椭圆及其几何性质

关于椭圆及其几何性质

用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；

当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆．

当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考：●用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？第2页,共54页，2024年2月25日，星期天

椭圆双曲线抛物线第3页,共54页，2024年2月25日，星期天探究：椭圆有什么几何特征？活动1：动手试一试数学史：第4页,共54页，2024年2月25日，星期天MQF2PO1O2VF1古希腊数学家Dandelin在圆锥截面的两侧分别放置一球，使它们都与截面相切（切点分别为F1，F2），又分别与圆锥面的侧面相切（两球与侧面的公共点分别构成圆O1和圆O2）．过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1，圆O2与P，Q两点，因为过球外一点作球的切线长相等，所以MF1=MP，MF2=MQ，MF1+MF2＝MP+MQ

＝

PQ＝定值第5页,共54页，2024年2月25日，星期天1、椭圆的定义：M

平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。椭圆形成演示椭圆定义.gsp第6页,共54页，2024年2月25日，星期天思考：是否平面内到两定点之间的距离和为定长的点的轨迹就是椭圆？

结论：（若

PF1＋PF2为定长）１）当动点Ｐ到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1＋PF2>F1F2时，P点的轨迹是椭圆。２）当动点Ｐ到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1＋PF2＝F1F2时，P点的轨迹是一条线段F1F2

。３）当动点Ｐ到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1＋PF2<F1F2时,Ｐ点没有轨迹。想一想.gsp第7页,共54页，2024年2月25日，星期天直观感受第8页,共54页，2024年2月25日，星期天

神舟六号在进入太空后，先以远地点347公里、近地点200公里的椭圆轨道运行，后经过变轨调整为距地343公里的圆形轨道.太阳系第9页,共54页，2024年2月25日，星期天

拱桥的桥拱采用基于椭圆的优化设计，无论从力学原理，还是从施工角度考虑都是优越于传统的圆弧型和抛物线型的。生活中的应用中国水利水电科学研究院研究表明：第10页,共54页，2024年2月25日，星期天生活中有椭圆，

感受生活中用椭圆。第11页,共54页，2024年2月25日，星期天求曲线方程的一般步骤？设点建系列式代坐标化简、证明第12页,共54页，2024年2月25日，星期天怎样建立平面直角坐标系呢？2、椭圆的标准方程椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、F2的距离的和为2a第13页,共54页，2024年2月25日，星期天对于含有两个根式的方程，可以采用移项两边平方或者分子有理化进行化简。第14页,共54页，2024年2月25日，星期天第15页,共54页，2024年2月25日，星期天叫做椭圆的标准方程，焦点在x轴上。

焦点在y轴上，可得出椭圆它也是椭圆的标准方程。12yoFFMx第16页,共54页，2024年2月25日，星期天12yoFFMxy

xoF2F1M定义图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)椭圆的标准方程求法：一定焦点位置；二设椭圆方程；三求a、b的值.第17页,共54页，2024年2月25日，星期天例1．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0）（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。12yoFFMx.解：∵椭圆的焦点在x轴上∴设它的标准方程为:∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为

第18页,共54页，2024年2月25日，星期天求椭圆的标准方程（1）首先要判断类型，（2）用待定系数法求椭圆的定义a2=b2+c2第19页,共54页，2024年2月25日，星期天第20页,共54页，2024年2月25日，星期天？思考一个问题:把“焦点在y轴上”这句话去掉，怎么办？第21页,共54页，2024年2月25日，星期天

定义法：如果所给几何条件正好符合某一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可直接利用定义写出动点的轨迹方程.

待定系数法：所求曲线方程的类型已知，则可以设出所求曲线的方程，然后根据条件求出系数.用待定系数法求椭圆方程时，要“先定型，再定量”.~求曲线方程的方法：第22页,共54页，2024年2月25日，星期天第23页,共54页，2024年2月25日，星期天第24页,共54页，2024年2月25日，星期天第25页,共54页，2024年2月25日，星期天

代入法：或中间变量法，利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y之间的坐标。~求曲线方程的方法：第26页,共54页，2024年2月25日，星期天第27页,共54页，2024年2月25日，星期天变式题组一第28页,共54页，2024年2月25日，星期天变式题组二第29页,共54页，2024年2月25日，星期天1、方程表示________。2、方程表示________。3、方程表示________。4、方程的解是________。登高望远第30页,共54页，2024年2月25日，星期天巩固练习14DD第31页,共54页，2024年2月25日，星期天C第32页,共54页，2024年2月25日，星期天一、二、二、三一个概念；二个方程；三个意识：求美意识，

求简意识，猜想的意识。小结二个方法：去根号的方法；求标准方程的方法|MF1|+|MF2|=2a第33页,共54页，2024年2月25日，星期天椭圆的简单几何性质第34页,共54页，2024年2月25日，星期天一、复习回顾：1.椭圆:

到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2|）的动点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程：3.椭圆中a,b,c的关系:a2=b2+c2当焦点在x轴上时当焦点在y轴上时第35页,共54页，2024年2月25日，星期天二、椭圆简单的几何性质1.范围：x≤≤≤≤,≤1,≤1得：oyB2B1A1A2F1F2第36页,共54页，2024年2月25日，星期天≤≤≤≤第37页,共54页，2024年2月25日，星期天2.对称性

根据椭圆的图形，观察它有何对称性？第38页,共54页，2024年2月25日，星期天2.对称性：从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。如何从方程来分析这些对称性呢？（1）把y换成-y方程不变，椭圆关于x轴对称；（2）把x换成-x方程不变，椭圆关于y轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，椭圆关于原点成中心对称。第39页,共54页，2024年2月25日，星期天练习2.第40页,共54页，2024年2月25日，星期天3.椭圆的顶点*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。*

分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。这四个顶点的坐标是什么？oF1F2B2B1A1A2第41页,共54页，2024年2月25日，星期天练习3第42页,共54页，2024年2月25日，星期天练习4.画出下列椭圆的草图（1）（2）B1

123-1-2-3-44yA1

A2

B2

12345-1-5-2-3-4x0123-1-2-3-44yB2

A2

B1

A1

12345-1-5-2-3-4x0第43页,共54页，2024年2月25日，星期天4.椭圆的离心率离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率。（1）离心率的取值范围：（2）离心率对椭圆形状的影响：0<e<11）离心率e越大，椭圆就越扁（瘦）；2）离心率e越小，椭圆就越圆（胖）；第44页,共54页，2024年2月25日，星期天练习5第45页,共54页，2024年2月25日，星期天标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率

关于x轴、y轴成轴对称；---对称轴关于原点成中心对称-----对称中心a2=b2+c2≤≤≤≤,第46页,共54页，2024年2月25日，星期天标准方程图形范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称a2=b2+c2同左同左同左同左≤≤≤≤,≤b,≤≤≤y-第47页,共54页，2024年2月25日，星期天练习6.已知椭圆方程为则它的长轴长是：

;短轴长是：

;焦距是：

;离心率等于：

;焦点坐标是：

＿＿＿;顶点坐标是：

＿＿＿＿＿＿＿;

外切矩形的面积等于：