山东省菏泽市经开区多校联考2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷

2023-2024学年山东省荷泽市经开区多校联考九年级（上）月考数学试

卷（10月份）

学校:姓名：班级：考号：

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

L下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A.X2—2x—3=0B.x2—xy=2C.x2+-=2D.2（x-1）=x

2.在数学活动课上，老师让同学们判断一个由四根木条组成的四边形是否为矩形，下面是一个学习小组拟

定的方案，其中正确的方案是（）

A.测量四边形的三个角是否为直角B,测量四边形的两组对边是否相等

C.测量四边形的对角线是否互相平分D.测量四边形的其中一组邻边是否相等

3.根据下列表格的对应值，判断方程ax?+匕刀+c=0（ar0,a,b,c为常数）的一个解x的范围是（）

X3.233.243.253.26

ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09

A.3<%<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26

4.如图，菱形4BCD的对角线AC、BD相交于点0,过点。作DH14B于点”，连接OH,若04=6,OH=4,

则菱形4BCO的面积为（）

A.72B.24C.48D.96

5.如图，在任意四边形4BCC中，M,N,P,Q分别是4B,BC,CD,上的点，对于四

边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是（）

A.当M,N,P,Q是各边中点，四边MNPQ一定为平行四边形

B

B.当M,N,P,Q是各边中点，且乙4BC=90。时，四边形MNPQ为正方形

C.当M,N、P,Q是各边中点，且AC=8。时，四边形MNPQ为菱形

D.当M,N、P、Q是各边中点，且ZC1BD时，四边形MNPQ为矩形

6.受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势.某地92号汽油价格六月底是7.5元/升，八月底是8.4

元/升.设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为％,根据题意列出方程，正确的是（）

A.7.5(1+x2)=8.4B.7.5(1+x)2=8.4

C.8.4(1-x)2=7.5D.7.5(1+x)+7.5(1+x)2=8.4

7.如图所示，在正方形4BCD中，P是对角线BD上一点，过P作PE1BC,PF1DC,

垂足分别为E、F,连接EF,若EF=5,贝iL4P的长为（）

A.5

B.4

C.V-5

D.y/~7

8.如图，在正方形4BCD外取一点E,连接4E、BE、0E.过点4作4E的垂线交DE于点P.若4E=AP=1,PB

5.卜列结论:

①△APDNAAEB；

@EB1ED;

③点B到直线AE的距离为JI；

1+6

④SMPB+S^ADP=

-2~

其中正确结论的序号是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.若x=1是关于久的一元二次方程/+ax+2h=0的解，则2023-a-26的值为

10.如图所示，在平行四边形A8CD中，以4为圆心，长为半径画弧交4D于

点F，再分别以点8、F为圆心，大于为半径画弧，两弧交于一点P,连接

AP交BC于点E,连接EF.若BF=6,4B=5,则四边形4BEF的面积为.

II.对于实数a,b,定义运算“㊉"：a㊉b=a2-5a+2b,例如：4㊉3=4?-5x4+2x3=2.根据

此定义，则方程x㊉3=0的根为

12.如图，将矩形4BCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在4B边的中点C'上，若AB=6,

BC=9,贝DFC的长为.

22

13.已知实数m,n满足m-n=1,则代数式/+2n+4m-1的最小值等于.

14.如图，正方形4BCD边长为1,点E在边4B上，（不与4,8重合），将△4DE沿直线DE折叠，点4落在4处,

连接将绕点8顺时针旋转90。得到&B,连接4遇，&C,A2C,给出下列四个结论：

①△ABAi三△CB42；

②4WE+乙41cB=45°;

③点P是直线DE上动点，则CP+&P的最小值为「；

④当N4CE=30。时，AAIBE的面积为三”，

其中正确的结论是.（填写序号）

三、解答题（本大题共9小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.(本小题16.0分)

解下列方程：

(1)用配方法解一元二次方程：X2-2X-2=0；

(2)用因式分解法解方程(x+4)2=5(x+4)；

(3)用公式法解方程3-+6%-5=0；

(4)用合适的方法解方程4/+2x=1.

16.(本小题4.0分)

在菱形4BCC中，AB=4,/.ABC=60°,求BD的长.

17.(本小题4.0分)

在矩形ABCD中，AC=4,^BAC=60°,求矩形力BCD的面积.

18.(本小题8.0分)

如图，在平行四边形48co中，对角线4C与B。相交于点0,。口148于点H,连接H0.4C=8,BD=6,AB=5.

(1)求证：四边形ABC。是菱形.

(2)求△DH。的周长

B

19.(本小题8.0分)

如图，将平行四边形4BCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.

(1)求证：AC=BE.

(2)若Z4FC=2/0,连接4C,BE.求证：四边形4BEC是矩形.

20.(本小题8.0分)

已知关于x的一元二次方程/-2x+m=0(m<0).

(1)判断方程根的情况，并说明理由；

(2)若方程的一个根为-1,求m的值和方程的另一个根.

21.(本小题8.0分)

阅读下面的材料，回答问题：

解方程铲一5/+4=0,这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设M=y,那么

42

x=y,于是原方程可变为y2一5y+4=0①，解得yi=1,y2=4,

当y=l,/=i时，...％=±1；

当y=4,=4时，x=±2；

原方程有四个根：=1,x2=-1,x3=2,x4=-2,

(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到降次的目的，体现了数学的转化思想.

(2)试用上述方法解方程(%2+x)2-4(x2+x)—12=0.

22.(本小题10.0分)

如图，在AABC中，点。是4C边上的一个动点，过点。作直线MN〃BC,设MN交ZBC4的角平分线于点E,

交NBC4的外角平分线于点F.

(1)求证：EO=FO；

(2)当点。运动到何处时，四边形4ECF是矩形？并证明你的结论.

(3)当点。运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形4ECF是正方形？并说明理由.

A

二

BCG

23.(本小题12.0分)

问题解决：如图1,在矩形4BCD中,点E,F分别在AB,BC边上，DE=AF,0E14F于点G.

•4°AD

/S

HBFCBFC

图1图2

(1)求证：四边形ABCO是正方形：

(2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断的形状，并说明理由.

类比迁移：如图2,在菱形4BCD中，点E,F分别在AB,BC边上，CE与4F相交于点G,DE=AF,UED=60°,

AE=5,BF=2,求DE的长.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：A/—2X-3=0只含有一个未知数且最高次数为2,所以是一元二次方程，故该选项符合题

忌；

B.x2-xy=2,含有两个未知数且最高次数为2,所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意；

C.x2+-=2为分式方程，故该选项不符合题意；

X

0.2（%-1）=x是一元一次方程，故该选项不符合题意.

故选：A.

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程有三个特点：（1）

只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程.据此解答即可.

此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若

是，再对它进行整理.如果能整理为曲2+版+©=09工（））的形式，则这个方程就为一元二次方程.

2.【答案】A

【解析】解：4、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意；

8、测量两组对边是否相等，能判定平行四边形；不符合题意；

C、测量对角线是否相互平分，能判定平行四边形；不符合题意；

。、测量四边形的其中一组邻边是否相等，不能判定形状；不符合题意；

故选：A.

根据矩形的判定定理即可得到结论.

本题考查的是矩形的判定定理，牢记矩形的判定方法是解答本题的关键，难度较小.

3.【答案】C

【解析】解：x=3.24,ax2+bx+c=-0.02,

x=3.25,ax2+bx+c=0.03»

3.24<x<3.25时，ax2+bx+c=0,

即方程a/+bx+c-0（a丰0,a,瓦c为常数）的一个解x的范围是3.24<x<3.25.

故选：C.

利用x=3.24,ax2+bx+c=-0.02,而x=3.25,ax2+bx+c=0.03,则可判断方程a/+bx+c=0（a消

0,a,b,c为常数）的一个解x的范围是3.24<%<3.25.

本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未

知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性质求得BD

根据菱形的性质得。为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱

形的面积公式求得面积.

【解答】

解：•••四边形4BCD是菱形，

0A=0C,OB=0D,AC1BD,

vDHLAB,

・・・乙BHD=90°,

・・・BD=2OH,

vOH=4,

・・.BD=8,

vOA=6,

・・・AC=12,

二菱形ABC。的面积=•BD=：x12x8=48.

故选C.

5.【答案】B

【解析】解：连接AC、BD交于点。，

•:M,N,P,Q是各边中点，尸

PQ//AC,PQ=^AC,MN//AC,MN=^AC,BVC

PQ//MN,PQ=MN,

•••四边MNPQ一定为平行四边形，4说法正确，不符合题意；

N4BC=90。时，四边形MNPQ不一定为正方形，8说法错误，符合题意；

AC=BD时，MN=MQ,

••・四边形MNPQ为菱形，。说法正确，不符合题意；

ACJLBD时，4MNP=90°,

四边形MNPQ为矩形，。说法正确，不符合题意；

故选民

连接AC、BD,根据三角形中位线定理得到PQ〃4C,PQ=^AC,MN//AC,MN=^AC,根据平行四边形、

矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可.

本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题

的关键.

6.【答案】B

【解析】解：依题意得7.5(1+x)2=8.4,

故选：B.

利用该地92号汽油八月底的价格=该地92号汽油六月底的价格x(1+该地92号汽油价格这两个月平均每月

的增长率/，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：延长FP交4B于M,延长AP交E尸于N,

•­•PELBC,PF1DC,

四边形MFCB为矩形，

•••MF=BC,

•••四边形力BCD为正方形,

・•・AB=BC,

・•.MF=AB,

vPFlDC,

・・・Z-PFD=90°,

•・,正方形ABCO,

・•・乙PDF=45°,

・•・乙PDF=乙DPF,

DF=PF=AM,

•••CD=BC=AB,

PM=BM=PE,AM=PF,

在AAMP和AFPE中，

AM=FP

Z.AMP=乙FPE,

.PM=PE

：.^AMP^FPE{SAS},

•■AP=EF,

EF=5

.-.AP=5.

故选：A.

根据矩形的性质和判定，正方形的性质求出4M=PF,PM=PE,求出乙4Mp=AFPE=90°,证△AMP^L

FPE,推出4P=EF,即可得解.

此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及矩形的判定与性质.此题难度适中，解题的关键

是数形结合思想的应用，注意辅助线的作法.

8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、

勾股定理的运用等知识.

①利用同角的余角相等，易得=再结合已知条件利用S4S可证两三角形全等；

②利用①中的全等，可得44Po=44EB,结合三角形的外角的性质，易得NBEP=90。，即可证；

③过B作BF_L4E,交4E的延长线于F,利用③中的4BEP=90。，利用勾股定理可求BE,结合AAEP是等

腰直角三角形，可证ABEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；

④根据二角形全等可得SAAPB+SAADP=S&4PB+^^ABE=S«AEP+^ABEP）代入计算即可；

【解答】

解：①•••4EAB+NBAP=90。，^.PAD+^BAP=90°,

AD

E

51-------------------}C

，/-EAB=乙PAD,

又・・・AE=AP,AB=AD,

・・•在和AAEB中，

AE=AP

Z-EAB=乙PAD,

、AB=AD

•••△4PD三△AEB(SAS)；

故此选项成立；

②■.■AAPD=^AEB,

・••Z.APD=Z.AEB,

vZ-AEB=Z.AEP+乙BEP,Z.APD=Z.AEP4-4PAE,

・・・乙BEP=乙PAE=90°,

・•・EB1ED；

故此选项成立；

③过8作BF_LAE,交4E的延长线于F,

■■■AE=AP,"AP=90°,

Z.AEP=Z.APE=45°,

又♦.•②中EB1EO,BF1AF,

•••乙FEB=4FBE=45°,

22

又•:BE=VBP-PE=V5-2=V-3>

BF=EF=}

•••点B到直线4E的距离为芋.

故此选项不正确；

④如图，连接B。，在Rt/kAEP中，

•••EP=V~2,

又•；PB=V-5>

BE=3,

AEB,

：.PD=BE=C，

111+>T6

,，•SAAPB+S^ADP=S^APB+SAABE=S“EP+SABEPMaXlXl+aXV2Xv3=2

故此选项正确.

・•・正确的有①②④,

故选8.

9【答案】2024

【解析】解：将％=1代入原方程得：l+a+2b=0,

・•・a4-26=-1

2023-a-2b=2023-(a+2b)=2023-(-1)=2024.

故答案为：2024.

将％=1代入原方程，可得出a+2b=-1,再将其代入2023-a-2b=2023一(a+2b)中，即可求出结论.

本题考查了一元二次方程的解，将方程的解代入原方程，求出a+2b是解题的关键.

10.【答案】24

【解析】解：由尺规作图的过程可知，直线AE是线段BF的垂直平分线，/.FAE=^BAE,

■■AF=AB,EF=EB,

•­•AD//BC,

Z.FAE=Z.AEB,

・••Z.AEB=Z.BAE,

・•・BA=BE,

・•.BA=BE=AF=FE,

・・•四边形48E尸是菱形，

・・・40=E。，BO=F0=3,AE

・・・AO=VAB2-BO2=V25-9=4，

・•・AE-2A0=8,

"S菱形ABEF~-BF=^x6x8=24,

故答案为24.

通过证明四边形力BEF是菱形，可得ZO=EO,B0=F0=3,AE1BF,由勾股定理4。=4,即可求4E的

长，然后计算菱形的面积即可.

本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，证明四边形ABEF是菱形是解题的关键.

11.【答案】打=2,x2=3

【解析】解：x㊉3=0,

则一-5x+6=0,

(x-2)(%-3)=0,

解得：Xi=2,上=3.

故答案为：K1=2,&=3.

直接利用新定义运算公式将原式变形，进而解方程得出答案.

此题主要考查了实数运算以及解一元二次方程，正确解方程是解题关键.

12.【答案】5

【解析】解：根据折叠的性质可知，FC=FC,

设BF=x,贝=FC'=9-x,

BF2+BC'2=FC'2,

••./+32=(9-x)2,

解得：x=4,

.1.BF=4,

•••FC=BC-BF=5.

故答案为：5.

根据折叠的性质可知，FC=FC',利用勾股定理求出BF,从而得出尸C即可.

本题考查翻折变换，掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键.

13.【答案】4

【解析】【分析】

本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.已知等式变形后代

入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0,即可确定出最小值.

【解答】

解："m—n2=1,即兀2=巾—120,m>1,

二原式=m2+2m—2+4m-1=m2+6m+9-12=(m+3)2—12,

则代数式巾2+2n2+4m—1的最小值等于(1+3)2-12=4.

故答案为4.

14.【答案】①②④

【解析】解一•四边形ABCD为正方形,

・•・AB=FC,Z-ABC=Z.ADC=Z-DAB=90°,

由旋转知，Z.A1BA2=90°,ArB=A2B,

・•・Z-ABA1=Z.CBA2,

**•△ABCBA2(S/IS),

故①正确；

过。作DMJLC为于M,如图所示,

由折叠知4。=A1D—CD,Z.ADE=Z.A1DE,

.•.△&DC是等腰三角形，

OM平分

Z-ADE+Z.CDM=Z.ADA-1+q&A1DC

又4BCA]+Z.DCM="OM+Z.DCM=90°,

•1•Z.BCAr=zCDM，

Z.ADE+Z-A-yCB=45°>

故②正确；

连接4P、PC、AC,由对称性知，

CP+AtP=CP+PA,当P、4、C共线时取最小值，最小值为4c的

长度，

由勾股定理可得4c=VAD2+CD2=712+/=7-2，

即CP+&P的最小值为V~2，

故③错误；

过点41作21"，4B于H,如图所示,

DtC

n

AEHB

V/.ADE=30°,

.-.AE=^DE,

由折叠可知，

AE2+AD2=DE2=(24E)2,

即4E2+1=(24E)2,

AAE=?，

DE=2AE=容，

BE=AB-AE=

由折叠知乙DEA=4CE&=90°-LADE=90°-30°=60°,AE=AXE=?，

“EH=180°-^AED-乙%HE

•••NEAi"=30°,

EH=〃E=%

26

41H=7A^E2-EH2,

&BE的面积为=^BE-ArH,

故④正确，

故答案为：①②④.

根据全等三角形判定即可判断①；过。作DM1CH1于M,利用等腰三角形性质及折叠性质得NADE+

Z.CDM=45°,再等量代换即可判断②；连接4P、PC、AC,由对称性知，PA“i，知P、A,C共线时取最小

值，最小值为4C长度，勾股定理求解AC,即可判断③；过点为作为H1AB于则乙借助含30。角的

直角三角形的性质和勾股定理求出BE,4”的长度，利用三角形面积公式求解即可判断④.

本题考查了正方形性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定、折叠性质、旋转的性质、勾股定

理、含30。角的直角三角形的性质等知识点，综合性较强，数形结合和准确计算是解题的关键.

15.【答案】解：(1)•・•/-2%-2=0,

・,・%2—2%=2,

2

A%—2%+1=2+1,即Q—1)2=3,

A%—1=

:.=1+，%2=1-；

(2),・・>+4)2=5(x4-4),

2

A(%+4)-5(x+4)=0,

则(％+4)。-1)=0,

%+4=0或％-1=0,

解得=-4,上=1；

(3)va=3,b=6,c=—5,

.・.4=62-4x3x(-5)=96>0,

则％--6±4产_-3±2\'~6

63

-3+215-3-2y/~6

"X1-3"2-3'

(4)•；4X2+2X=1,

•••4%2+2x-1=0,

・•・a=4,b=2,c=—1,

/.21=22-4x4x(-1)=20>0,

则X=-2±2鹏=匚主丑，

84

nn—1+V-5—1—x/-5

即与=—'g=「―.

【解析】(1)将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可

得；

(2)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求

解即可；

(3)利用公式法求解即可；

(4)先移项，再利用公式法求解即可.

本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配

方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.

16.【答案】解：•.・四边形ABCD是菱形，

ACLBD,BD=20B,0A=0C,

■：4ABC=60°,

ABC是等边三角形，

•••AC=AB=4,

OA=2,

OB=VAB2-OA2=742-22=2AT3>

BD=2OB=4/3，

即BD的长为4「.

【解析】由菱形的性质得出4cl8。，BD=2OB,OA=OC,再证△ABC是等边三角形，得4c=AB=4,

则。4=2,然后由勾股定理求出OB的长，即可得出答案.

本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；解答本题的关键是熟练掌握菱形

的性质.

17.【答案】解：•.•四边形ABCD是矩形，

■­■/.BAD=90°,BD=AC=4,

•••OA=OC=^AC=2,BO=0D=^BD=2,

・•.OA=OB=OC=OD,

•・•/,BAC=60°,

△4。8是等边三角形，

・・・AB=2,

・・・BC=VAC2-AB2=Q42-22=2y,

・••矩形的面积=ABxBC=2x2/3=4「.

【解析】由矩形性质得出ZD=BC,AB=CD,Z.BAD=90°,OA=OC=^AC,BO=OD=^BD,AC=BD,

推出。4=0B=0C=0D,得出等边三角形40B,由勾股定理求出BC即可，由矩形的面积公式即可得出结

果.

本题考查了矩形性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点；关键是求出BC的长.

18.【答案】(1)证明：•••四边形4BCD是平行四边形，AC=8,BD=6,

...OA=OC=^AC=4,OD=OB=^BD=3,

vAB=5,

OA2+OB2=AB2,

△4。8是直角三角形，且/4。8=90°,

AC1BD,

平行四边形4BCD是菱形；

(2)解：•••四边形4BC0是菱形，

,

£)8

,

1-/

=2--

18

-

2X4CX6

DH=g,

.­.ADHO的周长为g+3+3=y.

【解析】(1)由平行四边形的性质和勾股定理的逆定理得^AOB是直角三角形，且“OB=90。，则AC1BD,

即可得出结论；

(2)由菱形面积公式求出。，的长，即可解决问题.

本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握菱形的判定与

性质是解题的关键.

19.【答案】证明：(1)••・四边形ABCD是平行四边形，

■■AB//CD,AB=CD,

•••CE=DC,

.-.AB=EC,AB//EC,

四边形ABEC是平行四边形，

・•・AC=BE；

(2)・・•AB=EC,ABHEC,

••・四边形SBEC是平行四边形，

:,FA=FE,FB=FC,

・・•四边形48CD是平行四边形，

・•・乙ABC=乙D,

又•・•乙4FC=2ZD,

・•・Z,AFC=2(ABC,

vZ.AFC=Z.ABC+乙BAF,

・•・乙ABC=LBAF,

・•・FA=FB,

.・.FA=FE=FB=FC,

・••AE=BC,

・・・四边形4BEC是矩形.

【解析】此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质及矩形的判定.

(1)根据平行四边形的性质得到4B〃C。，AB=CD,然后根据CE=OC,得到48=EC,AB//EC,利用一

组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可；

(2)由(1)的结论先证得四边形4BEC是平行四边形，通过角的关系得出F4=FE=FB=FC,AE=BC,证

得结论.

20.【答案】解：(1)方程有两个不相等的实数根.

,•,关于x的一元二次方程/-2x+m=0中，

a=1,b=—2,c—m,

•••b2—4ac—(—2)2—4xlxm=4—4m,

m<0,

:.4—4m>0,

•••原方程有两个不相等的实数根.

(2)一1是方程的一个根，

(-1)2•-2X(-1)+771=0,

:.m=-3；

设方程的另一个根为亚，

-1+%2=2，

X2=3.

m=-3,方程的另一个根为3.

【解析】(1)求出炉-4叫的值，再根据根的判别式判断即可；

(2)把x=-1代入方程，求出m的值，再设方程的另一个根为小，根据根与系数的关系求出0的值即可.

本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关

系是解此题的关键.

21.【答案】换元

【解析】解：(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;

故答案为换元；

(2)设公+%二丫，原方程可变为y2—4y-12=0,解得yi=6,y2=-2,

当y=6时，x2+x=6,

即(x+3)(x—2)=0,解得Xi=-3,x2=2；

当y=-2时，x2+x=-2,BPx2+x+2=0,△=I2-4x2=-7<0,方程没有实数解；

所以原方程的根为：%!=-3,x2=2.

(1)利用换元法把高次方程转化为二次方程；

(2)设/+%=y,原方程可变为y2-4y-12=0,解得％=6,y2=-2,则原方程转化为产+x=6和/+

x+2=0,然后解两个一元二次方程即可.

本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解.所以解高次方程一般要降

次，即把它转化成二次方程或一次方程.也有的通过因式分解来解.也考查了解一元二次方程和根的判别

式.

22.【答案】解：(1)

MN//BC,

z3=z_2,

又CF平分NGC。,

zl=z2,

・•・zl=z.3

・・・FO=CO,

同理：EO=CO,

EO=FO.

(2)当点。运动到ac的中点时，四边形AECF是矩形.

•••当点。运动到AC的中点时，AO=CO,

又：EO=F0,

•••四边形AECF是平行四边形，

由(1)可知，FO=CO,

•••AO=CO=EO=FO,

AO+CO=EO+FO,即AC=EF,

四边形AECF是矩形.

(3)当点0运动到AC的中点时，且AABC满足N/1CB为直角的直角三角形时，四边形4ECF是正方

形.

•••由(2)知，当点。运动到AC的中点时，四边形4ECF是矩形，

•••MN//BC,