四川省乐山市沫若中学2023-2024学年高二年级上册开学考试数学试题

沫若中学2022级高二上期入学考试数学试卷

（考试时间：120分钟试卷总分：150分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知扇形的半径为1,圆心角为60,则这个扇形的弧长为（）

兀一兀-2兀_

A."B.—C.—D.60

633

2

2.复数「的虚部是（）

1-1

A.1B.-1C.iD.-i

3.某小组做“用频率估计概率''的试验时，绘出的某一结果出现的频率

折线图，则符合这一结果的试验可能是（）

A.抛一枚硬币，出现正面朝上

B.掷一个正方体的骰子，出现3点朝上

C.从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球

D.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

4.已知a是第二象限角，则（）

A.5是第一象限角B.sin—>0

2

C.sin2a>0D.2a是笫三或第四象限角

5.如右图，某船在A处看见灯塔尸在南偏东15。方向，后来船沿南偏东45。的方向

航行30km后，到达8处，看见灯塔P在船的西偏北15。方向，则这时船与灯塔的

距离是（）

A.10kmB.20km

C.105/3kmD.55/3km

6.已知sina+cosa=---9则tana+—()

5tana

25

A.——B.-C.一

52

7.已知平面向量a,b的夹角为（，且W=1，W=2,则2a与人的夹角是（）

8.如图，在ABC中，AN=2NC,P是BN上一点,若AP=fAB+；AC,则实

数/的值为（）

A.—B.-C.—D.；

6342

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知一组数据为：3,4,6,7,7,5,5,4,5,4,则这组数据的（）

Q

A.平均数为5B.众数为5C.中位数为5.5D.方差为《

10.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷出的点数之和是5”，B表示事件“第二次

掷出的点数是偶数”，C表示事件“第一次掷出的点数是5”，3表示事件“至少出现一个奇数点”，则

（）

3

A.A与C互斥B.C.B与D对立D.A与B相互独立

H.给出下列命题，其中假命题为（）

A.两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；

B.若A民C,。是不共线的四点，则=是四边形ABCO为平行四边形的充要条件；

C.若a与人同向，且卜卜忖，则〃>0；

D.九〃为实数，若入a="b,则a与b共线.

12.科学研究已经证实：人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期，均可按

y=sins（（y>0）进行变化.记智力曲线为/,情绪曲线为E,体力曲线为P,贝U（）

A.第35天时情绪曲线E处于最高点

B.第33天到第42天时，智力曲线/与情绪曲线E不相交

C.第46天到第50天时，体力曲线尸处于上升期

D.体力曲线?关于点（320,0）对称

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某学校高中一年级有男生500人，女生400人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该年级

学生中随机抽取一个容量为45的样本，则所抽取的女生人数为.

14.已知平面向量a=（3,1）,Z?=（-l,1）,c=（x,-6）.若（“+26）//c,贝!]x=.

15.已知可75。+9=§，贝iJcos（30°—a）的值为.

16.在ABC中，AB=4,B=9，则荏.前的取值范围是________.

3[_o27

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.

17.（本小题10分）

3

已知cosa=-q,且a是第二象限角.

（1）求sine,tana的值；

sin（7r+a）cos（-a）sin"+a

（2）化筒求值：''''（2J.

cos（2023兀一a）tan（2024兀一a）

18.（本小题12分）

已知平面向量a、b,a=（L-g）,忖=1,且a与b的夹角为，

⑴求a.b;

⑵求卜-2m；

(3)若〃+26与2a+/lO(/leR)垂直，求2的值.

19.(本小题12分)

某校对2021年高一上学期期中数学考试成绩(单位：分)进行分析，

随机抽取100名学生，将分数按照[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),

[110,130),[130,150]分成6组，制成了如右图所示的频率分布直方图:

(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；

(2)估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数；

⑶为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在[50,70)和[70,90)的两组中,

用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调

查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在[50,70)内的概率.

20.(本小题12分)

与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安

全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲

21

家庭回答正确这道题的概率是可，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是互.乙、丙两个家庭都回答

正确的概率是1,各家庭是否回答正确互不影响，

(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率：

(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率

21.(本小题12分)

已知函数f(x)=1-2sin2C9x+sin2&r(0<<y<3),且___________.

从以下①②③三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：

①函数/(x)图象中相邻的两条对称轴之间的距离为万；

②函数/(X)图象与直线y+夜=0的两个相邻交点之间的距离为乃;

③点心五)在“X)上；

O

(1)求函数/(*)的单调递增区间；

rr

(2)将/(x)的图象向上平移2个单位，接着向左平移丁个单位，再将所得图象所有点的横坐标伸

O

长到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到函数y=gW的图象，求函数g。)的最小正周期和对称

轴及xe0,£时的值域。

4

22.(本小题12分)

在一中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2—c2-/bc="cosC.

(1)求角A的大小；

(2)若。=26,求MC周长的取值范围.

沫若中学高2025届开学摸底检测答案

1.

【答案】B

TT冗冗

【详解】易知60=三，由扇形弧长公式可得/=]xl=].

故选：B

2.

【答案】B

22(i+l)

【详解】—=—1，

i-l(i-l)、(/i.+，l)、

则其虚部为-1.

故选：B.

3.

【答案】C

【详解】A选项：硬币正面朝上的概率为g=0.5,A错误；

B选项：3点朝上的概率为，*0.17,B错误；

O

C选项：取到的是黑球的概率为gaO.33,C正确；

D选项：花色是红桃的概率为1考3=0.25,D错误.

故选：C.

4.

【答案】D

【详解】解:对于A,「a是第二象限角,

式

—+2k冗<a<7r+2ICTT,keZ,

2

.TV.a7T.

・・---FK7T<—<---FK7T,kWZ,

422

・・・1是第一象限或第三象限角，故错误；

2

a

对于B,由A可知言是第一象限或第三象限角，故错误；

对于C,是第二象限角，

：.兀*4k兀<2a<2兀+4卜兀,keZ,

2a是第三象限或第四象限角，sin2a<0,故错误;

对于D,是第二象限角,

71

—+2kjr<a<7i+2k兀,kwZ,

2

...万+4%]<2a<2万+4%万,keZ,

...2。是第三象限或第四象限角，故正确;

故选D.

5.

【答案】C

【详解】根据题意，可得NPAB=NPBA=30,即A8=30km,ZAPB=120,

PR

AB得30sin30

在工救中，利用正弦定理得碇丽

sinNA尸8sin120

则这时船与灯塔的距离是.

故选：C.

6.

【答案】B

【详解】因为sina+cosa=上叵

5

平方得sin2a+2sinacosa+cos2a=—又sin?a+cos2a=1

2

故sinacosa

5

sinacosasin2cr4-cos2a15

则tana+--------------+------=-------------------=-------------=—

tanacosasinasinacosasinacoscr2

故选：B.

7.

【答案】B

【详解】由平面向量的夹角为:，且忖=1,忖=2,

可得（2。一/?）•/?=2。=2xlx2cosy-4=-2,

且12〃一N=/kz+b?-4ab=小4+4-4x1x2cosy=2,

设向量与人的夹角为。

{la-byb_2]

所以cos6=

囚-匕帆2x22

因为，€[0,汨，可得。=学，即2a-6与b的夹角为葭.

故选：B.

8.

【答案】C

【详解】由题意，户是8N上一点，设BP=ABN，

则AP=AB+BP=AB+2BN=AB+；l(AN-AB)=(l—/l)AB+/L47V,

.2

又AN=2NC，所以AN=§AC,

21

所以AP=(1—4)AB+§4AC=/A3+]AC,

\—A=t

所以2,1,解得r=J.

—A=—4

132

故选：C

9.

【答案】AD

【详解】将数据从小到大排列：3,4,4,4,5,5,5,6,7,7.

3+4+4+4+5+5+5+6+7+7众数为和中位数为等

平均数为天==5,45,=5,

10

1Q

方差为$2=而[(3-5)123+3(4-5)2+3(5-5)2+(6-5)2+2(7-5)2]=-,故AD正确，BC错误.

故选：AD

10

【答案】ABD

【详解】若两次掷出的点数之和是5,由于每次掷出的点数都在1到6之间，所以第一次掷出的点

数一定小于5,故A与C互斥，故A正确；

“至少出现一个奇数点”的对立事件时“两次掷出的点数都是偶数点”，

所以P(O)=l-：3x3'=:3,故B正确；

由于“至少出现一个奇数点”的对立事件时“两次掷出的点数都是偶数点”，故B与。不是对立的，故

C错误；

先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组(x,y)有6x6=36中等可能的不同情况，“两次掷

出的点数之和是5”有(1,4卜(2,3),(3,2),(4,1)共四种不同的情况,第二次掷出的点数为偶数的情况有

(x,2),(x,4),(x,6)(x=l,2,3,4,5,6)共18种不同情况，两次掷出的点数之和为5且第二次掷

出的点数为偶数的情况有(3,2),(1,4)两种情况,

所以「缶）=2/（8）===（/（48）=2，所以尸缶）「（8）=「（48）,所以4方独立，故D正确.

366236

故选：ABD

11.

【答案】ACD

【详解】对于A,两个具有共同终点的向量，由于起点不一定相同，它们的方向不一定相同，所以

它们不一定是共线向量，所以A错误，

对于B,当A,8,C,£＞是不共线的四点，若AB=£»C,则四边形48CD是平行四边形，若四边形ABC。

是平行四边形，则AB=OC，

所以A8=OC是四边形ABC。为平行四边形的充要条件，所以B正确，

对于C,当〃与b同向，且卜卜恸时，因为两个向量不能比较大小，所以C错误，

对于D,九〃为实数，若入a=M则〃与b不一定共线，如/1=〃=（）时，〃与6是任意的，所以D

错误，

故选：ACD

12.

【答案】AC

【详解】设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线用f（x）=sinpx,g（x）=sinty/,〃（x）=sin用x,

2兀it2兀

所以%28"U'*石

A项：第35天时，^(35)=sin-^-x35=siny=sin[^+2TIj=l,

故E处于最高点，A正确;

B项：SF(x)=/(%)-^(x)=sin-^x-sin-^-x,

,57r♦28兀.).6兀八

因为F(33)=sin27c-sin^-=-sin—<0,F(42)=sm-------sin3TI=sin—>0

v71111

故利用零点存在定理可得存在与433,42）,使得/（%）=0,

故此时智力曲线/与情绪曲线E相交，B错误；

C项：因为xe（46,50）,所以芸兀,曙］,

因为詈＜奇，所以根据正弦函数的性质可得此时"（制=$布三x单调递增，

故处于上升期，C正确；

D项：因为艇320）=sin鲁/0,所以，体力曲线尸不关于点（320,0）对称，D错.

故选：AC.

13.

【答案】20

【详解】从该年级学生中随机抽取一个容量为45的样本，其抽样比例为“八…=-

500+400：

所以抽取的女生人数为400x4=20.

故答案为：20.

14.

【答案】-2

【详解】a+»=(3,l)+2(-l/)=(l,3),因为(a+2/7)//c,

则3x=-6,解得x=-2,

故答案为：—2.

15.

【答案】-

3

【解析】

由余弦二倍角公式可得cos(150o+a)=2cos2(75°+q]—l=2x9-1=--,

\乙)\JJJ

cos(30。-a)=cos[180。-(150卜a)]=-cos(150+a)=g,

故答案为：—

3

16.在中，AB=4,5=|,则艰前的取值范围是________.

[_62J

【答案】(0,12]

4b4_b

【详解】根据正弦定理得sinC-s兀，艮|J..兀.TC,

in—sinr[7t-(zA+—)]sin—

,26273

.b==

•••/4兀、1J3r

sin(A+—)—sinA+—cos/4

322

,85/3cosA

AB'AC=|AB||AC|cosA=4/?cosA=-------------r-------=-------------r

1.AV3x1人△，

一sinAH-----cos4—tanA+—

2222

nTid1A6

tanAG,所以2tanA+

6,2

•'-0<ARACW12，

即落•陇的取值范围（0,12].

故答案为：（0,12].

17.(

44

【答案】(l)sina=tana=--

⑵《

3

【详解】（1）因为。是第二象限角，coscr=--,

4

所以sina=A/1-COS2a=

5

sina4

tana=-------=—

cosa3

-sinacos2a

（2）原式=

一cosa•(-tana)

18.

【答案】⑴1

（2）2

⑶T

【详解】（1）由』=（1,一6）,有一|a|=Jf^=2,

:.ab=|<7|-|z?|cosy=1

(2),一2.=’(〃-»)=\]a2-4a-b+4b2

=74-4+4=2;

(3)因为〃+2b与2〃+九力(XwR)垂直，

所以(a+2%).(2“+劝)=0,BP2^+(4+2)«^+2/lP=0.

，32+12=0,X——4.

19.

【答案】⑴93分;

(2)115分；

⑶工.

10

【详解】（1）解：dh0.005X20+0.005x20+0.0075x20+0.02x20+ax20+0.0025x20=1,

得a=0.01.

数学成绩在：

[30,50）频率0.0050x20=0.1,

[50,70）频率0.0050x20=0.1,

[70,90）频率0.0075x20=0.15,

[90,110）频率0.0200x20=0.4,

[110,130）频率0.0100x20=0.2,

[130,150]频率0.0025x20=0.05,

样本平均值为：40x0.1+60x0.1+80x0.15+100x0.4+120x0.2+140x0.05=93,

可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，

据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计93分.

（2）解：由（1）知样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为0.1+0.1+0.15+0.4=0.75,

在130分以下所占比例为0.75+0.2=0.95

nQ_n75

因此，第80百分位数一定位于［110,130）内，由110+20X孩U：=115,

xJ•/J

可以估计样本数据的第80百分位数约为115分，

据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第80百分位数约为115分.

（3）解：由题意可知，［50,70）分数段的人数为100x0.1=10（人），

［70,90）分数段的人数为100x0.15=15（人）.

用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生,则需在［50,70）分数段内抽2人,分别记为A,4,

需在［70,90）分数段内抽3人，分别记为用，层，B,,

设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段［50,70）内”为事件A,

则样本空间综综A/zd氏耳氏四鸟也用｝共包含io个样本点

而A的对立事件A=｛4%44,B再｝包含3个样本点

所以户（■）=而，所以尸（A）=l-P（,）=而，即抽取的这2名学生至少有1人在［50,70）内的概率为历.

20.

34

【答案】⑴"-

【详解】(1)记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事

件4,B,C,

2__13

则P(A)=屋P(A)P(C)=—,P(8)P(C)=g,

13

即口—P(A)][1-P(C)]=—,P(B)P©=-,

34

所以P(3)=：,P(C)=-,

45

所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为二3，三4.

(2)有3个家庭回答正确的概率为

2342

A=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=-x-x-=-

有2个家庭回答正确的概率为

一-/p>

=P(y4BC+ABC+ABC)=-x-x-+-x-x-+-x-x-=—,

34534534530

1325

所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率尸=£+P.

3056

21.

解析：(1)选①，依题意，f(x)=sin25+cos23x=>/^sin(23x-

__rr

函数/(X)图象的相邻两条对称轴之间的距离为5，因此函数/(X)的周期7=开,

有2。=菖=2

则有f(x)=&sin(2x+1),

ITITTTIT

由2kjt---<2x+—<2k兀+—,kcZ得：krc--—<x<k7t-\■—,keZ

24288

所以函数的单调递增区间是内乃-苧，公■+?(/：eZ).

8o

选②，依题意，/(x)=sin20x+cos20x=&sin(20x+5),显然/(功而、=-V5,

因函数图象与直线)，=-拉的两个相邻交点之间的距离为万，因此函数“X)的周期T=万，有

则有f(x)=&sin(2x+f),

TTTT7TS77"TT

由2k兀<2x+—<lk7i+万，攵£Z得：k7r---<x<k7r+—,kEZ,

所以函数〃x)的单调递增区间是伙万一学e+g](AeZ).

o8

选③，依题意，/(x)=sin2<yx+cos2ty