山东省潍坊市2022-2023学年高一年级上册期末考试数学 含解析

高一数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

A=y=,4一N]

1.已知集合IU、）B={4,3,2,1},则集合-B的关系是（）

A.BAB.A=6C.BeAD.AB

【答案】A

【解析】

【分析】计算得到A={0,1,2,3,4},据此得到集合的关系.

【详解】A={x|y=V?^,xeN}={0,l,2,3,4},3={4,3,2,1},故A=3错误;

集合3中元素都是集合A元素，故8UA正确;

A8是两个集合，不能用表示它们之间的关系，故BwA错误;

集合A中元素存在不属于集合B的元素，故AgB错误.

故选：A

2.函数/（x）=ln（2x-d）的定义域为（）

A.y,o）u（2,+8）B.（-8,0]32收）

C.（0,2）D.[0,2]

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数型函数的定义域运算求解.

【详解】令2%-/>0,解得0<x<2,

故函数f（x）=ln（2x-x2）的定义域为（0,2）.

故选：C.

3.命题“Vx>2,幺―4。0”的否定形式是（）

A.3x>2,X2-4^0B.Vx<2,x2-4=0

C.玉>2,x2—4=0D.3x<2,x2-4=0

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.

【详解】由全称命题的否定可知：原命题的否定为土>2,X2-4=0.

故选：C.

4.已知。=3°/，人=0.33，c=log（）23,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<h

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值0,1即可判断出结果.

31

【详解】logo23<log021=0<O.3<0.3°=1=3°<3°,:.c<b<a.

故选：B.

5.某市四区夜市地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图1、图2所示，为提升夜市消费品质，现用分层抽

样的方法抽取6%的摊位进行调查分析，则抽取的样本容量与A区被抽取的食品摊位数分别为（）

A.210,24B.210,27C.252,24D.252,27

【答案】D

【解析】

【分析】根据分层抽样原则，结合统计图表直接计算即可.

【详解】根据分层抽样原则知：抽取的样本容量为（1000+800+1000+1400）x6%=252；

A区抽取的食品摊位数为1000x6%x0.45=27.

故选：D.

6.小刚参与一种答题游戏，需要解答A,B,C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a,a,且

各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为则他三道题都答错的概率为（）

4

1111

A.-B.—C.-D.一

2345

【答案】c

【解析】

【分析】记小刚解答A,B,C三道题正确分别为事件£＞,E,F,并利用D,E,尸构造相应的事件，根据

概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.

【详解】记小刚解答A,B,C三道题正确分别为事件Q,E,F,且£＞,E,F相互独立，

且P（D）=P（E）=a,P（F）=；.

恰好能答对两道题为事件丽+瓦广，且DE户,DEF,方E/两两互斥，

所以P（DEF+DEF+DEF）=P（DEF）+P（DEF）+P（DEF）

=P（D）P（E）P（F）+P（D）P（E）P（F）+P（D）P（E）P（F）

=6ZX6Zx|l--|+—+（l-6Z）Xt/X-=—,

I2）V72V724

整理得（l-a）2=g,他三道题都答错为事件方丽，

故P伊丽）=P（》）P闾P㈤=（1—a）21£|=g（l—a）2=j

故选：C.

7.定义在R上的奇函数/（x）满足：对任意的玉,W€（°，+°°），％＜%2，有/（工2）＞/（石），且

"1）=0,则不等式〃x）＞0的解集是（）

A.（—1,1）B.（―l,0）＜J（l,+oo）

C.（ro,-l）D（0,l）D.（^o,-l）u（l,+oo）

【答案】B

【解析】

【分析】根据单调性定义和奇函数性质可确定/（力的单调性，结合/（-1）=-/（1）=0可得不等式的解

集.

【详解】对任意的X1，w€（0,+»）,X＜々，有/（w）＞/（xj,

\f（x）在（0,+。）上单调递增，又“X）定义域为R,1⑴=0,

\/（x）在（一8,0）上单调递增，且〃-1）=一〃1）=0,/（0）=0；

则当一1<%<0或X>1时，/(x)>0,

即不等式/(x)>o的解集为(一i,o)。(1，田)・

故选：B.

?丫”<0

8.已知函数=,若函数g(x)=4[4x)[2—(4f+3)〃x)+3f有七个不同的零

|lnx|,x>0

点，则实数1的取值范围是()

A•mB.陷C.旨+8)D.(0扑{1}

【答案】D

【解析】

3

【分析】先以/(x)为整体分析可得：/(x)=j和/(%)=，共有7个不同的根，再结合/(X)的图象分析

求解.

【详解】令g(x)=4]/•(初|2_(4f+3)〃x)+3r=0,解得〃x)=：或/(x)=f,

作出函数y=/(x)的图象，如图所示，

y=/(X)与y=j有4个交点，即方程“X)=彳有4个不相等的实根，

由题意可得：方程/(x)=1有3个不相等的实根，即>=/(可与丁=，有3个交点，

故实数r的取值范围是

【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法

(1)转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解.

(2)分离参数、转化为求函数的值域问题求解.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

44

A.〃x）=x+—的最小值为4B.〃x)=x+、无最小值

X

9

C./（X）=X（3—X）的最大值为1D./(x)=x(3-x)无最大值

【答案】BC

【解析】

【分析】结合基本不等式和二次函数性质依次判断各个选项即可.

【详解】对于AB,当x>0时，x+—>2.x--=4（当且仅当x=2时取等号）;

XX

.•.〃力=1+：的值域为（—>,7]34，”），无最小值，A错误，B正确;

对于CD,/(^)=%(3-^)=-x2+3x=-

3Q

，当x=5时，/（X）取得最大值，最大值为1,C正确，D错误.

故选：BC.

10.下列函数中，既是偶函数，又在（0,+°。）上单调递减的是（）

A.y=|x|B.y=-e1-4c.y=iogJXD.y=H

2

【答案】BC

【解析】

【分析】A选项不满足单调性；D不满足奇偶性，B、C选项均为偶函数且在（0,+o。）上单调递减正确.

【详解】y=|x|在（0,+。）上单调递增，A选项错误；

f（x）==-eW=f（x）,故）=一炭为偶函数，当无€（0,”）时、=七为单调递减函数，B

选项正确；

g（x）=logJX，g（—X）=log=g（X）,故y=log；W为偶函数，当XG（0,+oo）时y=log：为单调

递减函数，c选项正确；

_奇函数，D选项错误.

yv-x

故选：BC

ii.如图，已知正方体ABCZ)-A4G2顶点处有一质点Q,点。每次会随机地沿一条棱向相邻的某个

顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点

。的初始位置位于点4处，记点。移动〃次后仍在底面ABCD上的概率为4,则下列说法正确的是

()

21

CD.点。移动4次后恰好位于G点的概率为。

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意找出。在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及另一底面的概率即可逐步分析计算

确定各选项的正误.

【详解】依题意，每一个顶点由3个相邻的点，其中两个在同一底面.

2

所以当点。在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为：

在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为：

3

2

所以［=3,故A选项正确；

22115

对于B：E=-x—+—x—=一,故B选项正确；

233339

2|1|

对于C：^=-^+-(1-^)=-^,+--故C选项错误；

对于D：点。由点A移动到点C处至少需要3次，

任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能

到达点G，所以点。移动4次后恰好位于C,点的概率为0.

故D选项正确；

故选：ABD.

12.已知实数a,6满足2"+a=2，2Z?+log2/?=l,则()

A.d+2b-2B.0<4Z<—C.2"">—D.—<b<一

2284

【答案】ACD

【解析】

(]3、

【分析】构建/(x)=2'+x-2,根据单调性结合零点存在性定理可得a€弓笃，再利用指对数互化结

合不等式性质、函数单调性分析判断.

【详解】对B：；2"+a=2，则2"+a-2=0，

构建〃x)=2*+x_2,则“X)在R上单调递增，且/_^<0"停)=2：_:>0,

故/(x)在R上有且仅有一个零点aB错误；

对A：：2)+log2b=l,则2》+log22匕-2=0,

令f=log22),则2。=2'，即2'+「一2=0，

：.a=t=log,lb,即2b=2"，故a+20=2,A正确；

,,2-a(53、„

对D：a+2b-2<则匕=—~—G—,D正确；

2<84j

2-a3a-21

对C：*.*a—b—ci------.....>—>—1,且y=2"在R上单调递增，

224

r-h>2_,=-,C正确.

2

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法：

(1)直接求零点：令段)=0,则方程解的个数即为零点的个数.

(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在侬，切上是连续的曲线，且犬。)次6)<0,还必须结合函数

的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.

(3)数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形

结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有儿个不同的值，就有几个不同的零点.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

11

13.己知一元二次方程2/+3%—4=0的两根分别为七和巧，贝1」一+—=.

3

【答案】-##0.75

4

【解析】

【分析】利用韦达定理可直接求得结果.

3113

【详解】由韦达定理知：Xj+x=——，玉工2=-2,一+—=----^=—.

22%%X1X24

3

故答案为：一.

4

14.已知函数y=log“（x-2）+g（。＞0且。。1）的图象恒过定点M,则点M的坐标为

【答案】卜,；）

【解析】

【分析】函数存在参数，当log“（x-2）=0时所求出的横纵坐标即是定点坐标.

【详解】令噢“。-2）=0,解得x=3,此时＞=；,故定点坐标为加（3,；

故答案为：（3,1）

15.将一组正数/，*2，七，…，丸的平均数和方差分别记为了与S2,若=4500，S2=50,

1=1

则X=.

【答案】20

【解析】

【分析】列出方差公式，代入数据，即可求解.

110,

【详解】由题意得，52=正工（看一可一

1。/=1

1（10、

=—yx2-10x2=50,

代入数据得，^(4500-10X2)=50,

解得亍=20

故答案为：20

16.已知两条直线小丁=加+1和4：y=nr+2｛m>-\),直线《，4分别与函数y=2'的图象相交

于点A,B,点48在x轴上的投影分别为C,D,当机变化时，|C£)|的最小值为.

【答案】log2(2V3-2)

【解析】

【分析】分别求出直线4，4与函数y=2,的图象交点的横坐标，再根据对数运算与基本不等式求最值.

【详解】由y=初+1与函数丁=2'相交得2'=机+1，解得x=log2(m+l)，所以

C(log2(w+l),0),同理可得Z>(log2(>+2),0卜

2o

所以|C£)|=Mg2(/Z+2)-log2(，〃+l)|=1唱，

A/\tH~4-23c

令g(〃2)=-----="2+1+------2，

')777+1〃Z+1

因为”>一1,所以g(m)=m+1+------222G-2,当且仅当〃z=6—1时取最小值.

m+1

所以卬Ln=卜。g?(26-2)卜log2(26—2)

所以|CD|的最小值为晦(273-2).

故答案为：噫(26-2)

【点睛】利用基本不等式求最值时要注意成立的条件，一正二定三相等，遇到非正可通过提取负号转化

为正的；没有定值时可对式子变形得到积定或和定再用基本不等式；取不到等号时可借助于函数的单调

性求最值.

四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设全集0=1i,已知集合4=｛力-1+4<%<1+。｝,8=｛乂5^>()｝.

(1)若。=3,求ADB；

(2)若Ac3=0,求实数〃的取值范围.

【答案】(D{x|x<l或xZ2}；

(2)2<a<3.

【解析】

【分析】(1)由已知解出集合A,B,根据并集的运算即可得出答案；

(2)若AcB=0,根据集合间关系列出不等式，即可求出实数a的取值范围.

【小问1详解】

当a=3,A={x|2<x<4},

由^^>0得(x—4)(x—1)>0,所以8={x|x<l或x>4},

r.AD8={x|x<1或x22}；

【小问2详解】

已知A={x|—l+a4x<l+a},

由(1)知5={x|x<1或x>4},

因为Ac3=0,且8H0,

，—1+aNl且l+a<4,

解得2WaW3,

所以实数”的取值范围为2Wa43.

18.已知函数f(x)=k-2ar+a.

(1)若/(Hz。的解集为R，求实数。的取值范围；

(2)当a/-3时，解关于x的不等式/(x)>4a-(a+3)x.

【答案】(1)[0,1]

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)由一元二次不等式在R上恒成立可得△<(),由此可解得结果；

(2)将所求不等式化为(x+3)(x—a)>0,分别在。>一3和。<一3的情况下解不等式即可.

【小问1详解】

由题意知：d—2ax+a20在R上恒成立，.•.△=4/—4a«0，解得：OWaWl,

即实数a的取值范围为［0』］.

【小问2详解】

由/(X)>4cz—(a+3)x得：x2+(3—a)x—3a=(x+3)(x—a)>0；

当a>-3时，(x+3)(x—a)>0的解为x<—3或x>a；

当a<-3时，(x+3)(x-a)>0的解为x<a或x>—3；

综上所述：当。>—3时，不等式的解集为(T»,—3)(a,”)；当。<一3时，不等式的解集为

(-M)(-3,+00).

19.受疫情影响2022年下半年多地又陆续开启“线上教学模式”.某机构经过调查发现学生上课注意

力指数/(7)与听课时间f(单位：min)之间满足如下关系：

2

/、［-mt+24mt+n,0</<16..r.

/(0=,/其中加>3。>。且.已知y=/(f)在区间0,16)上的最

log“(-8)+89,16W45

大值为88,最小值为70,且〉=/(。的图象过点(16,86).

(1)试求>的函数关系式；

(2)若注意力指数大于等于85时听课效果最佳，则教师在什么时间段内安排核心内容，能使学生听课

效果最佳？请说明理由.

f12

――/2+3?+70,0</<16

［答案］(1)/«)=(8,、

log】(z-8)+89,16<r<45

、2

(2)教师在te［12-2遥,24］内安排核心内容，能使学生听课效果最佳

【解析】

【分析】(1)根据二次函数最值和函数所过点可构造不等式求得〃的值，由此可得/(x)；

(2)分别在0Wf<16和16WAW45的情况下，由285可解不等式求得结果.

【小问1详解】

当te［0/6)时，加(一一24f)+〃=-m(/—12)~+144/〃+〃，

1

/⑺=412)=144〃?+〃=88777二一

解得：\8；

=70

/(Omi„=/(°)«=〃=70

又〃16)=log“8+89=86,，log“8=-3,解得：a=g,

f1,

一一r2+3r+70,0<r<16

・・•/(，)=8

log,(/-8)+89,16</<45

、2

【小问2详解】

当0W6时，令一12+3/+70285,解得：12-2V6<r<16；

o

当16WY45时，^log,(r-8)+89>85(解得：16<z<24;

2

・••教师在，w[12-26,24]内安排核心内容，能使学生听课效果最佳.

20.已知函数/(x)=log33k)g3(3x),函数g(x)=4'-2向+5.

(1)求函数/(力的最小值；

(2)若存在实数泊[-1,2],使不等式〃x)—g(加)20成立，求实数x的取值范围.

9

【答案】(1)—

4

(2)0<x/或xN27

9

【解析】

【分析】(1)将/(X)化为关于1(唱3%的二次函数后求最小值；

(2)由题意知/O)2g(机)min，求得后再解关于1*3%的二次不等式即可.

【小问1详解】

/(x)=log3：-log3(3x)=(log3x-2)(log3x+1)

9

2

=(10g3x)-log3%-2

।Q

.•.显然当10g3X=即》=百时,/(x)=—

24

9

/.fM的最小值为--.

【小问2详解】

因为存在实数加i[1,2],使不等式/(力―g(」)20成立,

所以/(x)>g(m)min,又g(x)=4,—2e+5=(2'—+4,

所以8(加)=(2，"—1丫+4,

又miF1,2],显然当m=0时，g(m)“而=(2°—1)2+4=4,

2

所以有/(幻24,BP(log3x)-log3x-2>4,可得(log3X+2)(Iog3X-3)N0,

所以log3xW-2或log3%23,解得0<xW：或xN27.

故实数x的取值范围为或xN27.

9

21.某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1000名学生中随机抽取了50名学生

的成绩进行分析.经统计，这50名学生的成绩全部介于55分和95分之间，将数据按照如下方式分成八

组：第一组[55,60),第二组[60,65),…，第八组[90,95],下图是按上述分组方法得到的频率分布直

方图的一部分.已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3人.

(1)求第六组的频率；若比赛成绩由高到低的前15%为优秀等级，试估计该校参赛的高一年级1000名

学生的成绩中优秀等级的最低分数(精确到0.1)；

(2)若从样本中成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x,y,

从下面两个条件中选一个，求事件E的概率P(E).

①事件E：-y|e[0,5]；

②事件E：|X-，G(5,15].

注：如果①②都做，只按第①个计分.

【答案】(1)0.08；81.9

78

(2)选①：一；选②：一

【解析】

【分析】(1)根据频率之和为1计算第六组的频率；先判断优秀等级的最低分数所在区间，再根据不低于

此分数所占的频率为0.12求得此分数.

(2)分别求出第六组和第八组的人数，列举出随机抽取两名学生的所有情况，再求出事件E所包含事件

的个数的概率，根据古典概型求解.

【小问1详解】

3

第七组的频率为二•=0.06,

50

所以第六组的频率为1—0.06—5(0.008x2+0.016+0.04x2+0.06)=0.08,

第八组的频率为0.04,

第七、八两组频率之和为0.10,第六、七、八组的频率之和为0.18,

设优秀等级的最低分数为机，则80＜帆＜85,

由0.04+0.06+x0.08=0.15,解得加*81.9,

故估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数81.9.

【小问2详解】

第六组［80,85)的人数为4人，设为a,bed,第八组［90,95］的人数为2人，设为A6,

随机抽取两名学生，则有ab,ac,ad,be,bd,cd,aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB,AB共15种情况，

选①：因事件£：及一计€［0,5］发生当且仅当随机抽取的两名学生在同一组，

所以事件£包含的基本事件为力A8共7种情况，

7

故P(E)=行.

选②：因事件E：|x-y|e(5,15］发生当且仅当随机抽取的两名学生不在同一组，

所以事件E包含的基本事件为aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB共8种情况，

Q

故P(E)=—.

15

22.已知函数的定义域为。，对于给定的正整数上若存在口,可£。，使得函数“X)满足：函数

/(x)在目上是单调函数且“X)的最小值为此最大值为妨，则称函数“X)是“倍缩函数”,区间

［a,b］是函数的缥倍值区间

（1）判断函数/（X）=V是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果）

（2）证明：函数g（x）=lnx+3存在“2倍值区间”；

Qy「］］

（3）设函数力（力=歹3，xe。，］，若函数〃（x）存在7倍值区间”，求&的值.

【答案】（1）是，理由见详解

（2）证明见详解（3）%e{4,5,6,7}

【解析】

【分析】（1）取43=1,结合题意分析说明;

（2）根据题意分析可得lnx+3=2x至少有两个不相等的实根，构建函数结合零点存在性定理分析证明;

-1-Qy-1-

（3）先根据单调性的定义证明/z（x）在上单调递增，根据题意分析可得内至少

有两个不相等的实根，根据函数零点分析运算即可得结果.

【小问1详解】

取％=1,。=-12=1,

•；/（X）=d在［-1,1］上单调递增，

.•./（尤）=d在