16.3　乘法公式 教案（3课时） 人教版八年级数学上册

16.3乘法公式16．3.1平方差公式1．理解平方差公式，并能灵活运用公式进行计算．2．通过了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．▲重点平方差公式及其特征．▲难点平方差公式的运用．◆活动1新课导入1．你能说一说多项式与多项式相乘的运算法则吗？答：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．2．计算：(1)(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3；(2)(x＋3)(x－3)＝x2－9；(3)(m＋n)(m－n)＝m2－n2.◆活动2探究新知1．教材P112探究．提出问题：(1)观察探究中的算式，它们有什么共同特征？(2)计算算式，根据结果，你有什么发现？(3)改变探究中的数字，你的发现还成立吗？(4)用简洁的方式表示你的发现．学生完成并交流展示．2．观察图①和图②.提出问题：(1)你能说出图①中这个长方形的长和宽吗？你能表示出这个图形的面积吗？(2)你能表示图②中这个多边形的面积吗？(3)观察图①和图②，你能发现它们的面积有什么关系吗？(4)通过上面的探索你能得出什么结论？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，用字母表示为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.2．能用平方差公式进行运算的式子的特征：(1)二项式与二项式的积；(2)有一项相同，另一项互为相反数.◆活动4例题与练习例1教材P112例1.例2教材P113例2.例3计算：(1)10.1×9.9；(2)2024×2026－20252.解：(1)原式＝(10＋0.1)(10－0.1)＝102－0.12＝99.99；(2)原式＝(2025－1)×(2025＋1)－20252＝20252－1－20252＝－1.例4如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．(1)设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．解：(1)S1＝a2－b2，S2＝eq\f(1,2)(2b＋2a)(a－b)＝(a＋b)(a－b)；(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.练习1．教材P113～114练习第1，2，3题．2．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是(D)A．(2a＋3b)(3a－2b)B．(a＋b)(－a－b)C．(－m＋n)(m－n)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)m＋\f(1,6)n))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)m＋\f(1,6)n))3．在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是(C)A．(2a＋b)(2a－b)B．(2a＋b)(b－2a)C．(2a＋b)(－2a－b)D．(2a－b)(－2a－b)4．计算0.1253×83＋202×198的结果为(C)A．39996B．39999C．39997D．400045．先化简，再求值：(1)(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2；解：原式＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝－15；(2)－4x(x2－2x－1)＋x(2x＋5)(2x－5)，其中x＝－1.解：原式＝8x2－21x.当x＝－1时，原式＝29.◆活动5课堂小结1．平方差公式及其特征．2．平方差公式的运用．1．作业布置(1)教材P117习题16.3第1题；(2)对应课时练习．2．教学反思16.3.2完全平方公式第1课时完全平方公式1．利用多项式相乘的法则推导完全平方公式，并掌握公式的结构特征．2．会运用完全平方公式，并能灵活运用公式进行计算．▲重点完全平方公式的结构特征．▲难点完全平方公式的运用．◆活动1新课导入1．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.2．试着写出结果：(1)(x＋1)2＝x2＋2x＋1；(2)(x－1)2＝x2－2x＋1；(3)(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2；(4)(m－n)2＝m2－2mn＋n2.◆活动2探究新知1．教材P114探究．提出问题：(1)观察探究中的算式，找出它们的相同点和不同点；(2)观察一下，每个式子能否根据幂的意义将其拆成两个多项式相乘的形式？(3)根据多项式乘多项式的法则，计算出每个式子的结果，观察结果，你能发现什么规律？(4)用简洁的方式表示你的发现．学生完成并交流展示．2．教材P115思考1.提出问题：(1)你能用两种方法表示图16.3－2中大正方形的面积吗？(2)你能用两种方法表示图16.3－3中左下角的小正方形的面积吗？(3)比较(1)，(2)中的两种结果，你能得出什么结论？学生完成并交流展示．3．教材P115思考2.(1)填空：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(－a－b)2＝a2＋2ab＋b2，则(a＋b)2＝(－a－b)2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2，(b－a)2＝b2－2ab＋a2，则(a－b)2＝(b－a)2；(2)(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？(3)完成思考中的问题，有什么发现？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.2．互为相反数的两个数的平方相等．◆活动4例题与练习例1教材P115例3.例2教材P115例4.例3利用完全平方公式计算：20242－4050×2024＋20252.解：原式＝20242－2×2024×2025＋20252＝(2024－2025)2＝1.例4已知a＋b＝3，ab＝1，求(a－b)2的值．解：(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝9－4×1＝5.练习1．教材P115～116练习第1，2，3题．2．下列各式计算结果是eq\f(1,4)m2n2－mn＋1的是(C)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(mn－\f(1,2)))eq\s\up12(2)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)mn＋1))eq\s\up12(2)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)mn－1))eq\s\up12(2)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)mn－1))eq\s\up12(2)3．填空．(1)(2x＋3y)2＝4x2＋12xy＋9y2；(2)x2＋10x＋25＝(x＋5)2.4．先化简，再求值：2a(a＋2b)－(a＋2b)2，其中a＝－1，b＝eq\r(3).解：原式＝a2－4b2.当a＝－1，b＝eq\r(3)时，原式＝－11.5．已知(x＋y)2＝18，(x－y)2＝6，求x2＋y2和xy的值．解：由题意，得(x＋y)2＋(x－y)2＝2(x2＋y2)＝24，∴x2＋y2＝12，∴(x＋y)2－(x2＋y2)＝2xy＝6，∴xy＝3.◆活动5课堂小结1．完全平方公式及其特征．2．完全平方公式的运用．1．作业布置(1)教材P117习题16.3第2题；(2)对应课时练习．2．教学反思第2课时添括号法则1．类比去括号法则，理解添括号法则．2．能准确运用添括号法则进行计算．3．通过对添括号法则的探究，培养逆向思维能力．▲重点掌握添括号法则的运用．▲难点添括号法则在乘法公式中的运用．◆活动1新课导入1．将下列各式去括号：(1)4＋(5＋2)＝4＋5＋2；(2)4－(5＋2)＝4－5－2；(3)a＋(b＋c)＝a＋b＋c；(4)a－(b－c)＝a－b＋c.2．去括号法则：去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的各项都不变号；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都变号.反过来，你能尝试得到添括号法则吗？◆活动2探究新知在括号内填上适当的项，使等式成立：(1)a＋b＋c＝a＋()；(2)a－b－c＝a－().提出问题：(1)你知道怎么添加括号吗？添括号后每一项的符号有什么变化？(2)添括号有什么规则吗？(3)怎么验证你添的括号是正确的？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．2．可以用去括号来检验所添括号是否正确．◆活动4例题与练习例1教材P116例5.例2按下列要求给多项式－a3＋2a2－a＋1添括号．(1)使最高次项系数变为正数；(2)把奇数次项放在前面是“－”号的括号里，其余的项放在前面是“＋”号的括号里．解：(1)－(a3－2a2＋a－1)；(2)－(a3＋a)＋(2a2＋1).例3已知a－b＝－3，c＋d＝2，求(b＋c)－(a－d)的值．解：原式＝b＋c－a＋d＝－(a－b)＋(c＋d)＝－(－3)＋2＝5.例4已知(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝63，求a＋b的值．解：由题意，得[(2a＋2b)＋1][(2a＋2b)－1]＝(2a＋2b)2－1＝63，∴4(a＋b)2＝64，∴(a＋b)2＝16，∴a＋b＝±4.练习1．教材P117练习第1，2，3题．2．下列添括号正确的是(C)A．a－b＋c＝a－(b＋c)B．a＋b－c＝a－(b－c)C．a－b－c＝a－(b＋c)D．a－b＋c－d＝(a＋c)－(b－d)3．运用乘法公式计算(x＋3y－2)(x－3y＋2)时，下列变形正确的是(B)A．[x－(3y＋2)]2B．x2－(3y－2)2C．(x－3y)2－22D．[