圆锥曲线中的定值问题(解析版)2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练

专题30圆锥曲线中的定值问题

考试时间：120分钟满分：150分

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质.比如，双曲线有如下

性质：A,8分别为双曲线C:，-1=l（a>0g>0）的左、右顶点，从C上一点P（异于A,B）向实轴引垂线，

ab

垂足为。，则商市|为常数.若C的离心率为2,则该常数为（）

A.且B.6C.-D.

3

33

【解析】设网拓%），则。（卬0）,又由题得A（F,0）,8（a,0）,y；=:22

~Xv\~bh

I

.则」<=父="I"2）=匕

阿|七+,|西—4X；—Q?Q?

6*「2,L2r/1

贝!eJ=—=2=>—=4=>------—=4=3.故选：D

aQQQ

Q~A~O\~Bx

/1\

22

2.已知椭圆C：］+\=l,A,B分别是椭圆C的左、右顶点，。（2,0）,直线机经过点3且垂直于x轴，P

是椭圆上异于A，3的任意一点，直线AP交相于点M,贝产凶（）

28816

A.——B.——C.——D.

393-T

22

【解析】A（—3,0）,3（3,0）,0（2,0）,设尸（国九），则区+为=1,所,

98

8（9--）

则上,k一1%一.=9-8,

网一吃+3无。一3一焉一9年一9一9

、nn./c\LIT,mmm八

设M（3，W,则k=k=——=—,k1=——=m=6k,

APAM3+3oDM3—2AP

所以无D般.々PB=6原屋>=6x（=一乎.

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故选：D.

3.已知产为抛物线C：V=2pMp>。）的焦点，。为坐标原点，过点尸且斜率为1的直线/交抛物线C于

A、8两点，则直线。4、。8的斜率之和为（）

A.12B.-2PC.-4D.-4P

【解析】抛物线C：丫2=2°%（0>0）的焦点厂坐标为产鸟,0

所以直线/的方程为y=设4（占,另）,巩龙2，%）

y2=2px

则《p消去》得炉-3px+?=0,A=(-3/?)2-4x=8/22>0,所以芯+9=3〃,项元2=9，

y=x----

I2

x_Ex_£

则3+%=且+&=0+0=2-9q=2-§黑=2-6=-4.故选：C.

玉x2%x22%％22p

T

4.过抛物线y2=2pM〃>0）的焦点/作直线/交抛物线于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点2

IPFI

已知扁是一个定值，则该定值为（）

A.2B.—C.-D.

247:

【解析】尸已斗设阳冷%）'%,%），

依题意可知直线/的斜率存在，设其方程为y=左卜-=辰-牛（左手0）,

pk2

由2消去V并化简得左2%2一（左2P+2夕）冗+且2工=0,

y2=2px4

则%+Xj=kP^2p=P+j，%+%=左(玉+尤2-p)=学，

2p、

P+m

所以弦MN的垂直平分线为>4=1

I2

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令y=。解得X.=?+f,所以附=£+,/=p+%_

而|仰|=%+々+0=2「+1^,所以=1■•故选：D

丫21

5.已知点尸，。在椭圆?+丁=1上，。为坐标原点，记直线。尸，。。的斜率分别为左”，即0,若七p•坛°=-1

贝U|OP「+|OQ「=()

A.2B.3C.4D.5

【解析】设直线。尸的斜率为3则直线。。的斜率为-十,

2

则直线。尸，。。的方程分别为…，产-小，由＜_+v=12

4得，(1+442)/=4,BPI1=/i+4fc7»

y=kx

x2_.

2=

\i2,14Kl

由＜1得‘("m"=4,即叼一^

y=---x

4k

所以|OP|2+|OQ|2=G/I7F.2)2+(J7^Z.产I2=5+：牛=5,故选：D

J1+4不V168J-21+4H

2222

6.双曲线G：二一二=1（。＞6＞0）和椭圆C2：=+4=l的右焦点分别为尸，尸，A（-fl,O）,8（4,0）,P,Q分

abab

别为C”G上第一象限内不同于B的点，若PA+P3=2（QA+Q8）,（XeR）,PF=43QF',则四条直线

PAPBQA。的斜率之和为（）

A.1B.0C.-1D.不确定值

【解析】设。为原点，则尸A+P5=2PO,QA+QB=2QO,

而PA+P3=/l（QA+Q3）,得尸。=羽。，所以。、P、。三点共线.

得人鼠鬲哥=6

因为尸尸=后0尸，所以PF//QF',且「尸

a2+b2

入

/从=3,即片=2〃.设P(%,y),。(%2，%)，分别代入双曲线G和G，

-

22

券%

i炉=1

则尤;一2廿=2寸一,,M।%23必：：尤］

2,即xSf所以如+如

21玉+〃x-a尤;-2b2%

〃x

>+=1

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所以一^■二」，即幻4+上依+归“+勺5=°.故选：B.

M%

7.双曲线C：1-《一K。〉。,“。）的左顶点为A,右焦点为尸，离心率为2,焦距为4.设M是双曲线。上任

ab

意一点，且M在第一象限，直线与的倾斜角分别为名,«2,则2%+4的值为（）

C.nD.与M位置有关

\a=\2

【解析】由cc，得c，所以62=/一6=3,所以双曲线C的方程为尤2一v匕=1.

-=2[c=23

2

所以左顶点A（TO）,右焦点网2,0）.设M（x°,%）（Xo＞O,%＞。），则其一/=]

IT7T

当X。=2时，%=3,此时上“4=1,«）=-,a2=-,所以2%+&2=兀；

当尤0/2,L=tan（Z]=T^,%=1皿＜/2=/57.因为货=3卜；-1）,

%+12(%+1)%2(%+1)%

所以tan2%=

又由点M在第一象限，易知＜z2e（0,7t）,所以2%+%=兀.

综上，2%+4的值为兀.故选：C

8.已知尸为椭圆二+[=1（。＞6＞0）上任意一点，点M,N分别在直线ll：y=^x^l2-.y=--x±.,^.PM//12,

ab22

PN//IA,若|PM「+|PN「为定值，则椭圆的离心率为（）

A.|B.且

23

V2

\r_z.U•

22

【解析】设P6,%）,则直线尸M的方程为y=-夫+4先,直线尸N的方程为了=?-，+%,

11

联3立-方»程工口组/，口22,解Anz得nM(,+%,?/+学%、

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联立方程组12,解得N母-%,+学，

V=——X—’一

I2

.•."『+|耽|2=97"+吟寸）2+9+%）2+吟+¥=.+.,

产（%,外）在椭圆上，."飞+。飞=。"2,为定值，

o2

5

3

廿-22

1力13

8。

一

-21故选D

一---e--1----e-

254244

a。2

2-

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合

题目要求的.

9.已知抛物线C:y2=2px（p>0）与圆O:Y+y2=5交于A、3两点，且|AB|=4,直线/过。的焦点尸，且

与C交于M、N两点，则下列说法中正确的是（）

A.p=2

11

B-\MF\+\NF\~

C.存在某条直线/,使得|MF|+2|NF|=5

D.若点G（2,2）,则△GFM周长的最小值为3+君

【解析】由对称性得点（L2）在抛物线C：V=2px上，所以2?=2p,解得P=2,故A选项正确；

设直线/和双曲线交于A/区，乂）,N（%,%）两点，设直线方程为无=〃。+1,

代入抛物线方程可得：y2-4my-4=0,A=16m2+16>0,所以％%=~4,X+%=4机，

所以：

1+1_1+1_玉+%+2_根（必+%）+4_4m2+4_

2

\MF\|Nr|+1x2+1xxx2+x2+1（X%）?+根（）+y）+34m+4故B选项正确；

16

................................................112\NF\MF厂

贝IJMF+2N/=（画+2版）.（1~r+1~-）=3+-^-+——>3+2V2,

............................................\MF\NT\MF\NF

当且仅当|MF|=1+四,|N同=1+4时等号成立，故C错误；

如图，过点M作准线的垂线，垂足为AT,交y轴于"1，取期的中点为。，过点。作y轴的垂线，

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过G作G”垂直于准线，垂足为

所以△GFM的周长为+|G同=|MG|+|MM[+6上|G〃|+若=3+若，

当且仅当点M的坐标为(1,2)时取等号，故D选项正确.

故选：ABD.

10.已知A,8是椭圆E：工+y2=l的左右顶点，过点尸(1,0)且斜率不为零的直线与E交于M,N两点,

4'

kAM,kBM,kAN,%BN分别表示直线A"，BM,AN,BN的斜率，则下列结论中正确的是()

13

A・kAM-kBM=--B.kBM-kBN=--

c.=3kBND,直线AM与3N的交点的轨迹方程是x=4

【解析】对于A：设交点因为M在椭圆上，故]+才=1,

1楼

所以汇,k=工____y.;;yf=—生=_L选项A正确;

AMBMXj+2芯一2x^-4X；—44

\x=my+1

对于B：设Ma,%),N（x,y）,直线MV：x=my+l,联2，2（八，

22[x+4y-4=0

3

消去X,得画+4犷+2加广3二。'则X+为二-门①，乂%=一版*②，

=_____________212?_____________

所以凝=■J2,

2

X—ZAQ—Z（冲1—1）（冲2T）rny1y2-m（y1+y2）+l

3

袱2.A3

13）：2,〃）；一“故选项B正确;

m---------\~m\----------5--------+1

Im+4JIm+4J

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31

对于C：联立后和心相除得%V=3KM，故选项C错误;

对于D：设直线AM方程：y=」^（x+2）③，

玉+2

直线3N方程：、=」\（丈-2）④，联立③④，消y得，

龙2-

2(上+人)

X2-2X,+2=2[y2(myl+3)+y1(my2-l)J=4myly2-2yI+6y2

(%M)y2(myl+3)-y1(my2-l)3%+为

x?—2%+2

结合选项B中①②得2租乂%=3（乂+%）,

4,孙％一2yl+6y2_6(%+%)-2,+6%

所以x==4.D正确;

3%+X3%+%

故选：ABD.

11.在平面直角坐标系xOy中，己知双曲线C*-卷=1（°>0,6>0）的离心率为手，且双曲线C的左焦

点在直线x+y+石=0上，A、B分别是双曲线C的左、右顶点，点尸是双曲线C的右支上位于第一象限的

动点，记Bl、PB的斜率分别为4、k2,则下列说法正确的是（）

A.双曲线。的渐近线方程为>=±2%B.双曲线。的方程为1-产=1

C.桃2为定值JD.存在点?，使得仁+《=1

4

2

【解析】对于A选项，fH=£^i=e-i=-L,则2=1，

⑴/4a2

b1

所以，双曲线C的渐近线方程为了=±±》=±;彳，A错；

a2

ci

对于B选项，由题意可得一。+6=0,可得。=君，a=-=2fb=—a=lf

e2

所以，双曲线C的方程为三-丁=1,B对；

4

对于C选项，设点P（x°,九），则手一¥=1,可得尤=4+4北，

易知点A（-2,0）、8（2,0）,所以，猴,=4.4=45=/^=]C对；

V77%+2%-2x^-44尤4

对于D选项，由题意可知x0>2,y0>0,则《={7>0,k2=^->0,且

所以，%+k[>2]k1k2=1,D错.

故选：BC.

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22

12.点用B分别为椭圆C:1r+}=l(a>6>0)的左、右焦点且6(1,0).点尸为椭圆上任意一点，4PFM

的面积的最大值是1,点加的坐标为过点G且斜率为左的直线工与椭圆C相交于A，3两点，则下

列结论成立的是()

A.椭圆的离心率e=Y2

2

B.k的值与左相关

7

C.左的值为常数一*

16

D.左£R,K4."5的值为常数-1

c=l

a=5/2

lc716=1,则离心率e=£=走，A正确;

【解析】由已知得—x2cxb=l,解得

21a2

c=l

a2=b2+c1

又椭圆方程为］+/=1,

设过点尸2且斜率为k的直线L的方程为y=k(x-l),与椭圆方程联立消去y得:

4k°2k2-2

（1+2^2）%2-4^2x+2V-2=0,设4（石,%）,5（%2，%），则再+%=

1+2左2

，MB={x--,yA,

:.MA=2

5525

:.MAMB=Xz-'IJ+X%=工1%2_^（工1+兀2）+记+%（玉一1）%（工2_1）

4416

二（1+左2）“%2一［《+左2］（玉+%2）

+髀2

2k2-24〃257

=（1+用--------------+k2=,C正确.

1+2女21+2/1616

故选：AC.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知抛物线y2=ax的焦点为F,准线/交x轴于点。，过点F的直线交该抛物线于",N两点，则直线QM

与直线QN的斜率之和为

【解析】如图，过加作x的垂线MM},垂足为"一作准线I的垂线MM2,垂足为“2，过N作x的垂线NN,,

垂足为M，作准线/的垂线凡必，垂足为％,连接VQ,NQ,

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\MM,\\MM,\\MM,\

~7=—4=n—=sinZMFM,

则tanZ.MQM1—1

Mg\MM2\\MF\

IwJ回iI-m1I=sin/NFM

tanZW=M阴

因为ZMFMt=ZNFN,，所以tanZMQM}=tanZNFN},即kQM+kQN=0.

14.已知椭圆C:'+y2=1的左顶点为A,O为坐标原点，直线/：y=M%—与椭圆C交于M,N两

k、

点，射线MO与椭圆C交于点P,设直线AP,AN的斜率分别为4,k2,则^=.

【解析】设直线Z：y=Mx—l）过定点3（1,0）.

设MB=2BN，即（1-玉,-»）=%（占T,%）,则%+2%=1+4，%+力%=。.

因为r',所以＜t,两式作差得（•一九/）%外,

，货=i小"4

即（1+⑷（:一〃2）=]_万,所以不—4W=4（1—九），结合%=1+2,得西=得2,%=与3，

由于M+X%=0,即工=-"而射线MO与椭圆C交于点尸，故尸（一%,-

,2

又4—2,0）,故匕=，%2=

一再+2入2+2

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/54-3।2］-92+3

所以8=X（冗2+2）__」伍+2）_124J_2_§

心一3^^一一-2一B丁一"W-'

22

2

15.已知点M、N分别是椭圆/土+v匕=1上两动点，且直线OM、QN的斜率的乘积为3-二，若椭圆上任一点

434

P满足OP=WM+"ON，贝IJ尤+〃2的值为.

【解析】设“国,%）,（孙％）,

NOP=WM+juON,:.OP=(Axl+jux2,+//y2),又尸在椭圆上,

储片+FX+22//X1X2+储代++24//%%_]

43-

4343

.•'2+〃2+2%〃［节+弩］=1,.•.a”.上次=翌=一2，羊+号=0,;.%+〃2=1.

16.已知A,8是双曲线C:二-上=1上的两个动点，动点尸满足AP+AB=O,O为坐标原点，直线OA与

24

直线。8斜率之积为2,若平面内存在两定点可、F2,使得归国一归国为定值，则该定值为

【解析】设尸（"）,4（和%）,3（%2，%），则由4尸+42=0，得（%-占,丁-%）+伍-和%-%）=（。，0），

22

则％=2玉一％,y=2yi-y2,•.点A,3在双曲线^—=1±,

一24

.•.止_2£=1,或一式=1,贝才一4片=16,2々2_丫2、4

2424

2/-V=2（2%-%y-（2%-%丫=e片+2*-8%%）-（4代+£-4%%）=2。-4（2xlx2-yly2）,

设kOA,kOB分别为直线。4,。8的斜率，根据题意，可知kOA-kOB=2,即=2,-2刊=0

22

/.2X2-/=20,即土一匕二1

1020

22

.才在双曲线土-工=1上，设该双曲线的左、右焦点分别为居,8,

1020

由双曲线定义可知IIP月I-1P瑞II为定值，该定值为2M.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知双曲线C:±-《=l（a>0,“0）,渐近线方程为y土;=0,点A（2,0）在C上；

ab2

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（2）过点A的两条直线AP,AQ分别与双曲线C交于P,。两点（不与A点重合），且两条直线的斜率占，k2

满足直线PQ与直线无=2,>轴分别交于M,N两点，求证：AAW的面积为定值.

也」22

【解析】（1）«>o,b>0,依题意，\a2^b=l,所以双曲线C的方程为L-匕=1.

一41

（2）依题意可知尸。斜率存在，设方程为、="+机，P（毛,y）,。（肛%）,

Skm

121-4严

-4=0n<

4m2+4

XiX=-----------------k

12

.1—4左2

22

A=64k2病+4(l-4F)(W+4)>0,m+1-4A:>00,

%y22kxYx2+(m-2^)(x+x)-4m

k、+k212=1,

x1-2x2-2x{x2-2(Xj+X2)+4

整理得(m+2左)(m+24—1)=0.

1）机+2左=0,PQ:y=kx-2k,过A（2,0）舍去，

2）m+2k-l=0,PQ:y=kx-2k+l,过点（2,1）,

i

此时，将"i=l—2左代入①得（1—2左）9+1—4左2=2—4左〉0,左<5，

.才。与x=2交于点M（2,l）,故Z.N=gx2xl=l（定值）

22

18.已知双曲线「：二-2=1实轴A2长为4（A在8的左侧），双曲线「上第一象限内的一点尸到两渐近

ab

4

线的距离之积为二.

（1）求双曲线r的标准方程；

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(2)设过7(4,0)的直线与双曲线交于C,D两点，记直线AC,3D的斜率为％,右，请从下列的结论中选

择一个正确的结论，并予以证明.

①勺+&为定值；

②尢•瓦为定值;

吟为定值

【解析】(1)设户(如儿)是「上的一点，桁-冲=。与次+ay=o是r的两条渐近线,

四o+ayo|_b2%；2y.__4

P到两条渐近线的距离之积4・d2=%一咀

1a2+b?片+b2a2+b25

依题意，2〃=4,故。2=葭双曲线「的标准方程为E—y2=1；

4

-k

(2)正确结论：③71}■为定值.

证明如下:由(1)知A(-2,0),5(2,0),设C(x(，M),D(x2,y2),

因为C,。不与A,3重合，所以可设直线CD：x=ty+4,

匚2=1

与「联立：41一，消去X整理可得：(产一4)，+8)+12=0

x=ty+4

故”±2,A=16(Z2+12)>0,%%=工，%+为=言

所以。1%==一不(芳+必)，

I—4Z

二%

（_%AC_x+2，k「kBD，

x?-2

二M।%二=2/%+2%+6%；__2%+6%/曰一七

①左J+左2—+

12玉+2X-22物+9优+24，1且'

2%+6Zy2+2tyxy2+2缶+6ty2+12

%%X%

②0kk认为.7Gz12

3（—212_%+9优+24'不值'

（%+6）（伪+2）iyxy2+2ty{+6ty2+12

3

匕切伍-2）双仇+2）「5（%+%）+2%

--=---------=---------=----------------

&y2a+2）%（以+6）_1%+%）+6>2

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19.已知椭圆C:2+於=1(。>6>0)的左、右焦点为0B，离心率为(点尸是椭圆C上不同于顶点的任

意一点，射线尸月,PK分别与椭圆C交于点A,B,△尸片3的周长为8.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵设△尸£乙，APF、B,_的的面积分别为工,星,邑.求证：^^+/不为定值.

【解析】(1)因为△咫8的周长为8,^\PFt\+\PF2\+\BF]+\BF2\=2a+2a=8

c1

所以4。=8,可得[=2,由椭圆的禺心率e=—==，可得c=l,从而〃=〃—，=3,

a2

所以椭圆。的标准方程为=+2=1.

43

22

(2)证明：设P(%o，%),设4％),3(孙少)，贝!]%■+九=1,

43

1+1

可设直线外的方程为犬=冲-1,其中机二^,整理得(3m2+4)/一6阳一9=0,

%

-9-9

，0乂—2~2

则3"+4+n+4，同理可得，

[y0)

因为上+,=任+上二一±丝+-

PF、4PF?

----------1-----------

sssAFBF

$3一邑2-iAFtBSBF岛||Af；|-|f；B|sinZAfJBg忸目曾用ZBF2Ft{2

邑25.1PRPF?

所以+=-■+

-%fy)

^)3KJKJ।BF22

yl3P^1+4+3p)J：1+43(/+以+3(%-1)2+8*6x；+8v；+624+610

=[―—」=--------9----------=-----9----=I-=T'

一9

S,S.

所以亡不+U不是定值-

七»2

22

20.如图3所示，点耳，A分别为椭圆石:\+多=l(a>b>0)的左焦点和右顶点，点/为抛物线C:=瓜

的焦点，且。尸=204=4。片(O为坐标原点).

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(2)过点匕作直线/交椭圆E于3,。两点，连接AB,AO并延长交抛物线的准线于点M,N,求证：NMRN

为定值.

【解析】⑴因为点F为抛物线C：V=i6x的焦点，所以勺4,即。尸=4,

2

因为OF=2OA=4。耳,所以。4=1,OA=2,所以a=2,c=l,b=3f

22

所以椭圆E的方程为L+匕=1.

43

(2)证明：由(1)可知：耳(TO),A(2,0),

设5(%，%)，“㈠，%)，显然直线/的斜率不为0,故可设为X二)-1.

x=ty—l,

由得：(3z2+4)-/-6rj7-9=0,A=36^+36(3？+4)>0,

3d+4/=12,

6t-9A,B,"三点共线，，咚%-6y,

.•y+=n，x*y?.~5•

123r+4123/+4-o%]-2ty^—3电一3

-9x36

二一6%.=36J・%二3/+4

同理:

仇一3M/,%，%一3《%+%)+9—9产6t

3产+43r+4

-9x36

=_9,即=(-3,%),册=(-3,%),

-9产―18产+271+36

故4M・居N=9+%・%=。，即：NMF[N=90。.

21.已知抛物线小^=中(。＞