2024年中考数学总复习第五章《四边形》第一节：平行四边形与多边形（附答案解析）

2024年中考数学总复习第五章《四边形》第一节：平行四边

形与多边形

★解读课标★--------------熟悉课标要求，精准把握考点

1.理解平行四边形的概念，了解四边形的不稳定性

2.探索并证明平行四边形的性质定理，探索并证明平行四边形的判定定理

3.了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内外角、对角线等概念，探索并掌握多边形内外

角的公式

★中考预测★--------------统计考题频次，把握中考方向

本考点内容是考查重点，年年都会考查,分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，

并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定及中位线的可能性比较

大。解答题中考查平行四边形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形综合应用的

可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。

★聚焦考点★--------------直击中考考点，落实核心素养

考点讲解

多边形的相关1.多边形：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多

概念边形.

2.多边形对角线：从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，并且这

些对角线把多边形分成了(n-2)个三角形；n边形对角线条数为“(〃一3).

2

3.多边形的内角和：n边形内角和公式为(n-2)-180°；

4.多边形的外角和：任意多边形的外角和为360°.

5.正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形.

(1)正n边形的每个内角为,每一个外角为坨.

nn

(2)正n边形有n条对称轴.

(3)对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既

是轴对称图形，又是中心对称图形.

平行四边形的1.平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边

形用“口”表示.

性质

2.平行四边形的性质：

(D边：两组对边分别平行且相等.

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(2)角：对角相等，邻角互补.

(3)对角线：互相平分.

(4)对称性：中心对称但不是轴对称.

平行四边形的1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

判定2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

3.有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

4.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

三角形的中位1.三角形两边中点的连线叫中位线。

线2.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

★方法导引★--------------总结思想方法，提升解题效率

1.多边形内角和：n边形内角和公式为(n-2)•180。；多边形外角和：任意多边形的外角

和为360°；

2.多边形的对角线：从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，并且这些对角线把多边形

分成了(n-2)个三角形；n边形对角线条数为出二叉.

2

3.正多边形是各边相等，各角也相等的多边形.

4.平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.平行四边形的性质为我们证明线段

平行或相等，角相等提供了新的理论依据.

5.平行四边形的判定方法有五种，在选择判定方法时应根据具体条件而定.对于平行四边形

的判定方法，应从边、角及对角线三个角度出发，而对于边又应考虑边的位置关系及数量关

系两方面.

6.利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：

(1)平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.

(2)平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题.

(3)过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.

7.平行四边形中的几个解题模型

(1)如图①，AE平分NBAD,则可利用平行线的性质结合等角对等边得到4ABE为等腰三角

形，即AB=BE.

(2)平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABDgZ\CDB；

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两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中aAOD丝△COB,AAOB^ACOD；

根据平行四边形的中心对称性,可得经过对称中心0的线段与对角线所组成的居于中心对称

位置的三角形全等，如图②^AOE丝图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.

（3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得SABEC=S△搬+SAC附

（4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE•BC=AF•CD.

图②图③图④

★真题呈现★--------------直面中考考题，总结考法学法

考点01多边形的相关概念

1.（2022•湖南怀化）一个多边形的内角和为900°,则这个多边形是（）

A.七边形B.八边形C.九边形D.十边形

【答案】A

【分析】根据n边形的内角和是（n-2）-180°,列出方程即可求解.

【详解】解：根据n边形的内角和公式，得（n-2）-180°=900。，解得n=7,

，这个多边形的边数是7,故选：A.

【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程.

2.（2022•山东烟台）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1,则这个正多

边形是（）

A.正方形B.正六边形C.正八边形D.正十边形

【答案】C

【分析】设这个外角是x°,则内角是3x°,根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外

角的度数，根据多边形的外角和是360。即可求解.

【详解】解：•••一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1,

•••设这个外角是x°,则内角是3x°,根据题意得：x+3x=180°,解得：x=45°,

3600+45°=8（边），故选：C.

【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的

关键.

3.（2022•四川南充）如图，在正五边形必中，以A3为边向内作正,Afi广，则下列

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结论错误的是（)

A.AE=AFB.NEAF=NCBFC./F=/FAFD.ZC=Z£

【答案】C

【分析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断.

【详解】解：；多边形ABCDE是正五边形，

，该多边形内角和为：（5-2）xl80°=540°,AB=AE,

ZC=Z£=NEAB=ZABC=号540°-=108°,故D选项正确；

：.他尸是正三角形，ZFAB=ZFBA=ZF=60°,AB=AF=FB,

：.Z.EAF=ZEAB-ZFAB=108°-60°=48°,ZCBF=ZABC-ZFR4=108°-60°=48°,

/后4尸=/。8尸，故B选项正确：；==所，.\故A选项正确；

VZF=60°,NE4尸=48°,：.ZF^ZEAF,故C选项错误，故选：C.

【点睛】本题考查正多边形的性质以及多边形内角和公式，熟练掌握正多边形“各边长度相

等，各角度数相等”是解题的关键.

4.（2022•江苏泰州）正六边形一个外角的度数为.

【答案】60。##60度

【分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360°解答即可.

【详解】•••正六边形的外角和是360°,

.,.正六边形的一个外角的度数为：360°+6=60°,

故答案为：60°.

【点睛】本题主要考查多边形的外角和及正多边形外角度数的计算，掌握多边形外角和等于

3600是解答本题的关键.

5.（2022•浙江舟山）正八边形的一个内角的度数是一度.

【答案】135

【分析】根据多边形内角和定理：（n-2）-180°（n23且n为正整数）求出内角和，然

后再计算一个内角的度数即可.

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【详解】正八边形的内角和为：（8-2）X1800=1080°,

每一个内角的度数为：1080°4-8=135°,故答案为135.

6.（2022•湖南株洲）如图所示，已知NMON=60。，正五边形的顶点A、B在射线

【分析】/E4。是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角ZE4。，再

利用△Q4E的内角和180°,即可算出

【详解】；四边形ABCDE是正五边形，/EA。是一个外角

ZE4O=^360-°=72°

5

在△O4E中：

ZAEO=180°-Z.EAO-AMON=180°-72°-60°=48°

故答案为：48

【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为360°

★变式训练★--------------深挖数学思想，揭示内涵实质

1.（2022•湘西州）一个正六边形的内角和的度数为（）

A.1080°B.720°C.540°D.360°

【考点】多边形内角与外角.

【专题】多边形与平行四边形；运算能力.

【分析】利用多边形的内角和定理解答即可.

【解答】解：一个正六边形的内角和的度数为：（6-2）X1800=720°,

故选：B.

【点评】本题主要考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和定理解答是解题的关键.

2.（2022•湖南常德）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线

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将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成

了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直

线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……：如此下去，若最后得到10张纸片，其

中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为

【答案】6

【分析】根据多边形的内角和进行即可求解.

【详解】解:根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，

所有的多边形的内角和增加360°,

10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，设还

有一张多边形纸片的边数为“，

.•.（5-2）X180O+3X180O+（4-2）X180OX5+（M-2）X180O=360O+360°X9,

解得n-6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键.

3.（2022•攀枝花）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”.请

你在不直接运用结论“n边形的内角和为（n-2）780。”计算的条件下，利用“一个三

角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形ABCDE的内角和为540°.

【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理.

【专题】多边形与平行四边形；几何直观.

【分析】连接AD,AC,把五边形ABCDE的内角和转化为三角形的内角和即可.

【解答】解：连接AD,AC,

二五边形ABCDE的内角和等于aAED,AADC,Z\ABC的内角和，

二五边形ABCDE的内角和=180°X3=540°.

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E

【点评】本题考查多边形的内角和的求法，关键是把多边形转化为三角形.

4.（2022•石家庄模拟）看图回答问题:

（1）内角和为2014°,小明为什么说不可能?

（2）小华求的是几边形的内角和？

小华小明

【考点】多边形内角与外角.

【专题】多边形与平行四边形：运算能力.

【分析】（1）n边形的内角和是（n-2）>180°,因而内角和一定是180度的倍数，依

此即可作出判断;

（2）多边形的内角一定大于0,并且小于180度，因而内角和再加上一个内角的值，这

个值除以180度，所得数值比边数n-2要大，大的值小于1.则用2014除以180所得值,

加上2,比这个数小的最大的整数就是多边形的边数.

【解答】解：（1）边形的内角和是（n-2）780°,

二内角和一定是180度的倍数,

•.♦2014+180=11…34,

...内角和为2014°不可能;

(2)依题意有(x-2)*180°<2014°,

解得x<13」工.

90

因而多边形的边数是13,

故小华求的是十三边形的内角和.

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【点评】考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，

是需要熟记的内容.

★真题呈现★--------------直面中考考题，总结考法学法

考点02平行四边形的性质与判定

1.（2022•四川乐山）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DELAB,垂足为E,过点B

作BF_LAC,垂足为F.若AB=6,AC=8,DE=4,则BF的长为（）

A.4B.3C.-D.2

2

【答案】B

【分析】利用平行四边形ABCD的面积公式即可求解.

【详解】解：：DE_LAB,BF±AC,平行四边彩ABCD=DEXAB=2X；XACXBF,

.\4X6=2X-X8XBF,；.BF=3,故选：B.

2

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形ABCD的面积公式求垂线段的长是

解题的关键.

2.（2022•江苏宿迁）如图，在平行四边形A8C。中，点E、F分别是A。、8c的中点.求

【答案】见详解

【分析】根据“平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质”证得四边形AECF为平行四边形,

然后由“平行四边形的对边相等”的性质证得结论.

【详解】证明：•..四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,AD=BC；

又•.•点E、F分别是AD、BC的中点，

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，AE〃CF,AE=CF=1AD,

...四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），

；.AF=CE（平行四边形的对边相等）.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质.平行四边形的判定方法共有五种，应用时要

认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法.

3.（2022•大武口区校级一模）已知：如图在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM

=DM,CM、BA的延长线相交于点E,BM平分/ABC.求证：BM±CE.

【考点】平行四边形的性质.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【分析】由在平行四边形ABCD中，AM=DM,证得aAEM丝4DCM（AAS）,可得AE=CD=

AB,由BM平分/ABC,证得4BCE是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得出

结论.

【解答】证明：二•四边形ABCD是平行四边形，

AB=CD,

/.ZE=ZDCM,

在aAEM和ADCM中，

，ZE=ZDCM

<NAME=/DMC，

AM=DM

.".△AEM^ADCM（AAS）,

.,.AE=CI）,

；.AE=AB,

VBM平分NABC,

.\ZABM=ZCBM,

:四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,

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.ZCBM=ZAMB,

；.NABM=NAMB,

；.AB=AM,

VAB=AE,AM=DM,

...点M是AD的中点，

ABC=2AM,

；.BC=BE,

...△BCE是等腰三角形.

YBM平分NABC,

.,.BM1CE.

【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性

质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

4.(2022•新疆)在A8C中，点D,F分别为边AC,AB的中点.延长DF到点E,使DF=EF,

连接BE.

(1)求证：AADF丝△3EF;

(2)求证：四边形BCDE是平行四边形.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)利用SAS直接证明；

(2)利用AW/丝△麻户和已知条件证明DC=BE,即可推出四边形BCDE是平

行四边形.

(1)证明：,••点F为边AB的中点，

/.BF=AF,

在▲4。尸与_3瓦■中，

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AF=BF

NAFD=NBFE,

DF=EF

：./\ADF也△BEF(SAS)；

(2)证明：•.•点D为边AC的中点，

，AD=DC,

由(1)得ZWJF丝△BEF，

AAD=BE,ZADF=NBEF,

：.DC=BE,DC//BE,

...四边形BCDE是平行四边形.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定方法，难度较小，根据所

给条件正确选用平行四边形的判定方法是解题的关键.

5.(2022•湖南株洲)如图所示，点E在四边形ABC。的边AD上，连接CE,并延长CE交

班的延长线于点尸，已知=FE=CE.

(1)求证：MEFdDEC；(2)若A£>〃5C,求证：四边形4BC。为平行四边形.

【答案】(D见解析

(2)见解析

【分析】(D利用SAS可以直接证明AAEF^ADEC：

(2)由ZME尸丝△OEC可得NAEE=NDCE,由内错角相等，两直线平行，得出A尸〃。C,

结合已知条件A£>〃8c即可证明四边形43。为平行四边形.

(1)证明：：ZAEF与/DEC是对顶角，

ZAEF=ZDEC,

在AAEF与ADEC中，

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AE=DE

<ZAEF=ZDEC,

FE=CE

：./\AEF^/\DEC(SAS)

(2)证明：由(1)知尸丝△DEC,

ZAFE=NDCE,AF//DC,

•.•点F在BA的延长线上，，ABI/DC,

又•••A3〃8C,...四边形ABC。为平行四边形.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定和平行四边形的判定，难度较小，

熟练掌握全等三角形、平行线及平行四边形的判定方法是解题的关键.

6.(2022•哈尔滨模拟)在。ABCD中，点E在BA的延长线上，点F在DC的延长线上，连接

BF、DE、EF,EF交AD于点G,交BC于点H,EG=FH.

(1)如图1,求证：四边形EBFD是平行四边形；

(2)如图2,点A是BE的中点，请写出面积等于BBCD面积的一半的两个三角形和两个

四边形.

图1图2

【考点】平行四边形的判定与性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质.

【专题】三角形；图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力.

【分析】(1)证△BEH丝aDFG(AAS),得BE=DF,即可得出结论；

(2)连接BD,交EF于点0,由平行四边形的性质得SAABD=SACBO=2S平行四边柩MO,SABCF=S

2

△CBD=­S平行四边形ABCD,再证△0DGg△OBH(SAS),得SAO()G=SAOBH,则S四边形ABHG=S四边形CDGH

2

=

-"S平行四边形ABCD.

2

【解答】(1)证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，

AZABC=ZCDA,AB〃CD,

/.ZBEH=ZDFG,

第12页共65页

：EG=FII,

；.EG+GH=FH+GH,

即EH=FG,

在ABEH和4DFG中，

，ZEBH=ZFDG

<ZBEH=ZDFG-

EH=FG

.,.△BEH^ADFG(AAS),

.•.BE=DF,

又：BE〃DF,

...四边形EBFD是平行四边形；

(2)解:如图，连接BD,交EF于点0,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

SAABD=SACBD=­S平行四边形ABCI)，

2

由(1)可知，四边形EBFD是平行四边形,

・・・BE=DF,0B=0D,0E=0F,

•・•点A是BE的中点,

=

二•AB=AE,SAADE=SAABD­S平行四边形ABCD，

2

VAB=CD,

・・・AE=CF,

・・・CD=CF,

•••S△KF=SACBD=­S平行四边形ABCD，

2

VEG=FH,

A0G=0H,

在AODG和△OBH中，

'OG=OH

<ZDOG=ZBOH-

OD=OB

.".△ODG^AOBH(SAS),

SZ\ODG=SAOBH,

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SHi4®ABIIG-SHiiKCDGH——S平行四边般4BCD,

2

综上所述，面积等于。ABCD面积的一半的两个三角形为4ADE和aBCF,两个四边形为四

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面

积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

★变式训练★--------------深挖数学思想，揭示内涵实质

1.（2022•黑龙江大庆）如图，将平行四边形ABCD沿对角线8。折叠，使点A落在E处.若

Nl=56。，Z2=42°,则ZA的度数为（）

【答案】C

【分析】先根据平行四边形的性质，得出ABCD,根据平行线的性质，得出ZABE=Z1=56°,

根据折叠得出4BD=gNABE=28。，根据三角形内角和得出NA的度数即可.

【详解】解：；四边形ABCD为平行四边形，ABC。，，448£：=/1=56。，

根据折叠可知，ZABD=AEBD,：.^ABD=\^ABE=\x56°=28°,

22

Z2=42°,AZA=18O0-ZABZ）-Z2=110°,故C正确.故选：C.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，折叠性质，

根据已知条件求出加。=28。是解题的关键.

2.（2022•泉山区校级三模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD

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的延长线上，BE=DF,连接EF,分别交BC、AD于G、II.求证：EG=FH.

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题；多边形与平行四边形；推理能力.

【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,ZABC=ZCDA,

.\ZEBG=ZFDH,ZE=ZF,

在ABEG与△DFH中，

'/E=NF

,BE=DF'

,ZEBG=ZFDH

.•.△BEG四△DFH(ASA),

.•.EG=FH.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是

解题的关键.

3.(2022•四川泸州)如图,已知点E、F分别在nABCD的边AB、CD上,且AE=CF.求证：

【分析】由“平行四边形ABCD的对边平行且相等”的性质推知AB=CD,AB〃CD.然后根据

图形中相关线段间的和差关系求得BE=FD,易证四边形EBFD是平行四边形，即可得出结论.

【详解】证明：二•四边形ABCD是平行四边形，

AAB=CD,AB>7CD.

VAE=CF.

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，BE=FD,BE〃FD,

四边形EBFD是平行四边形，

.\DE=BF.

考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.

4.(2022•南岗区校级二模)在。ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、

CF、DF、BE,ZDAE=ZBCF.

(1)如图1,求证：DE=BF；

(2)如图2,设AE交DF于点G,BE交CF于点H,连接GH,若E是CD边的中点，在不

添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以GH为边的所有平行四边形.

【考点】平行四边形的性质.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【分析】(1)由平行四边形的性质得出AB〃CD,ZADE=ZCBF,AD=BC,由ASA证明△

ADE^ACBF,得出DE=BF；

(2)由中点的定义得出DE=CE,由平行四边形的判定方法即可得出平行四边形.

【解答】(1)证明：二•四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,ZADE=ZCBF,AD=BC,

在AADE和△CBF中，

'/ADE=NCBF

<AD=BC，

ZDAE=ZBCF

...△ADE丝△CBF(ASA),

...DE=BF：

(2)解：是CD的中点，

；.DE=CE,

...以GII为边的平行四边形有平行四边形GHFA、平行四边形GHBF、平行四边形GHED、平

行四边形GHCE.

第16页共65页

【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平

行四边形的性质，证明三角形全等得出DE=BF是解决问题(1)的关键.

5.(2022•江苏扬州)如图，在ABCD41,BE、DG分别平分NA8C、ZADC,交AC于点

E、G.

(2)过点E作耳'_LA8,垂足为F.若，A8CQ的周长为56,EF=6,求AABC的面积.

【答案】(1)见详解

(2)84

【分析1(1)由平行四边形的性质证AABE三△CDG(ASA)即可求证;

(2)作EQ，8C,由SMBC=SMBE+S4rac即可求解：

(1)证明：在，中，

,/AB//CD,

：.2BAE=2DCG,

；8区DG分别平分NABC、ZADC,ZABC=ZADC,

：.ZABE=NCDG,

在MBE和XCDG中，

'NBAE=NDCG

•：-AB=CD

NABE=NCDG

：.AABE^ACDG(ASA),

：.BE=DG,ZAEB=ZCGD,

BE//DG.

(2)如图，作EQ_L8C,

第17页共65页

AD

1

A88的周长为56,

AB+BC=28,

,：BE平分ZABC,

EQ=EF=6,

^SMHC=SAAHE+SAEIIC=^EF-AB+^EQBC=3（AB+BC）=M.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识

并灵活应用是解题的关键.

6.（2022•五华区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,分别

过点B,D作BELAC,DF±AC,垂足分别为点E、F.

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）若DF=EF,CE=7,AB=13,求平行四边形ABCD的面积.

【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【分析】（1）由在平行四边形ABCD中，BE±AC,DF1AC,易证得4ABE丝Z^CDF,即可

得BE〃DF,BE=DF,则可证得四边形BFDE是平行四边形；

（2）根据勾股定理和平行四边形的面积公式解答即可.

【解答】（1）证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,AB=CD,

AZBAE=ZDCF,

VBE1AC,DF±AC,

.\ZAEB=ZCFD=90°,BE〃DF,

在aABE和ACDF中，

第18页共65页

，ZBAE=ZDCF

，ZAEB=ZCFD>

AB=CD

.'.△ABE^ACDF(AAS),

.,.BE=DF,

四边形BFDE是平行四边形；

(2)解：在平行四边形ABCD中，CD=AB=13,设DF=EF=x,

VDF1AC,

AZDFC=90°,

在RtZXDFC中，CE=7,由勾股定理得：DF2+CF2=CD2,

即x2+(x+7)2=132,

解得：Xi=5,xz=-12(舍去)，

；.DF=EF=5,

VAO=CO,FO=EO,

.\AO-FO=CO-EO,即AF=CE=7,

AC-AF+EF+CE=7+5+7=19,

,平行四边形ABCD的面积=2SAADC=2XyAC-DF=19X5=95-

【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理.此题

难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

★真题呈现★--------------直面中考考题，总结考法学法

考点03三角形的中位线

1.(2022•广东)如图，在二A3C中，3c=4,点D,E分别为A8,AC的中点，则£>£=

()

A.-B.工C.1D.2

42

【答案】D

【分析】利用中位线的性质即可求解.

第19页共65页

【详解】VD>E分比为AB、AC的中点,

，DE为aABC的中位线，ADE=-BC,

2

VBC=4,；.DE=2,故选：D.

【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，掌握中位线的判定与性质是解答本题的关键.

2.（2022•丹徒区模拟）如图，已知在△ABC中，D,E,F分别是AB,BC,AC的中点，连结

DF,EF,BF.

（1）求证：四边形BEFD是平行四边形：

（2）若NAFB=90°,AB=6,求四边形BEFD的周长.

【考点】平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理.

【专题】三角形；多边形与平行四边形；推理能力.

【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得到DF〃BC,EF〃AB,根据平行四边形的判定

定理即可得到结论；

（2）根据直角三角形的性质得到DF=DB=DA=1AB=3,推出四边形BEFD是菱形，于是

2

得到结论.

【解答】（1）证明：；D,E,F分别是AB,BC,AC的中点，

，DF〃BC,EF〃AB,

；.DF〃BE,EF〃BI）,

...四边形BEFD是平行四边形；

（2）解:VZAFB=90°,D是AB的中点,AB=6,

；.DF=DB=DA=2AB=3,

2

：四边形BEFD是平行四边形，

四边形BEFD是菱形，

：DB=3,

四边形BEFD的周长为12.

【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，直角三角形的斜边

第20页共65页

中线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.

3.（2022•黑龙江大庆）如图，在四边形尸中，点E,C为对角线跳■上的两点,

AB=DF,AC=DE,EB=CF.连接AE,C£）.

（1）求证：四边形板＞厂是平行四边形；（2）若AE=AC,求证：AB=DB.

【答案】（1）证明见解析⑵证明见解析

【分析】（1）由3E=C/可得BC=£/，证明△ABC丝△3EE（SSS）,则=

AB//DF,进而结论得证；

（2）由A£=AC,可知NAECnNACEuNDEF,AE=DE,则NAEB=,证明

AE哙DEB（SAS）,进而结论得证.

（1）证明：；BE=CF,

：.BE+EC=EC+CF,

：.BC=EF,

在二ABC和ADFE中，

AB=DF

AC=DE,

BC=EF

：.ABC^DFE(SSS),

：.ZABC=NDFE,

：.AB//DF,

又•:AB=DF,

...四边形方是平行四边形.

⑵证明：由（1）知，,ABC”—DFE（SSS）,

第21页共65页

，ZACB=ZDEF,

AE^AC,

：.ZAEC=ZACE=ZDEF,AE=DE,

：.ZAEB=ADEB,

在△4EB和一。£B中，

EB=EB

•：<NAEB=NDEB,

AE=DE

.AEB^,DEB（SAS）,

AB=DB.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定.解题的关键在于熟练学

握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定.

★变式训练★-------------深挖数学思想，揭示内涵实质

1.（2022•四川眉山）在，A5C中，AB=4,BC=6,AC=8,点O,E,尸分别为边A8,

AC,BC的中点，则.£）阱的周长为（）

A.9B.12C.14D.16

【答案】A

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出aABC的周长

=24DEF的周长.

【详解】：D,E,F分别为各边的中点，...DE、EF、DF是AABC的中位线，

.*.DE=1-BC=3,EF=1AB=2,DF=yAC=4,二Z\DEF的周长=3+2+4=9.故选：A.

【点睛】本题考查了三角形中位线定理.解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关

系.

2.（2022•景德镇模拟）如图，AB=AC,AD±BC,垂足为点D,点E是AC的中点.

求证：ZDEC-2ZBAD.

第22页共65页

A

【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的性质.

【专题】三角形；推理能力.

【分析】结合三角形“三线合一”的性质推知AD是/BAC的平分线，点D是BC线段的中

点，所以DE是AABC的中位线；所以由三角形中位线定理知：AB〃DE,则NDEC=/BAC,

由等量代换证得结论.

【解答】证明：VAB=AC,AD±BC,

NBAC=2NBAD=2/CAD,点D是BC线段的中点.

又•••点E是AC的中点，

ADE^AABC的中位线.

/.AB/7DE.

AZDEC=ZBAC.

.\ZDEC=2ZBAD.

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平

行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

3.（2022•浙江温州）如图，在二中，4），8c于点D,E,F分别是AC,48的中点,

0是。F的中点，E。的延长线交线段8。于点G,连结EF,FG.

（1）求证：四边形。EFG是平行四边形.

⑵当4）=5,tan/E£）C=9时，求FG的长.

2

【答案】（1）见解析

第23页共65页

【分析】(1)根据E,F分别是AC,A8的中点，得出E尸〃8C,根据平行线的性质，得

出NFEO=ZDGO,NEFO=NGDO，结合0是。下的中点,利用“AAS”得出△EFg/XGDO,

得出所=GD,即可证明DEFG是平行四边形；

(2)根据AO_LBC,E是4c中点，得出£>£>=,AC=EC,即可得出tanC=tan/E»C=9,

22

An5

叩舞=；,根据4)=5,得出CD=2,根据勾股定理得出AC的长，即可得出DE,根据平行

四边形的性，得出尸6=。七=变.

2

(1)解：(1)VE,F分别是AC,A8的中点，

・・・EF//BC,

：・/FEO=/DGO,4EFO=/GDO,

•・・o是。产的中点,

:.FO=DOf

・・・_E/*..GDO(A4S),

・・・EF=GD,

・・・四边形DEFG是平行四边形.

(2)VAD±BC,E是AC中点,

:.DE=—AC=EC,

2

・•・ZEDC=ZC,

tanC=tanZ.EDC=—,

2

.AD5

••-=一•

DC2

AD=5f

：.8=2,

二DE=-AC=-yjAD2+CD2=-XA/52+22=^.

2222

•.•四边形DEFG为平行四边形，

••"FG=DE--晒-----.

2

【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，勾股定理,直角三角形斜边上的中线，

三角形全等的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，中位线的性质，根据题意证明

△EFO四△GDO,是解题的关键.

第24页共65页

4.(2022•贵州毕节)如图1,在四边形438中，AC和3。相交于点0,

AO=CO,1BCA?CAD.

(1)求证：四边形ABC。是平行四边形；

(2)如图2,E,F,G分别是30,CO,4D的中点，连接EF,GE,GF,若

BD=2AB,BC=15,AC=16,求二ERG的周长.

【答案】(1)证明过程见解析(2)24

【分析】(1)由NBC4=NC4r＞得到BC〃AD,再证明△AOD0ACOB得到BC=AD,由此即可证

明四边形ABCD为平行四边形；

(2)由ABCD为平行四边形得到BD=2B0,结合己知条件BD=2BA得到BO=BA=CD=OD,进而得到

△DOF与△BOA均为等腰三角形，结合F为0C中点得到/DFA=90°,GF为RtaADF斜边上

的中线求出GF=1AO=E；过B点作BHLAC于H,求出B1I=9,再证明四边形BIIGE为平行

四边形得到GE=BH=9,最后将GE、GF、EF相加即可求解.

(1)证明：VZBCA=ZCAD,

ABC#AD,

NBCA=ACAD

在aAOD和△COB中：■CO=AO

ZCOB=ZAOD

.,•△AOD^ACOB(ASA),

；.BC=AD,.•.四边形ABCD为平行四边形.

(2)解：•.•点E、F分别为B0和CO的中点，

；.EF是△OBC的中位线，.EFu彳BCu-^"；

：ABCD为平行四边形，；.BD=2B0,

又已知BD=2BA，：.BO=BA=CD=OD，

第25页共65页

.,.△DOF与aBOA均为等腰三角形,

又F为0C的中点，连接DF,

.,.DF±OC,AZAFD=90°,

又G为AD的中点，

由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：GF=\AD=\BC^.,

过B点作BHJ_AO于H,连接HG,如上图所示：

由等腰三角形的“三线合一”可知：AH=HO=^-AO=-AC=4,/.HC=HO+OC=4+8=12,

24

在RtABHC中，由勾股定理可知3//=7BC2-CH2=V152-122=9）

•.•H为A0中点,G为AD中点，...HG为aAOD的中位线,

，HG〃BD,即HG〃BE,iLHG^-OD=-BO=BE,

22

.•.四边形BHGE为平行四边形，...GE=BH=9,

C=GE+GF+EF=9+—+—=24.

EFFFCr22

【点睛】本题考察了三角形全等的判定方法、平行四边形的性质、三角形中位线定理、直角

三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，熟练掌握各图形的性质及定理是解决本题的关键.

★热身小卷★--------------夯实基础知识，提升能力水平

一.选择题：

1.（2022•广东）如图，在，ABCD中，一定正确的是（）

A.AD^CDB.AC=BDC.AB=CDD.CD=BC

第26页共65页

【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，然后对各选项进行判断即可.

【详解】解：；四边形ABCI）是平行四边形

.,.AB=CD,AD=BC故选C.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质.解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质.

2.（2022•通辽）正多边形的每个内角为108°,则它的边数是（）

A.4B.6C.7D.5

【考点】多边形内角与外角.

【专题】多边形与平行四边形；运算能力.

【分析】方法一：根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°,再

用外角和360°除以72°,计算即可得解；

方法二：设多边形的边数为n,然后根据多边形的内角和公式（n-2）780。列方程求解

即可.

【解答】解：方法一：二•正多边形的每个内角等于108°,

每一个外角的度数为180°-108°=72°,

边数=360°+72°=5,

方法二：设多边形的边数为n,

由题意得，（n-2）780°=108°・n,

解得n=5,

所以，这个多边形的边数为5.

故选：D.

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每

一个外角的度数求边数更简便，熟记多边形的内角和公式是解题的关键.

3.（2022