高考二轮复习理科数学课件考点突破练20利用导数证明问题

考点突破练20利用导数证明问题1.(2023陕西榆林三模)已知函数f(x)=xlnx.(1)若直线y=2x+m与曲线y=f(x)相切,求m的值;(1)解

由题意,f'(x)=1+ln

x(x>0),由1+ln

x=2,得x=e,则f(e)=e=2e+m,解得m=-e.2.已知函数f(x)=ex-lnx+lna.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(1)解

因为f(x)=ex-ln

x+1,所以f'(x)=ex-,所以k=f'(1)=e-1.因为f(1)=e+1,所以切点坐标为(1,1+e),所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e-1=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.3.(2023四川自贡三模)已知函数f(x)=(x-2)ex+x+2(e为自然对数的底数).(1)判断x∈[0,+∞),f(x)的单调性并说明理由;解

f(x)在[0,+∞)上单调递增.理由如下:∵f(x)=(x-2)ex+x+2,∴f'(x)=(x-1)ex+1,令g(x)=(x-1)ex+1,则g'(x)=xex,∴当x∈[0,+∞)时,g'(x)≥0,g(x)单调递增,∴g(x)≥g(0)=0,即f'(x)≥0,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增.4.(2023陕西西安一模)已知函数f(x)=ex-a(x2+x)-1,x∈(0,+∞).(1)若a=0,证明:f(x)>sinx.(2)若a=1,且f(m)=f'(n)=0,证明:m<2n.证明

(1)因为a=0,所以f(x)>sin

x等价于ex-sin

x-1>0.令g(x)=ex-sin

x-1,x∈(0,+∞),则g'(x)=ex-cos

x.当x≥0时,ex≥1,cos

x≤1,则g'(x)≥0,故g(x)在(0,+∞)上单调递增.当x>0时,g(x)>g(0)=0,故ex-sin

x-1>0,即f(x)>sin

x.(2)因为a=1,所以f(x)=ex-x2-x-1,x∈(0,+∞),则f'(x)=ex-2x-1.令h(x)=ex-2x-1,x∈(0,+∞),则h'(x)=ex-2.当x∈(0,ln

2)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(ln

2,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.因为h(0)=0,h(ln

2)=1-2ln

2<0,h(2)=e2-5>0,所以n∈(ln

2,2),f'(n)=0.当x∈(0,n)时,f'(x)=h(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(n,+∞)时,f'(x)=h(x)>0,f(x)单调递增.因为f(0)=0,所以f(n)<0.又f(2)=e2-7>0,所以m∈(n,2),f(m)=0.要证m<2n,只需证f(m)<f(2n),即e2n-4n2-2n-1>0.因为f'(n)=en-2n-1=0,所以e2n-4n2-2n-1=(2n+1)2-4n2-2n-1=2n.显然2n>0,故m<2n.(1)f'(x)为函数f(x)的导函数,f'(x)≤0对任意的x>0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)有两个不同的极值点x1,x2(x1<x2),证明:2sinx2-2x1-alnx2+alnx1<0.6.已知函数f(x)=(x+1)lnx+mx,g(x)=m2x2ex-1,其中m>0.(1)讨论函数g(x)的单调性;(2)若m≥1,证明:当x>0时,g(x)≥f(x).(1)解

由题可知g'(x)=m2ex-1x(x+2),令g'(x)<0,得-2<x<0,令g'(x)>0,得x<-2或x>0,故函数g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.k(x)≤4ex-1(x+1)(x-1)+1=4x2ex-1-4ex-1+1<2x-4ex-1+1,令q(x)=2x-4ex-1+1,则q'(x)=2-4ex-1,则当x