4.4 两个三角形相似的判定（2大题型）（分层练习）（解析版）

第4章相似三角形4.4两个三角形相似的判定（2大题型）分层练习考查题型一证明两个三角形相似1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列条件中的两个等腰三角形不一定相似的是（

）A．都含有角 B．都含有的角C．都含有的角 D．都含有的角【答案】B【分析】根据相似三角形的判定及等腰三角形的性质对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】解：A、有一个角是的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意；B、当一个等腰三角形的底角为，而另一个等腰三角形的顶角是时，这两个等腰三角形不相似，符合题意；C、有一个角是的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意；D、有一个角是的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是对相似三角形的判定定理的掌握．2．（2023·上海静安·校考一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】三角形相似的判定方法有（1）平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等，这2个三角形也可以说明相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.）；（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似（简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.）；（4）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两个三角形相似）。【详解】A选项符合判定方法（4），符合题意．B选项相等的角不是对应边的夹角，不符合题意．C选项相等的角不是对应角，不符合题意．D选项相等的角不是对应角，不符合题意．【点睛】本题考查的是三角形相似的判定方法，解题的关键是牢记判定方法．3．（2023秋·九年级课前预习）若△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别2，，，则与（）A．一定相似 B．一定不相似C．不一定相似 D．无法判定是否相似【答案】A【分析】求出三组对应边的比，观察是否相等即可作出判断．【详解】．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定条件，熟练掌握对应边长度成比例的三角形相似是本题的解题关键．4．（2023秋·九年级课时练习）如图，D是的边上一点，若，要使，只需添加条件________（只添一个即可）．【答案】【分析】因为，则，所以只要再找到另一组对应角相等即可．【详解】解：只需添加条件使，证明如下：因为，则，当，则（两组对应角相等的三角形相似），故答案为：．【点睛】本题主要考查的是三角形相似的判定内容，正确掌握证明三角形相似的方法是解题的关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，添加其中一个条件能满足△APC和△ACB相似的条件有种情况．【答案】3【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【详解】①当∠ACP=∠B，∵∠A=∠A，∴，∴①符合题意；②当∠APC=∠ACB，∵∠A=∠A，∴，∴②符合题意；③当，即，∵∠A=∠A∴，∴③符合题意；④∵当，即，而∠PAC=∠CAB，以上条件不能判断△APC和△ACB相似，∴④不符合题意；即有①②③这三种情况可得出，故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．6．（2023秋·九年级课前预习）如图，、相交于点，与不平行，当满足条件时，．【答案】∠B【分析】由相似三角形的判定可直接进行求解．【详解】解：当满足条件∠C=∠B时，△AEC∽△DEB，理由如下：∵∠AEC=∠DEB，∠C=∠B，∴，故答案为．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．7．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知如图，D，E分别是的边上的点，．求证：．【答案】见解析【分析】根据“两条边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似”即可求证．【详解】证明：∵，又∵，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟记相关判定定理是解题的关键．8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图判断方格中的两个三角形是否相似，并说明理由．【答案】相似，理由见解析【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．【详解】相似，理由如下：∵在中，，，，在中，，，，∵，，，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知其判定定理是解题的关键．9．（2023秋·九年级单元测试）如图，在平行四边形中，点为边上一点，连接，点为线段上一点，且，求证：．【答案】证明过程见详解【分析】根据平行四边形的性质可知，，且，根据三角形的外角性质可知，由此即可求证．【详解】证明：在平行四边形中，∴，∴，，∵，∴，∵，即，∴，∴．【点睛】本题主要考查相似三角形的判断，平行四边形的性质，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质，三角形的外角的性质是解题的关键．考查题型二选择或补充条件使两个三角形相似1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是(

)

A．平分 B． C． D．【答案】B【分析】根据相似三角形的判定方法逐项进行判断即可．【详解】解：A．∵平分，∴，∵，∴，故选项不符合题意；B．∵，∴，不一定能判定和相似，故选项符合题意；C．∵，，∴，故选项不符合题意；D．∵，，∴，故选项不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．2．（2023春·安徽蚌埠·九年级校考阶段练习）如图，在和中，，要使与相似，还需要添加一个条件，这个条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题中已知，则对应的夹角相等即可使与相似，结合各选项即可得问题答案．【详解】解：∵，∴添加．则故选B．【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．3．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，能使成立的条件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据相似三角形的判定求解即可．【详解】解：由题意得，，若添加，利用两边及其夹角法可判断，故本选项符合题意；A、B、D均不能判定，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．4．（2023秋·九年级单元测试）如图，，请你补充一个条件：，使．【答案】（答案不唯一）【分析】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定．【详解】解：添加条件，理由如下：∵，∴，即，又∵，∴，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的几个判定定理是解题的关键．5．（2023·福建福州·校考一模）如图，在中，，点D在边上，点E在边上且．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是（写出一个即可）．【答案】【分析】由相似三角形的判定定理可求解．【详解】解：添加，又∵，∴，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．6．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在中，为上的一点，补充条件，能使，这个条件可以是．（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【分析】和有公共角，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似解答即可．【详解】解：，当时，，故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．充分利用和的公共角是关键．7．（2023春·八年级课时练习）如图，在中，点D在上，连接．请添加一个条件，使得，然后再加以证明．【答案】（答案不唯一），证明见解析【分析】利用相似三角形的判定可求解．【详解】解：添加，又∵，∴，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．8．（2023春·陕西榆林·九年级校考期中）如图，在中，点D是线段上一点．请利用尺规作图法在边上求作点E，使得．

【答案】见解析【分析】根据作一个角等于已知角的作图方法，在的内部，作，交于点E，则E即为所求．【详解】解：如图所示，点E即为所求．

【点睛】本题考查作图—相似变换，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．9．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③．请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号）【答案】见详解【分析】分别将条件进行组合，判断是否为真命题，再根据三角形相似的判定方法证明即可．【详解】（1）条件：①②，结论③；（2）条件：①③，结论②；（3）条件：②③，结论①；以上三个命题均是真命题．选择（1）进行证明，证明：，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，掌握相似的判定方法是解题的关键．1．（2023秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）如图，已知，添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据相似三角形的判定逐项分析即可得到答案．【详解】解：，，即，A、，，故此选项不符合题意；B、，，故此选项不符合题意；C、由，不能得到，故此选项符合题意；D、，，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个角对应角相等，那么这两个三角形相似．2．（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考阶段练习）已知，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【详解】解：如图，

A、当时，又，，故此选项不符合题意；B、当时，又，，故此选项不符合题意；C、当时，又，，故此选项不符合题意；D、无法得到，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中相似的三角形有（

）

A．5对 B．6对 C．7对 D．8对【答案】D【分析】平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理分析判断即可．【详解】解：根据题意，，，∴，∴，∴；∵，，∴；∵，，∴；∵，，∴；∵，，∴；∵，，∴；∵，，∴；∵，∴，又∵，∴；∵，∴，又∵，∴．综上所述，图中相似的三角形有，，，，，，，，共计8对．故选：D．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题关键是理解相似三角形的判定定理，同时主要不要有所遗漏．4．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图，在正方形中，点E，F分别在上，且，将绕点A顺时针旋转，使点E落在点处，则下列判断不正确的是（

）

A．是等腰直角三角形 B．垂直平分C． D．是等腰三角形【答案】D【分析】由旋转的性质得到，于是得到是等腰直角三角形，故A不符合题意；由旋转的性质得到，由正方形的性质得到，推出，证明于是得到垂直平分，故B不符合题意；证明可得，故C不符合题意；由于，但不一定等于DF，于是得到不一定是等腰三角形，故D符合题意．【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转，使点E落在点处，∴，

∴是等腰直角三角形，故A正确，不符合题意；如图，连接，∵四边形是正方形，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，，

∴垂直平分，故B正确，不符合题意；∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，故C正确，不符合题意；∵，但不一定等于，不一定相等，∴不一定是等腰三角形，故D错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定，正确的识别图形是解题的关键．5．（2023春·广东·九年级专题练习）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；三角形相似的判定，勾股定理证明判断即可．【详解】解：∵是等边三角形，∴，，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∴，故①正确；∵是等边三角形，∴，，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，故②正确；∵，∴，∵，∴，∵，∴，故④正确；在中，，∴，，∴，故③错误；综上分析可知，正确的结论有3个，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定，勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键．6．（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有条．

【答案】4【分析】过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可．【详解】解：如图：①过点D作AB的垂线段PD，则△APD∽△ACB；②过点D作BC的平行线PE，交AB于E，则△ADE∽△ACB③过点D作AB的平行线PF，交BC于F，则△DCF∽△ACB；④作∠DGC＝∠A，则△GCD∽△ACB．故答案为：4【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定方法，解题关键是理解并掌握平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，有两个角对应相等的三角形相似．7．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F．

（1）若平分，则与是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）图中与相似的三角形有（写出两个即可）【答案】是，【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论；（2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出．【详解】（1）如图，

∵矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴；故答案为：是；（2）∵，∴，∵矩形，∴，∴，∴，又，∴；故答案为：，．【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，等边对等角．熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，的高，相交于点，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是．【答案】（答案不唯一）【分析】根据已知条件得，，推出，其他同理.【详解】解：；证明：∵的高，相交于点，∴，∵，∴；故答案为：（答案不唯一）.【点睛】本题考查相似三角形的判定，三角形的高的定义，解题的关键是掌握有两角对应的两个三角形相似.9．（2023·山东菏泽·统考一模）题目：“如图，纸片的直角边，是纸片边上不与、、重合的一点，欲过点剪下一个与相似的三角形．问有几种不同的剪法．”对于其答案，甲答：当点在斜边上时有三种不同的剪法；乙答：当点在直角边上时有三种不同剪法；丙答：当点在直角边上时有四种不同的剪法．回答正确的人是．

【答案】甲、丙【分析】根据相似三角形的性质结合题意，点在斜边上，点在直角边或直角边上，分类讨论即可求解．【详解】解：当点在斜边上时有三种不同的剪法：沿过点垂直的垂线剪，故甲对；

当点在直角边上时有四种不同剪法：如图所示，过作交于,则过作交于，则，作，则，，则，作交于点，则，

同理点在直角边上时有四种不同剪法，故乙错，丙对；故答案为：甲和丙．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．10．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，矩形的两条对角线相交于点O，，垂足为E，F是的中点，连接交于点P，那么．【答案】【分析】根据矩形性质得到，利用三角形的三线合一得，过O作交于点Q，则有，，计算即可．【详解】解：∵是矩形，∴，∵F是的中点，∴，又∵，∴，过O作交于点Q，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作辅助线构造三角形相似是解题的关键．11．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知：在和中，．求证：．

【答案】见解析【分析】直接在线段（或它的延长线）上截取，得出，再证明，进而得出答案．【详解】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E，

∵，∴，∴，又，，∴，，∴，在和中，∴，∴．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定，正确得出是解题关键．12．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学校考阶段练习）如图，和都是的高，相交于F点，连接．

(1)求证：；(2)若点D是的中点，，则的长为__________．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据相似三角形的判定，即，再根据即可证明结论；（2）根据垂直平分线的性质可得，由(1)，可得，再根据勾股定理即可求出的长；【详解】（1）证明:∵是的高,∴,∵,∴，∴，即，又∵,∴；（2）∵点是的中点,,∴,在中,∵,，，∵，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明.13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．

(1)求证：；(2)与相似吗？为什么？【答案】(1)见解析(2)相似，理由见解析【分析】（1）由正方形的性质可得,，再根据可得，进而说明，再结合，即可证明结论；（2）设，利用E为边的中点，，得到，则可计算出,由勾股定理逆定理可得以及再说明即可证明结论．【详解】（1）解：∵正方形，∴,∵，∴，∵点F在上，∴,∴,∵,∴．（2）解：与相似，理由如下：设，∵E为边的中点，，∴，∴，,,∴,即,∴,∵,∴,∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理逆定理等知识点，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键．14．（2023春·九年级校考阶段练习）已知中，为锐角，是的两条高，与交于点Q．

(1)求证：；(2)如果，求的正切值；(3)如果，求外接圆的面积．【答案】(1)证明见解析.(2)(3)【分析】（1）因两三角形已有公共角相等，故只需证明即可，依据等腰三角形三线合一知，又依据与的内角和相等可得，最后推得．（2）根据已知条件，再结合两三角形相似，求得与之比，也就是与之比，即可求得的正切值．（3）依已知题干画出等边三角形的外接圆，再按照等边三角形的性质即可求解．【详