2023-2024年湖南省湖南省永州市高三一模数学试题（含解析）

2023-2024年湖南省湖南省永州市高三一模数学试题

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合A={x6N*|y=V4-本卜集合B={x|%2-%2o},则4n8=（）

A.{x|l<x<2}B.{x|0<x<1}C.[0,1,2}D.{1,2}

2.复数z满足F.z=l+i,则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量五=（一1,2）石=（3,—1）7=（%1），且0+2。）_!.不，则x=（）

A.2B.1C.0D.-1

4.“函数f（x）=xa在（0,+8）上单调递减”是“函数9（%）=%4-3+14是偶函数”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.在平面直角坐标系中，过直线2x-y-3=0上一点P作圆C:/+2x+y2=1的两条切线,

切点分别为4、B，贝Usin44PB的最大值为（）

A专B.平D专

6.已知椭圆。:务，=1（。>/）>0）的左、右焦点分别是&尸2，点「是椭圆。上位于第一象

限的一点，且PF?与y轴平行，直线P&与C的另一个交点为Q,若2所=5/，则C的离心

率为（）

A•手B.誉D.密

7.若数列{册}的前兀项和为Sn，2Snan=W+l（n6N*,an>0），则下列结论正确的是（）

A.a2022a2023>1。2023>72023

1111

C.S2023<V2022D&+呢+呢+..•+布〈19

8.已知函数/'（%）=3cos（3%+"）（3>0）,若f（一§==0,在区间（一"）上没

有零点，则3的取值共有（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列关于概率统计说法中正确的是（）

A.两个变量x,y的相关系数为r,则r越小，x与y之间的相关性越弱

B.设随机变量f~N(2,l),若p(f>3)=p,贝加(1<e<2)=1-p

C.在回归分析中，R2为0.89的模型比R2为0.98的模型拟合得更好

D.某人解答10个问题，答对题数为X,X〜8(10,0.8),则E(X)=8

10.对数的发明是数学史上的重大事件.我们知道，任何一个正实数N可以表示成N=ax

10气1Wa<10,neZ)的形式，两边取常用对数，则有lgN=n+lga,现给出部分常用对数

值(如下表)，下列结论正确的是()

真数％2345678910

Igx(近似值)0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000

真数X111213141516171819

Igx(近似值)1.0411.0791.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279

A.51°在区间(106,1()7)内

B.35。是15位数

C.若7-5。=ax10机，则巾=-43

D.若?n3o(7nGN*)是一个35位正整数，则m=14

11.菱形ABC。的边长为Q,且/84。=60。，将团480沿8。向上翻折得到图P8D,使二面角

P-B。一C的余弦值为全连接PC,球。与三棱锥P-BCD的6条棱都相切，下列结论正确的

是()

A.PO1平面BCD

B.球。的表面积为271a2

C.球。被三棱锥P-BCD表面截得的截面周长为殍7ra

D.过点。与直线PB,CD所成角均为前勺直线可作4条

12.已知函数/'(x)与g(x)的定义域均为R,f(x+1)+g(x-2)=3,f[x-1)-g{-x)=1)

且g(—l)=2,g(x-l)为偶函数，下列结论正确的是()

A.4为f(x)的一个周期B.g(3)=1

C%皆/*)=4045D.£匿3g⑸=2023

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有徒，去永州沙假鞭

催马运粮忙》微幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求徵(

幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为(用数字作答).

14.在平行六面体4BCD-&B1GD1中，0=五,讹=石,珂=不/为。。1的中点，过PB的

平面a分别与棱44i，CCi交于点E,尸，且AE=CF,则加+前=(用益是，下表示).

15.若函数f(x)=—Inx,当xe(0,+8)时，/(%)>0,则实数t的取值范围______.

16.已知点N(a,2，一司(a>0)在抛物线C:y2=2px(0<p<2a)上，F为抛物线C的焦点，圆

N与直线x=§相交于4、B两点，与线段NF相交于点R,且|4B|=2，⑸/?尸|.若R是线段N尸上

靠近F的四等分点，则抛物线C的方程为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知数列｛斯｝是公比q>1的等比数列，前三项和为39,且aI,a2+6,a3成等差数列.

(1)求数列｛每｝的通项公式；

(2)设％=四3a2.二何3a2e56叱)，求低｝的前n项和7n.

18.(本小题12.0分)

在团ABC中，设4B,C所对的边分别为a,b,c,且满足ccosA-acosC=a+b.

(1)求角C；

(2)若c=5,回ABC的内切圆半径r=中，求mABC的面积.

19.(本小题12.0分)

如图所示，在四棱锥P—中，底面4BCD为矩形，侧面P40为正三角形，且AC=24B=

4,M、N分别为PD、BC的中点，H在线段PC上，且PC=3PH.

(1)求证：MN〃平面P4B；

(2)当AM1PC时，求平面AM/V与平面HMN的夹角的余弦值.

20.(本小题12.0分)

某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品4、B、C，其中儿B、C能通过行业标准检测的

概率分别为W且4、B、C是否通过行业标准检测相互独立.

(1)设新品4、B、C通过行业标准检测的品种数为X,求X的分布列；

(2)己知新品4中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025,现从足量的新品4中任意

抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，

但抽取的总次数不超过n.如果抽取次数的期望值不超过5,求ri的最大值.

参考数据：0.9754工0.904,0.975s*0.881,0.9756=0.859.0.9757=0.838.0.9758=0.817

21.(本小题12.0分)

己知点4为圆C:/+y?—2/，亍x—6=0上任意一点，点B的坐标为(―，10,0),线段4B的

垂直平分线与直线4c交于点D.

(1)求点。的轨迹E的方程：

(2)设轨迹后与％轴分别交于公,①两点(4在&的左侧)，过R(3,0)的直线I与轨迹E交于两

点，直线与直线&N的交于P,证明：P在定直线上.

22.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=ln(x+l),g(x)=axex—2\na+31n2+3.

(1)当xe(-1,0)U(0,+oo)时，求证：＞-jx+1；

(2)若xe(―l,+8)时,g(x)>/(%),求实数a的取值范围.

答案和解析

I.【答案】。

【解析】【分析】

求出集合48,即可求得答案.

【解答】

解：由A={xeN*|y=V4-x2)={1,2},B={x\x2-x>0]={x|xW0或x21},

故4nB={1,2},

故选：D

2.【答案】D

【解析】【分析】

根据虚数单位的性质，结合复数的除法运算可求出z,根据复数的几何意义即可得答案.

【解答】

解：由,z=1+i得i.z=1+i,二z=牛，

则z=l+：=l-i,即z在复平面内对应的点为(1,一1),位于第四象限，

故选：。

3.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量垂直的判断与证明的应用，解题的关键是熟练掌握平

面向量的坐标运算，向量垂直的判断与证明，

根据已知及平面向量的坐标运算，向量垂直的判断与证明，求出x的值.

【解答】

解：向量方=(一1,2),b=(3,-1)，

/.a+2b=(5,0)，

v(a4-2K)1c,c=(%,1),

Ac-(a+2b)=5x4-0=0»

**•x—0.

故选c.

4.【答案】B

【解析】【分析】

通过求解函数/(X)和g(x)符合条件的a的取值，即可得出结论.

【详解】

解：由题意，

在/(x)=X。中，

当函数在(0,+8)上单调递减时，a<0,

在9(幻=/一(a+l)x中，函数是偶函数，

'g(-x)=(-X)4-(a+l)(-x)

g(x)=x4—(a+l)x,解得：a=—1,

、g(x)=gJ)

•••”函数f(x)=X。在(0,+8)上单调递减”是“函数g(x)=x4-(a+l)x是偶函数”的必要不

充分条件，

故选：B.

5.【答案】A

【解析】【分析】

由题意圆C:x2+2x+y2=1的标准方程为C:(x+1)+y2=2,如图sin乙4P8=sin2a=

2sinacosa,又sina==I—>所以cosa=V1-sin2a—I1——.又由圆心到直线

\CP\N|CP|zy

的距离可求出\CP\的最小值，进而求解.

【详解】

解：如下图所示：

由题意圆C的标准方程为C:(x+1)+y2=2,sin乙4PB=sin2a=2sinacosa，

又因为与3=踹=居'所以cosa=.1-si*a=J1一潟'

所以sin^APB2sinacosa

|—2—0—3|i—

又圆心C（一1,0）到直线2%-y-3=0的距离为d=”+（72=7'，

所以|CP|Nd=，亏，所以不妨设C=记3,（0VtW以，

则sin〃PB=2j温（1一温）=272t（l-2t）=2yl-4（"，+:=八。'

又因为/（t）在（0,寺单调递增，所以当且仅当t="即|CP|=V'石，即当且仅当直线CP垂直已

知直线2x-y-3=0时,

sin乙4PB有最大值（sin乙4PB）max2/~6

5

故选：A.

6.【答案】B

【解析】【分析】

由P点坐标求得Q点坐标，然后代入椭圆C的方程，化简求得椭圆C的离心率.

【详解】

由务5=1令X=C，得'2=炉（1一捻）=孰=±9

由于PFz与y轴平行，且P在第一象限，所以

由于2Pa=5&Q,FiQ=9P&,&（-60），

所以而=西+城=（一&0）+|卜2c,-3）=（一白,一备），

即Q（一卜一等），将Q点坐标代入椭圆c的方程得（4）1+卜，）=1

81c24b2_81c2+4(a2-c2)_77c2+4a2

25a2+25a2=25a^=25a2=1

77c2+4a2=25a2,77c2=21a2,4=名=U，

aL7711

所以离心率

7.【答案】D

【解析】【分析】

根据an，S”之间的关系可求出S”=，进而求得an=，帚-，由此结合熟的大小比

较可判断4B,C,利用放缩法，当〃之2时，可推出｝<2(/痴一1^=1),累加即可判断D.

3n

【详解】

令九=1,则2S]QI=蕾+1,即2a：=蕾+1,

由Q九：>0,的臼=1；

当n22时，2Sn(Sn-S.-1)=(Sn-Sn_i)2+1,即S:一S211T=1,

又贷=域=1,故｛SJ为首项是L公差为1的等差数列，

则S卷=1+几一1=n，故Sn=y/~n，

所以当72N2时，Qn=Sn—SnT=Qi—，九一1，%=1也适合该式，

故0n=y!~n—Vn—1,

对于4Q2022Q2023=(V2022-V2021)(72023-V2022)

_______1_____________1_____v1A铲误.

一\^7022+/^021•5T7023+/^022，口

对于8,420232022V，2023,3错误;

对于c，52023=72023>'2022,C错误；

对于以当心2时，*=言<31_i=2(C-V-1)，

故2+卷+++…+y—<1+2(V-2—1)4-2(V~~3-A/-2)+…+2(V100—799)

=14-2(-1+10)=19,。正确，

故选：0

8.【答案】B

【解析】【分析】

根据/"(一：)=3J®=0可得3=与+|,根据在区间(一热―勺上没有零点可得0<3W6,

即可求出3的取值有儿个.

【详解】

由题意，在/(x)=3cos(a>x+")3>0)中，f(-9=3J0)=0，

3cos(一33+(p)=3(-70)+"=2七式

所以7r4ntklfk2ezf

3cos+9)=0

仁3+9=k2n+-

两式相减得与3=(fc2-2ki)ji+5,

所以3=g也2—2kJ+,，即3=与+,，TlEZf

因为％€(一枭一)3>0,所以COX+0E(一袁+0,一看3+0),

令3%+9=t,CE(一窕+0一V3+0),

由题意知y=3cost在tE(—/3+(p,-^a)+(p)上无零点,

故(一触+9，一93+9)G(—'+/nr]+E)，kEZ,

n1乃।>〃n11

--O)+(P>--+kn--6d+।^>--+/C7T

所以n,.7T..即n、兀]

—-(04-<-+K7T-0)—(p>---kn

'62

两式相加得—*3N—H,所以0V3W6,

o

T7_4n2

乂3=可+“

所以，当n=0时，3=：；当n=l时，3=2；当n=2时，3=学；当n=3时，3=苧;

当71=4时，3=6,

所以3的取值有5个.

故选：B.

9.【答案】BD

【解析】【答案】BD

【解析】

【分析】4项，通过相关系数的定义即可得出结论；B项，通过求出P(2<f<3)即可求出P(-l<

f<0)的值;C项,通过比较相关指数即可得出哪个模型拟合更好;D项,通过计算即可求出EM-

【详解】由题意，

4项，

两个变量x,y的相关系数为r,|r|越小，x与y之间的相关性越弱，

故A错误，

对于B,

随机变量f服从正态分布N(2,l),由正态分布概念知若P(f>3)=p,则P(-l<f<0)=

1

p(2<<<3)=?(e>2)->3)=|-p,

故B正确，

对于C,

在回归分析中，R2越接近于1,模型的拟合效果越好，

•••R2为0.98的模型比R2为0.89的模型拟合的更好

故C错误，

对于D,

某人在10次答题中，答对题数为X,X〜8(10,0.8),则数学期望E(X)=10x0.8=8,

故D正确.

故选：BD.

10.【答案】ACD

【解析】【分析】

根据IgN=n+Iga,分别求出各个选项中N的常用对数的值，对照所给常用对数值判断.

【详解】

解：因为lg510=101g5«6.99,IglO6=61gl0=6<6.99,IglO7=71gl0=7>6,99,所以510e

(106,107),故A正确；

因为lg35。=501g3b23.85,3$。=1023.85,所以35。是24位数，故8错误;

因为lg7-50=-501g7x-42.25,所以7~50=10-4225,又7-50=ax10机，则m=-43,故

C正确；

Igm30=301gm，因为m30(meN*)是一个35位正整数，所以34<301gm<35,即，WIgm<:，

即1.12674Igm<1.1667,则?n=14,故。正确.

故选：ACD

11.【答案】AC

【解析】【分析】利用余弦定理求得PC=a,说明三棱锥P-BCD为正四面体，进而补成正方

体，则说明。点为正方体的中心，结合线面垂直的判定可判断4求得球。的半径可判断B；求出

球。被三棱锥一个侧面所截得的截面的周长，即可求得球0被三棱锥P-BCD表面截得的截面周

长，判断C;根据平行公理以及直线所成角的概念可判断£>.

【详解】如图在菱形ABCC中，连接4C,则4CJLBD,设力C,BD交于E,

p

则PE1BD,CE1BD,PEu平面PBD-CEu平面CBD,

即乙PEC为二面角P-BD-C的平面角，即cos/PEC=1,

又4840=60°,即团48。为正三角形，即I2PB。，△CBD为正三角形，

故PE=CE=?a，故PC?=PE2+CE2-2PE-CEcos乙PEC

=|a2—2x^a2x1=a2,即PC=a,

243

故三棱锥P-BCD为棱长为a的正四面体；

如图，将该四面体补成正方体PHDG-NCMB,四面体的各棱为正方体的面对角线,

则正方体棱长为号a,

因为球。与三棱锥P-BCD的6条棱都相切，则。点即为正方体的中心,

连接PM,则。为正方体体对角线PM的中点，

因为PN1平面MBNC,BCu平面MBNC,故PN_LBC,

又BCLMN,而PNCMN=N,PN,MNu平面PMN,

故BC_L平面PMN,PMu平面PMN,故BCJLPM；

同理可证BD1PM,BCCBD=B,BC,BDu平面BCD,

故PM_L平面BCD,BPPO1平面BCD,A正确；

因为球。与三棱锥P-BCD的6条棱都相切，

故球。即为正方体PHDG-NCMB的内切球，球的直径为正方体棱长殍a，

则球的半径为空a,故球。的表面积为4兀x（华炉=Ijra2，B错误;

4'4/2

球。被平面截得的截面圆即为正三角形BCD的内切圆,

由于BC=a，故正三角形BCD的内切圆半径为孕a=^a,

326

故内切圆周长即球。被平面截得的截面圆周长为27rx=?兀a，

故球。被三棱锥P一BCD表面截得的截面周长为4x?7ra=殍Tra,C正确;

连接HM,因为=BM,即四边形PHMB为平行四边形，

故PB//HM,而HM1C。，故PB1CO,

不妨取空间一点S,作PB,CO的平行线P'B',C'O',如图，

则和所成角均为之的直线即为它们形成的角的角平分线k,12,

假设平面a过匕且垂直于P'B'.C'D'所确定的平面，当h绕点S且在a内转动时,

则此时直线I与P'B',C'D'所成角相等，但会变大，大于3

即在P'B',CD'所确定的平面外过点S不存在直线/与P'B',CD'所成角为I,

故过点。与直线PB.CD所成角均为I的直线可作2条，。错误，

故选：AC

12.【答案】ACD

【解析】【分析】

根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.

【详解】

解：由于g(x—l)为偶函数，图象关于y轴对称，

所以g(x)图象关于x=-l对称，

所以g(x—2)=g(-l+(x-1))=g(-l-(x-1))=g(—x),

所以/(x+1)+g(x-2)=/(x+1)+g(-x)=3①，

而/(x-1)-=1②,

两式相加得f(x-1)+f(x+1)=4,则/'(x)+/(%+2)=4③，

所以f(x+4)=f(X+2+2)=4-/a+2)=4-(4-/(x))=f(x),

所以4是f(x)的一个周期，4选项正确.

由③令x=1得/(I)+/(3)=4,

由①令x=2得/(2)+5(-1)=/(2)+2=3,/(2)=1,

由②令x=1得f(0)-g(-l)=/(0)-2=1,/(0)=3,则/(4)=/(0)=3,

所以/⑴+7(2)+f⑶+/(4)=8/(1)+/⑵+/⑶=5,

所以£徂：3f佻)=竿x8+/(I)+/⑵+/⑶=4040+5=4045,C选项正确.

由①令x=-1得/(0)+g(l)=3+g(l)=3,g⑴=0,

由f(x+1)+g(x-2)=3,/(x-1)-g(-x)=1,

得f(x)+g(x-3)=3,/(x)-g(-x-1)=1,

两式相减得g(x—3)+g{—x—1)=2)即g(x—3)+g(x—1)=2;

且g(x)关于(-2,1)对称，g(—2)=1,

所以g(x)+g(x+2)=2④，

所以g(x+4)=+2+2)=2-g(x+2)=2-(2-g(x))=g(x),

所以g(x)是周期为4的周期函数，所以g(3)=g(-l)=2,所以B选项错误.

由④令x=2得g(2)+g⑷=2,所以g⑴+g(2)+g⑶+g(4)=4,

由于g(2)=g(-2+4)=g(-2)=1,所以g(l)+g(2)4-g(3)=3

所以流芳3g(卜)=竿乂4+3=2023,所以。选项正确•

故选：ACD

13.【答案】12

【解析】【分析】

利用捆绑求得正确答案.

【详解】

解：由于您幸福》与修村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，

则不同的排列种数为底“=12种.

故答案为：12

14.【答案】-2a+jc

【解析】【分析】

由题意设Q、R、E、尸分别为力Ai，CCi，QA,RC的中点，容易证明四边形PEBF是平行四边形,

即平面PEBF为符合题意的平面a,进而分解向量即可求解.

【详解】

解•：如图所示：

由题意不妨设Q、R、E、F分别为A4i，CCi，Q4RC的中点，容易证明四边形PEBF是平行四边

形，

即平面PEBF为符合题意的平面a，因此而+豌=(而+前)+(ED+DF")=(-DA-DC+

DP)+(-DE+DF)，

1

=西

又因为前=2西，-DE=-DA-AE，而=比+谓，且荏=[西,4-

所以加+前=(^-'DA-DC+^'DD^+(—育西+反+；西)=-2~DA+^DD[=

—2a+c.

故答案为：-2方+吴.

15.【答案】(；,+8)

【解析】【分析】

由/(x)>0进行转化，利用构造函数法，结合多次求导来求得t的取值范围.

【详解】

解：依题意，当xe(0,+8)时，八X)=竺±|应一[nx>0恒成立，

八x+2

即(etx+2)tx>(%+2)lnx恒成立，

即(etx+2)-lnetx>(%+2)lnx①恒成立，

设g(x)=(x+2)lnx,g'(x)=1+-4-Inx，

令Mx)=g'(x)=1+5+Inx,h'(x)=妥，

所以h(x)在区间(0,2)上h'M<0,/i(x)单调递减；

在区间(2,4-oo)上h'(x)>0,h(x)单调递增，

所以h(x)2h(2)=2+ln2>0,也即g'(x)>0,g(x)在(0,+8)上单调递增,

所以由①得etx>x,即tx>\nx,t>竽，

设m(x)=竽加(%)=与穿

所以m(x)在区间(0,e)上m'(x)>0,m(x)单调递增;

,

在区间(e,+oo)±7n(x)<0,m(x)单调递减,

所以m(x)<m(e)=

所以即t的取值范围是&+8).

故答案为：(；，+8)

16.【答案】y2=4x

【解析】【分析】

解答本题的关键在于要结合抛物线的定义以及圆的弦长的几何性质，找出参数a,p间的等量关系,

从而列出方程组，即可求解.

设\NF\=4t(t>0)，表示出\RF\=t,\AB\=2>J~5\RF\=2nt，利用抛物线定义、点在抛物

线上以及圆的弦长的几何性质列出关于a,p的方程，即可求得p,即得答案.

【详解】

解：由C:y2=2Px(0<p<2a)可知F(p0),

设\NF\=4t(t>0),则\RF\=t,\AB\=2>J~5\RF\=2nt，

(野1)2=|NR/,即(a-1)2+(<5t)2=9t2①;

又点N(a,2O)(a>0)在抛物线C:y2=2Px(0<p<2a)上,

故\NF\=a+1=4t②，且12=2pa,即pa=6③,

②联立得12a2—20ap+3p2=0,得2Q=3p或6a=p,

由于0Vp<2Q,故2Q=3p,结合pa=6③,

解得p=2,故抛物线方程为y2=4%,

故答案为：y2=4x

【答案】解：⑴由题意可得｛斑筋靠北

即得2(a2+6)+g=39,g=9,则%+%=30,

即产92、_Qn,可得3q2-10q+3=0,由于q>1,故得q=3,

1(21(工i(J)—3U

rln

则@1=3,故Qn=3x3t=3；

(2).由(1)结论可得"n-log3a2”-1"。93a2n+l一扇声赤石而钉一(2n-l)(2n+l)

2n+l7

故仍n｝的前n项和以=其1_、+1_(+

=2(1-2^T)=2^T-

【解析】【分析】

(1)根据题意列出方程组，求出首项和公比，即可得答案；

e

(2)利用(1)的结论化简bn=,0g3a2n3a2”+lSN*)，利用裂项求和法即可求得答案.

18.【答案】解：(1)在团ABC中，由ccosA-acosC=a+b得sinCcosA-sinAcosC=sinA+sinB,

即sinCcosA-sinAcosC=sinA+sin(/I+C),

故-2sinAcosC=sinA,由于AE(0,TT),AsinAW0,

故cosC=—1,而CW(0,TT),故

(2)由C=:可得c2=02+匕2+劭，而。=5,

故a2+b2=25—ab,则(a+fa)2=25+ab,

由团ABC的内切圆半径丁=?，可得g(Q+b+c)•r=gabsinC,

即(a+匕+5)=ah,即a+b=2ab—5,

故(2ab—5)2=25+ab,解得ah=—,

故团ABC的面积S=4absinC=：x等又行=需.

【解析】【分析】

(1)利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可得cosC的值，即可得答案；

(2)利用余弦定理得a?+炉=25—ab,配方得(a+b)2=25+ab,再结合团ABC的内切圆半

径，利用等面积法推出a+b=2ab-5,即可求得ab=?,从而求得答案.

4

19.【答案】解：(1)如图所示：

取40中点Q,连接MQ,NQ,

M,N分别为PD、BC的中点，且底面4BCD为矩形，

所以MQ〃P4MQ，且NQ〃4B,

又因为MQu平面MQN,MQC平面R4B,NQu平面MQN,NQC平面PAB,

所以MQ//平面PAB,且QN//平面PAB,

又因为MQflNQ=Q,MQu平面MQN,NQu平面MQN,

所以平面MQN//平面PAB,

因为MNu平面MQN,

所以由面面平行的性质可知MN//平面PAB

(2)如图所示：

注意到侧面PAD为正三角形以及M为PD的中点，所以由等边三角形三线合一得力M1PD,

又因为AMJLPC,且PDu面PDC,PCu面PDC,PDCPC=P,

所以4MJ■面PDC,又因为CDu面PDC,所以CD1AM,

又因为底面4BC。为矩形，所以CO140,

因为力=面PHD,ACu面PAD,

所以CDJL面PAD,因为PQu面PAD,

所以CD1.PQ,又CD〃NQ,

所以NQ1PQ,又由三线合一PQ140,又401NQ,

所以建立上图所示的空间直角坐标系；

因为4。=2AB=4,

所以4(0,-2,0),N(2,0,0),P(0,0,2，3),C(2,2,0),0(0,2,0),

又因为M为P0的中点，PC=3PH,

所以M(0,l,V-3),H停5‘当,

所以血=(0,_3,-q),MN=(2,-1,-<3),而

不妨设平面AMN与平面HMN的法向量分别为4=而=(x2ty2fZ2)，

所以有叵艺=°以及但网=°,

即分别有「3%-0以及炉2-然+印2=。，

[2x1—yi—V3^i=0\2X2—y2~V--3Z2=0

分另|J令%=-l,x2=1，并解得=(-1,1,-7~司尼=(1,2,0)，

不妨设平面AMN与平面HMN的夹角为0,

nj-nj-1x1+1x2-15x01

所以COS0=...........—；”‘'=—

222

I司」可J(-1)+1+(<3)XJ12+22+025

综上所述：平面4MN与平面的夹角的余弦值为9

【解析】【分析】

(1)取ZD中点Q,连接MQ,NQ,要证MN〃平面PAB,只需平面MQN〃平面PAB,结合已

知条件即可得证.

(2)当AM1PC时并结合已知条件即可建立如图所示坐标系，根据4D=2AB=4以及中点关

系、PC=3PH即可写出各个点的坐标，进而求出法向量即可求解.

20.【答案】解：(1)由题意X的所有可能取值为：0,1,2,3.

P(X=0)=9X；x需=嬴，

n,vx411,161,11919

P(X=4l)=-x-x-+-x-x-+-x-x-=—,

0、461,419,16911457

P(X=2)=gx^x而+9x^x元+gx^x而=森=而'

P(X=/\2="=理

5710350175'

所以X的分布列如下表:

X0123

11957108

P(X)

350350175175

(2)不妨设抽取第fc(l<fc<n-l,n>2)次时取到优质产品，此时对应的概率为P(k)=0.025x

(0.975)J,而第n次抽到优质产品的概率为P(n)=(0.975)"-1,因此由题意抽取次数的期望值

为E(n)=[诙;k-P(k)]+nP(n)=0.025xk•(0.975尸]+n(0.975)"T=0.025x

[l+2x0.975+•••+(n-1)x(0.975)f+凡(0.975尸，

0.975-E(n)=0.025x[1x0.975+-+(n-2)x(0.975)n-2+(n-1)x(0.975)"-1]+

n(0.975)n,

两式相减得0.025-E(n)=0.025x[1+0.975+…+(0.975)n-2-(n-1)x(0.975尸]+

0.025xn(0.975)n-1,

所以E5)=罟寤=40口一(0975)"]，

又由题意可得E(n)W5,

所以40[l-(0.975)"]<5,即(0.975)n>0,875,

注意到当n=5时，有0.9755々0881>0,875,

且当n=6时，有0.9756=0.859<0.875；

综上所述：n的最大值为5.

【解析】【分析】

(1)由题意X的所有可能取值为：0,1,2,3,由独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式即可

分别求出相应的概率，进而求解.

(2)不妨设抽取第fc(l<fc<n-l)次时取到优质产品，此时对应的概率为P(k)=0.025x

(0.975)1,而第n次抽到优质产品的概率为p(n)=(0.975尸t,

所以抽取次数的期望值为E(n)=0仁；k-P(fc)]+”(n)=以忆；0.025xk-(0.975)丘1]+

zi(0.975)nT=0.025x[1+2x0.975+-+(n-1)x(0.975)n-2]+n(0.975)n-1,

对其求和并结合E(n)<5以及参考数据即可求解.

21.【答案】解：(1)由C:x2+y2—2V10%—6=0得C:(x—V10)2+y2=16,其半径为4,

因为线段AB的垂直平分线与直线AC交于点D,

故\DB\=\DA\,则\\DC\-\DB\\=\\DC\-\DA\\=\AC\=4,

而\BC\=8>4,故点D的轨迹E为以B,C为焦点的双曲线，

则2a=4,a=2,2c—2，10,c—V10,£>2=c2—a2=6,

故点D的轨迹E的方程为=1.

46

(2)证明：由题意知4式-2,0),4(2,0)，

若直线2斜率为0,则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意;

故直线/的斜率不能为0,故设其方程为x=ty+3,

%=ty4-3

联立/z得(3产-2)y2+18ty+15=0,4=144/+120>0,

——y——1

U6

—18t

_15，

(月、2

―3t2-2

设M(Xi，yDNQ2，y2)，则直线41M的方程为y=岛0+2)=肃石(x+2)，

2

直线A2N的方程为y=四(％-2)=-^-(%-2),

斯。+2_切1及+5,2

''x-2-tyAy2+y1，

15t,rz-18t、，、j-5

则考=匹多严］

1毋力为+力

即夸=-5,解得a：，

故直线41M与直线A2N的交点P在定直线上.

【解析】【分析】本题考查了利用双曲线定义求解双曲线方程以及直线和双曲线的位置关系中的

点在定直线上的问题，难点在于证明直线与直线&N的交点P在定直线上，解答时要设直

线方程，利用根与系数的关系进行化简，计算过程比较复杂，且大都是关于字母参数的运算，要

十分细心.

(1)根据题意推出\\DC\-\DB\\=4,结合双曲线定义即可求得答案；

(2)设出直线1的方程，联立双曲线方程，得到根与系数的关系，表