新高考数学二轮复习 模拟卷1（含解析）-人教版高三数学试题

数学模拟卷（一）

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.集合32*=系xdR｝的非空真子集的个数为（）

A.2B.4C.6D.8

C[画出函数y=2*和y=r的图象，根据图象知集合｛尤|2*=<,尤GR｝有3个元素,

故集合｛尤12，=/,xGR｝的非空真子集的个数为23—2=6.故选C.]

2.复数z满足｛非一c|+|z+c|=2a,zGC,a>c>0｝,则z对应点的轨迹为（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

B[设复数2=1+同，则|z—c|+|z+c|=y（X—c）2+y2+y（x+c）2+y2=2a>2c,

根据椭圆定义知z对应点的轨迹为椭圆.故选B.]

6

3.（1T）d）展开式中的常数项为（）

A.-35B.-5C.5D.35

666

展开式通项为做了6'（—jJ）=C^-（-1）k-X6~2k-C^（-1）r-X8-2r,

[6-2k=0优=3

令，得,

[8-2r=0卜=4

6

因此，二项式（1-展开式中的常数项为一霓一Cg=-35,故选A.]

4.1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方

马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内

繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法.若试管内某

种病毒细胞的总数y和天数f的函数关系为：y=2「i,且该种病毒细胞的个数超过时会发

生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为(1g2心0.3010)()

A.25B.26C.27D.28

C[取y=2'-i=io8,故/—I=k>g2108=81og210,即f=81og210+l=8(^^)+l心27.6,

故该种病毒细胞实验最多进行的天数为27.故选C.]

5.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般

好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也

经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数/(尤)=与三亍”的图象大致是()

C[函数的定义域为{x|xW±l},

—ex—e%)x(e*—e%)

f(_x)==——=f(x),则函数/(%)是偶函数，图象关于y轴对称，排

除A,

当I>1时，/(%)>0恒成立，排除B,D,故选C.]

6.当〃<0时，关于力的不等式一一4"+3。2<0的解集是(%i,xi),贝lj取得

最值的充分条件是()

A.有最大值，bW—1

B.有最小值，62—45

C.有最大值，6W—5

D.有最大值，

2

C[不等式X—4以+3。2<0的解集是(％1,%2),故X1+X2=4。，XIX2=3Q2.

b=xi+x2+~^~=4a+4-=4。+^^w-2、/|=—

X1X23Q<-5aJ\l33，

is

当-4〃=F，即〃=一¥时等号成立，根据充分条件的定义知c满足・故选C・]

7.£[0,扪，g>0)有零点，值域为M三+OO则3的取

2，

值范围是()

口4】「4.I

A.5，wB.w，2

「111「117]

c・瓜3JD-[不nJ

D[x^[0,71],贝i|5一鉴—g,①兀一2,/(x)有零点，值域为一乎，+°°

8.已知数列｛念｝的首项的=1,函数/(JOMJ^+即+I—为一cos苧为奇函数，记斗为数列｛念｝

的前〃项之和，则S2020的值是()

2023

A.—^―B.1011C.1008D.336

njr

A[函数/(%)=冗3+斯+1—即一COS3■为奇函数，

〃兀

==

则f(O)tzn+i-cin-cos20,

〃兀TITI

即斯+1­。〃=cos手，cos-^~周期为6.

11I11

〃2—。1=],。3—〃2=—2>〃4—。3=—1,。5—。4=-46—〃5=5,〃7—46=1.

解得〃1=1,。2=1,"3=1,〃4=0,。5=-2>"6=0,〃7=1,以6为周期循环.

2023

故++.故选A.]

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）

9.下列结论正确的有（）

A.若随机变量j〜N。,/）,-4）=0.79,则尸（代一2）=0.21

B.若X〜2（10,£|,则£>（3X+2）=22

A一一A

C.已知回归直线方程为y=b无+10.8,且x=4,y=50,贝肪=9.8

D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11,若这组

数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22

AC[随机变量.〜N（l,ff2）,PgW4）=0.79,则P（：W—2）=l-p（ifW4）=0.21,A正

确；

X〜B（10,£j,贝ID（X）=10X：x|=等，故。（3X+2）=9D（X）=20,B错误；

将（行，7）代入回归直线，计算得到2=9.8,C正确；

31+x

设丢失的数据为x,则平均数为下一，众数为3,

31+x

当尤W3时，中位数为3,故3*2=节一+3,x=-10;

31+x

当3<x<5时，中位数为无，则2x=-y—+3,x=4；

31+x

当尤\5时，中位数为5,故2X5=-y-+3,x=18;

故可能数据的和为12,D错误；故选AC.]

10.设抛物线产=2内（?>0）的焦点为尸，尸为其上一动点，当尸运动到（2,。时，|尸网=4,

直线/与抛物线相交于A,8两点，点M（4,1）,下列结论正确的是（）

A.抛物线的方程为产=4尤

B.IPM+F司的最小值为6

C.存在直线/,使得A、B两点关于x+y—6=0对称

D.当直线/过焦点/时，以为直径的圆与y轴相切

BD[y2—2px（p>0）,故|P/|=2+?=4,p—4,故;）^=8苫，A错误；

过尸作PE垂直于准线于E,则1PMi+|尸网=|尸加|+|尸£|、6,当P,E,M三点共线时等

号成立，故B正确;

设A（xi,yi）,8（x2,J2）,设48中点。（尤o,州）则负=8的，痰=8及，

相减得到（yi+y2）（yi—_V2）=8（XI—%2）,即2yo心B=8,故yo=4,故演）=2,点（2,4）在抛

物线上，不成立，故不存在，C错误；

如图所示：G为AF中点，故£>G=3（O//+AQ）=%C=%£故AF为直径的圆与y轴相

切，故D正确；故选BD.]

11.在长方体ABCZXAIBICIDI中，AB=2小,AD=AA^2,P,Q,R分别是A3,BBi，

4C上的动点，下列结论正确的是（）

A.对于任意给定的点P,存在点。使得OiPLCQ

B.对于任意给定的点。，存在点R使得。1RLC。

C.当AR_LAiC时,ARLDiR

D.当4C=3AiR时，AR〃平面

ABD[如图所示，建立空间直角坐标系，设尸（2,a,0）,

«e[0,2向，Q（2,2小,b）,be[0,2],

iW?-AA?C,得到7?（2一2九2小九2~2A）,2e[0,1].

D^P=（2,a,-2）,CQ=（2,0,b）,D^P-CQ^4-2b,当b

=2时，D1P±CQ,A正确；

-Af--A2

Di7?=（2-2/l,2小2,-22）,。的。。=2（2—24）一2m，取力=或筋时，DiR±CQ,B正

确；

AR±ArC,则薪・A^=（—2/l,2/入,2—22）•（一2,2小，一2）=42+12%-4+4；1=0,

1ff（22^38V82^32、4

2=予此时AR£）iR=L予5'5）回5:一'=—gWO,C错误;

A]C=3A]R,则半,目，亦=停，芈，一|),

―►

ti*BD=O

设平面5£>G的法向量为〃=Q,y,z),则J,

-A

n-DC[=O

解得〃=(小，-1,小)，

―►

故。火〃=0,故。1R〃平面BOC1,D正确.故选ABD.]

12.新型冠状病毒属于/?属的冠状病毒，有包膜，颗粒常为多形性，其中包含着结构为

数学模型的y=Bcos°或，y—kp-\-b,人体肺部结构中包含y=Asin0或，y=ln£的结构，新型

冠状病毒肺炎是由它们复合而成的，表现为/伊).则下列结论正确的是()

A.若：+业)一/3)=/(6+。)(。>0),则/伊)为周期函数

B.对于V£e(0,外，曙的最小值为《

C.若/g)=asin(l—")+ln£在区间(0,1)上是增函数，则aWO

D.若//)=sin(兀夕+g)—2cos(磔+9)，0<9〈兀，满足f(f+l)=f则sin2(p=

_4

-5

ABD巡)-『般)=/(£+。),

则/@一/2伊)=9/(£+.)+产(//+0),

/(S+a)-/2(4+a)=：-/(夕+2。)+/0+2a),

代换整理得到：

[加+24)+加)2a)-y0?)]=0,

若/5+20)=/0)，则/砂)为周期函数；

若/伊+2〃)+/伊)-1=0,则/伊+4.)+/⑹-1=0,f(fi+4a)=fG6+2a),则f(fi)

为周期函数，A正确；

设8伊)=牛&故g耶)=限"§隹sm£设〃M)="cos£—sin从

故——.sin0<0,"G(0,,故/幽单调递减，

且//（。）=£>0,/?像=—1<0,故存在£o使/7伊0）=0.

jr

gG)在(o,仇)上单调递增，在［四，5］上单调递减,

当夕一0时，g伊)一1,故8伊)*=80=*B正确;

f8)=osin(l—')+ln夕在区间(0,1)上增函数，则QCOS。一夕)+春20,

即"W嬴2二万恒成立'

设%伊）=.cos（l一夕），则玄伊）=cos（l—S）+'sin（l—£）>0,

嬴上在(。,上单调递减,

故左伊)在(0,1)上单调递增，故夕伊)=1)*)=1,

故aWl,C错误;

/8）=sin（印+g）—2cos（侬+g）=小sin（兀夕+9—a）,其中tana=2,a£（09-

/(£+1)=/(1一夕)，即函数关于£=1对称，故兀+勿一a=叁+E,止Z,

2(p=——兀+2。+2攵兀，％£Z,

4一，

sin2g=sin（—兀+2a+2E）=—sin2a=_2sinacosa=一卬故D正确；

故选ABD.]

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

?2

13.已知椭圆7十方=l(a>b>0)的左右焦点分别为B(—c,0),F2(c,0)且b>c,若在椭圆

上存在点尸，使得过点尸可作以尸1巳为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的范

围为.

「近近

［如图所示，根据题意知：出05为正方形，故P0=g,故bWPOWa,

一3'2,

J2_

故白W2dW冰,解得又b>c,ite<2f故6金]

71~~*■

14.已知。是△ABC的外心，且A=§，AB=5,AC=3,若AO=mA8+〃AC,则加+w

2

26ff|一]]一]I一]]一1|AB||AB|25-ff9

==同理

45[AO-AB=|AO||AB|COSZBAO=|AO||AB|I^|2~2,A04C=].

21Aoi

ABAC^|^|.|^|cosA=y,

,一—、六_«।15_25

故ACM"机A8+〃AC)A8=25加十爹”=爹,

71故机+〃=揄

A0AC=mAB+nAC解得机=运，n=g,

15.已知三棱锥S—ABC的顶点都在球。的球面上，且该三棱锥的体积为2小，SAL平

面ABC,SA=4,ZABC=120°,则球。的体积的最小值为

,叫。'[Vs-ABc=gsAABbSA=gx|'X孚8ABe义4=2小，故BABC=

6.

根据余弦定理：AC2=8A2+BC2-2BABCcosB=BA2+BC?+

BABC^3BABC,

即AC23g，当8A=8C时等号成立.

设外接圆半径为r,故2尸加沁乖，即后加・

设球0的半径为R,球心。在平面ABC的投影01为△ABC外心,

则咫=3+^^)'6+4=10,RNyfTd,兀R三岖曾

16.设双曲线言一5=1的左右两个焦点分别为B、F2,P是双曲线上任意一点，过Q

的直线与/BPE的平分线垂直，垂足为。，则点。的轨迹曲线E的方程为;/在

曲线E上，点4(8,0),8(5,6),则3人必+出网的最小值为.(本题第一空2分，第

二空3分)

则0Q=^MF2PF2)=；|尸尸1一尸尸2|=a=4,

故轨迹方程为一+廿=16.

取点c(2,0),则黑=甯=；,AMOCsAMOA,故MC=*MA,

LAZKZ\_xzl.乙乙

||AM|+\BM\=\MC\+\BM\^\BC\=3^5,当B,M,C三点共线时等号成立.

故/lAM+lBM的最小值为3^5.］

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,

在①小cosC(«cos5+bcosA)=csinC

cA+B

②〃sin-2-=csinA

③(sinB-sinA)2=sin2C—sinBsinA

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当________时，求sinA.sinB的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

［解］若选①，则由正弦定理知小cosc(sinAcosB+sinBcosA)=sinCsinC,

^/3cosCsin(A+B)=sinCsinC,V§=tanC,C=j;

若选②，则由正弦定理知：

71-CCCCCl兀

sinAsin~~=sinCsinA,cos£=sinC=2sin菱cos',sm,=1,。=,；

若选③，则由正弦定理知(。一“＞二，一/?。，

1兀

222

/.b+a—c=ba9由余弦定理知：cosC=1,

<271；

由上可知，A+B=y,・・sinAsinB=sinA-sinlAA+^sinA

-cos2A)=/sin(2A-

AcosA+]sin2A=

VAe^O,引，「.2A—表(一袭，芝)，所以当A=?寸，sinAsin5的最大值是"

n~\

18.(本小题满分12分)数列｛斯｝的前〃项和为斗,且满足%+斯n(n+l)+1>n=i，2

3-.

(1)设。=斯+“(〃；1)，求证：数列｛d｝是等比数列;

(2)设Q=1-2〃一1斯，求金的最小值.

n—1

[解]证明：〃〃卜-------------

(1)S=l—aT(〃+]),.,S〃+]-1斯+i(〃+1)(〃+2y

当n=l时，易知〃1=3,•「-nn-1।

•••斯+1=5.+1—5.=(“+])色+2)―斯+1―“5+1)+斯

几+2—2_〃-1_]______2______]]

••2〃”+1(n+l)(n+2)n(n+l)即n+1(n+l)(n+2)n+1斯

_L11

2['十(〃+1)("+2)」=诙+而可，

则b"+i=a"+i+(w+i)l(〃+2),

令小上式可化为2bn+\=bn.

...｛勿｝是以z?i=i为首项，公比为:的等比数列，儿=自

n­\

缶1._2"1

12)〃(几+1)'••金n(n+l\设第n项最小,

’2〃一12〃

几(〃+1)、5+1)(〃+2)

2Gv2"—2

、〃(〃+1广(九一1)〃

n^n+2

•X~4,・・・2WzzW3.

工」

^n+1n~1

所以当n=2或n=3时，最小值为为=。2=。3=,

19.（本小题满分12分）在三棱锥S-A5C中，ABJ_平面SAC,AS±SC,AB=1,AC=也,

E为A3的中点，M为CE的中点.

⑴证明：平面SC足L平面SA8；

⑵在线段S3上是否存在一点N,使MN〃平面SAC?若存在，指出点N的位置并给出证

明，若不存在，说明理由;

(3)若/SCA=30。，求二面角S-CE-8的大小.

［解］⑴证明：平面SAC,SCU面SAC,：.AB±SC,

又因为AS_LSC,ABCtAS=A,AB,ASU面S48,；.SC_L平面SAB,

而SCU平面SCE,：.平面SCE1平面SAB.

(2)存在点N为SB上靠近S的四等分点，即SN=：S8时，MN〃平面SAC.

取AE的中点居连接FN,FM,是AE的中点，M为CE的中点，.,.MF//AC.

：ACU面SAC,"Ri面SAC,；.板〃平面SAC.

BF3BN

**E为AB的中点，4=~7=nof*9•NF//SA,

nAR4nd

•「SAU面SAC,NFQ面SAC,「.N/〃平面SAC.

又MFCNF=F,MF,NFU面MNF,・••面MN/〃平面SAC.

•.・MNU面MNF,：.MN//平面SAC.

(3)过S作SO_LAC于O,则SO_L平面ABC,过。作AB的平行线交3C于。，以。为坐

标原点，以04所在的直线为x轴，以0。所在的直线为y轴，以OS所在的直线为z轴，建

立空间直角坐标系，面3EC的一个法向量为〃1=(0,0,1).

、2\23\2x61

若NSC4=30°,VAS±SC,：.AS=^f人0=T，0C=十，OS=§,AE=^,从而

,1,0),E律,I，0),«-乎,o,0),s(o,0,/)，

设面SEC的一个法向量为〃2=(x,y,z),CE=(^2,1,0),晶=[-乎，0,一唱，

n2-CE=0

则＜

、故左=0

(y=­2y[2x

即L.弧

取x=l,则“2=(1,—2^2,一小).

从而cos<m,“2〉=而面=25=一,

因为二面角S-CE-B是钝二面角，所以二面角S-CE-B的大小是120°.

20.(本小题满分12分)”未来肯定是非接触的，无感支付的方式将成为主流，这有助于

降低交互门槛”.云从科技联合创始人姚志强告诉南方日报记者.相对于主流支付方式二维

码支付，刷脸支付更加便利，以前出门一部手机解决所有，而现在连手机都不需要了，毕竟,

手机支付还需要携带手机，打开二维码也需要时间和手机信号.刷脸支付将会替代手机，成

为新的支付方式.某地从大型超市门口随机抽取50名顾客进行了调查，得到了如下列联表:

男性女性总计

刷脸支付1825

非刷脸支付13

总计50

(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为使用刷脸支付与性别有

关？

(2)从参加调查且使用刷脸支付的顾客中随机抽取2人参加抽奖活动,抽奖活动规则如下：

，，一等奖”中奖概率为0.25,奖品为10元购物券机张(能>3,且机GN*),“二等奖”中

奖概率0.25,奖品为10元购物券两张，“三等奖”中奖概率0.5,奖品为10元购物券一张，

每位顾客是否中奖相互独立，记参与抽奖的两位顾客中奖购物券金额总和为X元，若要使X

的均值不低于50元，求机的最小值.

2________n(ad—b*______

•K(〃+》)(c+J)'其中

尸(心/)0.100.050.0100.005

ko2.7063.8416.6357.869

［解］(1)列联表补充如下:

男性女性总计

刷脸支付18725

非刷脸支付121325

总计302050

(18X13-12/7)2X5。

30X20X25X25)

所以没有95%的把握认为使用刷脸支付与性别有关.

(2)由题意可知,X的可能取值为20m,10m+20,10m+10,40,30,20.

P(X=20/w)=1x1=^；

P(X=10MJ+20)=2X|X^1:

P(X=10/n+10)=2x|x1=1；

尸(X=4O)=(X：J；

P(X=30)=2X；X；=；；

P(X=20)=|x|=|；

所以X的分布列为

X20mlO/n+2010m+10403020

111111

P

16841644

所以£(田=5必+20.

由5〃z+20250,解得机26,机的最小值为6.

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)—x3—kx+l^.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/(%)有三个零点，求左的取值范围.

［解］(1y3=3/一左.

当左=0时，/(无)=/,故/Q)在(一8,+8)单调递增.

当上V0时，/(x)=3f—E>0,故/(元)在(-8,+8)单调递增.

当上>0时，令尸(x)=0,得x=±理&当8,—理目时，/((%)>0;

当xe1一当当目时，尸(x)<0;当+8)时，广(幻>0.故/(x)在(一8,一当目，

殍，+8)单调递增，在(一平，年|单调递减.

(2)由(1)知，当左W