高考数学一轮复习试题第2节 排列与组合

第2节排列与组合

考试要求1.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数

公式2能解决简单的实际问题.

知识诊断•基础夯实

|知识梳理

1.排列与组合的概念

名称定义

并按照一定的顺序排成一列,叫做从〃个

排列从〃个不同元素

元素中取出m个元素的一个排列

中取出

作为一组，叫做从〃个不同元素中取出机

组合个元素

个元素的一个组合

2.排列数与组合数

⑴从〃个不同元素中取出"“mW”）个元素的所有不同排列的个数,叫做从〃个不

同元素中取出〃?个元素的排列数，用符号A伍表示.

（2）从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不

同元素中取出m个元素的组合数，用符号C件表示.

3.排列数'组合数的公式及性质

72!

(l)A4—-1)(九一2)・一(〃—〃?+1)—zx..

\n-m)!

A；；?n(〃—1)(〃—2)・・・(H-m+1)

公式⑵Cf厂M

几1

-,/一、।(〃，meN\且〃W〃).特别地C9-1

(1)0!=1；M=n\.

性质

(2)G?=crw；a；=c^+a-i

常用结论

1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.分类

时标准应统一，避免出现重复或遗漏.

2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避

免重复或遗漏.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()

(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()

(3)若组合式G=C7,则x=m成立.()

(4)(〃+1)!—n!=”•〃！.()

⑸比S=〃CM.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V(5)V

解析(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故错误；

(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故错误；

⑶若C为=C7,则x=〃z或〃一〃z,故错误.

2.(202。新高考山东卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1

个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方

法共有()

A.120种B.90种C.60种D.30种

答案C

解析先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有CM中选法；

再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C3种选法；

最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C新中选法，

由分步乘法计数原理知，共有CjC%a=60(种)不同的安排方法.

3.(2021.全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和

冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名

志愿者，则不同的分配方案共有()

A.60种B.120种C.240种D.480种

答案C

解析根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1

名志愿者，可分两步进行安排：

第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有Cg种分法;

第二步：将分好的4组安排到4个项目中，有Al种安排方法.

故满足题意的分配方案共有C?-At=240种.

4.（2022•湖南四校联考）周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购

的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长

陪坐，则不同的坐法种数为（）

A.8B.12C.16D.20

答案C

解析法一将4个座位编号如下，4人的座位可分四种情况，①④坐家长②③

坐孩子、①④坐孩子②③坐家长、①③坐家长②④坐孩子、①③坐孩子②④坐家

长，所以不同的坐法种数为4A2A3=16.

①②③④

法二当两个孩子挨着坐且坐在两端时有一个孩子两侧均无家长，所以不同的坐

法种数为Ai—2A2A5=16.

5.（易错题）把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为

答案240

解析由题意知，其中一人分两张，先分后排，共有CgA4=240种不同的分法.

6.（2021.上海卷）某人某天运动的总时长需要大于等于60分钟，现有如下表所示的

五项运动可以选择，则共有种运动组合方式.

A运动B运动C运动D运动E运动

7点〜8点8点〜9占9点〜10点10点〜11点11点〜12点

30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟

答案23

解析若使运动总时长大于等于60分钟，则至少要选择两项运动，并且选择两项

运动的情况中，AB,DB,的组合方式是不符合题意的，选择三项、四项、五

项运动均满足总时长大于等于60分钟，因此组合方式共有Cg+C4+Cg+Cg—3

=23（#）.

考点突破•题型剖析

考点一排列问题

例1有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

（1）选5人排成一排；

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；

（3）全体排成一排，女生必须站在一起；

（4）全体排成一排，男生互不相邻；

（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；

（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；

（7）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.

解⑴从7人中选5人排列，有A3=7X6X5X4X3=2520（种）.

⑵分两步完成，先选3人站前排，有A3种方法，余下4人站后排，有A4种方法,

共有A%A?=5040（种）.

（3）（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A今种方法，再将女生

全排列，有A才种方法，共有A*A3=576（种）.

（4）（插空法）先排女生，有A，种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空

位安排男生，有A3种方法，共有A?•Ag=1440（种）.

⑸法一（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有AR种排列方法，共

有5XAg=3600（种）.

法二（特殊位置优先法）左右两边位置可安排另6人中的两人，有AZ种排法，其

他有Ag种排法，共有AWAW=3600（种）.

（6）法一（特殊元素优先法）甲在最右边时，其他的可全排，有Ag种方法；甲不在

最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有Ai种，而乙可排在除去最右边的位

置后剩下的5个中任选一个有AS种，其余人全排列，只有种不同排法，共有

Ag+AgAgAg=3720（种）.

法二（间接法）7名学生全排列，只有A彳种方法，其中甲在最左边时，有Ag种方

法，乙在最右边时，有AR种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形,

有Ag种方法，故共有A彳-2Ag+Ag=3720（种）.

（7）由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的站法共有意=840（种）.

感悟提升排列应用问题的分类与解法

（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际

进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条

件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.

（2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决

有限制条件的排列问题的常用方法.

训练1⑴从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数，分别记为a,b,

则共可得到押不同值的个数为（）

A.6B.8C.12D.16

答案C

解析彳的值的个数即为从3,5,7,11这四个数中任选2个数的排列数，AZ=4X3

=12.

（2）用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3

的没有重复数字的五位数共有（）

A.96个B.78个C.72个D.64个

答案B

解析根据题意知，要求这个五位数比20000大，则万位数必须是2,3,4,5

这4个数字中的一个，

当万位数是3时，百位数不是数字3,符合要求的五位数有A彳=24（个）；

当万位数是2,4,5时，由于百位数不能是数字3,则符合要求的五位数有3X（A才

-AW）=54（个）,

因此共有54+24=78（个）这样的五位数符合要求.

考点二组合问题

例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商

品中选取3种.

（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？

（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？

（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？

（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？

（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？

解（1）从余下的34种商品中，选取2种有CK=561（种），某一种假货必须在内

的不同取法有561种.

（2）从34种可选商品中，选取3种，有C%种或者C§5—C34=C%=5984（种）.

某一种假货不能在内的不同取法有5984种.

(3)从20种真货中选取1件,从15种假货中选取2件有C1OC?5=2100(#).

，恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.

(4)选取2种假货有C%)C，5种，选取3种假货有05种，共有选取方式CioCT5+C?5=

2100+455=2555(种).

,至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.

⑸选取3种的总数为C*选取3种假货有C^5种，因此共有选取方式

C§5—C15=6545-455=6090(#).

二至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.

感悟提升组合问题常有以下两类题型变化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，

再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至

少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以

求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.

训练2(1)(2022•安徽省五校联盟质检谋地环保部门召集6家企业的负责人座谈，

其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上任选3人发言，则发

言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()

A.15B.30C.35D.42

答案B

解析甲企业有2人，其余5家企业各有1人，共有7人，所以从7人中任选3

人共有C3种情况，发言的3人来自2家企业的情况有C3Q种，所以发言的3人

来自3家不同企业的可能情况共有C引一C3a=30(种).

(2)(多选)(2022.沈阳模拟)在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生

物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物

理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2

门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化

学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确

的是()

A.若任意选科，选法总数为CZ

B.若化学必选，选法总数为&C，

c.若政治和地理至少选一门，选法总数为aaa

D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为caca+i

答案BD

解析若任意选科，选法总数为cxxA错误；若化学必选，选法总数为c£L

B正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为cxaa+i）,c错误；若物理必

选，化学、生物至少选一门，选法总数为dca+1,D正确.

考点三排列与组合的综合问题

角度1相邻与相间问题

例3（1）北京APEC峰会期间，有2名女性和3名男性共5位领导人站成一排照相，

则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有（）

A.12种B.24种C.48种D.96种

答案C

解析从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A,A共有C3A5=6（种）

不同排法，剩下1位男性领导人记作8,2位女性分别记作甲、乙；

则女领导人甲必须在A,B之间，此时共有6X2=12（种）排法（A左8右和A右8

左），最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，，共有12X4=48（种）不

同排法.

（2）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出

顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）

A.72B.120C.144D.168

答案B

解析安排小品节目和相声节目的顺序有三种：”小品1,小品2,相声”“小品

1,相声，小品2”和“相声，小品1,小品2”.

对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”,有

36（种）安排方法；

同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，

其形式为“□小品1□相声□小品2匚］”，有A3Aj=48（种）安排方法，故共

有36+36+48=120（种）安排方法.

角度2分组、分配问题

例4按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？

⑴分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；

(3)平均分成三份，每份2本；

(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；

(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；

(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本.

解(1)无序不均匀分组问题.先选1本有CE种选法；再从余下的5本中选2本有

△种选法；最后余下3本全选有G种方法，故共有C&Cgd=60种.

(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应

考虑再分配，共有CAC支汰5=360种.

(3)无序均匀分组问题.共有在啰=15种.

(4)在(3)的基础上,还应考虑再分配，共有15A3=90种.

(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本，这是部分均匀分组问题，求出组合

总数除以A3即可，共有盘祟=15种.

(6)在(5)的基础上，还应考虑再分配，共有15AW=90种.

感悟提升(1)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍

缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.

(2)对于分堆与分配问题应注意三点

①处理分配问题要注意先分堆再分配.

②被分配的元素是不同的.

③分堆时要注意是否均匀.

训练3(1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品

。不相邻，则不同的摆法有种.

答案36

解析将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A3A彳种

方法，将产品A,B,C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排

列，共有A弘3种方法.

于是符合题意的摆法共有A3A才一A%d=36（种）.

（2）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有

种.（用数字作答）

答案1560

解析把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2类.

第一类，采用“3,1,1,1”的分法，即有1组3本，其余3组每组1本.不同的

八斗“七c8c3c4cl”，加、

分法共有一扇一=20（种）.

第二类，采用“2,2,1,1”的分法，即有2组每组2本，其余2组每组1本.

不同的分法共有等•第=45（种）.

所以不同的分组方法共有20+45=65（种）.

然后把分好的4组书分给4个人，共有A?种分法，

所以不同的分法共有65XA才=1560（种）.

口分层训练•巩固提升

|A级基础巩固

1.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）

A.8B.24C.48D.120

答案C

解析末位数字排法有A）种，其他位置排法有A3种，共有A」A?=48种.

2.不等式A§<6XA*2的解集为（）

A.{2,8}B.{2,6}C.{7,12}D.{8}

答案D

A…8!8!

解析（8—x）!<6X（10—x）!'

,x2-19无+84<0,解得74<12.

又x-220,

，7<xW8,xSN*,即x=8.

3.（2020.新高考海南卷）3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生

只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有（）

A.4种B.5种C.6种D.8种

答案C

解析先将3名大学生分成2组有C5C3种分法，再分配到2个村有A3种分法，

则不同的分配方案共有C%C%Aa=6种.

4.某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、化学、外语这五门课安

排在星期三上午，数学必须比化学先上，则不同的排法有（）

A.60种B.30种C.120种D.24种

答案A

解析把语文、数学、物理、化学、外语这五门课程任意排列，有A?=120种情

况，其中数学排在化学之前和数学排在化学之后的情况数目是相同的，则数学比

化学先上的排法有1号20=60种.

5.（2021.昆明质检）互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红

色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也

不相邻，共有摆放方法（）

A.A?种B.A芬中

C.A1A3种D.C£4A3A3种

答案D

解析红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊

花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有CJGA以芬中摆放方法.

6.（多选）下列等式正确的有（）

n!

。，B.G!,=C；rm

A(〃一〃2)!

D.CmC病

答案ABC

解析A是组合数公式；B是组合数性质；由中C料=布

(〃+1)!

X=C?得C正确；D错误.

(m+1)!(〃-"0

7.（2021.福州调研）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数

为（）

A.144B.120C.72D.24

答案D

解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两

人不相邻的坐法种数为A?=4X3X2=24.

8.（多选）（2022.长沙调研）若3男3女排成一排，则下列说法错误的是（）

A.共计有720种不同的排法

B.男生甲排在两端的共有120种排法

C.男生甲、乙相邻的排法总数为120种

D.男女生相间排法总数为72种

答案BC

解析3男3女排成一排共计有Ag=720种；男生甲排在两端的共有2Ag=240种;

男生甲、乙相邻的排法总数A3Ag=240种；男女生相间排法总数2AmA§=72种，

故选BC.

9.若把英语单词“good”的字母顺序写错，则可能出现的错误方法共有种

（用数字作答）.

答案11

解析把g,o,o,d,4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d,共

有AZ种排法；

第二步：排两个。，共1种排法，所以总的排法种数为A3=12.

其中正确的有一种，所以错误的共有AZ—1=12—1=11（种）.

10.（2021.广州期末）某省高考实行3+3模式，即语文、数学、英语必选，物理、

化学、政治、历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若

他们对六科没有偏好，则他们至少有两科相同的选法有种.

答案200

解析根据题意，分2种情况讨论：

①两人选择的科目全部相同，有Cg=20（种）选法，

②两人选择的科目有且只有2科相同，有CWClC，=180（种）选法，

则两人至少有两科相同的选法有20+180=200（种）.

11.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两

类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为.

答案30

解析分两种情况：（1M类选修课选1门，B类选修课选2门，有CJC?种不同的

选法；

（2）A类选修课选2门，8类选修课选1门，有CKU种不同的选法.

所以不同的选法共有C，C4+C3C1=18+12=30（种）.

12.（2022.武汉检测）某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜

器、瓷器、书画三个场馆.若该学校将参观时间分为三个时间段，每个时间段内三

个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的

场馆不重复，则不同的安排方法有种（用数字作答）.

答案12

解析三个年级的学生在三个时间段内各参观青铜器、瓷器、书画三个场馆，且

每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，共有2A§=12（种）方法.

|B级能力提升

13.（2021.山东部分高中联考）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶

最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（）

A.90B.120C.210D.216

答案C

解析因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，所

以可分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一级台阶上，共有CtA3=12O（种）

站法；第二类，有2人站在同一级台阶上，剩余1人独自站在一级台阶上，共有

C43A3=90（种）站法.综上，每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的

位置的不同的站法种数是120+90=210.故选C.

14.（多选）（2022.苏州质检）现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是（）

A.若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，则共有24种放法

B.若4个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有

18种

C.若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有

144种

D.若编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，没有一个空盒但

小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种

答案BCD

解析若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，共有44=256(种)放

法，故