2024届天津市河北区九年级上册数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2024届天津市河北区九上数学期末质量跟踪监视模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处”O

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.宽与长的比是或二ɪ（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的

2

美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形A8C。，分别取A。、BC的中点E、F,连接EH以点尸为圆

心，以尸。为半径画弧，交8C的延长线于点G；作G"LAO,交AO的延长线于点则图中下列矩形是黄金矩形的

A.矩形AB尸EB.矩形EFCQC.矩形E尸GHD.矩形OCGa

2.如图，已知E,尸分别为正方形ABC。的边AB,BC的中点，AF与OE交于点M,。为80的中点，则下列结论:

2

①NAME=90。；@ZBAF=ZEDB；③NBMo=90。；@MD=2AM=4EM；®AM=-MF.其中正确结论的是（）

A.①③④B.②®⑤C.①③⑤D.①③④⑤

3.如图，在AABC中，ZB=90o,AB=6cm,BC=12cm,动点P从点A开始沿边AB向B以ICmZS的速度移动（不与

点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm∕s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出

发，那么经过（）秒，四边形APQC的面积最小.

D.4

A.11B.12C.9D.10

5.如图，A3是。的直径，点C,。在。上，若NABZ）=40。，则NBC。的度数为（）

A.30oB.40oC.50oD.60°

≥

mx23y

6,已知关于X的分式方程;———-+--=一无解，关于y的不等式组∙小（的整数解之和恰

（x-3）（%-6）x-3x-6ςy一一（4zn-2）＜4

好为10,则符合条件的所有m的和为（）

7.已知二次函数y=α∕+必+，（α≠o）图象上部分点的坐标（χ,j）的对应值如下表所示:

X...04•••

y・•・0.37-10.37・・・

则方程Q*2+历;+1.37=0的根是（）

A.0或4B.石或4—石C.1或5D.无实根

8.如图，四边形ABCD内接于。0,四边形ABCo是平行四边形，则NADC的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

9.在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比.如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高

是（）.

A.18米B.16米C.20米D.15

米

10.2的相反数是（）

11

A.----B.-C.2D.-2

22

二、填空题（每小题3分,共24分）

11.从五个数1,2,3,4,5中随机抽出1个数，则数3被抽中的概率为

AB

12.如图，在RtAABC中，ZC=90o,AC=4,BC=3,分别以A,B为圆心，以一的长为半径作圆，将RtAABC

2

截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为

13.如图，在RtAABC中，NACB=90°,tanB=百则斜坡AB的坡度为

14.二次函数y=-f+（12-根）x+12,当x>2时，y随X的增大而减小，则m的取值范围是

15.如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，=CB.若NC=IO0。，则NABC的度数为.

16.如图，A、B、C、。是ɔ。上四个点，连接。4、OC,过A作AEJ交圆周于点E,连接OE,若

NABC=I40°,则NoE4的度数为.

17.如图，四边形45C。是边长为4的正方形，若Ak=3,E为45上一个动点，把AAE尸沿着E尸折叠，得到aPER

若4BPE为直角三角形，则8P的长度为.

18.对于两个不相等的实数a、b,我们规定，"ax{a、b}表示a、B中较大的数，如∕nar{l,1}=1.那么方程∕nar{lx,

X-l}=x*-4的解为.

三、解答题（共66分）

19.（10分）已知关于X的方程x2+mx+m-2=0.

⑴若此方程的一个根为1,求m的值；

（2）求证：不论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.

20.（6分）如图，点A的坐标为（0,-2）,点8的坐标为（-3,2）,点C的坐标为（-3,-1）.

（1）请在直角坐标系中画出aABC绕着点A顺时针旋转90。后的图形aAfTC,

21.（6分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元.经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每

增加1元，销售量净减少10个,因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，定价

为多少元？

22.（8分）如图是由两个长方体组成的几何体，这两个长方体的底面都是正方形，画出图中几何体的主视图、左视图

和俯视图.

23.（8分）实验探究：

如图，AABC和AADE是有公共顶点的等腰直角三角形，NE4C=NZME=90°,交于BD、CE点P.

（问题发现）

（1）把ΔABC绕点A旋转到图1，BD、CE的关系是（“相等”或“不相等”），请直接写出答案；

（类比探究）

（2）若AB=3,AD=5,把AABC绕点A旋转，当NE4C=90°时，在图中作出旋转后的图形，并求出此时。。的

长；

（拓展延伸）

（3）在（2）的条件下，请直接写出旋转过程中线段PZ）的最小值为.

24.（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=aχ2+2x+c与X轴交于A（-1,O）B（3,0）两点，与y轴交于点

C,点D是该抛物线的顶点.

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M,使ABDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请

求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

25.（10分）某果园有100棵橙子树，平均每棵结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多

种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就要减少.根据经验估计，每增种1棵树，平均每棵树就少结5个

橙子.设果园增种X棵橙子树，果园橙子的总产量为y个.

（1）求y与X之间的关系式；

（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60420个以上？

26.（10分）如图，A8、CD、E尸是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知A5、CO在路灯光下的影长分别为

BM.DN,在图中作出EF的影长.

参考答案

一、选择题（每小题3分,共30分）

1、D

【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比

值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形.

【详解】解：设正方形的边长为2,则CD=2,CF=I

在直角三角形DCF中，DF=JE+*=#）

；.FG=非

.∙.CG=√5-1

.CG_√5-l

"~CD~2

∙∙.矩形DCGH为黄金矩形

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念.解题时注意，宽与长的比是叵口的矩形叫做黄

2

金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形.

2、D

【解析】根据正方形的性质可得AB=BC=AD,NABC=NBAD=90。，再根据中点定义求出AE=BF,然后利用“边角边”

证明aABF和aDAE全等，根据全等三角形对应角相等可得NBAF=NADE,然后求出NADE+NDAF=NBAD=90。，

从而求出NAMD=90。，再根据邻补角的定义可得NAME=90。，从而判断①正确；根据中线的定义判断出

ZADE≠ZEDB,然后求出NBAF≠NEDB,判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出aAED、∆MAD,∆MEA

三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得4吆=曳2=42=2,然后求出MD=2AM=4EM,判断出④

EMAMAE

正确，设正方形ABCD的边长为2a,利用勾股定理列式求出AF,再根据相似三角形对应边成比例求出AM,然后求

2

出MF,消掉a即可得到AM=IMF,判断出⑤正确；过点M作MN_LAB于N,求出MN、NB,然后利用勾股定理

列式求出BM,过点M作GH〃AB,过点O作OKjLGH于K,然后求出OK、MK,再利用勾股定理列式求出MO,

根据正方形的性质求出BO,然后利用勾股定理逆定理判断出NBMO=90。，从而判断出③正确.

【详解】在正方形ABCD中，AB=BC=AD,NABC=NBAD=90。，

•；E、F分别为边AB,Be的中点，

1

/.AE=BF=-BC,

2

⅛E∆ABF⅛∆DAE中，

AE=BF

<NABC=NBAD,

AB=AD

Λ∆ABF^∆DAE(SAS),

ΛZBAF=ZADE,

VNBAF+NDAF=NBAD=9(F,

：.ZADE+ZDAF=ZBAD=90o,

ΛZAMD=180o-(NADE+NDAF)=180o-90o=90o,

ΛNAME=I80°-NAMD=I80°-90°=90°,故①正确;

TDE是aABD的中线，

ΛZADE≠ZEDB,

.∙.NBAFWNEDB,故②错误；

VZBAD=90o,AM±DE,

Λ∆AED^∆MAD^∆MEA,

.AMMDAD

"EM^AM~AE~

ΛAM=2EM,MD=2AM,

ΛMD=2AM=4EM,故④正确；

设正方形ABCD的边长为2a,则BF=a,

在RtZWM,AF=JAB2+8尸=,(2/+/

VZBAF=ZMAE,NABC=NAME=90。，

；.△AMES2XABF,

.AMAE

•.—■,

ABAF

AMa

即M二夜’

解得AM=2叵

5

ΛMF=AF-AM=√50-=

55

如图，过点M作MNJ_AB于N,

则

MNANAM

2√5

——a

即MNAN5

a2a垂)a

24

解得MN=W4,AN=1Q,

46

ΛNB=AB-AN=2a--a=-a

55

2

6∣2√10

根据勾股定理，BM=JNB2+M*=—a+(Ia

5

过点M作GH〃AB,过点O作OK_LGH于K,

贝!∣OK=a-2α=3α,MK=

5555

23

在RtZiMKO中，MO=y∣MK+OK一Cla

5

6

根据正方形的性质，BO=2ax注

2

VBM2+MO2=

B0^=(V∑4)=

ΛBM2+MO2=BO2,

.∙.aBMO是直角三角形，NBMO=90。，故③正确;

综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个.

故选：D

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理

的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键.

3、C

【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积-三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值.

【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts,四边形APQC的面积为SCm2,则有:

S=S∆ABC-S∆PBQ

11/、

一×12×6--(6-t)×2t

22

=t2-6t+36

(t-3)2+l.

.∙.当t=3s时，S取得最小值.

故选C.

【点睛】

本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出

最值.

4、D

【解析】利用平均数的求法求解即可.

【详解】这组数据10,9,10,12,9的平均数是:(10+9+10+12+9)=10

故选：D.

【点睛】

本题主要考查平均数，掌握平均数的求法是解题的关键.

5、C

【分析】先根据圆周角定理求出NACD的度数，再由直角三角形的性质可得出结论.

【详解】VAD=AD>

.∙.ZABD=ZACD=40°,

∙.∙AB是。。的直径，

ΛZACB=90o.

ΛZBCD=ZACB-ZACD=90°-40°=50°.

故选：C.

【点睛】

本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键.

6、C

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程无解确定出m的值，不等式组整理后表

示出解集，由整数解之和恰好为10确定出m的范围，进而求出符合条件的所有m的和即可.

mx23

【详解】解:--------1---=---

(x-3)(x-6)x-3x-6

分式方程去分母得：mx+2x-12=3x-9,

移项合并得：(m∙l)x=3,

当m-l=0,即m=l时，方程无解；

当m-l≠O,即m≠l时，解得：X=

m-∖

由分式方程无解，得到：上3二=3或—3=6,

m-∖m-∖

3

解得：m=2或m=7，

2

不等式组整理得：

'γ>0

<7，

y<m+-

I2

7

即ππ0≤xVm+-,

—2

由整数解之和恰好为10,得到整数解为0,1,2,3,4,

可得4〈加+[05,

2

13

即一<加≤—,

22

35

则符合题意m的值为1和一，之和为二.

22

故选：C.

【点睛】

此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

7、B

【分析】利用抛物线经过点(0,0.37)得到c=0∙37,根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2,抛物线经

过点(百,一1),由于方程ax2+bx+l∙37=0变形为ax2+bx+0.37=-l,则方程ax2+bx+1.37=0的根理解为函数值为-1所对应

的自变量的值，所以方程aχ2+bx+L37=0的根为χ,=√5,χ2ɪ4-√5.

【详解】解：由抛物线经过点(0,0.37)得到c=0∙37,

因为抛物线经过点(0,0.37)、(4,0.37),

所以抛物线的对称轴为直线x=2,

而抛物线经过点(6,-1)

所以抛物线经过点(4-6,-1)

方程ax2+bx+1.37=0变形为ax2+bx+0∙37=-l,

所以方程ax2+bx+0.37=-l的根理解为函数值为所对应的自变量的值，

所以方程aχ2+bx+L37=0的根为X=y∣5.x2=4-∖∣5.

故选：B.

【点睛】

本题考查了抛物线与X轴的交点：把求二次函数y=aχ2+bx+c（a,b,C是常数，a≠0）与X轴的交点坐标问题转化为解

关于X的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

8、C

【分析】由题意根据平行四边形的性质得到NABC=NAOC,根据圆内接四边形的性质、圆周角定理列式计算即可.

【详解】解：V四边形ABCo是平行四边形，

.∙.NABC=NAOC,

V四边形ABCD内接于。O,

ΛZABC+ZADC=180o,

由圆周角定理得，NADC=-ZAOC,

2

ΛZADC=60o,

故选：C.

【点睛】

本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及平行四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

9、A

【解析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个

直角三角形相似.

【详解】根据题意解：标杆的高：标杆的影长=旗杆的高：旗杆的影长，

即1.5：2.5=旗杆的高:30,

.∙.旗杆的高=反网=18米.

2.5

故选：A.

【点睛】

考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解

即可得出旗杆的高.

10、D

【分析】根据相反数的概念解答即可.

【详解】2的相反数是-2,

故选D.

二、填空题（每小题3分,共24分）

ɪ

11、

5

【解析】分析：直接利用概率公式求解即可求出答案.

详解：从1,2,3,4,5中随机取出1个不同的数，共有5种不同方法，其中3被抽中的概率为1.故答案为g.

点睛：本题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

25

12、6--π

16

【分析】利用勾股定理得出AB的长，再利用图中阴影部分的面积是：SAABe-SSi彩面积求出即可.

【详解】解：∙.∙RtAABC中，ZABC=90o,AC=4,BC=3,

225

ΛAB=λ∕4+3='

9θ7r×(l)=6--π.

∙φ∙S阴影部分=-×3×4-

2---------16

360

25

故答案是:—π

16

【点睛】

此题主要考查不规则图形的面积求解，解题的关键是熟知割补法的应用.

13、B

3

【分析】由题意直接利用坡度的定义进行分析计算即可得出答案.

【详解】解：：在RtZkABC中，ZACB=90o,tanB=√3,

ΛZB=60o,

.∙.NA=30°,

...斜坡AB的坡度为：tanA=tan30°=—.

3

故答案为：立.

3

【点睛】

本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的定义以及特殊三角函数值是解题的关键.

14、m≥8

【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当%>2时，函数值『随X的增大而减小可知二次函数

的对称轴X=-2≤2,故可得出关于机的不等式，求出Wl的取值范围即可.

Ia

【详解】解：∙.∙二次函数y=-f+（12-根）x+12,α=-l<O,

二抛物线开口向下,

∙.∙当x>2时，函数值y随X的增大而减小,

b

.∙.二次函数的对称轴X=-匚≤2,

2a

12-mC

即aπ------≤2,

2

解得m≥S>

故答案为：加≥8.

【点睛】

本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键.

15、50

【分析】连接AC,根据圆内接四边形的性质求出NDAB,再利用圆周角定理求出/ACB,/CAB,计算即可.

【详解】解：连接AC,

V四边形ABCD是半圆的内接四边形，

：./DAB=180。一NDCB=80°

VX=CB

Λ/CAB=-ZDAB=40°

2

∙.∙AB是直径

Λ∠zACB=90o

ΛNABC=90o-/CAB=50°

故答案为：50.

【点睛】

本题考查的知识点有圆的内接四边形的性质以及圆周角定理，熟记知识点是解题的关键.

16、10°

【分析】由NABC=I40。，利用圆的内接四边形求N。，进而求解NAoC,利用垂径定理与等腰三角形的三线合一

可得答案.

【详解】解：ZABC=140°,四边形ABCr）是。的内接四边形,

.∙.ZD=40°,

/.ZAOC=80°,

OA=OE,OC±AE,

:.ZAOC=ZEOC=SOo,

：.ZOAE=ZOEA=180°T60°=ɪθo

2

故答案为：10°.

【点睛】

本题考查的是垂径定理，同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，圆的内接四边形的性质，等

腰三角形的三线合一，掌握以上知识是解题的关键.

17、2或厢.

【分析】根据题意可得分两种情况讨论：①当N5PE=90。时，点8、尸、尸三点共线，②当NPEB=90。时，证明四边

形AEPF是正方形，进而可求得5尸的长.

【详解】根据E为48上一个动点，

把AAE尸沿着EF折叠，得到APER

若ABPE为直角三角形，

分两种情况讨论：

①当N8PE=90。时，如图1,

根据翻折可知:

,JAF=PF=3,45=4,

BF=5,

：.BP=BF-PF=5-3=2；

②当NPE5=90。时，如图2,

图2

根据翻折可知：

NfPE=N4=90°,

NAEP=90。，

AF=FP=3,

.∙.四边形AEPF是正方形，

.∖EP=3,BE=AB-AE=4-3=1,

∙∙∙BP=EP-+BE2=√32+l2=710.

综上所述：8P的长为：2或痴.

故答案为：2或屈.

【点睛】

本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质一勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键.

18、Xl=1+ʌ/ʒ,A?2=ɪ-

【分析】直接分类讨论得出X的取值范围，进而解方程得出答案.

【详解】解：当lx>x-l时，

故x>-1,

则Ix=X1-4,

故XI-Ix-4=0,

(x-1)1=5,

解得：Xl=l+λ∕5，Xl=I-y∣5；

当IXVX-1时，

故XV-L

贝UX-I=X1-4,

故Xl-X-I=0,

解得：X3=I(不合题意舍去)，X4=-1(不合题意舍去)，

综上所述：方程，"α∙r{lx,XT}=x∣-4的解为：X1=1+χ∕5>XI=I-石.

故答案为：Xl=I+亚，XI=I-λ∕5.

【点睛】

考核知识点:一元二次方程.理解规则定义是关键.

三、解答题(共66分)

19.(1)ɪ-;(2)证明见解析.

【解析】试题分析：一元二次方程aχ2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac：当A>0,方程有两个不相等的实数

根；当4=0,方程有两个相等的实数根；当4<0,方程没有实数根.

(1)直接把x=l代入方程x2+mx+m-2=0求出m的值；

(2)计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可.

解：(1)根据题意，将x=l代入方程χ2+mx+m-2=0,

得：1+m+m-2=0,

解得：mɪɪ；

2

(2)V∆=m2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,

.∙.不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

考点：根的判别式；一元二次方程的解.

20、⑴见解析;⑵(4,1),(1,1).

【分析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出8、C点的对应点方、。即可；

(2)利用(1)所画图形写出点距的坐标，点。的坐标.

(2)点十的坐标为(4,1),点。的坐标为(1,1).

故答案为(4,1),(1,1).

【点睛】

本题考查了坐标和图形的变化-旋转，作出图形，利用数形结合求解更加简便

21、该商品定价60元.

【分析】设每个商品定价X元，然后根据题意列出方程求解即可.

【详解】解：设每个商品定价X元，由题意得：

(x-40)[180-10(x-52)]=2000

解得％=50,X2=60

当x=50时，进货18(MO(50-52)=200,不符题意，舍去

当x=60时,进货180-10(60-52)=100,符合题意.

答：当该商品定价60元，进货100个.

【点睛】

本题主要考查一元一次方程的应用，关键是设出未知数然后列方程求解即可.

22、如图所示见解析.

【分析】从正面看，下面一个长方形，上面左边一个长方形；从左面看，下面一个长方形，上面左边一个长方形；从

上面看，一个正方形左上角一个小正方形，依此画出图形即可.

【详解】如图所示.

主视图左视图

俯视图

【点睛】

此题考查了三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所

得到的图形.

23、⑴相等；⑵笔或曙；⑶1，

【分析】(1)依据AABC和AADE是有公共顶点的等腰直角三角形，NBAC=NDAE=90。，即可BA=CA,

ZBAD=ZCAE,DA=EA,进而得至(JZSlABDgZkACE,可得出BD=CE;

PDCD

(2)分两种情况：依据NPDA=NAEC,ZPCD=ZACE,可得^PCDS∕∖ACE,即可得到一=—,进而得到

AECE

PD=也PBBE

；依据NABD=NPBE,NBAD=NBPE=90。，可得ABADsZiBPE,即可得到——=——，进而得出

17ABBD

PB-3√34PD.RD+PR-20庖.

rl5------------9rU-t5U+ιD-----------------;

1717

(3)以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在。A下方与。A相切时，PD的值最小.

【详解】(1)；AABC和AADE是有公共顶点的等腰直角三角形，NBAC=NDAE=90。,

ΛBA=CA,DA=EA,NBAC-NDAC=NDAE-NDAC即NBAD=NCAE,

在AABD和AACE中，

BA=CA

<ZBAD=ZCAE

DA=EA

Λ∆ABD^∆ACE(SAS),

ΛBD=CEi

故答案为：相等.

(2)作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：

VZEAC=90o,

二CE=√AC2+AE2=√34，

∙.∙NPDA=NAEC,ZPCD=ZACE,

:PCD<×>∆ACE,

PDCDPD5-3

・・---------------，EbP-:-=-/=

AECE5√34

5×2-5√M

•∙rIJ---「.--------------

√3417

若点B在AE上，如图2所示:

C

.∙.RtAABD中，BD=√AD2+AB2=√34-BE=AE-AB=I,

TNABD=NPBE,ZBAD=ZBPE=90O,

Λ∆BAD<^∆BPE,

PBBEbπPB_2

••.XT丽’即丁辰，

解得PB=∕i,

17

ΛPD=BD+PB=√34+=之。庖,

1717

综上可得，PD的长为之里或竺叵.

1717

(2)如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在。A下方与。A相切时，PD的值最小

在Rt∆PED中，PD=DESinZPED,因此锐角NPED的大小直接决定了PD的大小.

当小三角形旋转到图中AACB的位置时，

22

在RtAACE中，CE=λ∕5-3=4»

在RtADAE中，DE=序善=50,

V四边形ACPB是正方形，

二PC=AB=3,

ΛPE=3+4=7,

在Rt∆PDE中，PD=√DE2-PE2=√50-49=1，

即旋转过程中线段PD的最小值为1.

【点睛】

本题考查了旋转与圆的综合问题，熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质，圆的切线是解题的关键.

24、(1)抛物线解析式为y=-χ2+2x+3;直线AC的解析式为y=3x+3;(2)点M的坐标为(0,3)；

7201013

(3)符合条件的点P的坐标为(一，R)或(一，-χ),

【解析】分析：(1)设交点式y=a(x+1)(x-3),展开得到-2a=2,然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C(0,3),

然后利用待定系数法求直线AC的解析式；

(2)利用二次函数的性质确定D的坐标为(1,4),作B点关于y轴的对称点B，，连接DB，交y轴于M,如图1,则

B,(-3,0),利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时ABDM的周长最小，然后求出直线DB，的

解析式即可得到点M的坐标；

(3)过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式

y=_J+2Λ+3

为y=-^x+b,把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-gx+3,再解方程组,1得此时P点

33y=——x+3

I3

坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标.

详解：(D设抛物线解析式为y=a(x+1)(X-3),

即y=ax2-2ax-3a,

-2a=2,解得a=-1,

.∙.抛物线解析式为y=-X2+2X+3;

当x=0时，y=-x2+2x+3=3,贝!)C(0,3),

设直线AC的解析式为y=px+q,

-o+<7=0p=3

把A(-1,0),C(0,3)代入得《，解得〈，

[q=3k=3

.∙.直线AC的解析式为y=3x+3;

(2)Vy=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

二顶点D的坐标为(1,4),

作B点关于y轴的对称点B，，连接DB，交y轴于M,如图1,则B，(-3,0),

VMB=MBS

ΛMB+MD=MB+MD=DB,,此时MB+MD的值最小,

而BD的值不变，

，此时ABDM的周长最小，

易得直线DB，的解析式为y=x+3,

当X=O时,y=x+3=3,

二点M的坐标为(0,3)；

(3)存在.

过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,

T直线AC的解析式为y=3x+3,

.∙.直线PC的解析式可设为y=-