重庆市沙坪坝区南开中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷

重庆市沙坪坝区南开中学2023-2024学年九年级上学期开学数学

试卷（解析版）

一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代

号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应

的

1.（4分）下列式子中是分式的是（）

A.AB.AC.AD.2X-3

x22K

2.（4分）2023年第31届世界大学生运动会在成都举行，如图所示历届大运会会徽是轴对

称图形的是（）

3.（4分）已知关于x的一元二次方程/+4x+3=0的两根分别为a、b,则丄二的值为（）

ab

A.AB.2c.-2D.-A

3333

4.（4分）下列说法错误的是（）

A.三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半

B.顺次连接对角线相等的任意四边形各边中点所得的四边形是矩形

C.有一个锐角相等的两个直角三角形相似

D.对角线互相垂直的矩形是正方形

5.（4分）若必>0,则一次函数y=ar+2与反比例函数>=型在同一平面直角坐标系中的

6.（4分）如图，△4BC与△DEF位似，点。为位似中心，贝8C：EF=（）

A.1：2B.2：1C.1：4D.4：1

7.（4分）如图，矩形A8CD对角线4C、BO相交于点O,DE平分乙4£>C交A8于点E,

若DF=2®,CD=6()

c

A-2B.1c4D.2

8.（4分）学校“自然之美”研究小组在野外考察时了发现一种植物的生长规律，即植物的

1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，根据题意，下列方程正确的是

（）

A.1+（1+x）2=73B.1+/=73

C.l+x+/=73D.x+（l+x）2=73

9.（4分）如图，点E是正方形488对角线BO上一点，。为对角线8。的中点，连接CE、

AE.FE、AF.OF,取AF中点G,当/ECF=NEFC时，若EG=JIU，则尸的面

积为（）

A.1B.3C.V3D.叵

22

10.（4分）在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的.例

如对单项式x进行如下操作：规定m=bi=x,且满足以下规律：

。2=2。1,。3=2〃2,44=2。3,…，,,,

历=加+1,b3=b2+lf/74=加+1,…，bn=bn-l+l9…

29

C[=―--,C2=aib2,C3=---,C4=〃464,…

blb3b3b5

其中”为正整数，以此类推:

①〃8=128X；②61+62+63+64+…+bl5=15x+105：③当x=l时,cn=—___—；④当x=l

nn+2

时，C1+C2+C3+C4+…+C20=巡•卄空"X41L

639

以上说法正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡

11.（4分）计算：A/16-（-3）2+（n-5）°=.

12.（4分）已知-_=3,则电的值为.

a+b5a

13.（4分）现有四张完全相同的刮刮卡，涂层下面的文字分别是“我”、“爱”、“学”、“习”.小

光从中随机抽取两张并刮开，则这两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的概率

是.

14.（4分）若关于x的一元二次方程/+2x-k=0有实数根，则k的取值范围是.

15.（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A、8为反比例函数y=K（ZWO）,且点B横

X

坐标为点A横坐标的两倍，分别过点A作X轴平行线，两直线交于点C,若SA°AB=6,

则SMBC=.

16.（4分）已知关于x的分式方程些2+1-二L有整数解，且关于x的不等式组

X-11-X

（1

•2，则符合条件的所有整数“的和为_______.

2x-a＜号

17.（4分）如图，矩形ABCC的宽为8,长为12,CQ=5,点P在线段BC上，若点C恰

落在边力。上的点R处，点。在线段AB上，点A恰落在线段PR上的点”处，则点”

到线段DC的距离为.

18.（4分）若对于一个四位正整数，其千位数字的2倍和百位数字之和为14,十位数字的

2倍和个位数字的3倍之和为15,得到新四位数A',规定?（A）=场匚（6233）的

99

值为.若5=2640+10006/+100&+1Oc+d（0WaW6,3＜匕＜9,0＜cW5,OWd

W9,其中a、b、c、d均为整数），则当s为''凸月数"，且s最大时F（s）.

三、计算题：（本大题共2个小题，19题8分，20题10分，共18分）解答时给出必要的

演

19.（8分）化简：

（1）卢丄）.辽

baa

20.（10分）解方程：

（1）（2x-1）2=》（2X+6）-7；

（2）1—=1.

x-1*2-1

四、解答题：（本大题共6个大题，共60分）解答时给出必要的演算过程.

21.（10分）如图，在团ABC。中，连接BQ.

（1）用直尺和圆规过点B作BC的垂线，交线段C。的延长线于点E,连接AE（用基本

作图，要保留作图痕迹，不写作法，不下结论）.

（2）若BO=CD,求证：四边形4BDE为菱形.

证明：'：BD=CD,

•.,在RtZ\CBE中，ZCBE=90°,

ZCEB+ZC=ZEBD+ZCBD=90°,

：.BD=ED,

"：BD=CD,

VSABCD,

J.AB^CD,

J.ABA.ED,

.••四边形4BDE为,

"：^\ABDE,BD=ED,

四边形A8OE为菱形（）.

22.（10分）第19届亚洲运动会将于2023年9月23日至10月08日在浙江省多地举行，

此次杭州亚运会共设40个大项，现场观赛门票分项目开售，则可以只购买田径赛事门

票.近期官方平台有意愿为学校免费提供四个比赛项目的门票若干张，包括田径、游泳、

篮球、拳击，学校调查了“个同学（要求每个同学只能选择一个项目观看），并将调查结

果绘制成如图所示两幅不完整的统计图.

学生对四项赛事门票选择情况的条形统计图学生对四项赛事门票选择情况的扇形统计图

请根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）a=，b=；

（2）请补全条形统计图；

（3）若全校共有3500名学生，请你估计选择“篮球”项目的学生人数.

23.（10分）如图，ZVIBC是边长为4的等边三角形，动点E,E沿折线A-B-C方向运动,

产沿折线AfC—B方向运动，点E,尸的距离为y.

(1)请直接写出y关于/的函数关系式并注明自变量t的取值范围；

(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质;

(3)结合函数图象，直接写出点E,k相距3个单位长度时f的值.

AFC0]123456789t

24.(10分)今年七八月份世界大学生运动会在成都顺利召开，中国向世界展现了热情好客

的一面，也获得了许多外国友人的喜爱与赞赏，熊猫周边供不应求：现成都一玩偶店销

售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款熊猫玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件100元，“打坐

熊猫”售价是“抱竹熊猫”售价的4倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”

3

多卖3件

(1)求两款熊猫玩偶的售价分别是多少元？

(2)为了更好的宣传国宝熊猫，第二天店家决定降价出售，但是市场规定降价之后的售

价不能低于成本价的51诫，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天的基础上增加了包”％,

444

结果“打坐熊猫”的销量在第一天的基础上增加了至M％,求他的值.

6

25.(10分)如图1,在平面直角坐标系中，沿直线CD翻折得△BCO(0,-2),

D(0,3),点8在x轴负半轴上，A、C、B三点在同一条直线上

(1)求直线CD的解析式；

(2)如图I,在线段CE上有一动点尸，连接。凡K为y轴上一动点，连接PF、PK^DOF

=2丄时，求PF+PK的最小值；

8

(3)如图2,将△OOE沿直线0c平移得到△OOE,若在平移过程中△BD'E是以3E

为一腰的等腰三角形

26.(10分)如图，在平行四边形A8CQ中，AE丄BC于点E.

(1)如图1,若A8=A£>,EC=\,求4。的长；

(2)如图2,若AD=AE,连接。E,在4B上截取AG=AF,连接DG,ND4E的角平

分线A4与GO相交于点”，求证：GH=DH；

(3)在(2)的条件下，若AN：AO=2：5近,请直接写出点C到直线DE的距离.

图1图2备用图

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代

号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应

的

1.（4分）下列式子中是分式的是（）

A.AB.Ac.AD.2X-3

x22K

【分析】根据分式的定义：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那

么式子A叫做分式，分别判断即可.

B

【解答】解：丄是分式，

X

故A符合题意，

三，旦，丝总都不是分式，

22冗

故8、C、。选项不符合题意，

故选：A.

【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键.

2.（4分）2023年第31届世界大学生运动会在成都举行，如图所示历届大运会会徽是轴对

称图形的是（）

C.

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形

叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【解答】解：A,B,。选项中的图形都不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重

合；

C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；

故选：C.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合.

3.（4分）已知关于x的一元二次方程/+4尤+3=0的两根分别为“、b,则丄△的值为（）

ab

A.AB.2c.-2D.-A

3333

【分析】先根与系数的关系得a+b=-4,ab=3,再利用通分得到丄+丄=生也，然后利

abab

用整体代入的方法计算.

【解答】解：根据根与系数的关系得“+匕=-4,浦=3,

所以9+丄=①也=-纟.

abab4

故选：D.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若M，X2是一元二次方程o?+bx+c=oQWO）的

两根时，Xl+X2=-—,X\X2=—.

aa

4.（4分）下列说法错误的是（）

A.三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半

B.顺次连接对角线相等的任意四边形各边中点所得的四边形是矩形

C.有一个锐角相等的两个直角三角形相似

D.对角线互相垂直的矩形是正方形

【分析】由三角形中位线定理，相似三角形的判定，矩形、菱形、正方形的判定，即可

判断.

【解答】解：A、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，故A不符合题意;

8、顺次连接对角线相等的任意四边形各边中点所得的四边形是菱形；

C、由两角对应相等的两三角形相似，故C不符合题意；

。、对角线互相垂直的矩形是正方形，故£>不符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定，矩形、菱形、正方形的判定,

掌握以上知识点是解题的关键.

5.（4分）若ab>0,则一次函数）=以+2与反比例函数），=2｝在同一平面直角坐标系中的

【分析】根据必>0及一次函数与反比例函数图象的特点，可以从a>0,/>>0和a<0,

b<0两方面分类讨论得出答案.

【解答】解：•••">（）,

二分两种情况：

（1）当。>0,6>8时、二、三象限型图象在第一，无选项符合；

X

（2）当“V0,人<4时、二、四象限型图象在第二，故力选项正确；

x

故选：D.

【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的

性质才能灵活解题.

6.(4分)如图，ZVIBC与△£>£■尸位似，点0为位似中心，则BC：EF=()

A.1：2B.2：1C.1：4D.4：1

【分析】根据位似变换的概念得到再根据相似三角形的面积比等于相

似比的平方解答即可.

【解答】解：:△ABC与△lDEF位似，

.♦.△ABCs△£)£■厂,

'：/\DEF的面积是aABC面积的4倍，

...△ABC与△£>£；下的相似比为1：5,

：.BC：EF=1：2,

故选：A.

【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相

似比的平方是解题的关键.

7.(4分)如图，矩形A8CO对角线AC、30相交于点。，OE平分/AOC交AB于点E,

若DF=2®CD=6()

A.AB.1C.3D.2

22

【分析】由角平分线的定义可得/4OE=45°,则△4DE为等腰直角三角形，AD=AE,

根据等腰直角三角形三线合一的性质得/4尸£>=90°,进而易求得AO=&DF

=4=AE,于是BE=2,由三角形中位线定理易知OF为△BOE的中位线，则0F=48E

2

=1.

【解答】解：；四边形ABC。为矩形，C0=6,

：.AB=CD=6,ZADC=ZBAD=<)0°,

'：DE^^ZADC,

：.ZADE=ZCDE=2.ZADC=45°,

2

...△ADE为等腰直角三角形，AO=AE,

'：AF±DE,

：.DF=EF,NA尸。=90°,

...△AOP为等腰直角三角形，

:.AD=®DF=6,

：.AE=AD=4,

：.BE=AB-AE=6-5=2,

•：DF=EF,OD=OB、O分别为。E,

O尸为△BOE的中位线，

OF=1.BE^1-xR.

523

故选：B.

【点评】本题主要考查矩形的性质、角平分线的定义、等腰直角三角形的性质、三角形

中位线的判定与性质，根据矩形的性质得到00=02,根据等腰直角三角形的三线合一

性质得到DF=EF,进而得出0尸为ABDE的中位线是解题关键.

8.(4分)学校“自然之美”研究小组在野外考察时了发现一种植物的生长规律，即植物的

1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，根据题意，下列方程正确的是

()

A.1+(1+x)2=73B.1+/=73

C.l+x+/=73D.x+(1+x)2=73

【分析】根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是73个，即可得出关于尤

的一元二次方程.

【解答】解：依题意得：l+x+/=73,

故选：C.

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，写出

相应的方程.

9.（4分）如图，点E是正方形48。对角线B。上一点，。为对角线BD的中点，连接CE、

AE,FE、AF.OF,取A尸中点G,当NECr=NEFC时，若EG=JIU，则尸的面

积为（）

DC

AB

A.1B.3C.V3D.叵

22

【分析】过点E作EM1BC于M,ENLCD于M过尸作FHLBD于H,先证四边形

EMCN为矩形，再证厶后尸。为等腰三角形，设MC=x,AG=y,则MF=MC=x,CF=

lx,BM=x+2,AB=BC=2x+2,然后证△ADE^\/\CDE全等得AE=EC=EF,进而根

据等腰三角形的性质得AG=GF=y,则AF=2y,在RtABF中由勾股定理得丁=/+级+2

①，证△8EM为等腰直角三角形得EM=3M=2+x,在RtZ\EMF和RtZXEGF中，由勾

股定理得EF2=EM2+M/2=EG2+G产，据此得）2=2?+我-6②，由①②解得x=2,进而

得A8=6,EM=CN=4,EN=MC=2,最后再由勾股定理计算得出80=気历，为伤，

HF=®,则0E=&,据此可求出△£■（）尸的面积.

【解答】解：过点E作EM丄BC于M,EN丄CD于N,如图：

DNC

AB

则NEA/C=NENC=90°,

:四边形ABC。为正方形，8。为对角线,

：.ZBCD=90°,NADB=NCDB=NABD=ZCBD=45°,

，NEMC=NENC=NBCD=90°,

四边形EMCN为矩形，

：.EM=CN,EN=MC,

'：NECF=NEFC,

...△EFC为等腰三角形，即：EC=EF,

又EM丄BC,

：.MC=MF,

设MC=x,AG=y,

：.MF=MC=x,

：.CF=MC+MF=2x,BM=BF+MF=x+2,

在△ADE和△C£>E中，

'AD=CD

<ZADE=ZCDE=45°;

DE=DE

：./\ADE^/\CDE(SAS),

：.AE=EC=EF,

即△£?!尸为等腰三角形，

又EG1.AF,

：.AG=GF=y,AF=AG+GF=Sy,

在KrABF中，AF=2y,BF=2,

由勾股定理得：AF4=AB2+BF2,

即：(4y)2=(2x+6)2+28,

整理得：y2=，+3x+2①，

VZCBD=45°,EM丄BC,

...△BEM为等腰直角三角形，

：.EM=BM=2+x,

在Rt^EMF中，EM=7+x,

由勾股定理得：EF2=EM2+MF3=(2+X)2+X4=2X2+8X+4,

在RtZXEGF中，EG=V10>

由勾股定理得：EF2=EG3+GF2=10+/,

10+)，5=2?+6X+4,

整理得：/=8/+4工-7②，

由①②得：2?+2%-6=/+5x+2,

整理得：?+7x-8=0,

解得：x=3,或x=-4（不合题意,

：.AB=2x+2=6,EM=CN=2+x=5,

在RtZ\AB£>中，AB=AD=6,

由勾股定理得：BD=VAB2+AD4=6V2,

•.•点。为8。的中点，

：.0D=^-BD=3応，

2

VZCDB=45°,EN丄CD,

...△QEN为等腰直角三角形，

：.DN=EN=2,

由勾股定理得：DE=7DN2+EN3=2>/2,

：.0E=0D-DE=4A/2-汨=近'

；NCB£>=45°,FHLBD,

...△8”/为等腰直角三角形，即：HF=BH,

由勾股定理得：HF2+BH^^BF2,

；.2加=22,

；.HF=M，

SA.EOI-——OE*HF——X亚xV5=1-

22vv

故选:A.

【点评】此题主要考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，等腰三角形的判定和性质,

全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解正方形的性质和矩形判定和性质，熟练掌

握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程进行计算是解答此题的关键.

10.（4分）在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的.例

如对单项式x进行如下操作：规定m="=x,且满足以下规律:

02=2611,43=242,44=243,…，an=2an-\,…

b2=b\+\,63=62+1,64=63+1，…，bn—bn-1+1,,

pp

Cl=---,C2=a2b2,C3=---,C4="4b4,…

blb3b3b5

其中”为正整数，以此类推：

①48=128X；@bi+b2+b3+b4+--+bi5-15x+105：③当x=l时，cn=—___L_；④当x=l

nn+2

时，Cl+c2+c3+C4+"*+c20=-^-+^-X4”.

639

以上说法正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据题中的操作步骤，可知gM为正整数）是x的倍，历是x加上i-1,

再根据Ci（i为正整数）与）和历的关系找出规律，即可解决问题.

【解答】解：由题知，

bx+i8

4aj=乙2好1A<=-1为正整数），

所以&8=2&%=128乂-

故①正确.

b1+〃7+历+〃4+…+〃15

=x+x+3+x+2+…+x+14

=15X+14X（1+14）

6

=15JC+105.

故②正确.

因为_2-1------1--,

c「x(x+6)xx+4

2,

C2=2X(X+3)=2X+2X

二2二1_1

。3=(x+8)(x+4)=x+6-x+4

9

;

C5=8X+24x

所以当〃为奇数，且x=5时，c丄」

nnn+5

当〃为偶数，且x=l时，《二二■,?.

cn2

故③错误.

由上面的结论可知,

C1+C2+C5+C4+•••+C20

=…次义+ix62+2X64+-+10X220

ooo丄gn丄

=6—

则2%=1X22+2X28+…+9X22°+10X322,

故3s=10X222-2X22-34-28-------220,

IPX222222_23

一59~.

所以C1+C8+C3+C4+…+C20

察与X4”—x411

2186

=鲁唔乂4"

639

故④正确.

故选：C.

【点评】本题考查实数的计算规律，能根据所给的等式找到4和Ci的变化规律是解

题的关键.

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡

11.（4分）计算：A/16_（-3）2+（TT-5）0=-4.

【分析】利用算术平方根的意义，有理数的乘方法则和零指数幕的意义化简运算即可.

【解答】解：原式=4-9+8

=-4.

故答案为：-4.

【点评】本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，有理数的乘方法则和零指数

幕的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键.

12.（4分）已知一_=3,则电的值为_2_.

a+b5a3

【分析】两边都乘以5（。+人）得出5〃=3a+3/7,求出2“=3b,再根据比例的性质得出即

可.

【解答】解：亠=3,

a+b5

两边都乘以5（。+力）得：5a=3a+7b,

2a=3b,

—b-—4,

a3

故答案为：1.

7

【点评】本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质的内容是解此题的关键，如果"=

cd,那么3=&,反之亦然.

cb

13.（4分）现有四张完全相同的刮刮卡，涂层下面的文字分别是“我”、“爱”、"学"、"习’’.小

光从中随机抽取两张并刮开，则这两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的概率是

2

存一

【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解

即可.

【解答】解：列表如下：

我爱学习

我（爱，我）（学，我）（习，我）

爱（我，爱）（学,爱）（习，爱）

学（我，学）（爱，学）（习，学）

习（我，习）（爱，习）（学，习）

由表知，共有12种等可能结果，

所以这两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的概率为2=丄，

123

故答案为：.1.

6

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式，画出树状图是解题的

关键；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

14.（4分）若关于x的一元二次方程f+2x7=0有实数根，则k的取值范围是4-1.

【分析】根据方程有实数根得出△》（），据此列出不等式求解即可求出％的取值范围.

【解答】解：•••关于尤的一元二次方程/+2x-k=5有实数根，

AA=22-7X1X（-k）20,

解得k>-7,

故答案为：女》-1.

【点评】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）

A>00方程有两个不相等的实数根；（2）A=00方程有两个相等的实数根；（3）△<

0o方程没有实数根是解决问题的关键.

15.（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B为反比例函数y=K（20）,且点B横

X

坐标为点A横坐标的两倍，分别过点A作X轴平行线，两直线交于点C,若

贝！JSAABC=2.

【分析】过点A,3作AE,BO丄无轴于ED,然后根据点5横坐标为点A横坐标的两

倍，且点A、3都在曲线上，设出A,B坐标，由图形的面积公式求出攵的值，然后由反

比例函数的性质求解即可.

【解答】解：过点A,3作AE,D,如图：

・,•设A(-加，-区)，则8(-2m,-卫k>5),

m2m

VSMBO=S梯形人BOE+SAAEO-SABDO=6,

...JL(X+JL)Xm+lX-AX5mX

7m2m4m22m

.•.四=6,

7

*,•2=8,

.".S^ABC=^-A.C,CB=.^K-—j-=2.

282m7

故答案为：2.

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的性质，面积公式等，关

键是对反比例函数性质的掌握.

16.（4分）已知关于x的分式方程"2+1=二L有整数解，且关于x的不等式组

X-l1-X

（,1

3x42（x方）

<:,则符合条件的所有整数a的和为1.

2x-a<专

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有整数解，确定出“的值，再根

据不等式组的解集确定出满足题意〃的值，求出之和即可.

【解答】解：去分母得：ax-2+x-1=6,

解得：x=丄，

a+1

・・,分式方程有整数解，

丄〃+5=±1或±2或±4,

解得：〃=0或-2或2或-3或-5,

・・•不等式组的解集为xW-1,

.-.3a-7>-1,

5

解得：«>-A,

3

则满足题意的整数。为0或6,之和为1.

故答案为：1.

【点评】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，

熟练掌握各自的解法是解本题的关键.

17.（4分）如图，矩形ABC。的宽为8,长为12,CQ=5,点尸在线段BC上，若点C恰

落在边AQ上的点/?处，点0在线段上，点A恰落在线段PR上的点H处，则点H

到线段DC的距离为坐.

一5一

【分析】过点”作E尸〃CD,交AO于点E,交BC于点、F,则四边形CDEF为矩形，由

折叠得性质可知CQ=RQ=5,/C=/PRQ=90°,AR=M?,利用勾股定理求得。R=4,

进而求得AR=8=HR,易证AROQsAHER,根据相似三角形的性质可求得ER=2纟，

5

DE=DR+ER=蛙,以此即可得到答案.

5

•..矩形ABCD的宽为8,长为12,

.*.AB=C£>=8,AD=BC=12,AD//BC,

"JEF//CD,

；.NDEF=90°=/D=NC,

四边形CDE尸为矩形，

•.•将△PQC沿PQ翻折，点C恰落在边AD上的点R处，

：.CQ=RQ=4,NC=NPRQ=90°,

：.DQ=CD-CQ=S-5=1,

在RL^RDQ中，o/?=VRQ2-DQ2=V82-371

：.AR=AD-DR=12-

・・,将△AOR沿OR翻折，点A恰落在线段PR上的点”处,

：.AR=HR=5,

•：/DRQ+/ERH=90°,

NDRQ+NDQR=90°,

:・/DQR=/ERH,

*：/RDQ=/HER,

.,.△RDQsdHER,

.•旭国，即旦旦

ERHRER4

,:ER=理,

5

DE=DR+ER=4+2^=^,

85

点H到线段DC的距离为丝.

5

故答案为：丝.

8

【点评】本题主要考查矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定

与性质，解题关键是正确作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，利用相似三角形的性质解

决问题.

18.(4分)若对于一个四位正整数，其千位数字的2倍和百位数字之和为14,十位数字的

2倍和个位数字的3倍之和为15,得到新四位数4',规定F(A)=殳3二(6233)的

99

值为29•若s=2640+1000a+100Z?+10c+d(0WaW6,3〈反9,0WcW5,0WdW9,

其中心b、c、d均为整数)，则当s为“凸月数”，且s最大时F(s)9.

【分析】(1)根据新定义进行解答；

(2)分两种情况：当0W匕<4时，当4W6W7时，根据新定义分别列出方程进行解答求

得s,并求得s最大时，F(s)的值.

【解答】解：(1)V6X2+5=14,3X2+8X3=15,

...6233是“凸月数

：.F(6233)=6233-3362=29.

99

故答案为：29.

(2)当0WbV3时,

,."5=2640+1000«+100/?+1Oc+d为“十四五数”，

：.2(«+2)+(%+5)=14,2(c+4)+34=15.

即2“+6=4,7c+3d=7.

•.,4〈“W6,0W6<5,0WdW9、b、c、d均为整数，

.•・。=5，b=2(或。=2；c=8.

.*.5=3861或4661.

当4W6W7时，

V5=2640+1000。+100Z>+1Oc+d为''十四五数”，

：.2(«+3)+(*-4)=14,4(c+4)+34=15.

即44+6=12,2c，+3-=2,

；0WaW6,8W6W7,0WdW3、b、c、d均为整数,

.'.a—3,b=6(或a=7；c—2.

/.5=6261或7061.

故满足条件s的值为3861或4661或6261或7061.

当s=7061时，F(s)=7061-6170.

99

即当s最大时尸(s)的值为9.

故答案为：7.

【点评】本题主要考查了新定义，二元一次方程的整数解的求解，理解新定义是解本题

的关键.

三、计算题：（本大题共2个小题，19题8分，2（）题10分，共18分）解答时给出必要的

演

19.(8分)化简:

【分析】（1）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法,

最后根据分式的乘法法则进行计算即可；

（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根

据分式的乘法法则进行计算即可.

【解答】解：（1）（包工）4--

baa

2,2

=a-b.a

aba-b

=（a+b）（a-b）•a

aba-b

—a+b.

b

x-1

=5(x-2)二3-(x+1)(x-1)

x-lx-8

=2(x-2)_：_4-x2

x-6x-2

—2(x~2),x-l

x-5-(x+2)(x-7)

=.2

x+2

【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的

关键，注意运算顺序.

20.(10分)解方程：

(1)(2x7)2=X(2x+6)-7；

(2)史工一=1.

x-l*2-1

【分析】(1)先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x-4=0或x-1=0,

然后解一次方程即可；

(2)先把方程化为(x+1)2-4=/-I,解整式方程，然后进行检验确定原方程的解.

【解答】解：(1)(2x-1)2=x(2x+6)-5,

方程化为一般式为7-5x+6=0,

(x-4)(x-7)=0,

x-4=4或x-1=0,

所以X8=4,JC2=6;

(2)去分母得，(x+1)2_8=/-

解得x=5,

检验：当x=l时，(x+1)(x-2)=0,

所以原方程无解.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了解分

式方程.

四、解答题：(本大题共6个大题，共60分)解答时给出必要的演算过程.

21.(10分)如图，在团ABC。中，连接

(1)用直尺和圆规过点B作BC的垂线，交线段CD的延长线于点E,连接AE(用基本

作图，要保留作图痕迹，不写作法，不下结论).

(2)若BD=CD,求证：四边形A8QE为菱形.

证明：•:BD=CD,

：.ZCBD=ZC,

•・•在RtZ\CBE中，NCBE=90°,

：・/CEB+/C=NEBD+NCBD=90°,

:./EBD=NCEB,

:・BD=ED,

•:BD=CD,

:.CD=ED,

⑦ABCD,

J.AB^CD,

：.ABVED,

・・・四边形A8OE为平行四边形，

V0ABDE,BD=ED,

・・・四边形AME为菱形（邻边相等的平行四边形为菱形）.

【分析】(1)利用基本作图，过5点作3C的垂线即可；

(2)先证明得到所以8=£＞应再根据平行四边形的性质得

至ljA8=CD,AB//CD,所以A8=E。，则可判断四边形A8DE为平行四边形，然后利用

BD=ED可判断四边形ABDE为菱形.

【解答】(1)解：如图，BE；

:・NCBD=/C,

•.,在RtZ\CBE中，NCBE=90°，

:.NCEB+NC=NEBD+NCBD=90°,

:.NEBD=/CEB,

：.BD=ED,

"：BD=CD,

：.CD=DE,

,：SABCD,

：.AB=CD,AB//CD,

：.AB=ED,

，四边形ABDE为平行四边形，

,/^ABDE,BD=ED,

...四边形A8CE为菱形（邻边相等的平行四边形为菱形）.

故答案为：NCBD=NC,NEBD=NCEB,平行四边形.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考

查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质和菱形的判定.

22.（10分）第19届亚洲运动会将于2023年9月23日至10月08日在浙江省多地举行，

此次杭州亚运会共设40个大项，现场观赛门票分项目开售，则可以只购买田径赛事门

票.近期官方平台有意愿为学校免费提供四个比赛项目的门票若干张，包括田径、游泳、

篮球、拳击，学校调查了。个同学（要求每个同学只能选择一个项目观看），并将调查结

果绘制成如图所示两幅不完整的统计图.

学生对四项赛事门票选择情况的条形统计图学生对四项赛事门票选择情况的扇形统计图

请根据图中提供的信息，回答下列问题:

（1）a=160,b=20；

（2）请补全条形统计图；

（3）若全校共有3500名学生，请你估计选择“篮球”项目的学生人数.

【分析】（1）用拳击人数及其所占百分比可得总人数公用总人数-其它各类人数得出游

泳人数，再+总人数可得b；

（2）根据（1）中游泳人数从而补全条形图；

（3）总人数乘以样本中选择“篮球”项目对应的百分比即可.

【解答】解：（1）本次共调查学生。=64+40%=160（名），

游泳人数为：160-24-40-64=32（名），

：.b%=-^-X100%=20%,

160

：.b=20i

故答案为：160；20；

（2）补全图形如下：

学生对四项赛事门票选择情况的条形统计图

160

答：估计选择“篮球”项目的学生人数875名.

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确

题意，利用数形结合的思想解答.

23.（10分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E,E沿折线C方向运动,

产沿折线A-C-B方向运动，点E,尸的距离为y.

（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；

（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；

（3）结合函数图象，直接写出点E,尸相距3个单位长度时，的值.

AFC0123456789t

【分析】（1）根据动点E、F