2023-2024学年云南重点大学附中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023.2024学年云南重点大学附中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列事件中，是必然事件的是（）

A.明天太阳从西边出来B.打开电视，正在播放伍南新闻》

C.昆明是云南的省会D.小明跑完800米所用的时间恰好为1分钟

2.如图曲线中不能表示y是X的函数的是（）

3.某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分为及方差S?如表所示,

那么这三名同学数学成绩最稳定的是（）

甲乙丙

X919191

S262454

A.甲B.乙C.丙D.无法确定

4.一元二次方程/-5x+2=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

5.抛物线y=2。-1）2-3的顶点、对称轴分别是（）

A.（-1,-3）,X=—1B.（1,-3）,X=—1

C.（1,-3）,χ=lD.（-1,-3）,x=l

6.某种商品原价是100元，经两次降价后的价格是81元，设平均每次降价的百率为X,可列

方程为（）

A.100x（1-2x）=81B,100（1+2x）=81

C.100（l-x）2=81D,100（1+x）2=81

7.将抛物线71）2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的抛物线

的解析式为（）

A.y=（X—3）2+1B,y=（x+1）2+1C,y=（X—3）2—1D.y=X2—2

8.已知关于X的一元二次方程kχ2一2χ+3=O有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

)

A.k<三B./c>-∣C.∕c>-Iak≠0D.∕c<g且k≠O

9.如图，二次函数y=ax?+bχ+egHO)的图象与X轴交于点

∕i(-ι,o),其对称轴为直线久=ι,下面结论中正确的是()l∕z7∖

A.abc>0A•\

B.2a-b=0AlIC_：--------\>

/∖0≡

C.4a+2b+c<0∣x=l

D.9α+3h+c=0

10.如图，抛物线y=X2-2x-3与y轴交于点C,点。的坐标为JT

在第四象限抛物线上有一点P,若APCD是以CD为底边的等腰三角形，\0/

则点P的横坐标为()-yπ―/I

A.ι+<7↑C/

B∙fM

C.√~2—1

D.1—V2或1+V2

二、填空题(本大题共6小题，共12.0分)

11.某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同，若以每IoOO张奖券为一个开

奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的概率是

12.如图，若圆柱的底面周长是50cm,高是120cm,从圆柱底部A处沿侧面缠βz^x

绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是.'、

13.若关于X的一兀二次方程/+2x—5=0的两根为X],x2>则XI+不―乂1e=•

14.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染

给一个人.

15.已知开口向上的抛物线y=久2-2χ+3,在此抛物线上有a(-[yι),B(2,y2)和C(3,y3)

三点，则力,又2和乃的大小关系为.

16.如图,二次函数y=α/+bχ+c(αK0)的图象与X轴交于力，

B两点，与y轴交于点C,且。A=OC.则下列结论：φbc<O;~X

②b2-4αc=0;③αc-b+1=0；④。A∙OB=一；；其中正~∕Q∖>---∖-

：

确结论的序号是./I\

三、解答题(本大题共8小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题7.0分)

解方程：

(l)4(x+I/=X直接开平方法)；

(2)∕+4x+2=0(配方法)；

(3)X(X-2)=2-。因式分解法)；

(4)8/+10%=3(公式法).

18.(本小题7.0分)

如图，点C是BE的中点，四边形4BC。是平行四边形.

(1)求证：四边形ACED是平行四边形；

(2)如果4B=4E,求证：四边形ACE。是矩形.

19.(本小题7.0分)

将正面分别写着数字1,2,3的三张卡片(注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其他

方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差另。洗匀后，背面向上放

在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为％,再把剩下的两张卡片洗匀后，

背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为y.

(1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，写出(X,y)所有可能出现的结果.

(2)求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P.

20.(本小题7.0分)

已知关于X的方程/+αx+16=0

(1)若这个方程有两个相等的实数根，求α的值；

(2)若这个方程有一个根是2,求α的值及另外一个根.

21.(本小题7.0分)

如图，某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1.在温室内，沿前侧内

墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留Inl宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时，

蔬菜种植区域的面积是288nι2?

22.(本小题7.0分)

已知二次函数y=^x2-3x+4.

(1)将其配方成y=α(x-A)?+九的形式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴;

(2)在如图所示的直角坐标系中画出函数图象，并指出当y<0时光的取值范围；

(3)当0≤x≤4时，求出y的最小值及最大值.

23.（本小题7.0分）

某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销

售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：

销售单价式元/千

55606570

克）

销售量y（千克）70605040

（1）求y（千克）与χ（元/千克）之间的函数表达式；

（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

24.（本小题9.0分）

如图，在平面直角坐标系XOy中，直线y=—X+5与％轴、y轴分别交于点4、B,抛物线经过

4、B两点，且对称轴为直线X=3.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如果点Q是这抛物线上位于X轴下方的一点，且4ABQ的面积是10求点Q的坐标.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4、明天太阳从西边出来是不可能事件；

B、打开电视，正在播放缶南新闻少是随机事件；

C、昆明是云南的省会是必然事件；

。、小明跑完800米所用的时间恰好为1分钟是不可能事件；

故选：C.

必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件.

此题主要考查了随机事件，关键是理解必然事件就是一定发生的事件；解决此类问题，要学会关

注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养.

2.【答案】C

【解析】解：人对于自变量％的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是X的函数，

故A不符合题意；

B、对于自变量X的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是久的函数，故B不符合题

意；

C、对于自变量X的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是X的函数，故C符

合题意；

D.对于自变量X的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是X的函数，故。不符合题

意；

故选：C.

根据函数的定义，对于X的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，确定正确的选项.

本题考查了函数的图象以及函数的概念，掌握函数的定义是解题关键.

3.【答案】A

【解析】解：:sj7=6,s^=24,S金=54,且平均数相等，

∙1∙Si<S：<S

・・.这三名同学数学成绩最稳定的是甲.

故选：A.

根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解.

本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离

平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数

据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

4.【答案】A

【解析】解：/=(-5)2-4×l×2=17>0,

有两个不相等的实数根，

故选:A.

根据判别式的值确定根的情况即可.

本题主要考查判别式与根的关系，能够熟练计算判别式并判断根的情况是解题关键.

5.【答案】C

【解析】解：∙∙∙y=2(x-1)2-3,

二抛物线的顶点坐标为(1,-3),对称轴为X=1.

故选：C.

根据抛物线的顶点式y=αQ-h)2+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是x=儿

本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y=α(x-h)2+∕c,顶点坐标

是(∕ι,k),对称轴是X=h.

6.【答案】C

【解析】解：根据题意得：IOO(I-X)2=81.

故答案为：IOO(I-X)2=81.

故选：C.

设该商品平均每次降价的百分率为X,根据降价后的价格=降价前的价格(1-降价的百分率)，则

第一次降价后的价格是Ioo(I-X),第二次后的价格是IOo(I-X)2,据此即可列方程求解.

此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主

要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可.

7.【答案】A

【解析】解：抛物线y=Q-1)2的顶点坐标为(1,0),点(1,0)先向右平移2个单位长度，再向上平

移1个单位长度所得对应点的坐标为(3,1),

所以新抛物线的解析式为y=(X-3)2+1.

故选：A.

先确定抛物线y=(X-1)2的顶点坐标为(1,0),再利用点平移的规律得到点(LO)平移所得对应点

的坐标为(3,1),然后根据顶点式写出新抛物线解析式.

本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故α不变，所以求平移后的

抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数

法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

8.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查的是根的判别式，当判别式的值大于O时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次

项的系数不能是0∙

要使一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式必须大于O,得到k的取值范围，因为方程是一

元二次方程，所以k不为O∙

【解答】

解：•••关于X的一元二次方程kM-2x+3=O有两个不相等的实数根，

.∙.Δ=4-12∕c>0,且k羊0

：.k<且k≠0,

故选：D.

9.【答案】D

【解析】解：•••抛物线的开口向下，则α<0,对称轴在y轴的右侧，∙∙∙b>0,图象与y轴交于正半

轴上，

∙∙.c>0,.∙.abc<0,：：对称轴为X=1,

b.

∙'∙χ=~^=1'

—b=2α,

・•・2α+b=0,

当％=2时，4α+2b+c>0,

当％=3时，9α+3b+c=0,

故选D.

根据二次函数y=αχ2+b%+c(αK0)的图象可判断αbc<0,根据对称轴为X=1可判断出2α+

b=0,当X=2时，4α+2b+c>0,当x=3时，9α+3b+c=0

此题主要考查了二次函数与图象的关系，关键掌握二次函数y=αx2+bx+c(a≠0)

①二次项系数α决定抛物线的开口方向和大小.当α>0时，抛物线向上开口；当α<0时，抛物

线向下开口；Ial还可以决定开口大小，∣α∣越大开口就越小.

②一次项系数b和二次项系数α共同决定对称轴的位置.当α与b同号时(即αb>0),对称轴在y轴

左；当a与b异号时(即就<0),对称轴在y轴右.(简称：左同右异)③常数项C决定抛物线与y轴

交点.抛物线与y轴交于(0,c).

10.【答案】A

【解析】解：令X=0,则y=-3,

所以，点C的坐标为(0,-3),

•••点。的坐标为(0,—1),

•••线段CD中点的纵坐标为"×(-1-3)=-2,

∙∙∙∆PCD是以CC为底边的等腰三角形，

二点P的纵坐标为一2,

.∙.X2—2x—3=—2,

解得Xl=I-yj~^2›%2=1+

・・•点P在第四象限，

点P的横坐标为1+q.

故选：A.

根据抛物线解析式求出点C的坐标，再求出CD中点的纵坐标，然后根据等腰三角形三线合一的性

质可得点P的纵坐标，然后代入抛物线求解即可.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并确定出点P的

纵坐标是解题的关键.

11.【答案】专

【解析】解：只抽1张奖券恰好中奖的概率是需=⅛∙

JLUUUDU7

故答案为：表.

根据概率公式直接求解即可.

本题考查了概率公式：随机事件4的概率P(A)=事件4可能出现的结果数除以所有可能出现的结果

数.P(必然事件)=1;P(不可能事件)=0.

12.【答案】130cm

【解析】解：如图，圆柱侧面展开图是矩形,

矩形的长为120cm,宽为圆柱的底面周长50cm,

根据勾股定理得：

AB=√502+1202=130(cm).

根据两点之间线段最短，可得丝线的最小长度为130cm,

故答案为：130Cm∙

将圆柱侧面展开可得到长为120cm,宽为圆柱的底面周长50Cm的矩形，根据勾股定理即可求出4B

的长，即为所求.

本题考查了平面展开-最短路径问题，将圆柱体展开为矩形，在矩形中求解是解题的关键.

13.【答案】3

【解析】解：・；关于的一元二次方程/的两根为，

X+2x-5=0X1x2,

.∙.x1+X2=-2,X1X2=-5,

则原式=-2-(-5)=-2+5=3,

故答案为：3.

由根与系数的关系得出犯=-再代入计算可得.

Xi+2,x1x2=-5,

本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握均，不是一元二次方程a-+bx+c=0(α≠0)

的两根时,

x1+X2=×1X2=~∙

14.【答案】7

【解析】【分析】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

设每轮传染中平均一个人传染给X个人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，即可得出关于X

的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【解答】

解：设每轮传染中平均一个人传染给4个人，

根据题意得：1+x+X(I+x)=64,

解得：X1=7,利=-9(不合题意，舍去).

故答案为：7.

15.【答案】y2<yι<乃

【解析】解：抛物线y=∕-2x+3,

对称轴为：X=一言;=1，

二当x<l时，y随X的增大而减小，当x>l时，y随X的增大而增大，

VΛ(-∣,y1),B(2/2)和C(3,%)在抛物线上，

为<丫1<乃，

故答案为：y2<yι<y3-

根据抛物线y=/-2x+3可知该抛物线开口向上，可以求得抛物线的对称轴，又因为抛物线具

有对称性，从而可以解答本题.

本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质，二次函数具有对称

性，在对称轴的两侧它的单调性不一样.

16.【答案】③④

【解析】解：观察函数图象，发现：

开口向下=>α<0:与y轴交点在y轴正半轴=C>0；对称轴在y轴右侧=-/>0；顶点在X轴上

-÷4ac-b2、.

万r=M>or∙

①∙∙∙QVO,C>0,--•>0,

b>O,

.∙.be<0,①错误；

・・.=竺V0,②不成立;

4α

③∙.∙OA=OC,

:∙XA=-C,

将点4（一Go）代入y=ax2+bx+c中，

得：ac2—he+c=0,即QC-b+1=0,③成立;

X

(4)∙.∙OA=-XA,OB=XB,XA'B-

.∙.OA-OB=-^,④成立.

综上可知：③④成立.

故答案为：③④.

观察函数图象，根据二次函数图象与系数的关系找出“a<0,c>0,-2>0"，再由顶点的纵

2a

坐标在支轴上方得出嚓a>O.①由α<O,c>O,-/>O即可得知该结论成立；②由顶点纵坐

标大于O即可得出该结论不成立；③由。力=OC,可得出%4=-c,将点4(-c,0)代入二次函数解

析式即可得出该结论成立；④结合根与系数的关系即可得出该结论成立.综上即可得出结论.

本题考查了二次函数图象与系数的关系以及根与系数的关系，解题的关键是观察函数图象逐条验

证四条结论.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，观察函数图形，利用二次函数图

象与系数的关系找出各系数的正负是关键.

17.【答案】解：(l)4(x+l)2=p

∙∙∙2(x+l)=±1,

35

λX1=-4,%2~-4；

(2)x2÷4x÷2=0,

X2+4%÷4=2,

・・.(%+2)2=2,

.∙.%÷2=±Λ∕"^Σ,

，%ι=-2+√~^2,%2=-2—V2;

(3)x(x-2)=2-x,

.∙.(%—2)(%+1)=0,

∙,∙X—2=O或％+1=0,

**,%]=2,%2=11;

(4)8X2+10X=3,

8X2+IOx-3=0,

∙∙∙Q=8,b=10,C=-3,

・•・b2—4ac=100—4×8×(—3)=196>0,

_-10±√T96

X=-

=13

ΛX14,%2=-2,

【解析】(1)根据直接开平方法解一元二次方程即可；

(2)根据配方法解一元二次方程即可；

(3)根据因式分解法解一元二次方程即可；

(4)根据公式法解一元二次方程即可.

本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

18.【答案】解：(1)证明：・••四边形ABCD是平行四边形，

.-.AD/∕BC,HAD=BC.

•••点C是BE的中点，

・•・BC=CE，

・••AD=CE,

VAD//CEf

四边形ACED是平行四边形；

(2)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

・•.AB=DC,

VAB=AE,

・•・DC=AE,

••・四边形力CED是平行四边形，

•••四边形力CED是矩形.

【解析】(I)根据平行四边形的性质得到4D〃BC,S.AD=BC,根据点C是BE的中点，得到BC=CE,

等量代换得ZD=CE,又因为4D//CE,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；

(2)根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明.

本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，属于常考题，牢记矩形的判定定理是解题的

关键.

19.【答案】解：(1)画树状图得:

开始

123

AAA

231312

由树状图知共有6种等可能的结果：(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2)；

(2)♦.•共有6种等可能结果，其中数字之和为偶数的有2种结果，

取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P=j=∣.

【解析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果；

(2)由(1)中的树状图，可求得抽取的两张卡片结果中数字之和为偶数的情况，然后利用概率公式

求解即可求得答案.

此题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出

所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注

意概率=所求情况数与总情况数之比.

20.【答案】解：⑴••・关于X的方程/+16=0有两个相等的实数根，

∙∙∙∆=α2-4×l×16=0,

解得α?=64,

即α=8或α=-8；

(2)解：设方程另一根为亚，

由题意得，2∙x2=16,解得0=8,

2+Q=­a,

■•a——10.

即α的值为一10,另一个根为8.

【解析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系，列出关于α的方程，解方程即可得到结论；

(2)设方程另一根为g，根据根与系数的关系先利用两根之积求出七，然后利用两根之和求出α∙

本题考查了一元二次方程αχ2+bx+c=0(αR0)的根与系数的关系：若方程的两根为七，x2,

LC

则Xl+必=--'xlx2=--

21.【答案】解：设矩形温室的宽为xτn,则长为2xm,

根据题意,得(X-2)∙(2%-4)=288,

解得：Xi=-IO杯合题意，舍去)，X2=14,

所以X=14,2x=2×14=28.

答：当矩形温室的长为28τn,宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288τ∏2.

【解析】设矩形温室的宽为羽n,则长为2xm,根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解.

此题主要考查了一元二次方程的应用，解答此题，要运用含X的代数式表示矩形的长与宽，再由面

积关系列方程.

22.【答案】解：(l)y="-3x+4=XX-3)2-表

开口向上，顶点为(3,—今，对称轴为：直线X=3,

(2)如图所示，由图可知，