2024届高考考前冲刺系列数学模拟试卷06（新高考、新结构、新情境）（含答案）

届高考考前冲刺系列数学模拟试卷06（新高考、新结构、新情境）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.集合，，，则集合中的元素个数为（）A. B. C. D.3.已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.4.如图，在平行四边形中，为线段的中点，，，，则（）A.20B.22 C.24D.255.下列说法错误的是（）A.若随机变量、满足且，则B.样本数据，，，，，，，，，的第百分位数为C.若事件、相互独立，则D.若、两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强6.已知，则（）A.B.C.D.7.已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（）A. B. C.1 D.28.如图，，等边的边长为2，M为BC中点，G为的重心，B，C分别在射线OP，OQ上运动，记M的轨迹为，G的轨迹为，则（）A.为部分圆，为部分椭圆 B.为部分圆，为线段C.为部分椭圆，为线段 D.为部分椭圆，也为部分椭圆二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，是关于的方程的两根，其中，.若为虚数单位，则（）A. B. C. D.10.如图，函数的图象与x轴的其中两个交点为A，B，与y轴交于点C，D为线段BC的中点，，，，则（）A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称C.在单调递减 D.为奇函数11.如图，正方体的棱长为2，E，F，G，H分别是棱的中点，点M满足，其中，则下列结论正确的是（）A.过M，E，F三点的平面截正方体所得截面图形有可能为正六边形B.三棱锥的体积为定值C.当时，平面MEFD.当时，三棱锥外接球的表面积为第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知在中，点在线段上，且，则______．13.已知M，N为抛物线C：上不关于x轴对称的两点，线段的中点到C的准线的距离为3，则直线的方程可能是________.（写出满足条件的一个方程即可）14.已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，轴于点，且．当最大时，点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知为公差不为0的等差数列的前项和，且．（1）求的值；（2）若，求证：．16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．（1）求证：平面（2）求二面角的正弦值．17．（本小题满分15分）抽屉里装有5双型号相同的手套，其中2双是非一次性手套，3双是一次性手套，每次使用手套时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性手套或都为非一次性手套），若取出的是一次性手套，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性手套，则使用后经过清洗再次放入抽屉中.（1）求在第2次取出的是非一次性手套的条件下，第1次取出的是一次性手套的概率;（2）记取了3次后，取出的一次性手套的双数为X，求X的分布列及数学期望.18．（本小题满分17分）焦点在轴上的椭圆的左顶点为，，，为椭圆上不同三点，且当时，直线和直线的斜率之积为．（1）求的值；（2）若的面积为1，求和的值；（3）在（2）的条件下，设的中点为，求的最大值．19．（本小题满分17分）若有穷数列满足：，则称此数列具有性质.（1）若数列具有性质，求的值；（2）设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列；（3）把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在.2024届高考考前冲刺系列数学模拟试卷06（新高考、新结构、新情境）参考答案一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.12345678BBCBDCDC二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.91011BCDCDABD三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12． 13．（答案不唯一）14． 三、解答题：本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.15．（本小题满分13分）【答案】（1）2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）解法一：设的公差为，利用等差数列的定义可得答案；解法二：设的公差为，转化为对恒成立，可得答案.（2）求出，利用裂项相消求和可得答案.【小问1详解】解法一：设的公差为，由①，得②，则②-①得，即，又，则；解法二：设的公差为，因为，所以对恒成立，即对恒成立，所以，又，则；【小问2详解】由得，即，所以，又即，则，因此则．16．（本小题满分15分）【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，求夹角的余弦值即可.小问1详解】证明：因为底面，平面所以，因为四边形是矩形，所以，又因为、平面，，所以平面，又平面，所以，又因为，是的中点，所以平面，所以平面，又平面，所以，由已知得，且平面，所以平面.【小问2详解】以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，由知平面，所以为平面的一个法向量，又，，设为平面的一个法向量，则由得取，则,，设二面角的大小为，则所以二面角的正弦值为.17．（本小题满分15分）【答案】（1）（2）分布列见解析，1.606【解析】【分析】（1）根据条件概率的计算公式，分别求出对应事件的概率，代入计算即可；（2）根据题意，计算离散型随机变量的概率，得出分布列，计算期望即可.【小问1详解】设“第1次取出的是一次性手套”为事件A，“第2次取出的是非一次性手套”为事件B，则，，所以在第2次取出的是非一次性手套的前提下，第1次取出的是一次性手套的概率为.【小问2详解】记取出的一次性手套的双数为，则，，，则，则X的分布列为：0123数学期望18．（本小题满分17分）【答案】（1）（2），；（3）【解析】【分析】（1）先确定点和点坐标关系，然后计算，，通过可得答案；（2）当直线的斜率不存在时，直接求解，当直线的斜率存在时，设其方程为，于椭圆联立，利用韦达定理及弦长公式计算，整理后代入和计算即可；（3）计算的值，然后利用基本不等式求最值.【小问1详解】因为，所以三点共线，则必有点和点关于点对称，所以，设直线和直线的斜率分别为，，因为点为椭圆的左顶点，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，即；【小问2详解】设过两点直线为，当直线的斜率不存在时，两点关于对称，所以，，因为在椭圆上，所以，又，所以，即，结合可得，此时，，所以；当直线的斜率存在时，设其方程为，，联立，消去得，其中①，所以，所以因为到直线的距离，所以，所以，整理的，符合①式，此时，；【小问3详解】因为，所以，即，当且仅当时等号成立，此时为直角三角形且为直角，故，解得，从而，此时等号可成立.所以的最大值为.19．（本小题满分17分）【答案】（1）2；2；4（2）证明见详解（3）【解析】【分析】（1）由数列具有性质的定义可得；（2）由数列具有性质的定义和等差数列的定义可得.（3）分、和三种情况讨论即得.【小问1详解】由已知可得数列共有5项，所以，当时，有，当时，有，所以，当时，有，所以，【小问2详解】数列A具有性质，且为奇数，令，可得，设，由于当时，存在正整数，使得，所以这项均为数列A中的项，且，因此一定有即，这说明：为公差为的等差数列，再数列A具有性质，以及可得，数列A为等差数列；【小问3详解】当时，设A：，，，，，由于数列具有