第20讲 圆幂定理专题探究 (原卷版)

第20讲圆幂定理专题探究【知识点睛】弦切角：与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角；弦切角性质：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。相交弦定理割线定理切割线定理图示条件若圆内任意弦AB、弦CD交于点P点P为圆外一点，PB与圆交于点A，PD与圆交于点C，连接AD、BCPB为圆的切线，PD与圆交于点C，连接AC、AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角结论△PAD∽△PCB△PAD∽△PCB【推论】如右图，若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC²=PA·PB【类题训练】1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（）A． B． C． D．2．如图，已知AB是⊙O的一条弦，直径CD与弦AB交于点E，且BE＝3AE，已知DE＝8，CE＝2，则点O到AB的距离为（）A． B． C．2 D．3．如图，已知∠P＝45°，角的一边与⊙O相切于A点，另一边交⊙O于B、C两点，⊙O的半径为，AC＝，则AB的长度为（）A． B．6 C． D．54．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于点D，若BC＝3，AD＝，则AB的长为．5．如图，BP是⊙O的切线，弦DC与过切点的直径AB交于点E，DC的延长线和切线交于点P，连接AD，BC．若DE＝DA＝，BC＝2，则线段CP的长为．6．提出问题：《几何原本》第3卷给出其中一个命题：如果圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线所构成的正方形的面积．如图1，上述结论可表示为AB2＝AC•AD，你能说明其中的道理吗？探索问题：小明在探究的过程中发现，线段AD的位置有两种情况，即AD过圆心O和AD不过圆心O．如图2，当AD经过圆心O时，小明同学进行了如下推理：连接OB，易得∠ABC＝∠ADB，又∠A＝∠A，所以△ABC∽△ADB，可得对应边成比例，进而可知，当AD经过圆心O时，得AB2＝AC•AD．当AD不经过圆心O时，请补全下列推理过程．（1）已知：如图3，AB为⊙O的切线，B为切点，AD与⊙O相交于C，D两点，连接BC，BD．求证：AB2＝AC•AD．证明：．（2）解决问题：如图4，已知AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD切⊙O于点D，连接AD，若CD＝3，CA＝3，请直接写出AD的长．​7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E，与⊙O相交于点F，连接BF．（1）求证：BD＝BE；（2）若DE＝2，BD＝，求AE的长．8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD平分∠ADB交AB于F，点F在AB的延长线上，且EF＝ED．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接BC，若，探究线段AB和BE之间的数量关系，并给予证明；（3）在（2）的条件下，若BE＝2，求弦CD的长．9．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相交于点D，且AD平分∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC＝4，AD＝2．①求⊙O的半径；②请直接写出BE的长．10．如图，PB是⊙O的切线，切点为B，点A在⊙O上，且PA＝PB．连接AO并延长交⊙O于点C，交直线PB于点D，连接OP．（1）证明：PA是⊙O的切线；（2）证明：DB2＝DC•DA；（3）若BD＝4，sin∠ADP＝，求线段OP的长．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，，求BF的长．12．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于点D，点F是BD的中点，直线CF交直线AB于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）已知，BG＝2，FB＝1，求AC．13．如图，圆O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上，且FC＝FE．（1）求证：CF是圆O的切线；（2）若，BE＝2，求圆O的半径和DE•EC的值．14．九年级学生梁梁在帮爸爸整理书橱时，发现爸爸当年的数学书上有个相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即：如图1，若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD．梁梁思索片刻，通过连接AC、BD，很快就证明出来了．【结论证明】（1）请在图1中，根据梁梁的提示作出辅助线，并写出详细的证明过程；【灵活运用】（2）如图2，⊙O的弦AB＝10cm，点P是AB上一点，BP＝6cm，OP＝5cm，则⊙O的半径为cm．（3）如图3，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°，若PC2+PD2＝8，则AB长为．【问题解决】（4）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣x﹣4的图象与x轴交于