1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定-2022-2023学年高一数学上学期知识梳理考点精讲精练(人教B版2019必修第一册)(解析版)

第一章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定知识梳理1.命题的否定（1）命题的否定：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作¬p，读作非p或p的否定.（2）如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题.（3）如果一个命题是假命题，那么这个命题的否定就应该是真命题.2.全称量词命题与存在量词命题的否定（1）一般地，存在量词命题“∃x∈M，p(x）"的否定是﹁p：∃x∈M，¬q(x).（2）一般地，全称量词命题"x∈M，q（x）”的否定是﹁p：∀x∈M，¬p(x).（3）结论：全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。常见考点考点一全称量词命题的否定典例1．全称量词命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．以上都不正确【答案】C【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即可得出结论.【详解】全称量词命题“，”的否定为“，”.故选：C.变式1-1．命题“”的否定是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】将全称命题否定为特称命题即可【详解】命题“”的否定是，故选：C变式1-2．设命题：，，则为（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】全称命题的否定是特称命题，命题：，，的否定为：，．故选：A．变式1-3．命题：“”的否定是（）A．不存在 B．C． D．【答案】C【分析】根据全程量词命题的否定是存在量词命题可得答案.【详解】由题意命题“”是全称命题，故它的否定是：．故选：C考点二特称量词命题的否定典例2．已知命题，，则是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据特称命题的否定可直接得到结果.【详解】根据特称命题的否定可知：，.故选：D.变式2-1．命题“，”的否定为（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题：“，”的否定为：“，”.故选：D.变式2-2．命题“x＞0，x2＞2x的否定是（）A．x0，x2＞2x B．∀x0，x22xC．∀x＞0，x22x D．x＞0，x2＜2x【答案】C【分析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，由此求解出结果.【详解】变为，的否定为，所以原命题的否定为“，”，故选：C.变式2-3．设命题，则为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据特称命题的否定是变量词否结论即可求解.【详解】命题，则为：，故选：C.考点三全称命题与特称命题的否定的写法或真假判断典例3．写出下列命题的否定，并判断真假．（1）正方形都是菱形；（2）x∈R，使4x-3>x；（3）∀x∈R，有x+1=2x；（4）集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析（4）答案见解析【分析】根据命题的否定的概念，逐一写出，并判断真假即可.（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．（2）命题的否定：∀x∈R，有4x-3≤x．因为当x=2时，4×2-3=5>2，所以“∀x∈R，有4x-3≤x”是假命题．（3）命题的否定：x∈R，使x+1≠2x．因为当x=2时，x+1=2+1=3≠2×2，所以“x∈R，使x+1≠2x”是真命题．（4）命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．变式3-1．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．（1）∀x∈R，x2>0；（2）x∈R，x2＝1；（3）x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根；（4）等腰梯形的对角线垂直．【答案】答案见解析【分析】(1)根据全称命题的否定是特称命题可得出其命题的否定，并取值可判断命题的真假；(2)根据特称命题的否定是全称命题可得出命题的否定，取值判断命题的真假；(3)根据全称命题的否定是特称命题可得出其命题的否定，并取值可判断命题的真假；(4)根据全称命题的否定是特称命题可得出其命题的否定，并由梯形的性质可判断命题的真假．【详解】解：(1)命题的否定：x∈R，使x2≤0，因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真．(2)命题的否定：∀x∈R，使x2≠1，因为x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假．(3)命题的否定：∀x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时，12－3×1＋2＝0，即x＝1为方程的根，所以命题的否定为假．(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，命题的否定是真命题．变式3-2．写出下列命题的否定，并判断其真假．（1）p：对于任意的x∈R，x2﹣x+1≥0；（2）q：至少有一个实数x，使x2﹣4＝0．【答案】答案见解析【分析】根据含有量词的命题的否定结论即可得到结论．【详解】（1）根据全称命题的否定是特称命题可知命题的否定：存在x0∈R，x2﹣x+1＜0，因为，所以x2﹣x+1＞0恒成立，故为假命题．（2）根据特称命题的否定是全称命题得到命题的否定：，可知x＝±2时，命题不成立，该命题为假命题．变式3-3．写出下列命题的否定，并判断其真假．（1）有些素数是奇数；（2）所有的矩形都是平行四边形；（3）不论m取何实数，方程都有实数根；（4），．【答案】答案见解析.【分析】根据特称命题与全称命题的否定依次书写每个命题的否定并判断真假即可.【详解】解：（1）所有素数都不是奇数，假命题；（2）有些矩形不是平行四边形，假命题；（3）存在实数m，使得方程没有实数根，真命题；（4）∀，，假命题．【点睛】本题考查特称命题与全称命题的否定及真假判断，是基础题.巩固练习练习一全称量词命题的否定1．命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，改量词，否结论即得【详解】命题“，”的否定是“，”故选：B.2．已知命题：“，都有”，则命题的否定是（）A．，使得 B．，使得C．，使得 D．，使得【答案】C【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确选项.【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，所以C选项符合.故选：C3．命题“，都有”的否定是（）A．，使得 B．，都有C．，使得 D．，使得【答案】D【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解.【详解】因为命题“”是全称命题，所以其否定为特称命题“”.故选：D4．已知命题：，，那么命题为（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】利用全称命题的否定解答即可.【详解】全称命题的否定是特称命题，命题为：，.故选：C练习二特称量词命题的否定5．命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可的解.【详解】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“，”的否定是，.故选：B.6．命题“，使得”的否定是（）A．，总有 B．，总有C．，使得 D．，使得【答案】A【分析】特称命题否定为全称命题即可【详解】因为命题“，使得”，所以其否定为“，总有”故选：．7．命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据特称命题和全称命题是互为否定，即可得到结果.【详解】由题意可知，命题“，”的否定是“，”.故选：C.8．已知命题，，则是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据特称命题的否定为全称命题可得.【详解】根据特称命题的否定为全称命题可得是.故选：A.练习三全称命题与特称命题的否定的写法或真假判断9．写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）大于3的自然数是不等式的解；（2）存在有序整数组满足；（3）任何一个四边形的四个顶点都共圆（4）有的反比例函数的图象与x轴有公共点.【答案】答案见详解【分析】（1）由全称命题的否定形式可得，，解不等式或，即可判断真假；（2）由特称命题的否定形式可得，由于有序整数组满足，可判断真假；（3）由全称命题的否定形式可得，由于对角互补的四边形才有外接圆，可判断真假；（4）由特称命题的否定形式可得，由于所有反比例函数都以x轴为渐近线，可判断真假【详解】（1）命题：大于3的自然数是不等式的解：存在大于3的自然数不是不等式的解由于或，故所有大于3的自然数都是不等式的解，故为假命题（2）命题：存在有序整数组满足；：任意有序整数组都不满足由于有序整数组满足，故为假命题（3）命题：任何一个四边形的四个顶点都共圆：存在四边形的四个顶点不共圆由于对角互补的四边形才有外接圆，故存在四边形的四个顶点不共圆，故为真命题（4）命题：有的反比例函数的图象与x轴有公共点：任意反比例函数的图像与x轴都没有公共点由于所有反比例函数都以x轴为渐近线，故任意反比例函数的图像与x轴都没有公共点，故为真命题10．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出它们的否定，并判断它们的真假：（1）有的无限小数是有理数；（2）对任意的实数x，.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【分析】（1）根据存在量词的命题判断，并否定即可；（2）根据全称命题的定义判断，并否定即可.【详解】解：（1）存在量词命题,命题的否定是：所有的无限小数不是有理数，原命题为真命题，其否定为假命题；（2）全称量词命题，命题的否定为：存在实数,,原命题为真命题，其否定为假命题；11．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．（1）∀x∈R，x2>0；（2）∃x∈R，x2＝1；（3）∃x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根；【答案】（1），，真命题；（2），，假命题；（3），不是方程的根，假命题.【分析】（1）根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得出答案，判断真假即可；（2）根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得出答案，判断真假即可；（3）根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得出答案，判断真假即可；【详解】解：（1），，因为当时，，所以命题的否定为真；（2），，因为当时，，所以命题的否定为假；（3），不是方程的根，因为当时，成立，所以命题的否定为假．12．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定，并判断真假．（1）有一个奇数不能被3整除；（2），与3的和不等于0；（3