2021-2023年高考数学真题分类汇编：立体几何（选择题、填空题）（理）

专题05立体几何（选择题、填空题）（理）

知识点目录

知识点1：三视图

知识点2:空间几何体表面积'体积、侧面积

知识点3：空间直线、平面位置关系的判断

知识点4：线线角、线面角、二面角

知识点5：外接球、内切球问题

知识点6：立体几何中的范围与最值问题及定值问题

近三年高考真题

知识点1:三视图

1.（2023•乙卷（理））如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则该零件的表

面积为（）

一而

A.24B.26C.28D.30

2.（2022•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：c/）是（）

aiA

口2口

*1*2.1*-x1+2-►11山

2216

A.22%B.84C.一nD.一n

33

3.（2021•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（)

正（主）视图侧（左）视图

俯视图

A.-+—B.3+73C.-+y/3D.

2223T

4.（2021•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：。/）是（）

侧视图

„3夜

B.3C.-----D.3x/2

2

知识点2:空间几何体表面积、体积、侧面积

5.（2023•乙卷（理））已知圆锥PO的底面半径为6，O为底面圆心，PA,PB为圆锥的母线，4408=120。,

若AE45的面积等于竽，则该圆锥的体积为（）

A.7iB.R兀C.3万D.3面兀

6.（2022•新高考I）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知

该水库水位为海拔148.5机时，相应水面的面积为140.0A/；水位为海拔157.5〃?时，相应水面的面积为

180.0W.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5加时，

增加的水量约为（"之2.65）（）

A.1.0x109加B.1.2x109加c.1.4xl（）94D.1.6xl089w*11?3

7.（2022•北京）已知正三棱锥P-A8C的六条棱长均为6,S是A48c及其内部的点构成的集合.设集合

T={QeS|PQ,5},则T表示的区域的面积为（）

34

A.—B.7iC.24D.3冗

4

8.（2023•天津）在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM=-PC,线段P3上的点N满足PN=-PB,

33

则三棱锥尸和三棱锥尸-ABC的体积之比为（）

1214

A.-B.-C.-D.-

9939

9.（2023•甲卷（理））在四棱锥中，底面为正方形，AB=4,PC=PD=3,ZPCA=45°,

则APBC的面积为（）

A.2A/2B.3&C.4垃D.572

10.（多选题）（2023•新高考H）已知圆锥的顶点为尸，底面圆心为O,/W为底面直径，N4P3=120。，

PA=2,点C在底面圆周上，且二面角?一AC-O为45。，则（）

A.该圆锥的体积为万B.该圆锥的侧面积为4&

C.AC=2梃D.AE4C的面积为百

11.（2022•天津）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱

的底面是顶角为120。，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）

十字歇山顶

A.23B.24C.26D.27

12.（2021•新高考I）已知圆锥的底面半径为四，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A.2B.2&C.4D.4及

13.（多选题）（2022•新高考H）如图，四边形ABCD为正方形，匹_1_平面A88,FB//ED,

M=ED=2FB.记三棱锥E—AC。，F-ABC,尸—ACE的体积分别为乂，匕，匕，则（）

A.匕=2匕B.匕=匕C.匕=匕+匕D.2匕=3匕

14.（2021•新高考H）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）

A.20+12&B.28^2C.—D.

33

15.（2023•新高考H）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,高为

3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

16.（2023♦新高考I）在正四棱台A8CD-A4GA中，45=2,AA,=应，则该棱台的体积

为.

17.（2022•上海）已知圆柱的高为4,底面积为9万，则圆柱的侧面积为.

知识点3:空间直线、平面位置关系的判断

18.（2023•上海）如图所示，在正方体中，点P为边AG上的动点，则下列直线中，始终

与直线5P异面的是（）

C.ADtD.BtC

19.（2022•上海）如图正方体ABC。一A4cq中，P、Q、R、S分别为棱口、BC、BBrCD的中点,

联结AS,B.D.空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段AS、与。上，则称A/N两点可视,

C.点RD.点Q

20.（2022♦上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面,

则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）

A.0B.2C.4D.12

21.（2021•浙江）如图，已知正方体A3CZ）-AAGA，M,N分别是A。，。田的中点，贝U（）

A.直线A。与直线R8垂直,直线MV//平面AKCO

B.直线4。与直线RB平行，直线平面8£>£）田

C.直线4。与直线R8相交，直线MN//平面ABCD

D.直线AQ与直线RB异面，直线MV_L平面

22.（多选题）（2021•新高考U）如图，下列正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正

方体的顶点，则满足MN_LQP的是（）

知识点4：线线角'线面角、二面角

23.（2023•北京•统考高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带

可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯

形，两个面是全等的等腰三角形.若AB=25m,3C=A£>=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在

的平面与平面ABC。的夹角的正切值均为理，则该五面体的所有棱长之和为（）

C.117mD.125m

24.（2023•乙卷（理））已知&4BC为等腰直角三角形，A3为斜边，A4Q为等边三角形，若二面角C-4?-。

为150。，则直线CD与平面A8C所成角的正切值为（）

25.（2022•浙江）如图，已知正三棱柱ABC-A4G,AC=AAi,E,F分别是棱3C,AG上的点.记所

与的所成的角为a,砂与平面AfiC所成的角为尸，二面角尸-8C-A的平面角为y,则（）

AiG

B

A.谈ByB.照hyC.广效&aD.隰勿p

26.（多选题）（2022•新高考I）已知正方体ABCO-AAGR,则（）

A.直线8G与D4,所成的角为90°

B.直线8G与CA所成的角为90。

C.直线8G与平面8BQQ所成的角为45。

D.直线BQ与平面ABCD所成的角为45。

知识点5:外接球、内切球问题

27.（2021•天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为三2,两个圆锥的

3

高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）

A.3万B.4万C.9乃D.12万

28.（2021•新高考H）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静

止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000b”（轨道高度是指卫星到地球表面的距

离）.将地球看作是一个球心为O,半径，•为6400A”的球，其上点A的纬度是指。A与赤道平面所成角的度

数.地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a,该卫星信号覆盖地球表

面的表面积S=2;r，（i_cosa）（单位：km2）,则S占地球表面积的百分比约为（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

29.（2022•新高考I）己知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，且

3别36,则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A81n2781厂2764A

A.[rl18o,—]B.[—,—]C.[一,—]D.[rl18o,27J

44443

30.（2022•新高考II）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3g和4/,其顶点都在同一球面上，

则该球的表面积为（）

A.100/rB.128TC.144乃D.192万

31.（2021•甲卷（理））已知A,B,C是半径为1的球。的球面上的三个点，且AC_L3C,AC=BC=\,

则三棱锥O-ABC的体积为（）

A.旦B上

1212

32.（多选题）（2023•新高考I）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：，力的正方体容器（容器壁

厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99加的球体

B.所有棱长均为14〃的四面体

C.底面直径为0.01加，高为18〃的圆柱体

D.底面直径为1.2,〃，高为0.01〃i的圆柱体

33.（2023•甲卷（理））在正方体ABCO-A4cA中，E,E分别为CD,A片的中点，则以EF为直径的

球面与正方体每条棱的交点总数为

知识点6：立体几何中的范围与最值问题及定值问题

34.（多选题）（2021•新高考I）在正三棱柱ABC-中，48=他=1,点P满足=+,

其中2€[0,1],1],贝|J（）

A.当；1=1时，△AST的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥尸-ABC的体积为定值

C.当时，有且仅有一个点P,使得A,P，BP

D.当〃=g时，有且仅有一个点尸，使得AB_L平面AB/

35.（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为1,高为2,钻为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的

一个动点，则A4BC的面积的取值范围为.

专题05立体几何（选择题、填空题）（理）

知识点目录

知识点1：三视图

知识点2:空间几何体表面积、体积、侧面积

知识点3：空间直线、平面位置关系的判断

知识点4：线线角'线面角'二面角

知识点5：外接球、内切球问题

知识点6：立体几何中的范围与最值问题及定值问题

近三年高考真题

知识点1:三视图

1.（2023•乙卷（理））如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则该零件的表

面积为（）

塞力

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体.

如图所示：

故该几何体的表面积为：4+6+5+5+2+2+2+4=30.

故选：D.

2.（2022•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：切力是（）

*2-►i1*

A.22万B.8万

【答案】C

【解析】由三视图可知几何体是上部为半球，中部是圆柱，下部是圆台，

所以几何体的体积为：-x—x1'+TTX\2x2+-（22XTT+Fx^+A/22x^-xl2x；r）x2=—^.

2333

故选：C.

3.（2021•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）

正（主）视图侧（左）视图

俯视图

A.-+—B.3+6C.-+^3D.3+—

2222

【答案】A

【解析】由三视图还原原几何体如图，

则APBC是边长为&的等边三角形，

则该四面体的表面积为S=3x\lxl+\&x&x3=也叵.

2222

故选：A.

4.（2021♦浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：，加）是（）

正视图侧视图

俯视图

A.-B.3C.—D.30

22

【答案】A

【解析】由三视图还原原几何体如图，

该几何体为直四棱柱，底面四边形ABCD为等腰梯形，

其中A8//8，由二视图可知，延长4）与BC相交于一点，且ADJ.BC,

目.AB=20,CD=yf2,A4,=1,等腰梯形的高为小4》_（A8；C』）2="_（等）2=*,

则该几何体的体积u=L（夜+20）x也xl=3.

222

知识点2：空间几何体表面积'体积'侧面积

5.（2023•乙卷（理））已知圆锥PO的底面半径为百，O为底面圆心，PA,为圆锥的母线，ZAOB=120°,

若的面积等于%g,则该圆锥的体积为（）

4

A.兀B.巫兀C.3万D.3#）兀

【答案】B

【解析】根据题意，设该圆锥的高为〃，即PO=/i，取4?的中点E,连接PE、OE,

由于圆锥PO的底面半径为退，即0A=08=石，

而ZAOB=120°.故A8=yJOA1+OB2-2OA-OB-cos120°=,3+3+3=3,

同时OE=QAxsin3（r=上，

2

加%3中，PA=PB,E为AB的中点，则有

乂由AM区的面积等于述，即=述，变形可得产石=更，

4242

而PE=W+*,则有/+3=2,解可得力="，

V444

故该圆锥的体积V=g"X（6）2〃=瓜7V.

故选：B.

B

6.（2022•新高考1）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知

该水库水位为海拔148.5机时，相应水面的面积为140.0初？；水位为海拔157.5"?时，相应水面的面积为

180.0切，.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5/n上升到1575〃时，

增加的水量约为（占42.65）（）

A.1.0x109/B.1.2x109加C.1.4xl09/n3D.1.6xl09/n3

【答案】C

【解析】140fon2=140xl06/n2,180A?n2=180x106m2,

根据题意，增加的水量约为吧叱3叫”SIg.(157.5-148.5)

(140+180+60N/7)X106八

=--------------------x9

3

»(320+60x2.65)x106x3=1437xlO6»1.4xlO9zn3.故选：C.

7.（2022•北京）已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是AABC及其内部的点构成的集合.设集合

T={QeS\PQ„5},则T表示的区域的面积为（）

A.--B.7tC.27rD.3冗

4

【答案】B

【解析】设点P在面ABC内的投影为点O,连接。4,则。4=2x36=26,

3

所以。P==，36-12=2",

由JPQ?-OP2=J25-24=1,知T表示的区域是以O为圆心，1为半径的圆，

所以其面积S=T.

故选：B.

I9

8.（2023•天津）在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM=」PC,线段PB上的点N满足PN=±,

33

则三棱锥尸-和三棱锥P-ABC的体积之比为（）

A.-B.-C.-D.-

9939

【答案】B

1O

【解析】在三棱锥中，线段PC匕的点M满足线段P8上的点N满足PN=±PB,

33

加以S&PMA=~SAPAC，

设N到平面PAC的距离&,B到平面PAC的距离4,则&=|4,

11122

则M父徘P-AMN旧体积为g辘1M*=咚棱锌W-AP材=§5M期=3X35AMe=§咚校但PR•

故三棱锥尸-4WN和三棱锥尸-45C的体积之比为2.

9

故选：B.

9.（2023•甲卷（理））在四棱锥P-A38中，底面AB8为正方形，AB=4,PC=PD=3,ZPCA=45°,

则AP8C的面积为（）

A.272B.3应C.4及D.5五

【答案】C

【解析】解法一：1•四棱锥尸-438中，底面MCD为正方形，

乂PC=PD=3,ZPC4=45°.

根据对称性易知NPDB=ZPCA=45°,

又底面正方形得边长为4,.1BO=4夜，

・•.在AP%）中，根据余弦定理可得：

PB=^（4>/2）2+32-2x4>/2x3x^=^,

又3c=4,PC=3,.•.在AP8C中，由余弦定理可得:

16+9-171.//2夜

cosNPCB=---------=—,sinZ.PCB=----，

2x4x333

iin5

"BC的面积为-x8cxpcxsin2PCB=—x4x3义匚一=472.

223

解法:：如图，设P在底面的射影为H,连接

设NPCH=e,ZACH=a,且aw。]),

贝|JN"CD=45。一a,或/”8=45。+&，

2

易知cosNPC£)=-,又NFC4=45。，

3

则根据最小角定理(三余弦定理)可得:

jcosNPCA=cos6cosa

IcosZ.PCD=cos0cosZ.HCD

A

■——=cosA9cosa[——72=cos'cosa

2或v2

22

—=cos^cos(45°-cr)—=cos0cos(450+a)

cos(45-a)2x/2rcos(45+a)272

----------=----或-----------=----

cosa3cosa3

cosa+sina4一户cosa-sina4

cosa3cosa3

..tana=1或tana=-1,又c£(0,—),

332

131

tana=­，:.cosa=-7=,sina=-7=，

3而W

.他:.cos0^—,

2VW3

再根据最小角定理可得:

cosZPCB=cos0cos(45°+a)=x(-^=---^=)=；

sin/PCB-.........，乂BC-4»PC—3，

3

iio5

"BC的面积为-x8cxpcxsinZPCB=-x4x3x^-=472.

223

故选：C.

10.（多选题）（2023•新高考n）已知圆锥的顶点为尸，底面圆心为O,A3为底面直径，ZAPB=120°.

PA=2,点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45。，则（）

A.该圆锥的体积为万B.该圆锥的侧面积为4居

C.AC=2应D.M4C的面积为G

【答案】AC

［解析】取AC中点D,则or>_LAC,PDA.AC,

由二面角的定义可知，二面角「-4。-0的平面角即为/。/）0=45。,

对于A,AE45中，由于Q4=PB=2,ZAPS=120°.

则尸0=1，A0=®

则"）=1,厂=、3%”=行，选项A正确.

3

对于B,S网=兀乂#）x2=2邪乃，选项8错误.

对于C，AC=2行万=2血，选项C正确.

对于O,PD=母,SAPAC=-XV2X2A/2=2,选项。错误.

故选：AC.

11.（2022•天津）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱

的底面是顶角为120。，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）

十字歇山顶

两条正脊一

组成十字

【答案】D

【解析】如图，该组合体由直三棱柱AQ-B/ZC和直三棱柱AEB-ZJGC组成，且为正方形，

设重叠后的EG与"7交点为/,

作“_LC8丁/，因为CH=BH=3,ZCHB=nO0,

所以CM=BM=空，HM△,BC=AB=3g,

22

方法①：四个形状相同的三棱锥（/-A£B、l-BCH.I—CDG、/-AOF）的体积之和，加上正四棱锥

/-ABC£＞的体积：

在直.棱柱4力-9/C中，平面屏/C,则A3_L〃M,

由AB，，BC=B灯得MW_L平面ADCB，

正四棱锥/-ABCD的高等THM的长，

1Z_11，6336_27“1Q/T.327

XX33XX：=

VI-AEB=T-^-^-—>VjABCD=-X3V3X3V3X-=—,

J乙5JNZ

7777

该组合体的体积V=V,.x4+V_=—X4+—=27；

AEU/AfiCOoZ

方法②：两个直三棱柱体积相加，再减去重叠部分（正四棱锥/-ABC。）的体积:

在直三棱柱AFD-BHC中,4?_L平面BHC,则AB1HM,

山ABr'BC=B可得HM_L平面ADCB，

正四棱锥I-的高等于的长，

=x

匕ABCD-3>/5x3Gx—=—>VAFDBHC=1x3>/3x—x3>/3=—,

I-ntfLU3/.22nrLf—tirtl.-2、2、j

QI97

该组合体的体积丫=匕统BHCX2-VJ=2X------=27.

/XrU—Dnl.I—ABCD42

故选：D.

E

12.（2021•新高考I）已知圆锥的底面半径为近，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A.2B.2及C.4D.4及

【答案】B

【解析】由题意，设母线长为/,

因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，

则有2万•夜=乃1,解得/=2夜，

所以该圆锥的母线长为2及.

故选：B.

13.（多选题）（2022•新高考H）如图，四边形ABCD为正方形，皮＞_1_平面ABC。，FB//ED,

AB=ED=2FB.记三棱锥E-4CD,F-ABC,尸-ACE的体积分别为乂，匕，匕，则（）

A.匕=2匕B.%=KC.匕=乂+匕D.2匕=3乂

【答案】CD

【解析】设AB=ED=2FB=2,

14

^=-XSMCDX|ED|=-)

12

匕=§x5MBex|F8|=g,

如图所示,

连接班）交AC于点〃，连接EM、FM,

则尸M=6EM=屈，EF=3,

故&丽=9国#=孚，

Vs=g皿-xAC=；x当乂2盘=2,

故C、。正确，A、8错误.

故选：CD.

14.（2021•新高考H）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（

A.20+126B.280C.—D.

33

【答案】D

【解析】解法-：如图ABCD-A4GA为正四棱台，AB=2,A4=4，/H=2.

在等腰梯形A5BA中，过A作AE_LAg,可得45=看=1，

连接AC,AG，

AC=j4+4=20,AC=J16+16=40,

过A作AG^AG，AG=^：2a=0,

AG=ylAA,2-A.G2=^2=V2，

・•.正四棱台的体积为:

上上

vS+s+Js•1

V=-----------xh

3

=22+4、反％4

3

28及

3

解法：：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图,

「该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,

该棱台的记〃=百-(2夜-扬2=72,

卜底面面积E=16,上底面面积S2=4,

则该棱台的体积为：

卜=36+52+6^)=3&(16+4+闹)=与”

故选：D.

15.(2023•新高考II)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,高为

3的正四棱锥，所得棱台的体积为

【解析】如图所示，根据题意易知△5aAsASOA,

.•.SO=6，，Oa=3,又上下底面正方形边长分别为2,4,

所得棱台的体积为1x(4+16+4^)x3=28.

3

故答案为：28.

s

16.（2023•新高考1）在正四棱台ABC。-A4GR中，AB=2,4g=1，M=^2,则该棱台的体积

为.

【解析】如图，设正四棱台ABC。-A&GA的上下底面中心分别为M，N,

过4作A〃，AC,垂足点为H,由题意易知AM=HN=*，又AN=6,

B[7

;.AH=AN-HN=q,又AA=&，；,AH=MN=g,

该四棱台的体积为ko+4+g）x《L型.

326

故答案为：.

17.（2022•上海）已知圆柱的高为4,底面积为9万，则圆柱的侧面积为

【答案】247r.

【解析】因为圆柱的底面积为9万,即乃R2=9万,

所以R=3,

所以S侧=27vRh=244.

故答案为：24万.

知识点3:空间直线、平面位置关系的判断

18.（2023•上海）如图所示，在正方体4?。£）-48。］〃中，点「为边4弓上的动点，则下列直线中，始终

C.ADtD.B、C

【答案】B

【解析】对于A，当P是AG的中点时，8P与。。是相交直线;

对于5,根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；

对于C,当点尸与G重合时，与是平行直线；

对于。，当点P与G重合时，5尸与8。是相交直线.

故选：B.

19.（2022•上海）如图正方体ABC。-A4C。中，P、Q、R、S分别为棱四、BC、、8的中点,

联结AS，BfD.空间任意两点M、N,若线段MN上不存在点在线段AS、与。上，则称两点可视,

C.点RD.点Q

【答案】D

【解析】线段MN上不存在点在线段4S、耳。上，即直线MN与线段AS、片。不相交,

因此所求与A可视的点，即求哪条线段不与线段AS、片。相交,

对A选项，如图，连接人尸、PS、RS,因为P、S分别为钻、CD的中点,

易证AA"PS,故人、a、p、s四点共面，尸与AS相交，A错误;

对5、C选项，如图，连接RB、DB,易证R、旦、B、。四点共面,

故28、AR都与相交，.•./?、C错误；

对0选项，连接RQ,由A选项分析知A、R、P、S四点共面记为平面AAPS，

2e平面ARPS,。e平面ARPS,且45<=平面4。35,点"把45，

;.R。与A5为异面直线，

同理由8.C选项的分析知乌、BrB、。四点共面记为平面

,Re平面£)48。，Qe平面力/由。，且qOu平面"耳8£),点Re8Q,

.•.R0与片。为异面直线，

故2。与AS,都没有公共点，选项正确.

APR

故选：D.

20.（2022•上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面,

则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）

A.0B.2C.4D.12

【答案】B

【解析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，

，每天。点至12点（包含0点，不含12点），

相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2,

故选：B.

21.（2021•浙江）如图，已知正方体ABCD-A4CA，M,N分别是A。，。产的中点，则（）

A.直线AQ与直线A3垂直，直线的V//平面ABCD

B.直线AQ与直线。田平行，直线平面BOQ4

C.直线AQ与直线A3相交，直线MN//平面ABCD

D.直线AQ与直线.8异面，直线平面

【答案】A

【解析】连接AR，如图：

由正方体可知AOLAQ,A,D1AB,平面AB。，

:.ADLRB,由题意知A/N为△RA8的中位线，:.MNUAB.

乂1ABu平面A8C£>,MNC平面A8CD,二.MV//平面ABCD.对:

由正方体可知A。与平面BAR相交于点。，。田（=平面8。£>1,D史QB,

.•.自线4。与向.线A8是异面直线，,B、C错;

MN//AB,AB不与平面垂直，；.MN不与平面垂直，错.

故选：A.

22.（多选题）（2021•新高考II）如图，下列正方体中，。为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正

方体的顶点，则满足M7V_LOP的是（）

【答案】BC

【解析】对于A,设正方体棱长为2,设与OP所成角为。,

则tan"」一=交，，不满足於，。尸，故A错误；

17^742

2

对于5,如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2,

则N(2,0,0),M(0,0,2),尸(2,0,1),0(1,1,0),

MN=Q,0,-2),OP=(1,-1,1),

MNOP=0,：.满足MN_LOP,故3正确；

对于C，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2,

0)，。(1,1,0),尸(0,0,1),

MN=(-2,0,-2),OP=(-l,-1,1),

MN-OP=0,满足,故C正确;

对于如图,

作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2,

则M(0,2,0),N(0,0,2),P(2,1,2),0(1,1,0),

MN=(0,-2,2),OP=(1,0,2),

MN•。尸=4,.•.不满足M?V_LOP,故。错误.

故选：BC.

知识点4：线线角、线面角、二面角

23.（2023•北京•统考高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带

可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯

形，两个面是全等的等腰三角形.若AB=25m,BC=AO=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在

的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为巫，则该五面体的所有棱长之和为（）

5

B.112m

C.117mD.125m

【答案】c

【解析】如图，过E做EO_L平面ABCD,垂足为0,过E分别做EGLBC,EMLAB,垂足分别为G,

M,连接。G,OM,

由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为4MO和NEGO,

所以tanNEMO=tanNEGO=华.

因为£O_L平面ABC。，3Cu平面ABC。，所以EOL3C,

因为EG_L8C,EO,EGu平面EOG,EOcEG=E,

所以8cl平面EOG,因为OGu平面EOG,所以BCLOG,.

同理：OM±BM,乂8MJ.BG,故四边形OM8G是矩形，

所以由BC=10得0/0=5,所以EO=JiZ,所以OG=5,

所以在直角三角形EOG中，EG=y/EO2+OG2=^（V14）'+52=回

在直角三角形EBG中，BG=OM=5,EB=/EG：+BG”=｛（病j+5?=8,

又因为£F=AB-5-5=25-5-5=15,

所有棱长之和为2x25+2*10+15+4x8=117m.

故选：C

24.（2023•乙卷（理））已知A48C为等腰直角三角形，Afi为斜边，AAfiD为等边三角形，若二面角C-A3-D

为150。，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）

c.B

A-1B-

5

【答案】c

【:解析】如图，取他的中点E,连接CE,DE,

D

3T

H

CA2

则根据题意易得AB_LCE，ABLDE,

：.二面角。一?18-£＞的平面角为/6£0=150。

AB±CE,AB工DE,JICfiQ£>E=£.

平面板），又ABu平面ABC，

平面AED1.平面ABC，

CD在平面ABC内的射影为CE,

，直线CD与平面A8C所成角为NDCE，

过D作DH垂直CE所在直线，垂足点为H,

设等腰直