新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用）48直线的方程2

专题48直线的方程

知考纲要求

识

考点预测

梳

理常用结论

方法技巧

题题型一：直线的倾斜角与斜率

型

题型二：求直线的方程

归

类题型三：直线方程的综合应用

训练一：

培

训练二：

优

训练三：

训

练训练四：

训练五：

训练六：

强

单选题：共8题

化

多选题：共4题

测

试填空题：共4题

解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截

式与一次函数的关系.

【考点预测】

1.直线的倾斜角

⑴定义：当直线/与X轴相交时，我们以X轴为基准，X轴正向与直线/向上的方向之间所成

的角a叫做直线/的倾斜角；

（2）规定：当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为£；

（3）范围：直线的倾斜角a的取值范围是由0。忘*180。"

2.直线的斜率

（1）定义：我们把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母女表示,

即k=tana.

⑵计算公式

①经过两点尸1（X1,了1）,尸2（X2,J2）（X1WX2）的直线的斜率左=丝=普.

X2~X1

②设尸1(X1,a)，尸2(x2,歹2)(其中X1WX2)是直线/上的两点，则向量户市2=(X2—XI,/—歹)以及

与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线I的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),

贝Uk=2.

X

3.直线方程的五种形式

名称几何条件方程适用条件

斜截式纵截距、斜率

与X轴不垂直的直线

点斜式过一点、斜率y—Vo=k(x—xo)

V~V1_X~X1与两坐标轴均不垂直

两点式过两点

,"2-Vl~~X2—Xl的直线

不过原点且与两坐标

截距式纵、横截距u

「b一轴均不垂直的直线

玫+C=0

一般式所有直线

(?l2+52^0)

【常用结论】

直线的斜率左与倾斜角a之间的关系

a0°0°<«<90°90°90°<cc<180°

k0左>0不存在k<。

牢记口诀：

1.“斜率变化分两段，90。是分界线；

遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.

2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注

意过原点的特殊情况是否满足题意.

3.直线4v+绘+。=0(/2+炉=0)的一个法向量v=(/,B),一个方向向量a=(—8,A).

【方法技巧】

1.斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.

2.倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数在=tana的单调性.

3.求直线方程一般有以下两种方法：

①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.

②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，

即得所求直线方程.

4.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使

用时要注意分类讨论思想的运用.

5.直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，对照得到定点坐标.

6.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.

7.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.

二、【题型归类】

【题型一】直线的倾斜角与斜率

71匹]

[,£6,3」的倾斜角的变化范围是()

71匹"三

，

A163.3_

匹匹712晨

C.“2_D.L?TJ

【典例2】过函数兀0=$3一9的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为()

匹zfl耀兀]

【典例3】若直线/的斜率为公倾斜角为a,且adL，RULF'，，则左的取值范围是.

【题型二】求直线的方程

【典例1】经过点尸(2,-3),且倾斜角为45。的直线方程为()

A.x+y+1=0B.x-\-y—1=0

C.x—>+5=0D.x—y-5=0

【典例2】已知点〃■是直线/：2x-y-4=0与x轴的交点，将直线/绕点M按逆时针方向旋转45。，得到

的直线方程是()

A.x~\-y—3=0B.x—3y—2=0

C.3x—y+6=0D.3x~\~y—6=0

【典例3】经过两条直线/i：x+y=2,b：2x—y=l的交点，且直线的一个方向向量v=(—3,2)的直线方

程为.

【题型三】直线方程的综合应用

【典例1】已知直线/过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、F轴的正半轴交于4,8两点，。为原点,

当△/O8面积最小时，求直线/的方程.

【典例2】已知直线x+2y=2分别与x轴、〉轴相交于4,8两点，若动点尸(a,6)在线段A3上，贝!!"

的最大值为.

【典例3]当左>0时，两直线区一y=0，2%+加-2=0与x轴围成的三角形面积的最大值为

三、【培优训练】

【训练一】（2023•江苏扬州・仪征中学校考模拟预测）已知椭圆C：/+5_=1（。>6>0）的左、右焦点分别

为耳、F2,以巴为圆心的圆与x轴交于耳，B两点，与了轴正半轴交于点A,线段/片与C交于点若怛河|

与C的焦距的比值为回，则C的离心率为（）

3

A.3二LB.；C.百+1D.山

2242

【训练二】（2023•全国•高二专题练习）设a>0,beR,已知函数f（x）=xe*+a（x-3）+6,xe［l,3］有且

只有一个零点，则/+〃的最小值为（）

e2e2e2e2

A.—B.—C.—D.—

6543

【训练三】（2023・湖南益阳・统考模拟预测）已知直线/与曲线》=3f+4x-1相交，交点依次为。、E、

F,且卬闵=忸司=右，则直线/的方程为（）

A.y=3x-2B.y=2x-lC.y=2x+3D.>=3x+2

【训练四】（2023•全国•模拟预测）设直线/：（a-2b）x+by-a^0,圆C：（x-2）2+/=r2（r>0）,若直

线/与圆C恒有两个公共点B,则下列说法正确的是（）

A.厂的取值范围是［右,+8）

B.若「的值固定不变，则当2a-3b=0时NNC8最小

C.若厂的值固定不变，则“3C的面积的最大值为

D.若r=3,则当。8c的面积最大时直线/的斜率为1或g

【训练五】（2023•全国•高三专题练习）将两圆方程

4：/+/+2工一4了+4=0©:/+/一2》+（机-2力+（3-相）=0（机>2）作差，得到直线/的方程，则（）

A.直线/一定过点

B.存在实数%>2,使两圆心所在直线的斜率为-2

C.对任意实数机>2,两圆心所在直线与直线/垂直

D.过直线/上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等

【训练六】（2022•河南•校联考模拟预测）己知/⑴是定义在R上的奇函数，其图象关于点（2,0）对称，当

xe［0,2］时，/（x）=-Jl-（x-l）2,若方程/（尤）-左（丫-2）=0的所有根的和为6,则实数上的取值范围

是.

四、【强化测试】

一、单选题

1.（2023・全国•高二专题练习）若直线履-了+2左-1=0恒过点/,点N也在直线冽x+町+2=0上，其中私"

均为正数，则机”的最大值为（）

11

A.-B.-C.1D.2

42

2.（2023•黑龙江哈尔滨•哈师大附中校考模拟预测）圆。：/+y=4与直线/：x+（4-l）y-%=0交于M、

N,当|九W|最小时，力的值为（）

A.-2B.2C.-1D.1

/2（），（。）、

V3.2023・湖南邵阳•邵阳某二中学校考模拟预测已知耳此是椭圆C:]+方=1>6>0的左右焦

点，A是C的上顶点，点?在过A且斜率为2G的直线上，△跳;耳为等腰三角形，ZPF,F2=120°,则。的

离心率为（）

AVioRV7rV3n1

101494

4.（1991•全国•高考真题）如果/.C<0且8C<0,那么直线4v+8y+C=0不通过（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5.（2023,全国,高二专题练习）若直线触―4y+l—2左=0与圆C：（x—以+炉=4相交于A,3两点，则

的最小值为（）

A.2A/3B.272C.V3D.应

6.（2023・全国•高二专题练习）已知直线/:M+（5-2m）y-2=0（加eR）和圆。：/+四=4,则圆心O到直

线/的距离的最大值为（）

,6_275_2A/3n3

5532

7.（2023・全国•高三专题练习）直线4：x+（l+a）y=l-。S^/2:y=-1x,下列说法正确的是（）

A.3aeR,使得4〃4B.3aeR,使得_1乙

C.VaeR,4与4都相交D.九eR,使得原点到乙的距离为3

8.（2023•贵州毕节•校考模拟预测）如图，抛物线E:/=2x和直线/：3x+4y+/=0在第一象限内的交点为

弦（再,必）.设"（乙,%）是抛物线E上的动点，且满足0<%（必，记5工2+|3々+4%+加|=/.现有四个结论:

①当机=-日时，0<X2<g；②当芭>2时，/的最小值是加+；-：；③当0<占<2时，f的最小值是

35

m+---；④无论加为何值，，都存在最小值.其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

9.（2023秋■高二单元测试）己知圆C:（X-1）2+3—2）2=16,直线/:（2加+1卜+何+1）y-7加-4=0，贝！|（）

A.直线/恒过定点

B.直线/能表示平面直角坐标系内每一条直线

C.对任意实数相，直线/都与圆C相交

D.直线/被圆C截得的弦长的最小值为2vH

10.（2023•浙江•校联考模拟预测）已知圆尸是直线入7+2=0上一点，过点P作圆O的两条

切线，切点分别为则（）

A.直线血W经过定点

B.的最小值为百

C.点（2,0）到直线跖V的距离的最大值为g

D.NKPN是锐角

11.（2023春•湖南岳阳•高三湖南省岳阳县某中学校考开学考试）下列说法正确的是（）

A.直线x-y+g=0的倾斜角为45。

B.存在加使得直3x+叩一2=0与直线mx+2>=0垂直

C.对于任意X,直线］:（4+2）1+（1-24）歹+4—34=0与圆（％+2>+/=8相交

D.若直线方+"+。=0过第一象限，贝！jqb>0,bc>0

12.（2023・全国•高二专题练习）已知直线/：foc-y-左+1=0与圆C：（x-2『+（>+2『=16相交于/,3两

点，。为坐标原点，下列说法正确的是（）

A.目的最小值为2而B.若圆C关于直线/对称，则上=3

C.若NACB=2NCAB,则左=1或左=-，D.若/,B,C,。四点共圆，则上=」

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三、填空题

13.(2023•全国•高二专题练习)已知直线4：》-阳+1=0过定点/,直线4：〃a+了-加+3=0过定点3,4与

4相交于点尸，则|P4「+|尸球=.

14.(2023•全国•高二专题练习)已知直线/：点-y-2左+2=0被圆C：/+5+1了=16所截得的弦长为整

数，则满足条件的直线/有条.

15.(2023•新疆阿勒泰•统考三模)函数/(x)=/-2x3的图象在点(1J⑴)处的切线与坐标轴围成的三角形的

面积为.

16.(2022•河南•校联考模拟预测)已知〃x)是定义在R上的奇函数，其图象关于点(2,0)对称，当xe[0,2]时，

〃x)7]_(x_l)2,若方程/(x)-左(x-2)=0的所有根的和为6,则实数左的取值范围是.

四、解答题

17.(2003•北京・高考真题)如图，4，/为椭圆的两个顶点，耳，耳为椭圆的两个焦点.

⑴写出椭圆的方程及准线方程；

⑵过线段。/上异于。，/的任一点K作。/的垂线，交椭圆于尸，々两点，直线4P与交于点求证:

点〃在双曲线片=1上.

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