2024年广东省高考数学一轮复习第3章：导数的综合问题（附答案解析）

2024年广东省高考数学一轮复习第3章：导数的综合问题

1.(2023・温州模拟)已知函数")=/一(a+1)lnx.

(1)当a=0时,求加)的单调区间;

(2)若於)2(辟一〃)lnx对Vxe(l,+8)恒成立，求a的取值范围.

解的定义域为(0,+8),

10丫2—1

当4=0时，f(x)=2x--=^—^-.

XX

当xwQ'5)时，/(x)<o,

则;(X)的单调递减区间为10'巧，

当Xdb'+8)时，/(x)>0,

则段)的单调递增区间为停’+°°1

(2)由於)2(〃2—a)lnx对Vx£(l,+8)恒成立，

得42+IW£■对VxC(l,+8)恒成立.

Inx

设枪•户户(x>l),则人'(x)=fnx：l)

Inx(Inx)2

当xG(l,a)时,h'(x)<0；

当xG(a,+8)时，h'(x)>0.

所以〃(X)min=A(/)=2e,

则/+iW2e,解得一y2e—1将-2e—1,

故。的取值范围是[一、2e-l,^2e-l].

2.设y(x)=2xlnx+L

⑴求/(x)的最小值；

(2)证明：於)W/一冗+1+21nx.

x

⑴解危)的定义域为(0,+8),/a)=2(lnx+l),

当xwP，3时，/(x)<0,犬x)单调递减；

当x上‘十勺时，/(x)>o,©单调递增，

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所以当犬=1时，/(x)取得最小值/2

e

(2)证明令F(x)=x2—x+-+21nx—/(x)

x

x-1

=x(x-1)-------2(x—l)lnx

x

|x---21nxl

=(x—1)1XJ,

令g(x)=x---21nx,

x

则g'(x)=i+4-2=^^2o，

X2Xx2

所以g(x)在(0,+8)上单调递增，

又g(l)=0,所以当0<x<l时，g(x)<0,F(x)>0

当x>l时，g(x)>0,F(x)>0,当x=l时，尸(x)=0,

所以(x-1大xJ20,

即负x)Wx2—x+」+21nx.

x

3.(2023•邢台质检)2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体

育场举行，拉开了冬奥会的帷幕.冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家

的广泛喜爱，达到一墩难求的地步.当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中

某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交a元(lOWaW13)的税

收，预计当每件产品的售价定为x元(13WxW17)时，一年的销售量为(18—x)2万件.

(1)求该商店一年的利润7(x)(万元)与每件纪念品的售价x的函数关系式；

(2)求出兀v)的最大值。(〃).

解(1)由题意，预计当每件产品的售价为x元(13WxW17)时，一年的销售量为(18—x)2万件,

而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交。元(10WaW13),

，商店一年的利润寅x)(万元)与售价x的函数关系式为./(x)=(x-5—a)(18-x)2,x£[13,17].

(2)V/(x)=(x-5-a)(l8~x)2,x6[13,17],

：.f(x)=(28+2a—3x)(18—x),

令，(x)=0,解得x=28：2。或x=[8,而10W.W13,则16wg%W18,

①若16^28+2a<17,即10Wavll.5,

3

28+2al

13,3」时,f(x)》0,Xx)单调递增,

当xd

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“-17

当3'」时，，(x)WO,/(x)单调递减,

4

m-(13-a)3；

②若17W型及<18,即11.5WaW13,

3

则，(x)川,即麻)在[13,17]上单调递增,

•；/(X)max=/(17)=12—Q,

4

—(13-a)3,1O，V11.5,

综上，C(a)='27

.12-a,11.5<aW13.

4.(2022・重庆质检)已知函数兀0=炉+2》一aln}aCR.

(1)当a=4时，求兀0的极值；

(2)若曲线y=/(x)与直线y=ax在(0,4］上有且只有一个交点，求。的取值范围.

解(1)由题意，兀0=/+2%—41njx>0,

4?7

则/(X)=2A-+2--=-(X2+X-2)=-(X-1)(X+2),

XXX

故人x)在(0,1)上单调递减，在(1,十8)上单调递增，

有极小值/(1)=3—41n；,无极大值.

⑵设虱好=加)一"=炉+(2一°”一如今x*(0,4］,

则g'(x)=2x+(2-a)--=-[2x2+(2-tz)x-«]=-(x+l)(2x-a),

XX

①当4=0时，g(x)=x2+2x,在(0,4］上无零点，不符合题意；

②当a〈0时，g(x)在(0,4］上单调递增，g(2)=4+(2-a)X2>0,

x-0时，g(x)<0,

由零点存在定理得，g(x)在(0,4］内只有一个零点，即曲线y=/(x)与直线y=ax在(0,4］上有且只

有一个交点.

③当心0时，g(x)在］“孑上单调递减，在匕。上单调递增,

若彳4,即0<a<8,则只能JJ=a—Hnj

fi-inq

=al44J=0=a=4,

若心8,则g(x)在(0,4］上单调递减，当％—0时，g(x)>0,

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则要g(4)=16+4(2-a)-aln2<0,则

4+In2

故心8,

综上，a的取值范围为(-8,0)U{4}U[8,+8).

5.(2023•济宁质检)已知函数人》)="05*+6式。,6GR),曲线y=危)在点(0,/(0))处的切线

方程为y=-X.

(1)求实数a,6的值；

(2)当xd.2口时，人x)Wc(cCZ)恒成立，求c的最小值.

解(1)因为/(x)=-asinx+be\

f(0)=/>=-1,a=\,

所以解得

/(0)=a+%=0,b=-L

(2)因为y(x)=cosx—e\xG2J,

所以，(x)=­sinx-e>,设g(x)=­sinx-e')

g'(x)=—cosx—er=—(cosx+er).

当xW2,一时，cosx^O,ev>0,

所以g'(x)<0,

当xG(0,+8)时，-IWcosxWl,e>>l,

所以g'(x)<0.

_7t+81

所以，当xG2'J时，g'(x)<0,g(x)即/"(x)单调递减.

因为/(0)=-1<0,/卜力=也一2-—,

1

(

E1

因为e2>e>2,所以—

<e2>

所以4,。)

,使得，(xo)=—sinxo-e"=0,即e'"=-sinxo.

所以，当北一5'叼时，/a)>o,/㈤单调递增;

当xe(xo,+8)时，，a)vo,")单调递减.

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