互关系，是解题的关键．10．在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．(1)如图1，已知点，；①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是______，最大值是______；②在，，这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是______．(2)如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）．若点在第一象限，且点D与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；(3)如图3，已知点，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点（其中）是坐标平面内一个动点，且，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．【答案】(1)①3，；②；(2)；(3)【分析】（1）①观察图像d的最小值是OA，最大值为OB，由勾股定理即可求解；②根据平衡点的定义即可求解；（2）如图，可得OE1=3，解得此时的x=，OE2=7，解得x=，即可得到范围；（3）由点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，推出以C为圆心2为半径的圆刚好与相切，此时要想上的任意两点都是圆的平衡点，需要满足，，分两种情况求出b值即可判断．【详解】（1）由题意可知，OA=3，，则d的最小值为3，最大值为，根据平衡点的定义，点P1与点O是线段AB的一对平衡点；（2）如图，由题意点D到⊙O的距离是4，最远距离是6，∵点D与点E是⊙O的一对平衡点，此时需要满足E1到⊙O的最大距离是4，即OE1=3，可得，同理：当E2到⊙O的最