2024年上海市数学高考名校模拟题分类汇编 函数的概念、性质及应用含详解

备战2024高考优秀模拟题分类汇编一一函数的概念、性质及应用

一、填空题

1.（2023秋・上海松江•高三校考阶段练习）已知〃尤）为R上的奇函数，M/（x）+/（2-x）=0,当-l<x<0时，

/W=2\贝|若）=—.

2.（2023春・上海杨浦・高三复旦附中校考开学考试）已知/（x）=sinx-g,函数y=/（x）在无1+4。］零点的个数

最大值为.

3.（2023秋・上海静安•高三校考阶段练习）己知函数y=/（x）是定义在R上的奇函数，且当x<0时，=若

/（ln2）=-4,则实数。的值为.

4.（2023・上海松江•校考模拟预测）已知定义在R上的偶函数/（X）=|x-〃?+1|-2,若正实数a、6满足“。）+/（26）=m,

则上+：的最小值为—.

ab

5.（2023秋.上海徐汇.高三上海市南洋模范中学校考开学考试）若〃尤）的值域为{0,1,2},则

g（x）=（〃x）-x）（〃x）-2x）至多有个零点.

6.（2023秋•上海杨浦•高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知f（x）是R上的奇函数，当

x>0时，/（X）=X2-2X-1,则/（尤）的解析式为

7.（2023秋•上海静安•高三上海市市西中学校考开学考试）若函数〃力=［吁丁匕>1在区间［0,+动上严格增，

lx—2,xW1

则实数加的取值范围为.

8.（2023秋•上海浦东新•高三上海南汇中学校考阶段练习）已知函数〃幻=*4+23082（国+2）-。-1的零点有且只有

一个，则实数。的取值集合为.

9.（2023春•上海徐汇•高三位育中学校考开学考试）己知/（X）是定义域为R的奇函数，且图像关于直线％=1对称，

当xe［0,2］时，f（x）=x（2-x）,对于闭区间/，用监表示y=〃力在/上的最大值，若正数k满足叫。闵=2叫⑼,

则女的值可以是（写出一个即可）

1-1-x,0<x<24、十“、,

10.（2023春•上海嘉定•高三上海市育才中学校考阶段练习）已知函数/（元）=,右方程/(1)=丘

2/(x-2),2<x<8')

恰好有四个实根，则实数左的取值范围是.

11.（2023秋•上海杨浦・高三同济大学第一附属中学校考开学考试）已知函数"x）=ln（x+FT）+l,若正实数依匕

满足/（4“）+/（46—1）=2,则工+'的最小值为________.

ab

12.（2023秋・上海徐汇・高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他

fil是有理数

是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，以其名命名的函数。（X）=：日之二狄利克

[0,x是无理数

['尤有理数

雷函数，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数L（x）=：曰工钿将“L函数”，则关于狄利雷函数和L函数有以

[U,尢埋

下四个结论：

（1）O（1）=Z⑴；

（2）函数以乃是偶函数;

（3）L函数图象上存在四个点A民CD,使得四边形A3CD为菱形；

（4）乙函数图象上存在三个点A民C,使得一ABC为等边三角形.

其中所有正确结论的序号是.

13.（2023春•上海浦东新•高三华师大二附中校考阶段练习）已知上eR,函数”尤）=[："+丘]2,无,°，.若关于x

[Inx,x>Q

的方程|/（x）|+左=0恰有四个不同的实数根，则左的取值范围是.

14.（2023秋•上海宝山•高三上海市行知中学校考阶段练习）已知函数/（尤）=若

则实数相的取值范围是.

15.（2023秋•上海徐汇・高三位育中学校考开学考试）已知函数/（x）=f-Ar+2/i（尤wR）,g（x）=ln（x+l）,令

“（x）=〃x>g（x）,若函数y=a（x）的图象在各个象限均有分布，则实数X的取值范围为.

16.（2023秋・上海杨浦・高三上海市控江中学校考阶段练习）已知函数y=〃x）,对任意xeR,都有〃尤+2>〃力=左

（左为常数），且当xe[0,2]时，/（x）=x2+l,则/（2023）=.

17.（2023.上海徐汇.统考二模）己知函数〃x）=x+?+6,xe[Z>,-Ko）,其中6>0,aeR,若/（x）的最小值为2,

则实数。的取值范围是.

二、单选题

]尤2%为牙理数

18.（2023秋•上海浦东新•高三上海市建平中学校考阶段练习）已知函数/（同=':工,巾,，则以下4个命题:

[尤,x为有理数

①“X）是偶函数；②"X）在[0,+。）上是增函数；

③〃x）的值域为Q；④对于任意的正有理数a,g（x）=/（x）-。存在奇数个零点.

其中正确命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

19.（2023秋•上海浦东新•高三上海市洋泾中学校考阶段练习）若函数"X）=加+61唱（x+^/77T）+2在（-*0）上

有最小值-5（a、b为常数）则函数〃元）在（0,+动上（）

A.有最大值3B.有最大值7

C.有最大值9D.有最小值5

20.（2023春・上海宝山•高三上海交大附中校考期中）函数〃x）=（l+x）JU的奇偶性为（）

A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数

—%2—2xYV0

21.（2023・上海徐汇・统考二模）设函数/（x）='一，现有如下命题，①若方程/（%）=。有四个不同的实

inx\,x>u

根毛、4、Xs、乙，则%”「甘羽的取值范围是他：!）；②方程广⑺-、+£|〃x）+l=0的不同实根的个数只能

是1,2,3,8.下列判断正确的是（）

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

22.（2023秋•上海浦东新•高三上海市建平中学校考阶段练习）已知函数/■（x）=£?的图像关于点p中心对称，则

点尸的坐标是（）

23.（2023•上海闵行•上海市某中学校考二模）已知定义在R上的函数/（X）,对于给定集合A,若V占,％eR,

当%-％©A时都有/（^）-/（x2）eA,则称〃x）是“A封闭”函数.已知给定两个命题：

P：若“X）是“｛1｝封闭”函数，则“X）一定是“｛心封闭''函数（"N*）；

Q：若“X）是”心,可封闭”函数（a,beN*）,则“力不一定是“｛成｝封闭”函数.

则下列判断正确的为（）

A.P对，。对B.P不对，。对C.P对，。不对D.P不对，。不对

三、解答题

24.（2023秋•上海普陀・高三曹杨二中校考阶段练习）已知函数〃x）=2,+公2r住eR）是奇函数.

⑴求实数Z的值；

⑵若关于x的不等式/（2依2-4%）+〃2-6）<0有且只有一个整数解，求实数。的取值范围.

25.(2023秋•上海静安•高三校考阶段练习)在一个实验中，发现某个物体离地面的高度》(米)随时间x(秒)的

变化规律可表示为>=,8x+m，Q~X~6.

12—Ax,6<x<12

(1)当左=1,m=2时，若此物体的高度不低于4米时，能持续多长时间？

(2)当且仅当x=6时，此物体达到最大的高度6,求实数匕力满足的条件?

26.(2023秋・上海静安•高三上海市市西中学校考开学考试)已知函数/'(了)=HX-。|+6,g(尤)=x+c(其中。，b,

c为常数)

(1)当a=3,b=2,c=4时，求函数户(x)=/(x)-g(x)在［3,+oo)上的值域;

⑵当a=3,b=2,c=4时，判断函数G(x)=/(x)-g(x)在［3,”)上的单调性,并加以证明；

(3)当6=4,c=2时，方程〃尤)=g(x)有三个不同的解，求实数〃的取值范围.

1—YYIX

27.(2023秋・上海静安•高三校考阶段练习)已知函数/(%)=loga—r是奇函数

x-1

(1)求机的值；

⑵判断/(X)在区间+8)上的单调性,并证明；

(3)当。=g时，若对于［3,4］上的每一个x的值，不等式*x)>+6恒成立，求实数6的取值范围.

28.(2023•上海浦东新•华师大二附中校考三模)某晚报曾刊登过一则生活趣事，某市民唐某乘坐出租车时，在半途

中骂骂咧咧要求司机临时停靠，打表计价结账，然后重新计价，继续前行，该市民解释说，根据经验，这样分开支

付车费比一次性付费便宜一些，他的这一说法有道理吗？确实，由于出租车运价上调，有些人出行时会估计一下可

能的价格，再决定是否乘坐出租车.据了解，2018年上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租

里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米(不含15千米)部分按超起租里程单价加50%.此外，相关部门还规

定了低速等候费和其他时段的计价办法，以及适合其他车型的计价办法.你乘坐过出租车吗？你会仿效那位市民唐某

的做法吗？为什么？

(1)根据上述情境你能提出什么数学问题？为了解决你的问题，你能否作出一些合理假设？

(2)你能否根据你的假设建立数学模型，并回答你所提出的问题.

29.（2023秋•上海静安•高三校考阶段练习）为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能

源汽车最核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备.

生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产x台（xeN+）需要另投入成本a（x）（万元），当年产量x不足45台

时，。（元）=：/+30x-300万元，当年产量x不少于45台时，。（彳）=65+*-900万元.若每台设备的售价与销

售量的关系式为［60+岑1万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.

（1）求年利润了（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；

（2）年产量尤为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？

30.(2023秋•上海静安•高三校考阶段练习)三个互不相同的函数y=/(尤),y=g(X)与y=〃⑺在区间。上恒有

f(x)2/z(x)>g(尤)或恒有f(x)<h(x)<g(x),则称y=%(x)为y=与y=g(x)在区间。上的“分割函数”.

⑴设4(x)=4x,%(%)=尤+1,试分别判断y=%(%),y=4(元)是否是y=2/+2与y=-X?+4x在区间(ro,-H»)上的

“分割函数”，请说明理由；

⑵求所有的二次函数y=G?+cx+d(awO)(用。表示G"),使得该函数是y=2Y+2与y=4x在区间(YO,+CO)上

的“分割函数”；

(3)若且存在实数上涉，使得，=质+>为y=x4-4d与>=4/-16在区间卜4〃］上的“分割函数”，求

的最大值.

备战2024高考优秀模拟题分类汇编一一函数的概念、性质及应用

一、填空题

1.(2023秋・上海松江•高三校考阶段练习)已知〃无)为R上的奇函数，M/(x)+/(2-x)=0,当T<x<0时，

/W=2\贝|若)=—.

【答案】县

2

【分析】根据题意，求得了(2—X)=—/(X)=〃T),得至叶(2+尤)=〃X),得出函数〃尤)是周期为2的周期函数,

再由〃J)=〃-g+8)=/(-f,即可求解.

【详解】由〃尤)为R上的奇函数，且/(尤)+/(2-x)=0,可得/(2—X)=—〃X)=/(T),

所以/(2+尤)=〃可，所以函数是周期为2的周期函数，

又由当-l<x<0时，/(x)=2\可得y(g)=/(一;+8)=/(一;)=2「；=?.

故答案为：—.

2

2.(2023春・上海杨浦•高三复旦附中校考开学考试)已知/Q)=sinx-g,函数y=/(x)在尤e[J+40]零点的个数

最大值为.

【答案】14

【分析】根据正弦函数的图象性质结合零点的定义求解.

【详解】令/(x)=sinx-；可得sinx=；,

TT7T

贝U有x=±—H----卜2kji,keZ,

32

设玉,々是相邻的两个零点，

则有|为一马|=事或上一引=?,

函数y=/(x)在上J+2兀)上有且仅有两个零点，

在上+2忆+4兀)上有且仅有两个零点，

在在+4兀J+6兀)上有且仅有两个零点,

在上+6兀,/+8兀)上有且仅有两个零点，

在卜+8兀J+10兀)上有且仅有两个零点，

在上+10口+12兀)上有且仅有两个零点，

因为二<40-12兀<——,

33

所以Ax)在上+12兀J+40)可能没有零点,

可能有1个零点，可能有2个零点，不可能有3个零点，

所以零点的个数最大值为2x6+2=14个，

故答案为：14.

3.(2023秋•上海静安•高三校考阶段练习)已知函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，/。)=六.若

/(ln2)=T,则实数a的值为.

【答案】—2

【分析】根据给定条件，确定ln2>0,再借助奇函数性质及给定值列式计算作答.

【详解】函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=eOT,而ln2>0,

于是y(ln2)=-/(-ln2)=-/(ln5)=-e"I"5=-eM2-"=一2一"=-4,解得a=—2,

所以实数。的值为-2.

故答案为：-2

4.(2023・上海松江・校考模拟预测)已知定义在口上的偶函数/(尤)=归-%+1|-2,若正实数以6满足〃。)+〃23=〃2,

则上1+［9的最小值为—.

ab

【答案】|9

【分析】首先根据偶函数的定义，得出机的值，再由/(a)+f(»)="2得出。+抄=5,用不等式“1”的妙用，即可

得出最小值.

【详解】因为/(x)是定义在R上的偶函数，

所以/(_工)=卜无_m+1|_2=f(x)-\x-m+l\-2,gpm=l,

所以广。)=国—2,

因为若正实数。、6满足/(。)+/(%)=1,

所以/(Q)+f(2Z?)=a—2+2b—2=1,即a+2b=5,

,12、/〃2b、12b2〃、1c29

贝nt|l(—l—)(—l----)=Id-------1----->l+2x—=

ab555a5b55

当且仅当"==,即a=6时，等号成立,

ja5b

9

故答案为：—.

5.(2023秋・上海徐汇・高三上海市南洋模范中学校考开学考试)若〃力的值域为{0,1,2},则

g(x)=(/(x)-x)(/(x)-2x)至多有,_____个零点.

【答案】4

【分析】分别代入〃x)=0、/(介=1、/(%)=2,求出g(x)=O的解,即可得出答案.

【详解】当〃力=0时,g(x)=2x2,

由g(x)=O可得，x=0；

当〃x)=l时，g(x)=(%-l)(2x-l),

由8(力=0可得，x=l或x=3；

当〃x)=2时，g(x)=2(x—l)(x—2),

由g(x)=O可得，x=l或x=2.

综上所述，g(x)的零点可能是x=0或x=l或x=g或x=2.

所以，g(x)的零点至多有4个.

故答案为：4.

6.(2023秋•上海杨浦•高三上海市杨浦高级中学校考开学考试)已知f(x)是R上的奇函数，当

x>0时，/(X)=X2-2X-1,则/(尤)的解析式为

x2-2x-1尤>0

【答案】/«=0x=0

—x"—2x+1尤<0

【分析】根据函数的奇偶性的性质即可求A》)的解析式；

【详解】设尤<0,贝lJ-x>0

/(-%)=(-%)2-2(—x)-1=X2+2X-1,

又，函数/Xx)为奇函数

/(一元)=~f(x)

/(%)=-/(-%)=—x2—2x+l,

当x=0时，由〃0)=-/(0),

/(0)=0.

x2-2x-lx>0

故f(x)=<0x=0.

——2x+1x<0

x2-2x-1x>0

故答案为：/（%）=0%=0

--2x+1x<0

7.（2023秋•上海静安•高三上海市市西中学校考开学考试）若函数〃尤）=[19]矶:泊在区间[0,+句上严格增，

lx—2,xW1

则实数机的取值范围为.

【答案】

【分析】根据符合单调性可得y=ig|x-词的单调性，再结合分段函数单调性列式求解.

【详解】因为y=ig"在定义域内单调递增，且〃=归-同在（f,m）上单调递减，在（必收）上单调递增，

所以y=lg忖-刊在（HO,上单调递减，在（m,-Ko）上单调递增，

又因为y=V-2在（-应0）上单调递减，在（0,+向上单调递增,

若函数“X）在区间[0,+8）上严格增，贝叶_1<咽1_同，解得根《木，

所以实数机的取值范围为18,\.

故答案为：卜巴布•

8.（2023秋•上海浦东新•高三上海南汇中学校考阶段练习）已知函数/（x）=/+2alog2（国+2）-的零点有且只有

一个，则实数。的取值集合为.

【答案】{1}

【分析】根据函数解析式可知Ax）为偶函数，则只能是/（0）=0,带入求解即可.

【详解】因为/（x）=x4+2alog2（N+2）-a-l的定义域为R,

44

又f（—x）=（-x）+2alog2（|-x|+2）-a-1=x+2alog2（|x|+2）-tz-1=f（x）,

所以/（©为偶函数，

因为函数的零点有且只有一个，故"0）=0,即2a—a-l=0,即a=l.

故答案为：{1}

9.（2023春•上海徐汇・高三位育中学校考开学考试）已知/（无）是定义域为R的奇函数，且图像关于直线x=l对称，

当xe[0,2]时，〃x）=x（2-X）,对于闭区间/，用M表示y=/⑺在/上的最大值，若正数%满足M[Ok]=2M[k2k],

则上的值可以是（写出一个即可）

【答案】上史(答案不唯一)

2

【分析】由奇函数的性质及对称轴得函数的周期，再结合已知解析式作出函数图象，由于/(x)皿x=l,由的定义

及函数的单调性得出1日0,灯，叫。同=1,%侬产g，求出y=g与“龙)图象交点的横坐标(在［。，2］上求出，由周

期性易得其他值)，然后分析推理得出Mgk］=g时的上值.

【详解】因为“X)是奇函数，且图象关于直线x=l对称，贝(尤+2)=/(l+(x+l))=/(l-(x+l))=/(—x)=——(x),

于是/a+4)=-f(x+2)=/(x),即函数/(丈)是周期函数，4是它的一个周期，作出函数的部分图象，如图，

当xe［0,2］时，/(x)=x(2-x)=-(x-l)2+l,最大值为1,因此F3的最大值为1,且"1)=1,/(5)=1,

由于叫04=2%tM，因此leM,2对，否则叫0如VI,叫⑶=1,矛盾，

f(x)在［0,1］上递增,若左<1,贝!J%,对=/(1)<L即叫。同<叫*阳,矛盾，于是左［0,幻,

即有叫0#1=1，叫院2娼=3，并且有％<4,否则叫£2%］=1,从而2左<5,

由x(l—x)=彳得x=1+^^或x=1—,所以图中a=l+^^,b=1—^^-+4=5-,

222222

当％=<7=1+^^时，1k=2+A/2<b>满足题意，当2左=》=5—^^时，k=—~>a>满足题意，

224

综上，上的值为土史或吐史.

24

故答案为：土区

2

10.(2023春•上海嘉定•高三上海市育才中学校考阶段练习)已知函数=-，0若方程〃力=履

［27(x-2),2<xV8

恰好有四个实根，则实数上的取值范围是

4

【答案】(j.D

【分析】根据分段函数分段作出函数的图象，问题转化为函数/(X)与gQ)=入图象交点问题，数形结合即可得解.

1%0VY.［

【详解】当xe［0,2］时，/(元)=］，一,C，八尤)的图象向右平移2个单位，再把纵坐标变为原来的2倍，得到

I2-x,l<x<2

2/(x-2)的图象，也即八九)在区间24］上的图象，以此类推，则在区间［0,8］上的图象如图所示,

设g(x)=丘，若方程〃x)=质恰好有四个实根，

则函数与g(%)的图象有且只有四个公共点，

由图得，A(11),5(3,2),C(5,4),D(7,8),

248

则自A=Ik0B=—，k()c=g，k0口=~,

则k°B<he<k()A<k°D,

4

所以/(x)与g(%)的图象有且只有四个公共点时gV化<1,

故答案为：(二,1)

11.(2023秋.上海杨浦.高三同济大学第一附属中学校考开学考试)已知函数/(x)=ln(x+4r77)+1,若正实数

满足/(4")+/(46—1)=2,则工+工的最小值为________.

ab

【答案】16

【分析】根据题意设g(x)=ln(x+G7T),利用函数奇偶性可以得到设44+46=1,再利用基本不等式即可求出结

果.

【详解】由函数〃x)=ln(x+77W)+l,

设g(x)=ln(x+Jd+i卜则g(x)的定义域为R,

g(x)+g(-x)=In(x+Jx?+"+In^-x+{(-x)2+])=0,

则g(r)=-g(x),所以g(元)是奇函数，

贝U〃x)+〃-x)=2,

又因为正实数满足/(4a)+/(4b-l)=2,

所以4a+4b=1,

11f11tg4a4b、。M

—+—=—+—(zi4〃+4b)=o8+——+——>8+o8=16,

abyab)ba

当且仅当=：时取到等号.

oo

故答案为：16.

12.(2023秋•上海徐汇•高三上海市南洋模范中学校考阶段练习)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他

flx是有理数

是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，以其名命名的函数如=0.是无理数狄利克

匹x是有理数

雷函数，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数”句=乙函数”，则关于狄利雷函数和L函数有以

0,x是无理数

下四个结论：

(1)r»(D=L(i)；

(2)函数L(x)是偶函数；

(3)乙函数图象上存在四个点使得四边形ABCD为菱形；

(4)工函数图象上存在三个点4氏C,使得一MC为等边三角形.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】(1)(4)

【分析】根据狄利克雷函数的定义，结合奇偶性，可判定(1)(2)；利用反证法，可证得(3)错误；直接取点说

明(4)正确；

【详解】由狄利克雷函数的定义，可得。⑴=〃1)=1,所以(1)正确；

尤，龙是有理数

由L(x)=可得L(-l)=-1,£(1)=1,不满足£(-1)=£(1),

0,x是无理数

所以函数L(x)不是偶函数，所以(2)错误；

由L函数定义，可得函数”幻图象上的点要么在直线丁=龙上，要么在直线>=0上，若函数L图象上存在四个点

A,B,C,D,使得四边形ABC。为菱形,

因为菱形的对角线互相垂直平分，则直线产了和y=o不是对角线所在的直线,

不妨设A(a,不B(b,b),C(m,O),Z>(n,0),

ab

a-mb-n

〃+%7h+n

则AC与BD互相垂直平分，可得匕—，可得A与8,C与。重合，且方程不成立，所以(3)错误;

a_b

2~2

取函数L图象上三个点A(3,3),8(3-石,0),C(3+也,0),

则43=灰?=4。=2/，使得—46(?为等边三角形，所以(4)正确.

故答案为：(1)(4)

13.(2023春•上海浦东新•高三华师大二附中校考阶段练习)已知左eR,函数〃X)=+丘+2,尤,。，.若关于兀

IInx,x>0

的方程|/（x）|+k=O恰有四个不同的实数根，则上的取值范围是.

【答案】（-2,0）

【分析】分析可知，上<0,且知方程|/（%）|+k=。在（0,+“）有两个不等的实根，则|/（到+左=。在（-*0］上的图象，

作出函数丁=-左、>=的图象数形结合可求得实数Z的取值范围.

【详解】由|〃到+左=0可得心=/（力性0,可得左40,

若左=0,当x>0时，i|/（x）|=|lnx|=0,可得x=l,

当xWO时，由|/（力|=0,可得/一日一2=0,该方程至多两个根，不合乎题意.

所以，k<0,当x>0时，由|/（x）|=|lnx|=-左可得x=e”或无=/，

即方程|/（x）|+k=O在（0,+e）有两个不等的实根，

当x<0时，由，（尤）|=_左可得_h_21=_左，

对于二次函数g（x）=f-履-2,该函数的图象开口向上，对称轴为直线X=g,

V\^^y=~k

O1X

△=/+4>0,设函数g（x）=x?-6一2的两个零点分别为X［、巧，则占々=-2<0,

若使得关于x的方程〃（力|+%=0恰有四个不同的实数根，则方程|/（元）|+左=0在（f,。］上只有两个不等的实根，

22

所以,0一<2或一左（七k］弋一k万一2=k1+2（无解），解得-2仆。.

综上所述，实数上的取值范围是（-2,0）.

故答案为：（-2,0）.

14.（2023秋・上海宝山•高三上海市行知中学校考阶段练习）己知函数AM=［>2>若/（〃加）”0,

则实数机的取值范围是.

【答案】I，+s）

【分析】作出函数的图象得到了(，，7»-2,然后结合图象即可求解.

【详解】作出函数Ax)的图象，如图所示，

如/(“m)”。，则/(〃?)2-2,

又因为/(7)=2-|-4|=-2,结合图象可知：机2-4,

所以实数机的取值范围是1，内),

故答案为：

15.(2023秋.上海徐汇・高三位育中学校考开学考试)已知函数=忒+24(xwR),g(x)=ln(尤+1),令

M(x)=/(x)-g(x),若函数y=a(x)的图象在各个象限均有分布，则实数X的取值范围为.

【答案】-1<A<0

【分析】根据g(x)的正负情况，将问题转化为/(力=/-疝+2彳在O>x>-1和x>0上各有一个实数根，利用二次

函数根的分布即可求解.

【详解】“⑺=1(%)•g(x)的定义域为(-1,+8),

当x>0时,g(x)>0恒成立,当0>x>-l时,g(x)<0恒成立,

要使y="("的图象在各个象限均有分布，则需要『(X)在尤>0和0>X>T上均有正有负,

所以/(x)=f-；lx+2；l在0>x>T和x>0上各有一个实数根,

1+2+22>0解得一:<几<0,

贝人，即

/(0)<022<0

故答案为：——<A<0

16.(2023秋•上海杨浦•高三上海市控江中学校考阶段练习)已知函数y=f(x),对任意xeR,都有/(x+2)./(x)=k

(左为常数)，且当xe[0,2]时，/(x)=x2+l,贝i]f(2023)=.

【答案】|

【分析】根据左=〃。)-"2)可得出左的值，推导出函数〃元)是周期为4的周期函数，结合周期性可求得“2023)的

值.

【详解】对任意xeR,都有〃x+2)"(x)=左(左为常数)，当x«0,2］时，f(x)=x2+l,

则"0)=1，"2)=5,则」=〃0)"(2)=5,所以，/(1)/(-1)=5,

所以，/(x+2)-/(x+4)=5M/(x+2)-/(x)=5,

所以，/(尤+4)=〃x),故函数是周期为4的周期函数，

则〃2023)=〃4x506-1)=〃-1)=斋=：,

故答案为：g.

17.(2023.上海徐汇.统考二模)已知函数”x)=x+?+6,xe［b,-w),其中6>0,aeR,若〃x)的最小值为2,

则实数。的取值范围是.

【答案】(f,l)

【分析】根据。讨论函数单调性，再根据单调性确定函数最值，最后根据最值确定。的取值范围.

【详解】①当时，/⑺在山,+8)上单调递增，

所以=/仅)=26+4=2,b>0,.,.b=—,因止匕aW0满足题意；

②当a>0时，Ax)在［而,+oo)上单调递增，在(0,，r)上单调递减

（i）当时，了⑺在山,+8）上单调递增,

所以/（尤）nin=/（*）=2b2，贝|J2b2-2b+a=Q,

1b

A1c八7l±Jl—2a[—

/\=l-2a>0,b=--------->y/a,

所以a<02,2b-2b1<b1,b>0,

…271+』1—2a

32

2

1

1a>-114

—或｛4nO<〃V—或一<QW—,

4l-2a>4a-+144）

4

0<QW—;

9

（ii）当时，/（尤）在[&,+8）上单调递增，在上单调递减,

所以〃力3=/（&）=26+》=2,

0<Z?<y/a»BP\[a>2-2>fa>0,

综上，a的取值范围为a<1.

故答案为：（f,D

二、单选题

（无2x为干理数

18.（2023秋•上海浦东新•高三上海市建平中学校考阶段练习）已知函数〃x）=';上用二，则以下4个命题:

为有理数

①“X）是偶函数；②"X）在［0,+8）上是增函数；

③〃元）的值域为Q；④对于任意的正有理数a,g（x）=〃x）-。存在奇数个零点.

其中正确命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】取特殊值可判断①②；根据值域中含正无理数可判断③；根据x=。，x为有理数或炉=°,尤为无理数,

解出可判断④.

一,尤为无理数

【详解】〃尤）=

为有理数

=〃T）=T，所以“X）不是偶函数，故①错误；

7（3）=3,/阴=5,3>指,但〃3）</（国,

所以函数〃x）在［0,+8）上不是增函数，故②错误；

/（1+血）=（1+0）2=3+20,\外勾的值域中有正无理数，故③错误；

g（x）="x）-。的零点即/'（x）=a,即x=a,尤为有理数或炉=°,x为无理数,

对于x=a,x为有理数，必有解x=a,

对于无2=4,x为无理数，有解了=±«■或无解，

故g（x）=/（》）-a有三个或一个零点，故④正确.

故选：B.

19.（2023秋•上海浦东新•高三上海市洋泾中学校考阶段练习）若函数〃司=63+610821+朽石）+2在（-8,0）上

有最小值-5（a、6为常数）则函数在（0,+8）上（）

A.有最大值3B.有最大值7

C.有最大值9D.有最小值5

【答案】C

【分析】构造新函数g(x)=/(x)-2=加+。1082(%+正~71),确定它是奇函数，然后利用奇函数性质求解.

【详解】设g。)=/(%)一2=依3+01og2(X+A/%2+1),

=国之X,；・x+dx2+1>0，，g(x)的定义域是(一8,+8),

g(_x)——ax^+lo§2(_x++1)=_cue1_log2(%++1)——g(x)，g(X)函,

fM在(-oo,0)上最小值是-5,则g(x)在(-00,0)上最小值是-7,

从而g(x)在(0,+8)上最大值是7，.二fM在(0,+co)上最大值是9,

故选：C.

20.(2023春・上海宝山•高三上海交大附中校考期中)函数/(x)=(l+x)后]的奇偶性为()

A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数

【答案】C

【分析】求出了(无)的定义域不关于原点对称，即可判断f(x)为非奇非偶函数.

【详解】由函数〃x)=(l+x)耳|的定义域可得三20,

则卜+祖1-小。=_1<1，

[xw-l

由于定义域不关于原点对称，故/(尤)为非奇非偶函数.

故选：C.

—%2—2xYV0

21.(2023・上海徐汇•统考二模)设函数/(x)='一，现有如下命题，①若方程/'(%)=。有四个不同的实

inx\,x>u

根毛、4、Xs、乙，则%”「甘羽的取值范围是他：!)；②方程广⑺-、+£|〃x)+l=0的不同实根的个数只能

是1,2,3,8.下列判断正确的是()

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

【答案】C

【分析】首先画出函数y=/(x)的图象.根据二次函数的对称性得%+尤2=-2,根据|ln口=|lnx/得退通=1，从而

求得士・马・尤334的取值范围，进而判断出命题①的真假；先根据方程求出Ax)的根，再对根的大小分类讨论，并结

合y=/(x)的图象判断出根的个数，进而判断出命题②的真假.

【详解】当x<0时，/(X)=-X2-2X,图象为抛物线的一部分，抛物线开口向下，对称轴为x=-l,顶点为(-M),

过(一2,0)和(0,0)；

当尤＞0时，/(x)=|ln^,图象过(1,0),如图所示.

对于①，当方程/(x)=。有四个不同的实根毛、々、马、匕时,

不妨假设%1<%2<%3<%4-

贝!-2<<-1<x2<0<x3<1<x4<e,^_xl+x2=-2,|ln司=|lnxj,

所以一In%=ln%,所以£・尤4=1.

X2

因此芯.无2.%3.%4=尤1.4=(一2-尤2)•无2=~2-2x2=-(%2+I)+1,-1<x2<0,

所以西•马・尤33€(0』)，故①为真命题.

对于②，方程/(可一,+£|〃司+1=0等价于(/(x)-a)(/(x)-£|=o且awo,所以/⑺=a或〃耳=：

当a＞l时，。＜:＜1，由y=/(x)的图象得〃x)=a有2个不同实根，/⑺=:有4个不同实根，故原方程有6个

不同实根；

当。=1时，|=a=l,由y=/(M的图象得〃x)=l有3个不同实根，故原方程有3个不同实根；

当0＜。＜1时，-＞1,由＞=/(尤)的图象得〃力=。有4个不同实根，〃x)=:有2个不同实根，故原方程有6个

不同实根；

当。=-1时，!=«=-1,由＞=/(无)的图象得〃力=-1有1个实根，故原方程有1个实根；

当〃＜0且。工-1时，且由y=/(x)的图象得/'(力=。有1个实根，/(2=:有1个实根，故原方程

有2个不同实根；

综上所述，方程尸(x)-1a+£|”x)+l=。的不同实根的个数可能是1,2,3,6.

故②为假命题.

故选：C

22.(2023秋•上海浦东新•高三上海市建平中学校考阶段练习)己知函数/(无)=］三的图像关于点尸中心对称，则

点尸的坐标是()

【答案】B

【分析】运用对称性可知f(x+a)-6为奇函数，4-2*+。片0的解集关于原点对称可求得a的值，再结合奇函数性质

可求得b的值.

【详解】因为〃龙)的对称中心为尸3勿，所以f(x+。)-匕为奇函数，

设/7(元)=/(尤+<7)-匕，则〃(X)=：=-匕，

4-2

由4-2,+"#0的解集关于原点对称，得a=2,

此时〃(无)=^—(xwO)

4-2

任取xe(f,0)u(0,+oo),A(-x)+/j(x)=0,

所以一二7-6+—J-b=O,

4—2r+24-2X2

目n〜112"12X-11々刀田71

即：2人=匚尹+匚产=5’+匚产=彳—="解侍此鼠

所以/(尤)=-^―图象对称中心的坐标为(2,J).

4-28

故选：B.

23.(2023•上海闵行•上海某宝中学校