2022-2023学年北京市朝阳区北京中学高一年级上册期中数学试卷含详解

北京中学2022-2023学年度第一学期期中统练试卷

高一年级数学试卷

班级姓名成绩

本试卷共8页，满分150分.考试时长120分钟.考生务必将条形码贴在答题卡规定处，并将答案写

在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的

一项.

1.点尸G，2)到直线x-y-3=0的距离为()

A.1B.V2C.2夜D.Ml

13

2.若点4(-1,0,2),3(1,4,10)在直线/上，则直线/的一个方向向量为()

A.(1,2,4)B.(1,4,2)C.(0,2,-1)D.(0,4,12)

3.已知椭圆1(a>/7>0)的离心率为则

A.a2=2h2B.3a2=4b2C.a=2hD.3a=4h

4.um=—,r是“直线(〃?+2)x+3冲+1=0与直线(加-2)x+Q〃+2)y-3=O垂直”

2

A.充分必要条件B.充分非必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.圆01：必+'2-2*=0和圆尤2+y2—4y=()的位置关系是()

A.内含B.内切C.外切D.相交

6.已知a=(l,(),l),方=(x,l,2),且〃力=3,则向量。与b的夹角为()

A.30B.60C.120D.150

7.己知直线x—y+m=0与圆O：/+丁=1相交于两点，且-AQB为等边三角形，则实数团的值为()

A3B."C.士@D.土逅

2222

8.已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为().

A.4B.5C.6D.7

9.如图所示，在平行六面体A3CO-A中，M为4G与瓦A的交点，若AB=a，AD=b，AA,=c,

则（)

]-1,„1-17-c11,-r11

A.—ci—b+cB.—ClH—/?+CC.—a—b+cD.—ci—b1+c

22222222

10.在平面直角坐标系中，已知点A（0,l）,3（1,1）,P为直线AB上的动点，A关于直线OP的对称点为。，则线

段BQ的长度的最大值为（）

A.1B.2C.1+72D•亚+2

二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分.

11.若P,。是圆/+:/一2%+今+4=0上的两个动点，则俨0的最大值为.

12.写出一条与圆/+；/=1相切的直线/的方程：.

13.己知空间中单位向量。、。，且,则一3。|的值为.

V2V'2

14.已知椭圆工+2_=1的焦点为耳、居，点尸在椭圆上，若|Pf=4,则IP居|=,4尸鸟的大小为

92

62022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球座舱，返回舱的轴截面

可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过

椭圆的焦点产（0,2）,椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与V轴交于点G.若过原点。的直线与上半椭圆交于

点A,与下半圆交于点8,则下列说法正确的有.

①椭圆的长轴长为40；

②线段AB长度的取值范围是［4,2+2夜］;

③△ABf'面积的最小值是4；

④八AFG的周长为4+40.

三、解答题.共6个大题，共85分.

16.已知圆C经过两点A(-3,0),3(1,—2),且圆心在直线4x-y-l=0上.

(1)求线段AB的垂直平分线的方程；

(2)求圆C的标准方程；

(3)求圆C被直线/:3x+4y+5=0截得的弦长.

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，B4_L平面ABCD,AD1CD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为尸。的中

PF1

点，点尸在PC上，且一=-.

PC3

(I)求证：C£)_L平面PAD；

(II)求二面角F-AE-P余弦值;

2

(IID设点G在PB上，且一=—.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.

PB3

18.如图1,在矩形ABCD中，A3=2，8c=4,E为4。的中点，。为BE中点.将AABE沿5E折起到

ABE，使得平面A'BEL平面3CDE(如图2).

(1)求证：AO±CD;

(2)求直线AC与平面A，DE所成角的正弦值；

A'p

(3)在线段AC上是否存在点P,使得OP//平面A，OE?若存在，求出二二的值；若不存在，请说明理由.

22=l(a>〃>0)的离心率为半，上、下顶点分别为A,B,

19.设椭圆——+-|AB|=4.过点£(0,1),且斜率为

a2b2

k的直线/与x轴相交于点F,与椭圆相交于C,。两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若FC=DE，求％的值；

(3)是否存在实数使AC//BD?若存在，请求出出的值；若不存在，请说明理由.

20.已知椭圆C：=1过点A(2,0),3(0,1)两点.

(I)求椭圆C方程及离心率；

(H)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线Q4与)'轴交于点直线尸3与x轴交于点N,求证：四边

形的面积为定值.

21.己知集合4={%,4,,%J(Z22),其中qeZ(i=l,2,,k),由A中的元素构成两个相应的集合：

S={(a,/?)|ae4,a+匕eA},T={(a,Z?)aw.

其中(a,6)是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为相和〃.

若对于任意的aeA,总有一则称集合A具有性质P.

(0)检验集合{0,1,2,3}与{-1,2,3}是否具有性质尸并对其中具有性质p的集合，写出相应的集合S和T.

k(k-1)

(0)对任何具有性质尸的集合A,证明〃——

2

(回)判断力和〃的大小关系，并证明你的结论.

北京中学2022-2023学年度第一学期期中统练试卷

高一年级数学试卷

班级姓名成绩

本试卷共8页，满分150分.考试时长120分钟.考生务必将条形码贴在答题卡规定处，并将答案写

在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的

一项.

1.点尸G，2）到直线x-y-3=0的距离为（）

A.1B.V2C.2夜D.Ml

13

【答案】B

【分析】根据点到直线的距离公式可直接求出答案.

［详解】点P（3,2）到直线x-y-3=0的距离为d==V2.

故选：B.

2.若点A（T,0,2）,B（l,4,10）在直线/上，则直线/的一个方向向量为（）

A.（1,2,4）B.（1,4,2）C.（O,2,-l）D.（0,4,12）

【答案】A

【分析】由方向向量的概念求解，

【详解】由A6=（2,4,8）,/的方向向量与A8平行，只有选项A满足题意，

故选：A

r2v2

3.已知椭圆0+二=1（a>b>0）的离心率为，,则

a2b2

A.a2=2b2B.3a2=4h2C.a=2hD.3a=4h

【答案】B

【分析】由题意利用离心率的定义和b,c的关系可得满足题意的等式.

c1

【详解】椭圆的离心率e=—=1,，=42一/,化简得3。2=4/,

a2

故选B.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识、基本运算能力的考查.

4.i（m=—ff是“直线（m+2）x+3my+l=0与直线（加-2）工+（机+2）丁-3=0垂直”的

2

A.充分必要条件B.充分非必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先由两直线垂直求出团的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.

【详解】因为直线（m+2）x+3/町+1=0与直线（加-2）x+（机+2）丁一3=0垂直，

则（机+2）（加-2）+3m（m+2）=0,即（m+2）（4m-2）=0,解得m=一2或=—；

2

因此由“/«=■!■”能推出“直线（m+2）x+3/ny+l=0与直线（相-2）x+（机+2）y—3=0垂直"，反之不能推出,

2

所以“机=!”是“直线（机+2）x+3冲+1=0与直线（机一2）工+（m+2»-3=0垂直”的充分非必要条件.

2

故选B

【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条

件即可，属于常考题型.

5.圆01：必+'2-2*=0和圆。2：%2+y2—4y=0的位置关系是（）

A.内含B.内切C.外切D.相交

【答案】D

【分析】根据圆的一般方程分别求出两圆的圆心坐标和半径，进而求出两圆心的距离，结合

乃一公<|«02|<4+乃即可得出结果.

【详解】由题意可知

圆。।的圆心«（1,0）,半径4=1,圆。2的圆心。2（°，2），半径彳=2,

所以|。1。2|=石，又弓一《<|«。2]<5+2，

所以圆。।和圆。2的位置关系是相交，

故选：D.

6.己知a=（l,0,l）,%=（x,l,2）,且〃力=3,则向量a与b的夹角为（）

A.30B.60C.120D.150

【答案】A

【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可得出x的值，再利用空间向量数量积可求得a与b的夹角.

【详解】由已知可得a/=x+2=3,可得x=l，.•・卜|=亚，|^|=71+1+4=76,

,a-b3V3

所以,c…〉=丽=万泰F

0<<a,b><180,因此，<。,〃>=30.

故选：A.

7.已知直线工一、+加=0与圆。：/+丁=1相交于A5两点，且〜4。8为等边三角形，则实数团值为()

A.BB.旦C.+3D.+逅

22-22

【答案】D

【分析】根据圆的标准方程及等边三角形的性质，结合勾股定理及点到直线的距离公式即可求解.

【详解】由题意可知，圆。：1+,2=1的圆心坐标为0(0,0),半径为r=],

因为直线x-y+m=0与圆。：/+>>2=1相交于4,8两点，且“。8为等边三角形，

所以cAOB的边长为1，

则圆心0(0,0)到直线x—y+加=0的距离为Ji—(g)=与，

即"=母=且，解得加=±亚

V222

所以实数加的值为±Y5.

2

故选：D.

8.已知半径为1圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为().

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】求出圆心。的轨迹方程后，根据圆心M到原点。的距离减去半径1可得答案.

【详解】设圆心C(x,y)，则J(x_3/+(y_4(=1,

化简得(x—3『+(y—4)2=1,

所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆,

所以|0C|+12|CM1=132+42=5,所以1。。以5—1=4,

当且仅当C在线段OM上时取得等号,

故选：A.

【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.

9.如图所示，在平行六面体ABC。一A4GA中，为4G与的交点，若A8=a，AD=b，AA=C，

贝IJBM=（）

A.U+cB-J+CD.L+2+c

C.,

22222222

【答案】D

【分析】根据空间向量基本定理，用AB,AD,AA,表示出BM即可.

【详解】由题意，因为M为AG与&R的交点，所以M也为4G与qR的中点,

因此8M=B1A1-46=g（B1A+qG）+c=-gAB+；AO+c

11,

=——a+—b+c.

22

故选：D.

10.在平面直角坐标系中，己知点A（0』），3（1,1）,P为直线AB上的动点，A关于直线OP的对称点为。，则线

段BQ的长度的最大值为（)

A.1B.2C.1+72D.血+2

【答案】C

【分析】转化条件得。点轨迹为以。为圆心，0A为半径的圆(不包括点尸)，由忸。|皿、=|OB|+|Q4|即可得解.

【详解】解：A关于直线0P的对称点记为。，P为直线A3上的动点，

，|。2|=|四

，。点轨迹为以。为圆心，Q4为半径的圆(不包括点尸)，如图，

又|QB|=J17T=JL

・•・忸2L=^+|OA|=0+L

故选：C.

二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分.

11.若P，。是圆/+了2-2%+今+4=0上的两个动点，则归。|的最大值为

【答案】2

【分析】当P,。在直径两端时，|PQ|最大.

【详解】圆的标准方程为(％—I)?+(1+2)2=1,

圆心为(1,-2),半径为1,

当P，Q在直径两端时，|PQ|最大，

所以|PQ|的最大值为2/'=2.

故答案为：2

12.写出一条与圆V+y2=i相切的直线/的方程：.

【答案】丁=1(答案不唯一)

【分析】由直线与圆的位置关系求解，

【详解】由题意得直线丁=1与圆f+y2=i相切,

故答案为：y=l（答案不唯一）

13.已知空间中单位向量a、b＞且卜力）=60,则|4一36|的值为.

【答案】"

【分析】根据向量的运算法则计算|a-3b『=7,得到答案.

【详解】|。一3匕/=/+9陵一6a・b=l+9—6xcos60°=l+9—3=7，故|a-3/?|=g-

故答案为：近.

22

14.己知椭圆二+二=1的焦点为耳、工，点P在椭圆上，若|尸耳1=4,贝DIP鸟|=,的大小为

92

【答案】①.2②.120

【分析】由椭圆方程，结合椭圆的定义求IP居I，在焦点三角形中应用余弦定理求丹的余弦值，进而确定其

大小.

【详解】•••/=9，〃=2，

c=y]cr—h2=-\/9—2=V7，

耳闾=2«,又|也|=4,|P用+|P6|=2a=6,

.••1"1=2,由余弦定理，得cos/F/F,=2-+4―（2近广」,

122x2x42

/月「玛=120.

故答案为：2,120

15.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面

可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过

椭圆的焦点*0,2）,椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与V轴交于点G.若过原点。的直线与上半椭圆交于

点A,与下半圆交于点2,则下列说法正确的有.

y-

①椭圆的长轴长为4行；

②线段A8长度的取值范围是［4,2+20］；

③aAB尸面积的最小值是4；

④乙AEG的周长为4+40.

【答案】①②④

【分析】由题意可得仄c,然后可得。，可判断①；由椭圆性质可判断②；取特值，结合|0川长度的取值范围可判

断③；由椭圆定义可判断④.

【详解】解：由题知，椭圆中的几何量匕=c=2,所以a=庐币=2近，

则2a=4正，故①正确；

因为|A@=|O@+|Q4|=2+|Q4］,由椭圆性质可知24|。4区2夜，所以4司43区2+2夜，故②正确；

77

记ZAOF=9,则SABF=SAOF+SOBF=；0A-O/sin(9+gOB-。/sin(万一6)

=OAsine+2sin8=(OA+2)sin。

取6=2,则SABF=1+:OA«1+：X2夜<4,故③错误；

622

由椭圆定义知，|4尸|+|AG|=2"=4jL

所以AFG的周长C.G=|FG|+4夜=4+4近,故④正确.

三、解答题.共6个大题，共85分.

16.已知圆C经过两点A(—3,0),8(1,—2),且圆心在直线4x-y-l=0上.

(1)求线段AB的垂直平分线的方程；

(2)求圆C的标准方程；

(3)求圆C被直线/：3x+4y+5=0截得的弦长.

【答案】(1)2x-y+l=0；

(2)(x-l)2+(^-3)2=25；

(3)6.

【分析】(1)由题可得线段的中点坐标及斜率，然后利用点斜式即得;

(2)由〈，•,，、可得圆心坐标，进而即得；

4x-^-l=0

(3)利用弦长公式即得.

【小问1详解】

由A(—3,0),8(1,—2),可得其中点为(—1,—1),ICAB=_；，

所以线段A8垂直平分线的斜率为2,

故线段AB的垂直平分线的方程为y+1=2(x+l),即2x—y+1=()；

【小问2详解】

2x—y+1=0[x=1

由4IZ可得Vc，

4x—y-1=0[y=3

所以圆心。(1,3),圆C的半径为|=7(l+3)2+32=5，

所以圆C的标准方程为(x—iy+(y—3)2=25；

【小问3详解】

因为圆心C(l,3),圆C的半径为5,

|3+3x4+5|

所以圆心C(l,3)到直线/：3x+4y+5=0的距离为d=4,

V32+4r

所以圆C被直线/：3x+4y+5=0截得的弦长为2斤了=6.

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，B4_L平面ABC。，AD1.CD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PO的中

PF1

点，点尸在PC上，且一=-.

PC3

(I)求证：平面PAD；

(II)求二面角F-AE-P的余弦值;

(川)设点G在PB上，且空=2.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.

PB3

【答案】(I)见解析:

(III)见解析.

【分析】(I)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；

(II)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角凡AE-P的余弦值；

(III)首先求得点G的坐标，然后结合平面AEF的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.

【详解】(I)由于必_L平面ABC。，C£>u平面ABCD,则布，8,

由题意可知且物nAD=A,

由线面垂直的判定定理可得CO_L平面PAD.

(II)以点A为坐标原点，平面A8C。内与AD垂直的直线为x轴，A2Ap方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直

角坐标系A-孙z,

易知：A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),

1<224

由=可得点尸的坐标为尸

由PE=(P£>可得E(O,1,1),

设平面AEF的法向量为："z=(x,y,z),则

.A/=(x,y,z){g,|,g、224

m=—x+—y+—z=0

7333

m•AE=(x,y,zj-(0,1,1)=y+z=0

据此可得平面AEF的一个法向量为：m=（1,1,一1）,

很明显平面AEP的一个法向量为3=（1,0,0），

mnI73

cos<m,n>=।-j-r-|=—7=—

|/n|x|n|V3xl3，

故二面角广AE-P的余弦值为且

二面角FAE-P的平面角为锐角,

3

2<422

(HI)易知尸(0,0,2),B(2,-l⑼,由=可得

3

,(422

则AG=[§,一§,§

注意到平面A£F的一个法向量为：加

其m-AG=0且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.

18.如图1,在矩形ABC。中，AB=2，3C=4,E为的中点，。为BE中点.将AABE沿3E折起到

ABE,使得平面A'BE，平面吕⑺石（如图2）.

A'

图2

(1)求证：AO±CD;

(2)求直线AC与平面A（DE所成角的正弦值;

Afp

(3)在线段AC上是否存在点尸，使得。尸//平面不。£?若存在，求出丁的值；若不存在，请说明理由.

AO

【答案】（1）见解析；（2）交：（3）见解析

3

【分析】（1）先证明A'O_L平面8CDE.再证明A'O_LCZ）.（2）以。为原点，OE,OG,OA所在直线分别为

xy，z轴建立空间直角坐标系（如图），利用向量法求直线AC与平面4DE所成角的正弦值sin。为⑶假

3

A'P

设在线段A'C上存在点P,使得OP//平面AOE.设尸（Xo，为，zo），且=2（0<X<l）,根据0尸//平面

A'C

|A'p|

A'DE求得X=^w[O,l],所以当H=二时，OP//平面A'DE.

详解】（1）由已知A8=AE=2，

因为。为BE中点，所以A'O,8£.

因为平面ABE，平面BCDE，且平面A'BEc平面BCDE=BE，

AOu平面ABE，所以A。_L平面BCDE.

又因为CDu平面BCDE,所以AO_LCD.

（2）设F为线段BC上靠近8点的四等分点，G为CD中点.

由已知易得OF_1OG.

由（1）可知，A'O_L平面BCDE,

所以40,09，A'OIOG.

以0为原点，OF,OG,OA'所在直线分别为％»z轴

建立空间直角坐标系（如图）.

因为43=2，BC=4,

所以川0,0闽,5（1,-1,0）,。（1,3,0）,£＞（-1,3,0）,£（-1,1,0）.

设平面AOE的一个法向量为m=（玉，y,zj,

因为A'。=（—1,3,—后），力E=（0,—2,0）,

m•A!D=0,pn\-xi+3yi-y/2zl=0,

所以《即｝

m•DE=0,-2y=0.

取Z]=-l,得/〃=（也.

而AC=（L3,-⑹.

所以直线A'C与平面ADE所成角的正弦值sin。=

（3）在线段AC上存在点尸，使得OP//平面A'OE.

AP

设尸（a，%，Zo），且彳3=4（0。g1）,则AP=X4'C，4e[0』].

AC

因为A,（0,0，V2）,C（L3,0）,所以卜0，为，z°—逝）=（2,32,-V22）,

所以毛=2,%=32,z0-V2—五入，

所以P（Z3/l,血一立l）,OP=（2,3A,V2-V2/l）.

若OP//平面ADE,则OPL”.即OP-〃?=0.

由（2）可知，平面ADE的一个法向量机=（正

即行X-0+84=0,解得4=gw[O[],

A'p1

所以当F=二时，0P〃平面A'DE.

A'C2

ZA

【点睛】（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的求法

和直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.（2）直线和平

面所成的角的求法方法一：（几何法）找一作（定义法）-证（定义）"指-求（解三角形），其关键是找到直

AB,n\

线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法）sina=—",其中是直线/的

方向向量，〃是平面的法向量，。是直线和平面所成的角.

22£7

19.设椭圆鼻+方=l（a>A>0）的离心率为冷，上、下顶点分别为A,B,|AB|=4.过点£（0,1）,且斜率为

k的直线/与x轴相交于点F,与椭圆相交于C,。两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若FC=DE，求发的值；

（3）是否存在实数使AC7/BD?若存在，请求出&的值；若不存在，请说明理由.

22

【答案】（1）二+匕=1

64

⑵k=+—

3

（3）不存在实数左，使直线AC平行于直线BD，证明见解析.

【分析】（1）直接由离心率和顶点坐标求解即可：

（2）由=得到。。,石厂的中点重合，联立直线和椭圆方程，分别求出CO,ER的中点坐标，解方程即

可;

(3)假设存在，利用AC〃B。建立等式，解方程得火不存在即可.

【小问1详解】

'2b=4

由题意'e=£=4,解得故椭圆的方程为《+*=1；

a3[b=264

a2-b2=c2

【小问2详解】

£+J]

由题意知，攵。0,直线/方程为了=依+1,则E(—L,0),

联立64，可得

k

y=辰+1

(2+3公卜2+6"―9=(),

△=36炉+36(2+35)>0,设。(内，凹),。(林必)，有用+々=或^，兀/2=大看，

则CO中点横坐标

%+—3人

为=亍，

22+3公

又E(0,l),F(—!，0),则所中点横坐标为一二，又因为FC=DE，且C，E，£。四点共线，取七户中点”，则

k2k

FH=HE，

所以FC-FH=DE-HE，即HC=DH，所以“是CO的中点，即CO,E/7的中点重合，即

-3k1解得左=±巫.

2+3k2~~2k3

【小问3详解】

不存在实数3使直线AC平行于直线8D,证明如下：由题意，A(0,2),8(0,-2),则

AC=(x1,y1-2),BD=(x2,y2+2),

若AC〃3£),则AC〃BO，所以%(%+2)=々(乂一2),即王、2—%乂+2(%|+%2)=0，即

司（心+1）-工2（3+1）+2（X]+%2）=0,

-6左—6k

化简得X1一与+2（X]+W）=0，/=一3X|,由（2）得，%,+%,=-------3x.=-------------7，解得

\-2+3k22+3k2

3k

%=T，

12+3k2

2

-933k3

%■，玉.（—3%）=解得x；=-------所以I_整理得2+3左2=3/，无

2+3/2+3公2+3公2+3/

解，

所以不存在实数Z,使直线4c平行于直线BQ.

22

X

20.已知椭圆C：方=1过点A（2,0）,B（0,l）两点.

（I）求椭圆。的方程及离心率；

（II）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线Q4与y轴交于点M,直线P8与X轴交于点N,求证：四边

形ABNM的面积为定值.

【答案】（I）—+/=1e=—（U）见解析.

4-；2

【详解】试卷分析：（I）根据两顶点坐标可知。，匕的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（II）

四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线|AN|,的值求乘积为定值即可.

试卷解析：（I）由题意得，a=2,b=\.

所以椭圆。的方程三+y2=i.

4-

又c=yja2—b2—G'

所以离心率e=£=正.

a2

2

（H）设P（%,%）（%<0，%<。），则xj+4y0=4.

又A（2,0）,B（0,l）,所以，

直线PA的方程为y=.

令x=（）,得yM=----工;，从而18Ml=1-加=1+―工.