专题09 尺规作图分类训练（5种类型50道）（解析版）

专题09尺规作图分类训练（5种类型50道）目录TOC\o"1-3"\h\u【题型1作已知角】 1【题型2角平分线】 17【题型3垂直平分线】 32【题型4过直线外一点作垂直】 49【题型5过直线上一点作垂直】 66【题型1作已知角】1．如图，矩形ABCD中，AC为其对角线．过点B作BE⊥AC于点E．(1)用直尺和圆规，作∠CDF，使∠CDF=∠ABE，DF交AC于点F，交BC于点G；(2)小明思考此时的DF是否会垂直AC，为了探究这个问题，小明尝试利用证明三角形全等来推导DF⊥AC．根据小明的思路，完成以下填空：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，①，∴∠BAE=∠DCF．在△ABE和△CDF中∠BAE=∠DCF,∴△ABE≌△CDFASA∴③．∵BE⊥AC，∴④，∴∠CFD=90°，∴DF⊥AC．【答案】(1)见解析(2)①AB∥CD，②∠ABE=∠CDF，③∠AEB=∠CFD，【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质、矩形的性质．（1）利用基本作图作∠CDF=∠ABE；（2）先根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，则∠BAE=∠DCF，再证明△ABE≌△CDFASA得到∠AEB=∠CFD【详解】（1）如图，∠CDF为所作；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥∴∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，∠BAE=∠DCFAB=CD∴△ABE≌△CDFASA∴∠AEB=∠CFD，∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∴∠CFD=90°，∴DF⊥AC．故答案为：①AB∥CD，②∠ABE=∠CDF，③∠AEB=∠CFD，④2．如图，四边形ABCD是平行四边形，BD是对角线．

(1)用尺规完成以下基本作图：在边AD的下方作射线AE，使∠DAE=∠1，射线AE分别交BD于点O，交BC的延长线于点E，连接DE．（只保留作图痕迹）(2)在（1）所作的图形中，证明：AB=DE，（请完成下面的填空）∵四边形ABCD是平行四边形，∴①，∴∠DAE=∠AEB，∠ADB=②．∵∠1=∠DAE，∴③，∠ADB=∠DAE，∴OB=OE，④∵⑤∴△ABO≌△DEOSAS∴AB=DE．【答案】(1)见解析(2)①AD∥BC；②∠1；③∠1=∠AEB；④OA=OD；【分析】本题考查了作图——作一个角等于已知角，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形性质，全等三角形的判定与性质是解题关键（1）根据作一个角等于已知角∠DAE=∠1的方法作图即可；（2）根据平行四边形的性质、平行线的性质以及全等三角形的判定可得答案．【详解】（1）解：如图，射线AE即为所求，

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥∴∠DAE=∠AEB，∠ADB=∠1．∵∠1=∠DAE，∴∠1=∠AEB，∠ADB=∠DAE，∴OB=OE，OA=OD，∵∠AOB=∠DOE，∴△ABO≌△DEOSAS∴AB=DE．故答案为：①AD∥BC；②∠1；③∠1=∠AEB；④OA=OD；⑤3．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D的直线交AB于点E，交AC的延长线于点F，且BE=CF．

(1)尺规作图：过点C在线段CD上方作∠DCG=DBE交线段DF于点G（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、不下结论）(2)在（1）中所作的图中，证明：AE=AF（请补全下面的证明过程）．证明：∵D为BC边中点，∴CD=BD∵∠DCG=∠DBE∴①．∴∠CGF=∠AEF在△CDG和△BDE∠DCG=∠DBECD=BD②∴△CDG≌∴③．∵BE=CF∴CF=CG，∴④．又∵∠CGF=∠AEF，∴⑤．∴AE=AF【答案】(1)见解析(2)CG∥BE；∠CDG=∠BDE；CG=BE；∠AFE=∠CGF；∠AFE=∠AEF【分析】（1）以B为圆心，任意长度为半径画弧，分别交BD、BE于点M、N，再以C为圆心，相同长度为半径画弧，交CD于点P；以N为圆心，MN长度为半径画弧，再以P为圆心，相同长度为半径画弧，交于点Q，连接CQ，交DF于点（2）根据条件证明△CDG≌△BDEASA【详解】（1）解：以B为圆心，任意长度为半径画弧，分别交BD、BE于点M、N，再以C为圆心，相同长度为半径画弧，交CD于点以N为圆心，MN长度为半径画弧，再以P为圆心，相同长度为半径画弧，交于点Q，连接CQ，交DF于点G，如图所示，

（2）证明∵D为BC边中点，∴CD=BD∵∠DCG=∠DBE∴BE∥CG．∴∠CGF=∠AEF在△CDG和△BDE∠DCG=∠DBECD=BD∴△CDG≌∴BE=CG．∵BE=CF∴CF=CG，∴∠CGF=∠CFG．又∵∠CGF=∠AEF，∴∠AEF=∠CFG．∴AE=AF；【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握基本尺规作图的方法，灵活运用相关性质定理是解题的关键．4．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且BE=BC，

(1)用直尺和圆规在BC上方作∠BCF使得∠BCF=∠ABE，CF交BE于点F．(2)求证：CF=CD证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，∴∠AEB=②∵在△ABE与△FCB中∠AEB=∠FBC∴△ABE∴AB=④∴CF=CD【答案】(1)作图见解析(2)①CD；②∠EBC；③BC；④CF【分析】（1）根据题意，作出图形即可得到答案；（2）根据平行线的性质，再结合三角形全等的判定与性质即可得证．【详解】（1）解：如图所示：

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC∵在△ABE与△FCB中，∠AEB=∠FBCBE=∴△ABE≌∴AB=CF，∴CF=CD，故答案为：①CD；②∠EBC；③BC；④CF．【点睛】本题考查尺规作图及线段相等证明，涉及作等角、平行四边形的性质、两个三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握基本尺规作图及全等三角形的判定是解决问题的关键．5．小明最近学习了三角形的角平分线相关知识，进一步进行探究之后发现，三角形的一条角平分线分三角形一边的两线段之比值恰好等于三角形的另外两边之比值．请根据以下思路完成作图和填空：在△ABC中，AD平分∠BAC，在AC的右侧作∠ACN=∠DAC（保留作图痕迹，不写过程）；延长BA交CN与点E，求证：ABAC

证明：∵∠ACN=∠DAC①∴∠BAD=∠BEC又∵AD平分∠BAC②∴∠BEC=∠ACN③又∵AD④∴ABAC【答案】作图见解析；①AD∥CN；②∠BAD=∠CAD；③AE=AC；【分析】根据作一个角等于已知角的方法进行作图即可；根据平行线的判定得出AD∥CN，根据平行线的性质得出∠BAD=∠BEC，根据角平分线的定义∠BAD=∠CAD，得出∠BEC=∠ACN，根据等腰三角形的判定得出AE=AC，根据平行线分线段成比例定理得出【详解】解：∠ACN为所求作的角，如图所示：

证明：∵∠ACN=∠DAC，∴AD∥∴∠BAD=∠BEC，又∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD，∴∠BEC=∠ACN，∴AE=AC，又∵AD∴ABAE∴ABAC故答案为：①AD∥CN；②∠BAD=∠CAD；③AE=AC；④【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合．6．如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD⊥BC交BC于点D，点E是线段AD上的点，连接BE，请完成下面的作图和填空．

(1)用尺规完成以下基本作图：以点C为顶点，在BC的右边作∠BCF=∠EBD，射线CF交AD的延长线于点F，连接BF，FC．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）(2)求证：四边形BECF是菱形．证明：∵AB=AC，∴______，∴BE=CE，在△BED和△CFD中，∠EBD=∠FCDBD=DC，______∴△BED≌∴BE=CF，∵∠BED=∠CFD，∴______，∴四边形BECF是平行四边形．∵______，∴四边形BECF是菱形．【答案】(1)见解析(2)BD=CD；∠BDE=∠CDF；BE∥CF；BE=CE【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；（2）先根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=CD，然后根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE，然后利用ASA证明△BED≌△CFD，从而可以证明BE∥CF，最后根据菱形判定证明即可．【详解】（1）解：如图所示，

①以点B为圆心，以任意长（这里规定为线段a的长）为半径画弧交BE,BC与点G,H，连接GH；②以点C为圆心，以线段a的长为半径画弧交CB于点D；③以点D为圆心，以GH长为半径画弧交②中弧与点J，连接CJ并延长，交于AD延长线于点F；∵BG=BH=CD=CJ，且DJ=GH，∴△BGH≌△CJD(SSS∴∠BCF=∠EBD，∴∠BCF即为所求角．（2）证明：∵AB=AC，∴BD=CD，∴BE=CE，在△BED和△CFD中，∠EBD=∠FCDBD=CD∴△BED≌∴BE=CF，∵∠BED=∠CFD，∴BE∥CF，∴四边形BECF是平行四边形，∵BE=CE，∴四边形BECF是菱形．故答案为：BD=CD；∠BDE=∠CDF；BE∥CF；BE=CE．【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的判定等知识，掌握基本作图方法，菱形的判定等知识是解题的关键．7．在学习平行四边形时，刘老师给同学们提了这样一个问题：如图，在▱ABCD中，点E是边CD上一点，试证明△ABE的面积等于▱ABCD的一半，小明的思路是过点E作BC的平行线，转化为证三角形全等解决问题．

请根据小明的思路完成下面作图和解答：证明：用直尺和圆规，完成基本作图：过点E作∠DEF=∠C，交AB于点F（只保留作图痕迹）．∵∠DEF=∠C，∴______①，∴______②，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴______③，∵______④，∴△BEF≌△EBC，（______⑤）同理可得______⑥，∴S【答案】图见解析；①EF∥BC；②∠BEF=∠EBC；③∠BEC=∠EBF；④BE=EB；⑤ASA；⑥△AEF≌△EAD【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图完成基本作图即可；先根据平行线的性质得到EF∥BC，则∠BEF=∠EBC，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠BEC=∠EBF，则可判断△BEF≌△EBC，同理可得△AEF≌△EAD，然后根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：作图如下：

∵∠DEF=∠C，∴EF∥BC①，∴∠BEF=∠EBC②，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BEC=∠EBF③，∵BE=EB④，∴△BEF≌△EBCASA⑤同理可得△AEF≌△EAD⑥，∴S故答案为：①EF∥BC；②∠BEF=∠EBC；③∠BEC=∠EBF；④BE=EB；⑤ASA；⑥△AEF≌△EAD．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．8．如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，连接AE．

(1)尺规作图：在正方形内部作∠ADF，使∠ADF=∠BAE，边DF交线段AE于点T，交(2)要探究AE，DF的位置关系和数量关系，请将下列过程补充完整．解：AE=DF，AE⊥DF，理由如下．∵四边形ABCD是正方形，∴DA=BA，∠DAF=①=90°在△DAF和△ABE中∠DAF=∠B∴△DAF≌△ABE，∴③∵∠BAE+∠DAT=90°∴∠∴④，∴AE⊥DF，∴AE=DF，AE⊥DF．【答案】(1)AE=DF，AE⊥DF，详见解析(2)∠B，DF=AE，∠ADF=【分析】（1）根据作一个角等于已知角即可画出图形；（2）根据正方形的性质和全等三角形的判定与性质进行填空即可．【详解】（1）解：如图，∠ADF

（2）解：AE=DF，AE⊥DF，理由如下．∵四边形ABCD是正方形，∴DA=BA，∠DAF=在△DAF和△ABE中，∠DAF=∠BDA=AB∴△DAF≌△ABE，∴DF=AE，∵∠BAE+∠DAT=90°∴∠ADF+∴∠ATD=90°∴AE⊥DF．∴AE=DF，AE⊥DF．故答案为：∠B，DF=AE，∠ADF=∠【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．9．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为CB延长线上一点，CD=AB，连接AD．

(1)用尺规完成以下基本作图：在AD的右侧作∠ADE=∠ACB，射线DE与AC延长线交于点E；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）(2)孟孟判断CE=BD．她的证明思路是：利用等腰三角形的性质及外角定理，通过全等从而得到CE与BD相等．请根据孟孟的思路完成下面的填空：证明：∵①_____________，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ADE=∠ACB∴②_______________，∵∠ABC=∠ADC+∠BAD又∠ADE=∠ADC+∠CDE，∴∠CDE=∠BAD∵D、B、C三点共线，∴∠ABD+∠ABC=180°∵A、C、E三点共线，∴③______________∴∠ABD=∠DCE，∵CD=AB∴④_____________ASA，∴CE=BD【答案】(1)见解析(2)AB=AC；∠ABC=∠ADE；∠ACB+∠DCE=180°；△ABD≌△DCE【分析】（1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可；（2）先根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB，则∠ABC=∠ADE，再利用三角形外角的性质证明∠CDE=∠BAD，再根据邻补角的定义证明∠ABD=∠DCE，由此即可证明△ABD≌△DCE，则CE=BD．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ADE=∠ACB∴∠ABC=∠ADE，∵∠ABC=∠ADC+∠BAD，又∵∠ADE=∠ADC+∠CDE，∴∠CDE=∠BAD，∵D、B、C三点共线，∴∠ABD+∠ABC=180°∵A、C、E三点共线，∴∠ACB+∠DCE=180°∴∠ABD=∠DCE，∵CD=AB∴△ABD≌△DCEASA∴CE=BD．故答案为：AB=AC；∠ABC=∠ADE；∠ACB+∠DCE=180°；△ABD≌△DCE．【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，作与已知角相等的角，灵活运用所学知识是解题的关键．10．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是AD上的一点，连接BE．

(1)用直尺和圆规，在BC上作一点F，使得∠FDC=∠ABE（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）所作的图中，求证：四边形BFDE为平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=①，AB=CD，AD=BC．在△ABE和△CDF，∠A=∠C∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴AE=③，BE=DF，∴AD-AE=CB-CF，∴ED=④∴四边形BFDE为平行四边形．【答案】(1)见解析(2)①∠C②AB=CD③CF④【分析】根据基本作图作出两角相等即可．结合平行四边形的性质，证出△ABE≌△CDF，利用三角形全等的性质得出边相等，从而得出结论．【详解】（1）作图如图所示

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，AD=BC．在△ABE和△CDF，∠A=∠C∴△ABE≌△CDF(ASA)∴AE=CF，BE=DF，∴AD-AE=CB-CF，∴ED=BF∴四边形BFDE为平行四边形．【点睛】本题主要考查基本作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握以上知识并灵活解决综合问题是解题的关键．【题型2角平分线】11．如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点，连接EF，BF，∠ABD是△ABC的一个外角．(1)用尺规完成以下基本作图：作∠ABD的角平分线BG，交FE的延长线于点G，连接AG．（只保留作图痕迹(2)在（1）所作的图形中，若BE=FE，证明：四边形AGBF是矩形．（请完成下面的填空）∵BG平分∠ABD，∴①，∵点E，F分别是AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴②，∴∠DBG=∠EGB，∴∠EGB=∠ABG∴③．∵BE=FE，∴④，∵点E是AB的中点，∴AE=BE，∴四边形AGBF是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵AB=AE+BE，GF=GE+FE，∴AB=GF，∴四边形AGBF是矩形．（⑤）【答案】(1)见解析(2)∠ABG=∠DBG；EF∥BC；EG=EB；【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，矩形的判定等知识．掌握矩形的判定是解答本题的关键．（1）以B为圆心，以一定长度为半径画弧交AB、BD于点Q、P，再分别以点Q、P为圆心，以大于QP一半的长度为半径画弧，两弧交于点T，连接BT，交FE的延长线于点G，即可；（2）依据题目已给出的思路进行作答即可．【详解】（1）解∶如图，（2）证明：∵BG平分∠ABD，∴∠ABG=∠DBG，∵点E，F分别是AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥∴∠DBG=∠EGB，∴∠EGB=∠ABG∴EG=EB．∵BE=FE，∴EG=EF，∵点E是AB的中点，∴AE=BE，∴四边形AGBF是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵AB=AE+BE，GF=GE+FE，∴AB=GF，∴四边形AGBF是矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形）故答案为：∠ABG=∠DBG；EF∥BC；EG=EB；12．在学习等腰三角形的性质时，林林进一步探究发现：三角形一个角的平分线与其对边的高重合时，这个三角形是等腰三角形，他通过证明三角形全等得到结论，请根据他的思路完成以下作图与填空：(1)用直尺和圆规，作∠BAC的角平分线交BC于D．（只保留作图痕迹）(2)已知：如图：在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD⊥BC．求证：AB=AC．证明：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=①___________．∵AD⊥BC，∴∠BDA=②____________=90°，∴△ABD≅△ACDASA∴③__________．林林根据垂直平分线的性质进一步发现：三角形一边上的④________________重合时，这个三角形是等腰三角形．【答案】(1)详见解析；(2)∠CAD，【分析】本题考查了作图−基本作图，等腰三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，（1）根据角平分线的基本作法作出图形即可；（2）根据ASA证明△ABD≌△ACD即可得出结论；证明△ABD≌△ACD是解题的关键．【详解】（1）如图所示；（2）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD∵AD⊥BC，∴∠BDA=∠CDA∵AD=AD∴△ABD≌△ACD（∴AB=AC．林林根据垂直平分线的性质进一步发现：三角形一边上的高与中线重合时，这个三角形是等腰三角形，故答案为：∠CAD，13．花花在学习矩形时发现：AC、BD为矩形ABCD的对角线，若∠CAD的角平分线交BC的延长线于点F，则CF=BD．她的证明思路是：先做出∠CAD的角平分线：以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AD、AC于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于12MN为半径画弧，交于点E，连接AE并延长，交BC的延长线于点证明：∵AF为∠CAD的平分线，∴①∵四边形ABCD是矩形，∴②．AC=BD∴∠DAF=∠F∴③．∴AC=CF，∴④．【答案】作图见解析；∠DAF=∠CAF，AD∥BC；∠CAF=∠F【分析】本题考查了作角平分线，矩形的性质，等腰三角形的判定；根据题意作出∠DAC的角平分线AF，交BC的延长线于点F；进而根据矩形的性质进行证明，即可得证．【详解】解：如图所示，证明：∵AF为∠CAD的平分线，∴∠DAF=∠CAF∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC∴∠DAF=∠F∴∠CAF=∠F．∴AC=CF，∴CF=BD．故答案为：∠DAF=∠CAF，AD∥BC；∠CAF=∠F；14．如图，在△ABC中，AB>AC，∠A=70°，在BC边上有一点E，且EC=AC．(1)作∠ACB角平分线CD，交AB于点D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；(2)在（1）的条件下连接DE，若BE=AD，求∠B的度数．注：本题第（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式．解（2）∵CD平分∠ACB，∴______①______，在△ACD和△ECD中，CA=CE∠ACD=∠ECDCD=CD，∴____________∴____________，∠A=∠CED=70°，∵BE=AD，∴BE=DE，∴____________，∵∠CED=∠B+∠EDB=2∠B，∴∠B=1【答案】(1)见详解；(2)见详解【分析】（1）本题考查作角平分线，先以C为圆心，任意长为半径画圆分别交CA，CB于一点，分别以两点为圆心大于两交点长度一半为半径画圆交于一点连接点C与交点的直线交AB于一点即可得到答案；（2）本题考查三角形全等的判定与性质，根据角平分线得到∠ACD=∠ECD，从而得到△ACD≌△ECD，从而得到AD=ED，结合三角形内外角关系即可得到答案；【详解】（1）解：以C为圆心，任意长为半径画圆分别交CA，CB于一点，分别以两点为圆心大于两交点长度一半为半径画圆交于一点连接点C与交点的直线交AB于一点即为D点，如图所示，；（2）解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，在△ACD和△ECD中，CA=CE∠ACD=∠ECDCD=CD，∴△ACD≌△ECD∴AD=ED，∠A=∠CED=70°，∵BE=AD，∴BE=DE，∴∠B=∠EDB，∵∠CED=∠B+∠EDB=2∠B，∴∠B=115．如图平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD于点E．(1)请用尺规作∠BCD的角平分线CF，交AB于点F（保留作图痕迹，不写作法）；(2)根据（1）的作图，证明：AE∥CF．请在答题卡上完成相应的填空．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠BAD=∠BCD，∴∠ECF=_________（两直线平行，内错角相等），又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠EAF=_________，∠ECF=_________，∴∠EAF=∠ECF=∠CFB，∴AE∥CF__________________（填推理的依据）．【答案】(1)见解析(2)∠CFB；12∠BAD；【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，平行四边形的判定，（1）根据题意作∠BCD的角平分线CF，交AB于点F；（2）根据平行四边形的性质，角平分线的定义，进行推理证明，即可求解．【详解】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠BAD=∠BCD，∴∠ECF=∠CFB（两直线平行，内错角相等），又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠EAF=12∠BAD，∠ECF=∴∠EAF=∠ECF=∠CFB，∴AE∥CF（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠CFB，12∠BAD，16．在学习了全等三角形判定与性质的相关知识后，小语进行了拓展性研究，她发现全等三角形的对应角平分线与全等三角形的对应边或对应角有类似性质．她的解决思路为通过证明对应线段所在的两个三角形全等即可得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：用直尺和圆规作∠FEG的角平分线，交FG于点H．（只保留作图痕迹）如图，△ABC≌△EFG，AD平分∠BAC交BC于D，EH平分∠FEG交FG于H．求证：AD=EH．证明：∵△ABC≌△EFG，∴AB=EF，∠BAC=∠FEG，①，∵AD平分∠BAC，EH平分∠FEG，∴∠BAD=12∠BAC∴②，在△ABD和△EFH中，∠B=∠FAB=EF∴△ABD≌△EFH（③），∴AD=EH．小语再进一步探究发现，全等三角形的对应高线或中线均具备此特征．依照题意，对应高线或中线此特征应表述为命题：④．【答案】∠B=∠F；∠BAD=∠FEH；ASA；全等三角形对应边上的高（或中线）相等．【分析】本题考查命题与定理，全等三角形的性质：全等三角形对应的角平分线，高，中线相等．作∠FEG的平分线，交FG于点H，再根据全等三角形性质和判定，角平分线定义等填空即可．【详解】解：用直尺和圆规作∠FEG的角平分线，交FG于点H，如图：证明：∵△ABC≌△EFG，∴AB=EF，∠BAC=∠FEG，①∠B=∠F，∵AD平分∠BAC，EH平分∠FEG，∴∠BAD=12∠BAC∴②∠BAD=∠FEH，在△ABD和△EFH中，∠B=∠FAB=EF∴△ABD≌△EFH（③ASA），∴AD=EH．对应高线或中线此特征应表述为命题：④全等三角形对应边上的高（或中线）相等．故答案为：∠B=∠F；∠BAD=∠FEH；ASA；全等三角形对应边上的高（或中线）相等．17．小量想利用平行四边形构造出一个菱形．他的思路如下：如图，在平行四边形ABCD中，AB<BC，在AD上取一点E，使得AE=AB，再作∠BAD的角平分线交BC于点F，然后证明四边形AEFB是有一组邻边相等的平行四边形来得到菱形．按以上思路完成作图与填空：证明：用直尺和圆规，在AD截取一点E，使得AE=AB，连接BE，再作∠BAD的角平分线交BC于点F，交BE于点O，连接EF．（保留作图痕迹）∵AB=AE，AF平分∠BAE，∴AO是BE上的中线，∴①，∵在平行四边形ABCD中AD∥∴在△AOE和△FOB中有∠ADE=∠FBOBO=EO∴△AOE≌△FOBASA∴③，∵AD∥∴四边形ABFE是平行四边形；∵④，∴平行四边形ABFE是菱形．【答案】图见解析，BO=EO，∠AOE=∠BOF，AE=BF，AE=AB【分析】本题主要考查了尺规作图、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．根据过角平分线的尺规作图方法作图即可；先根据题意画出图形，然后根据平行四边形的性质和角平分线的性质可得BO=EO，再证△AOE≌△FOBASA，可得AE=BF，再证四边形ABFE【详解】证明：如图，在AD截取一点E，使得AE=AB，连接BE，再作∠BAD的角平分线交BC于点F，交BE于点O，连接EF．∵AB=AE，AF平分∠BAE，∴AO是BE上的中线，∴BO=EO，∵在平行四边形ABCD中AD∥∴在△AOE和△FOB中有∠AEO=∠FBOBO=EO∴△AOE≌△FOBASA∴AE=BF，∵AD∥∴四边形ABFE是平行四边形；∵AE=AB，∴平行四边形ABFE是菱形．18．如图，四边形ABCD是平行四边形．(1)用尺规完成下列基本作图：在DC上取点E，使DE=AD，连接AE，作∠BCD的平分线交AB于F；（保留作图痕迹，不写作法）(2)根据（1）中作图，求证：AE=CF，补充完成下列证明过程（答案填写在答题对应标号位置）．证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCF=______，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，BC=AD，∴∠DCF=______，∴∠BCF=∠BFC，∴BC=______，∵DE=AD，∴DE=BF，∵DC=AB，∴CE=______，∵CE∥AF，∴四边形AECF为______，∴【答案】(1)见详解(2)∠BCF，∠BFC，BF，AF，平行四边形【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质以及尺规作图，（1）以点D为圆心，AD长为半径画圆交DC交点为E，再以点C为圆心任意长为半径画弧交DC和BC，以交点为圆心大于交点为半径画弧，连接点C和交点交AB即为点F；（2）根据角平分线性质得∠DCF=∠BCF，由平行四边形性质得AB∥DC和BC=AD，得到∠BCF=∠BFC，有BC=BF，进一步得到CE=AF，即可判断四边形AECF为平行四边形，有结论成立．【详解】（1）解：如图，（2）∵CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠BCF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，BC=AD，∴∠DCF=∠BFC，∴∠BCF=∠BFC，∴BC=BF，∵DE=AD，∴DE=BF，∵DC=AB，∴CE=AF，∵CE∥∴四边形AECF为平行四边形，∴AE=CF．19．在学习平行四边形后，小函进行了拓展性研究．她发现，平行四边形ABCD中，在DC边上截DF=DA，连接AF，作∠BCD的角平分线交AB于点E，则AF=CE．她的解决思路是通过证明两条线段所在的四边形是平行四边形得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：用直尺和圆规，在DC边上截DF=DA，连接AF，作∠BCD的角平分线CE，交AB于点E（只保留作图痕迹）．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，DA=DF，CE平分∠BCD，交AB于点E．求证：AF=CE．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ECF=______，①∵CE平分∠BCD，∴∠ECF=______，②∴∠CEB=∠ECB，∴BE=BC∵AD=DF，∴BE=______，③∴AB-BE=______，④∴AE=CF∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴AF=CE．【答案】作图见解析；∠CEB,∠ECB,DF,CD-DF【分析】作图见解析；根据平行四边形的性质得到AB∥CD,AB=CD,AD=BG，根据平行线的性质得到∠ECF=∠CEB，根据角平分线的得到∠ECF=∠BCE，求得∠CEB=∠ECB，得到BE=BC，根据平行四边形的判定定理得到四边形【详解】解：如图所示；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∴∠ECF=∠CEB,∵CE平分∠BCD,∴∠ECF=∠BCE,∴∠CEB=∠ECB,∴BE=BC,∵AD=DF,∴BE=DF，∴AB-BE=CD-DF，∴AE=CF.∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，∴AF=CE．故答案为：∠CEB,∠ECB,DF,CD-DF．20．如图，AB∥CD，CB平分(1)用尺规作图完成以下基本作图：作DE平分∠BDC，分别交AB，BC于点E，O．连接CE；（保留作图痕迹，不写作法和结论．）(2)根据（1）中作图，证明四边形BDCE是菱形，请你补全证明过程．证明：∵AB∥∴∠ABC=∠BCD．又∵CB平分∠ABD，∴①________，∴∠BCD=∠DBC，∴②________，同理：BE=BD∴③________，又∵AB∥CD即∴四边形BDCE是平行四边形．∴四边形BDCE是菱形．（④________）．【答案】(1)见解析(2)①∠ABC=∠DBC；②CD=BD；③CD=BE；④邻边相等的平行四边形是菱形【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，菱形的判定，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义，以及等边对等角是解题的关键．（1）以点D为圆心，任意长为半径画弧，交BD,CD于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半画弧，两弧相交于一点，连接点D和这点，并延长，分别交AB，BC于点E，O．连接CE，DE,CE即为所求；（2）根据平行线的性质得出∠ABC=∠BCD，根据角平分线的性质得出∠ABC=∠DBC，则∠BCD=∠DBC，即可得出CD=BD，同理可得BE=BD则CD=BE，先证明四边形BDCE是平行四边形．即可求证四边形BDCE是菱形．【详解】（1）解：如图所示，DE,CE即为所求；（2）证明：∵AB∥∴∠ABC=∠BCD．又∵CB平分∠ABD，∴∠ABC=∠DBC，∴∠BCD=∠DBC，∴CD=BD，同理：BE=BD∴CD=BE，又∵AB∥CD即∴四边形BDCE是平行四边形．∴四边形BDCE是菱形．（邻边相等的平行四边形是菱形），故答案为：∠ABC=∠DBC；CD=BD；CD=BE；邻边相等的平行四边形是菱形．【题型3垂直平分线】21．如图，在矩形ABCD中，AB>BC,AC是对角线．(1)尺规作图：作线段AC的垂直平分线EF，分别交AC,AB,CD于点O、(2)在（1）的条件下，求证：BE=DF（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后）．证明：∵EF垂直平分AC∴OA=OC又∵四边形ABCD是矩形∴①______AB=CD,∴∠OAB=∠OCD在△AOE和△COF中∠OAB=∠OCD∴△AOE≌△COF∴③_______∵AB=CD∴AB-AE=CD-④______∴BE=DF

【答案】(1)详见解析(2)AB∥CD；∠AOE=∠COF；AE=CF【分析】（1）分别以A、C为圆心，大于12AC的线段长为半径画弧，交于两点，连接两点可得线段AC的垂直平分线EF，EF，分别交（2）按照步骤作答即可．【详解】（1）解：如图，直线EF，点O、

（2）证明：∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，又∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD∴∠OAB=∠OCD，在△AOE和△COF中∠OAB=∠OCDOA=OC∴△AOE≌△COFASA∴AE=CF，∵AB=CD，∴AB-AE=CD-CF，∴BE=DF；故答案为：AB∥CD；∠AOE=∠COF；AE=CF；【点睛】本题考查了作垂线，矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握作垂线，矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．在学习了矩形后，小雨借助尺规找到了直角三角形斜边的中点，通过倍长中线构造了矩形，然后利用矩形对角线的性质探究出了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系．请根据她的思路完成以下作图与填空：(1)已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交BC于点E，垂足为点O，连接BO并延长，在射线BO上截取OD=OB，连接AD、CD(2)在（1）问所作的图形中，求证：OB=1证明：∵OE垂直平分AC，∴点O是AC的中点．∴OA=_____．∵OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠ABC=_____，∴四边形ABCD是_____．∴_____．∵OB=1∴OB=_____．【答案】(1)图形见解析；(2)OC；90°；矩形；AC=BD，1【分析】本题考查作图—复杂作图，平行四边形的判定，矩形的判定等知识，（1）根据要求作出图形；（2）证明四边形ABCD是矩形，可得结论；解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【详解】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵OE垂直平分AC，∴点O是AC的中点．∴OA=OC．∵OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形．∴AC=BD．∵OB=1∴OB=1故答案为：OC；90°；矩形；AC=BD，1223．如图，在四边形ABCD中，AB=12CD，DC∥AB连接DB(1)尺规作图：作线段BC的垂直平分线交

CD于点E，交BC于点F，连接BE（不下结论、不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）所作图中，证明四边形ABED为菱形，完成下列填空．证明：∵EF垂直平分BC．∴①，∴∠EBC=∠C．∵∠DBC=90°∴∠EBC+∠EBD=90°，∠C+∠EDB=90°．∴．∠EBD=②∴DE=BE．∴DE=③；即DE=1∵AB=1∴DE=AB．又∵④∴四边形ABED是⑤∵DE=⑥∴四边形ABED为菱形．【答案】(1)画图见解析(2)①EB=EC；②∠EDB；③CE；④DE∥BE；⑤平行四边形；⑥BE【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可；（2）先证明∠EBC=∠C，再证∠EBD=∠EDB，得到DE=BE，再证明DE=CE，接着证明四边形ABED是平行四边形即可证明四边形ABED是菱形．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）证明：∵EF垂直平分BC∴EB=EC∴∠EBC=∠C∵∠DBC=90°∴∠EBC+∠EBD=90°，∠C+∠EDB=90°，∴∠EBD=∠EDB，∴DE=BE∴DE=CE．即∵AB=∴DE=AB∵AB∥DE∴四边形ABED是平行四边形．∵DE=BE．∴四边形ABED为菱形．故答案为：①EB=EC；②∠EDB；③CE；④DE∥BE；⑤平行四边形；⑥BE．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形两锐角互余等等，熟知线段垂直平分线的性质与作图方法是解题的关键．24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC(1)用尺规完成以下基本作图：作线段BD的垂直平分线EF,EF分别交BD,AD,BC于点O,E，F．连接BE,DF．（只保留作图痕迹）(2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形BFDE为菱形．（请完成下面的填空）证明：∵EF垂直平分BD∴①，EF⊥BD∵AD∴②∠EDO=∠FBO∴△EDO≌△FBO∴④∴四边形BFDE为菱形（两条对角线互相垂直平分的四边形为菱形）在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤．【答案】(1)见解析(2)①BO=DO；②∠EDO=∠FBO；③∠EOD=∠FOB；④EO=FO；⑤得到的四边形是菱形【分析】（1）根据垂直平分线的基本作图方法进行作图即可；（2）根据垂直平分线的定义得出BO=DO，EF⊥BD，根据平行线的性质得出∠EDO=∠FBO，证明△EDO≌△FBOASA，得出EO=FO【详解】（1）解：如图，EF为所求作的线段BD的垂直平分线；（2）证明：∵EF垂直平分BD，∴①BO=DO，EF⊥BD，∵AD∴②∠EDO=∠FBO，∵∠EDO=∠FBODO=BO∴△EDO≌△FBOASA∴④EO=FO，∴四边形BFDE为菱形（两条对角线互相垂直平分的四边形为菱形）在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤得到的四边形是菱形．故答案为：①BO=DO；②∠EDO=∠FBO；③∠EOD=∠FOB；④EO=FO；⑤得到的四边形是菱形．【点睛】本题主要考查了尺规作垂直平分线，菱形的判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等和菱形的判定方法．25．如图，在四边形ABCD中，AB=12CD，DC∥AB(1)尺规作图：作线段BC的垂直平分线交CD于点E，交BC于点F，连接BE（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）所作图中，证明四边形ABED为菱形，完成下列填空．证明：∵EF垂直平分BC，∴______．∴∠EBC=∠C，∵∠DBC=90°，∴∠EBC+∠EBD=90°，∠C+∠EDB=90°，∴∠EBD=∠EDB（______），∴DE=BE，∴DE=______，即DE=1∵AB=1∴DE=AB，∵AB∥∴四边形ABED是______．∵DE=______．∴四边形ABED为菱形．【答案】(1)图见详解(2)BE=EC，等角的余角相等，CE，平行四边形，BE【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定及菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理是解题的关键；（1）分别以点B、C为圆心，大于12BC长为半径画弧，交于两点，然后连接这两个点，分别交CD于点E，交BC于点（2）由（1）易得BE=EC，然后可得DE=BE，进而根据菱形的判定定理可进行求解【详解】（1）解：所作图形如图所示：（2）证明：∵EF垂直平分BC，∴BE=EC．∴∠EBC=∠C，∵∠DBC=90°，∴∠EBC+∠EBD=90°，∠C+∠EDB=90°，∴∠EBD=∠EDB（等角的余角相等），∴DE=BE，∴DE=CE，即DE=1∵AB=1∴DE=AB，∵AB∥∴四边形ABED是平行四边形．∵DE=BE．∴四边形ABED为菱形；故答案为BE=EC，等角的余角相等，CE，平行四边形，BE．26．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E．(1)用尺规作图完成以下基本作图：作线段BE的垂直平分线，分别交BE,BC于点M,N，连接NE；（保留作图痕迹，不写作法和结论，）(2)根据（1）中作图，证明四边形ABNE是菱形，请你补全证明过程．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∴∠1=∠2又∵BE平分∠ABC∴①∴∠1=∠ABE∴②∴点A在直线MN上在△AME和△NMB中∠∴△AME≌△NMB（）③∴AM=NM又∵BM=EM,AM=NM∴四边形ABNE是平行四边形又∵AN⊥BE∴④【答案】(1)见解析(2)①∠ABE=∠2；②AB=AE；③ASA；④四边形ABNE是菱形【分析】本题考查线段的垂直平分线的作法，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质等，综合应用上述知识是解题的关键．（1）分别以B，E为圆心，大于12BE长为半径作弧，在BE两侧分别得到一个交点，过这两个交点的直线即为（2）观察所给证明过程可知，先利用平行四边形和平行线的性质证明∠1=∠2，再利用角平分线的定义得出∠ABE=∠2，进而得出∠1=∠ABE，根据等角对等边得出AB=AE，证明点A在直线MN上；再利用ASA证明△AME≌△NMB，推出AM=NM，结合BM=EM证明四边形ABNE是平行四边形，再根据AN⊥BE，证明四边形ABNE是菱形．【详解】（1）解：如图（2）解：补全后的证明过程如下所示：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∴∠1=∠2又∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠2①∴∠1=∠ABE∴AB=AE②∴点A在直线MN上在△AME和△NMB中∠∴△AME≌△NMB（ASA）③∴AM=NM又∵BM=EM,AM=NM∴四边形ABNE是平行四边形又∵AN⊥BE∴四边形ABNE是菱形④．故答案为：①∠ABE=∠2；②AB=AE；③ASA；④四边形ABNE是菱形．27．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC．

(1)用尺规完成以下基本作图：作AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，交AD于点G．连接DE，DF（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）(2)若∠BAC=90°，求证：四边形AEDF是正方形．（请补全下面证明过程）证明：EF垂直平分AD，∴AE=DE，AF=①________．∴∠1=∠ADE，∠2=②________．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=③________．∴∠ADE=∠ADF（等量代换）又∵AD=AD，∴△ADE≌④________（ASA）．∴AE=AF=DE=DF∴四边形AEDF是⑤________．又∵∠BAC=90°（已知）∴四边形AEDF是正方形．【答案】(1)见解析(2)DF，∠ADF，∠2，△ADF，菱形.【分析】（1）利用基本作图作AD的垂直平分线得到EF即可；（2）由垂直平分线的性质可得AE=DE、AF=DF，再根据等边对等角的性质可得∠1=∠ADE、∠2=∠ADF，再结合角平分线的定义和等量代换可得∠ADE=∠ADF；然后再证△ADE≌△ADF可得AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF是菱形；最后结合∠BAC=90°即可证明结论．【详解】（1）解：如图：即为所求．

（2）证明：EF垂直平分AD，∴AE=DE，AF=DF．∴∠1=∠ADE，∠2=∠ADF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2．∴∠ADE=∠ADF（等量代换）又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADFASA．∴AE=AF=DE=DF∴四边形AEDF是菱形．又∵∠BAC=90°（已知）∴四边形AEDF是正方形．故答案为:DF，∠ADF，∠2，△ADF，菱形.【点睛】本题主要考查了垂直平分线的作法、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定、正方形的判定等知识点，灵活运用相关判定和性质是解答本题的关键．28．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD平分∠BAC交BC于点D

(1)作AD的垂直平分线，分别交AB，AC，AD于点E，F，G．连接DE，DF．（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）(2)求证：AF=DE．（完成以下证明过程）证明：∵EF⊥AD，AG⊥DG，∴AE=①，∠AGE=∵AD平分∠BAC∴∠EAG=在△AEG和△AFG中，②，③，∠AGE=∴△AGE≌∴④，∴AF=DE．【答案】(1)见解析(2)①DE；②∠EAG=∠FAG；③AG=AG【分析】（1）以点A和点D为圆心，大于12AD为半径画弧，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，（2）根据EF⊥AD，AG⊥DG，得出AE=DE，∠AGE=∠AGF=90°，根据AD平分∠BAC，得出∠EAG=∠FAG【详解】（1）解：如图：EF即为所求，

（2）证明：∵EF⊥AD，AG⊥DG，∴AE=DE，∠AGE=∵AD平分∠BAC∴∠EAG=在△AEG和△AFG中，∠EAG=AG=AG，∠AGE=∴△AGE≌∴AE=AF，∴AF=DE．故答案为：DE；∠EAG=∠FAG；AG=AG【点睛】本题主要考查了尺规作图——垂直平分线，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握尺规作图的方法和步骤，以及全等三角形对应边相等．29．我们都知道，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．小明在探究这个结论时，他的思路是：如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点．过点D作AC的垂线，然后证明该垂线是AC的垂直平分线，请根据小明的思路完成下面的作图与填空证明：用直尺和圆规，过点D作AC的垂线，垂足为E（只保留作图痕迹）．∵DE⊥AC，∴∠AED=①__________∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°∴∠AED=②__________∴③__________．又∵AD=DB，∴④__________．∴DC=AD=1【答案】①90°；②∠ACB；③DE∥BC；【分析】先根据题中步骤作图，再根据三角形中位线的性质和判定证明．【详解】作图如下：证明：过点D作AC的垂线，垂足为E，∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°∴∠AED=∠ACB，∴DE∥又∵AD=DB，∴AE=EC，∴DC=AD=1故答案是①90°；②∠ACB；③DE∥BC；④【点睛】本题主要考查了尺规作图，三角形中位线的判定和性质，掌握三角形中位线的判定和性质是解题的关键．30．如图，直线l1∥l2，线段AD分别与直线l1、l2交于点(1)使用尺规完成基本作图：作线段BC的垂直平分线交l1于点E，交l2于点F，交线段BC于点O，连接ED、DF、FA、(2)求证：四边形AEDF为菱形．（请补全下面的证明过程）证明：∵l1∴∠1=________①________，∵EF垂直平分BC，∴OB=OC，∠EOC=∠FOB=90°，∴________②________≌△FOB∴OE=________③________，∵AB=CD，∴OB+AB=OC+DC，∴OA=OD，∴四边形AEDF是_________④_________，∵EF⊥AD，∴四边形AEDF是菱形．【答案】(1)见解析(2)∠2；△EOC；OF；平行四边形【分析】（1）利用基本作图作EF，以B，C分别为圆心，适当长为半径画弧，相交于两点，连接两点所在直线，交l1于点E，交l2于点F，交线段BC于点O，连接ED、DF、FA、（2）根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．【详解】（1）解：以B，C分别为圆心，适当长为半径画弧，相交于两点，连接两点所在直线，交l1于点E，交l2于点F，交线段BC于点O，连接ED、DF、FA、如图所示，即为所求：（2）证明：∵l1∴∠1=∠2，∵EF垂直平分BC，∴OB=OC，∠EOC=∠FOB=90°，∴△EOC≌∴OE=OF，∵AB=CD，∴OB+AB=OC+DC，∴OA=OD，∴四边形AEDF是平行四边形，∵EF⊥AD∴四边形AEDF是菱形．故答案为：∠2；△EOC；OF；平行四边形．【点睛】本题考查作图-基本作图，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【题型4过直线外一点作垂直】31．如图：正方形ABCD中，直线l1经过点D，与AB交于点E(1)用直尺和圆规作图：过点C作DE的垂线l2，垂足为G，交AD于点F(2)同学们作图完成后，通过测量发现DE=CF，并且推理论证了该结论，请你根据他们的推理论证过程完成以下证明：如图：已知正方形ABCD中，DE、CF分别是直线l1，直线l2被一组对边截得的线段，当证明：∵正方形ABCD，∴AD=DC，∴∠EAD=∠CDF=90°，∴      ①      +∠AED=90°∵DE⊥CF，∴∠FGD=90°，∴②，∴∠AED=∠DFG，在△DAE和△CDF中，∠EAD=∠CDF      ③      ∴△DAE≌△CDF，∴DE=CF．同学们进一步研究发现，一条直线被正方形的一组对边所截得的线段与另一条直线被正方形的另一组对边所截得的线段垂直时均具备此特征，请你依据题目中的相关描述，完成下列命题：两条直线分别被正方形的一组对边所截，若所截得的线段④．【答案】(1)见解析(2)①∠ADE

②∠ADE+∠DFG=90°

③AD=CD④互相垂直，那么这两条线段相等【分析】本题考查了作图—基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了全等三角形的判断与性质和正方形的性质．（1）利用基本作图，过点C作DE的垂线l2（2）先利用等角的余角证明∠AED=∠DFG，然后根据“ASA”证明△DAE≌△CDF，从而得到结论【详解】（1）解：如图所示，l2（2）证明：∵正方形ABCD，∴AD=DC，∴∠EAD=∠CDF=90°，∴      ∠ADE∵DE⊥CF，∴∠FGD=90°，∴∠ADE+∠DFG=90°，∴∠AED=∠DFG，在△DAE和△CDF中，∠EAD=∠CDF    ∴△DAE≌△CDF，∴DE=CF．两条直线分别被正方形的一组对边所截，若所截得的线段互相垂直，那么这两条线段相等故答案为①∠ADE

②∠ADE+∠DFG=90°

③AD=CD，④互相垂直，那么这两条线段相等．32．在学习了平行四边形的相关知识后，小明对它的面积进行了研究，他发现，平行四边形的面积=底×高，可以通过三角形全等转换成矩形计算．请根据他的思路完成以下作图和填空：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE垂直BC，垂足为E．用直尺和圆规作图，过点D作DF垂直BC，交BC的延长线于点F．（只保留作图痕迹）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠ABE=______．∵AE垂直BC,DF垂直BC，∴∠AEB=∠DFC=90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∠AEB=∠DFC，∴DA∥∴四边形AEFD是平行四边形．∵∠DFC=90°．∴四边形AEFD是______．∴==∵四边形ABCD是平行四边形，∴______．∴S即平行四边形的面积=底×高．【答案】见解析【分析】此题考查了平行四边形的性质和矩形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和判定．首先根据题意做出图形，然后证明出四边形AEFD是矩形，然后利用S平行四边形ABCD【详解】如图所示，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠ABE=∠DCF．∵AE垂直BC,DF垂直BC，∴∠AEB=∠DFC=90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∠AEB=∠DFC，∴DA∥BC，∴四边形AEFD是平行四边形．∵∠DFC=90°．∴四边形AEFD是矩形．∴==∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC．∴S即平行四边形的面积=底×高．33．在学习正方形的过程中，小明遇到了一个问题：在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，过点D作AE的垂线，分别交AE，AB于点G和点F．求证：AE=DF．他的思路是：首先利用正方形的性质得到正方形各边相等，再利用垂直，得到角相等，将其转化为证明三角形全等，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用尺规完成以下基本作图：过点D作AE的垂线，分别与AE、AB交于点G、F；（不写作法和证明，保留作图痕迹）

证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD．∵∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAE=90°．∵DF⊥AE，∴∠AGD=①∴②+∠DAE=90°．又∵∠BAE+∠DAE=90°，∴③在△ABE和△DAF中，___∴△ABE≌△DAFASA∴AE=DF．【答案】①90°②∠ADF③∠BAE=∠ADF④∠ABE=∠DAF【分析】根据尺规作图的基本步骤画图，利用正方形的性质，三角形全等的判定和性质证明△ABE≌△DAFASA【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD．∵∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAE=90°．

∵DF⊥AE，∴∠AGD=90°，∴∠ADF+∠DAE=90°．又∵∠BAE+∠DAE=90°，∴∠BAE=∠ADF，在△ABE和△DAF中，∠ABE=∠DAF∴△ABE≌△DAFASA∴AE=DF．故答案为：①90°②∠ADF③∠BAE=∠ADF④∠ABE=∠DAF．【点睛】本题考查了尺规作图的基本步骤画图，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．34．在平行四边形ABCD中，E为AD边上的一点，连接AC，CE．(1)用尺规完成以下基本作图：过点E作EF垂直AC于点O，交BC于点F；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）所作的图形中，连接AF，若BF=DE，证明：四边形AECF为菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴①∵BF=DE∴BC-BF=AD-DE即②∵BC即AE∥CF∴四边形AECF为③又∵④∴四边形AFCE为菱形．【答案】(1)见解析(2)①BC=AD；②CF=AE；③；平行四边形；④EF⊥AC【分析】（1）根据作线段垂直平分线的作法即可；（2）先证明四边形AECF为平行四边形，根据（1）可得对角线互相垂直，进而即可得出结论．【详解】（1）解：如图所示，过点E作EF垂直AC于点O，交BC于点F；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC=AD∵BF=DE∴BC-BF=AD-DE即CF=AE∵BC即AE∥CF∴四边形AECF为平行四边形又∵EF⊥AC∴四边形AECF为菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，作线段垂直平分线，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．35．如图，点C在线段AB上，AD∥BE，AC=BE，AD=BC，DE交AB于点(1)尺规作图：过点A作线段DE的垂线交DE于点F．(基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论)(2)求证DF=FG．证明：∵AD∴在△ACD和△BEC中，AC=BE∴△ACD≌△BEC∴∠ADC=∠BCE，，∴∠CDE=∠CED．∴∠ADC+∠CDE=∠BCE+∠CED∴∠ADG=∠AGD∴∵∴DF=FG．【答案】(1)详见解析(2)∠DAC=∠CBE，DC=EC，AF⊥DG【分析】本题考查了作垂直平分线，全等三角形的性质与判定；（1）根据题意过点A作线段DE的垂线交DE于点F；（2）证明△ACD≌△BEC(SAS)，得出∠ADC=∠BCE，CD=CE，进而证明∠ADG=∠AGD【详解】（1）解：如图，AF为所作；（2）证明：在△ACD和△BEC中，AC=BE∴△ACD≌△BEC(SAS∴∠ADC=∠BCE，CD=CE，∵∠CDE=∠CED，∴∠ADC+∠CDE=∠BCE+∠CED，∴∠ADG=∠AGD，∴AD=AG，∵AF⊥DG，∴DF=FG．故答案为：∠DAC=∠CBE，DC=EC，AF⊥DG．36．在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究，她发现在直角梯形中，如果两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点E作AD的垂线，垂足为点F（只保留作图痕迹）已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AE平分∠BAD，DE平分求证：AB+CD=AD．证明：∵AE平分∠BAD，∴①，∵EF⊥AD，∴∠AFE=90°，∵∠B=90°，∴∠B=∠AFE，在△ABE和△AFE中，∠B=∠AFE∠BAE=∠FAE∴△ABE≅△AFE(AAS∴③，同理可得：CD=DF，∴AB+CD=AF+DF=AD小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么④．【答案】见解析【分析】本题考查了尺规作图和角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，也考查了全等三角形的判定与性质．以点E为圆心，任意长为半径画弧，交于AD两点，再以两交点为圆心，大于两交点距离的12为半径画弧，两弧交于一点，连接该交点与点E，交AD于点F根据角平分线的性质可得BE=EF，证明Rt△ABE≌Rt△AFE，得到AB=AF，同理可得DC=DF【详解】解：由题意可画图如下：证明：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠FAE，∵EF⊥AD，∴∠AFE=90°，∵∠B=90°，∴∠B=∠AFE，在△ABE和△AFE中，∠B=∠AFE∠BAE=∠FAE∴△ABE≅△AFE(AAS∴AB=AF，同理可得：CD=DF，∴AB+CD=AF+DF=AD．小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．37．如图，已知AB∥CE，AD平分∠BAC，交CE于点(1)用直尺和圆规完成以下基本作图，过点C作AD的垂线，交AD于点F，交AB于点G；（保留作图痕迹，不写作法和结论）(2)在（1）所作图形中，求证：CD=AG．（补全证明过程）证明：∵AD平分∠BAC∴，∵CF⊥AD∴∠CFA=∠GFA=90°，在△AFC和△AFG中，∠BAD=∠CAD∴△AFC∴AC=AG∵AB∴．∵∠BAD=∠CAD∴∠CDA=∠CAD∴．∴CD=AG【答案】(1)见解析(2)∠BAD=∠CAD，AF=AF，∠BAD=∠CDA，AC=CD．【分析】（1）利用作垂线的作法作图即可；（2）先证明△AFC≌△AFGASA，得到AC=AG【详解】（1）解：如图所示，即为所求作（2）证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD，∵CF⊥AD∴∠CFA=∠GFA=90°，在△AFC和△AFG中，∠BAD=∠CADAF=AF∴△AFC≌∴AC=AG，∵AB∥∴∠BAD=∠CDA，∵∠BAD=∠CAD，∴∠CDA=∠CAD∴AC=CD．∴CD=AG，故答案为：∠BAD=∠CAD，AF=AF，∠BAD=∠CDA，AC=CD．【点睛】本题考查了作图——作垂线，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，掌握垂线的作法，以及全等三角形的性质是解题关键．38．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD于E．(1)尺规作图：过点C作CF⊥BD于点F，连接AF．（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）(2)求证：CE=AF．将下面的过程补充完整．证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠AED=∠CFB=90°；∵四边形ABCD是平行四边形，∴___①___，AD∥∴___②___．在△ADE和△CBF中，∠AED=∠CFB∠ADE=∠CBF∴△ADE≌△CBF（AAS）∴___③___，又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是___④___；∴CE=AF．【答案】(1)见解析(2)①AD=CB；②∠ADE=∠CBF；③AE=CF；④平行四边形【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．（1）根据垂线的作图方法作图即可;（2）根据平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质可得答案．【详解】（1）解：如图所示．（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠AED=∠CFB=90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AD∥BC．∴∠ADE=∠CBF．在△ADE和△CBF中，∠AED=∠CFB∠ADE=∠CBF∴△ADE≌△CBF(AAS∴AE=CF．又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形．∴CE=AF．故答案为：①AD=CB；②∠ADE=∠CBF；③AE=CF；④平行四边形．39．在几何学习中，我们遇到这样一个题目：“在四边形ABCD中，AB>AD．若AC平分∠BAD，BC=CD，求证：∠B+∠ADC=180°．”结合学过的知识，可以知道：首先过点C分别作出AB、AD的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决．请根据上述的思路，完成下面的作图与填空：(1)尺规作图：用直尺和圆规，过点C分别作出AB、AD的垂线，垂足分别是点E、F（只保留作图痕迹）；(2)证明：∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠CEB=∠CFD=90°，又∵AC平分∠BAD，∴．在Rt△CEB和Rt△CFD中，BC=CD∴Rt△CEB∴．又．∴∠B+∠ADC=180°．【答案】(1)见详解(2)CE=CF，CE=CF，∠B=∠CDF，∠CDF+∠ADC=180°【分析】本题主要考查了用尺规作图、全等三角形的判定与性质和角平分线的性质，（1）过点C以BC长为半径画圆弧与AB相交于两点，以交点为圆心大于其一半为半径画弧相交于一点，连接点C和交点即可，同理可过C点作AD的垂线；（2）先根据角平分线的性质得到CE=CF，再证明Rt△CEB≌Rt△CFD得到∠B=∠CDF，然后利用∠CDF+∠ADC=180°【详解】（1）解：如图，CE、CF为所作直线，（2）证明：∵CE⊥AB,CF⊥AD，∴∠CEB=∠CFD=90°又∵AC平分∠BAD，∴CE=CF，在Rt△CEB和Rt△CFD中，BC=DCCE=CFRt△CEB∴∠B=∠CDF．又∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°．故答案为∶CE=CF，CE=CF，∠B=∠CDF，∠CDF+∠ADC=180°．40．如图，在△ABC中．(1)用尺规完成以下基本作图：过点A作BC的垂线交BC于点E；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）所作的图形中，在EC上取一点F，使得BE=EF，连接AF，若CF=AB，证明：△AFC为等腰三角形．证明：∵AE⊥BC，∴在△ABE与△AFE中BE=EF∴△ABE∴又∵CF=AB∴∴△AFC为等腰三角形【答案】(1)见解析(2)∠AEB=∠AEF=90°；∠AEB=∠AEF；AB=AF；CF=AF【分析】本题考查作图-基本作图、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质、垂线的作图方法是解答本题的关键．（1）根据垂线的作图方法作图即可．（2）根据SAS证明△ABE≌△AFE得AB=AF，等量代换得【详解】（1）如图，AE即为所求．（2）∵AE⊥BC，∴∠AEB=∠AEF=90°在△ABE与△AFE中BE=EF∴△ABE∴AB=AF又∵CF=AB∴CF=AF∴△AFC为等腰三角形故答案为：∠AEB=∠AEF=90°；∠AEB=∠AEF；AB=AF；CF=AF．【题型5过直线上一点作垂直】41．在三角形ABC中，∠C=90°，AD为边BC上的中线，小明想以BC为对角线，构造一个平行四边形ABEC，做了如下思考：过点B作BC的垂线，交AD的延长线于点E，连接CE，则四边形ABEC即为平行四边形．请你按小明的思路进行作图并证明：四边形ABEC即为平行四边形（用基本尺规作图，保留作图痕迹，不下结论）．证明：∵AD为边BC上的中线∴①又∵BE⊥BC∴②∵∠ACB=90°∴③在△ACD与△EBD中∠ACB=∠EBC∴△ACD≌△EBD(ASA)∴④∴四边形ABEC为平行四边形【答案】图见解析，BD=CD；∠EBC=90°；∠EBC=∠ACB；AD=ED【分析】本题考查作垂线，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质．根据作法描述作出图形．先证明△ACD≌△EBD(ASA)，得到【详解】解：如图，四边形ABEC即为所作，证明：∵AD为边BC上的中线∴BD=CD又∵BE⊥BC∴∠EBC=90°∵∠ACB=90°∴∠EBC=∠