高三数学一轮复习-求通项的方法讲义

求通项的八法三经验一个注意事项

【八法】

1、公式法：适用于an+i=an+B(B为常数)，an+i=Aan(A为非零常数)

2、叠加法：适用于an+i=an+f(n)

解：Van+i-an=f(n)

an-an-i=f(n-1)

a3-a2=f(2)

A2-ai=f(1)

而ai=...

以上各式叠加可得an=...+f(1)+f(2)+...+f(n-1)(n>2)=..

而当n=l时，…=或#ai

an=...(或分或合)

练习：已知｛aj中，ai=2,an+i=an+2n+3,求｛丽｝通项

3、叠乘法：适用于an+i=f(n)•an

解：(n)

a”

(n-1)

an-i

a=f(2)

a2

"=f(1)

a1

而ai=...

以上各式叠乘可得an=...•f(1)•f(2),•f(n-1)(n>2)=...

而当n=l时，…=或£21

/.an=……(或分或合)

n

练习：已知｛an｝中，ai=2,an+i=3,an,求｛an｝通项

4、待定系数法（适用于an+尸Aan+B）（A、B为常数且A#O,1,BWO）

解：设an+i-x=A（an-x）...（构造）

令bn=a『x,则bn+i=an+i-x...（换元）

故bn+l—Abn

，｛bn｝是首项为b1,公比为A的等比数列

n-1

/.bn=bi•A

即a『x=...（还原）

•・3n=.......

练习：已知数列｛an｝中，ai=2,an+i=2an+3,求｛an｝通项

5、裂项法（适用于an+2=Aan+i+Ban）（A、B为常数且A,BWO）

解：设an+2-xan+i=y（an+i+xan）

取x=y=

令bn=an+l+xan,则bn+尸an+2-Xan+l...（换元）

故bn+l=ybn

...｛bn｝是首项为bl,公比为y的等比数列

.*.bn=bi•y11-1

即an-xan=...（还原）

到了这里，原来三项之间的关系变为了两项之间的关系式，往下怎么

走，由型定法。

练习：已知数列⑶｝中，ai=2,3.2=2,an+2=-|an+i+|an»求⑶｝通项

6、倒数法（适用于an+i=——）或Aan+i,an4-Ban+i4-Can=0

Aan+B

解：•••_1_='土0……（倒过来）

an+ln

.•.」-=4+0,......（构造）

a

n+iCCan

•••令bn=1~,则bn+l=」一（换元）

aa

n„+i

故bn+l=—b+—

cnc

……（由型定法）

••bn二・•・

即工=........（还原）

an

■

••3n—…

练习：1、已知数列｛an｝中,ai=l,an+i=——，求｛a，通项

3an+l

2、已知数列｛aQ中，ai=l,3an+i,an+an+i-an=O,求｛aQ通项

7、观察归纳法

8、前n项和法：适用于由Sn通项，求an通项

例：已知｛an｝的前n项和是Sn,若Sn=n2+2n,求｛aQ通项

2

解：Sn=n+2n

22

.,.当n>l时,an=Sn-Sn-i=n+2n-(n-1)-2(n-1)=2n+l,(n>2)

而ai=si=3

当n=l时,2n+l=3=ai

/.an=2n+l,(n21)

练习：已知｛an｝的前n项和是Sn,若Sn=n2+2n+l,求｛a/通项

【三经验】

1、异名同名化：有s有a的，s化a或a化s

例1：设数列｛an｝的前n项和是Sn=ga『；><2n+i+g,求首项ai和通项

an

例2：ai=3,2an=Sn.Sn-i(n22),求an

2、高次低次化：①开方②因式分解③对数落幕

例1：正项数列｛aj中，an=2叵-1,求an

例2：31—1->3n+l=3n+Ja“+—,求Un

2

例3：正项数列｛aj中,10Sn=an+5an+6,且a］，a3,a$成等比，求an

-

例4：Un+l-Hn,-EL31—393n

3、多元单元化①加减消元②代入消元

例：已知数列｛aj中，ai=l,数列｛bn｝中，5=0,当n>2时，an=；(2an-i+bn-i)

bn=(an-l+2bn-l),求