14.2.2乘法公式（二）完全平方公式（解析版）

乘法公式（二）完全平方公式知识点管理知识点管理归类探究夯实双基，稳中求进归类探究知识点一：完全平方公式完全平方公式：．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．题型一：利用完全平方公式计算【例题1】（2022·山东济南·七年级期末）化简：_________．【答案】【分析】根据完全平方公式解答即可．【详解】解：．故答案为：【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的计算法则．变式训练【变式1-1】（2022·河北石家庄·八年级期末）计算__________．【答案】【分析】利用完全平方公式进行计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式，解题关键在于熟记该公式．【变式1-2】（2022·河南三门峡·八年级期末）运用完全平方公式计算：（﹣3x+2）2=_________．【答案】9x2﹣12x+4【分析】根据完全平方公式即可求出答案．【详解】解：原式＝9x2﹣12x+4．故答案为：9x2﹣12x+4．【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．【变式1-3】（2022·浙江宁波·七年级期中）计算①___；②___．【答案】

【分析】①根据平方差公式计算即可；②根据完全平方公式计算即可．【详解】解：①，②，故答案为：；．【点睛】本题考查平方差和完全平方公式，解题的关键是根据平方差和完全平方公式的形式计算．题型二：利用完全平方公式简便运算【例题2】（2021·平泉市教育局教研室八年级期末）将变形正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据完全平方公式进行计算，判断即可．【详解】解：故选择：C【点睛】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．变式训练【变式2-1】（2021·抚州市实验学校七年级期中）利用乘法公式简便计算【答案】998001；【分析】原式变形后，利用完全平方公式计算即可得到结果；【详解】解：原式＝（1000-1）2＝1000000-2000+1＝998001；【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解本题的关键．【变式2-2】（2022·四川成都·七年级期中）利用平方差公式或完全平方公式计算：【答案】(1)9801【分析】应用完全平方公式进行计算即可得出答案；原式；题型三：利用完全平方公式化简求值【例题3】（2022·湖南怀化·七年级期中）先化简，再求值：，其中

．【答案】；【分析】先根据完全平方公式，平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入的值进行计算即可．【详解】解：，当时，原式．【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，涉及平方差公式，完全平方公式，去括号，合并同类项等知识点．能正确根据整式的运算法则进行化简是解题的关键．变式训练【变式3-1】（2022·江苏无锡·七年级期中）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y），其中x=2，y=-1．【答案】，16【分析】首先对中括号内的式子用完全平方公式和平方差公式计算，合并同类项即可化简，然后代入数值计算即可．【详解】解：原式=将代入上式，可得原式=16．【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则以及完全平方公式，平方差公式的运算法则是解题的关键．【变式3-2】（2022·江苏连云港·七年级期中）先化简再求值：已知，求代数式的值．【答案】-4xy+3y2，0【分析】先根据整式的混合运算法则计算化简原式，再把已知代入计算即可．【详解】解：=x2-4xy+4y2-x2+y2-2y2=-4xy+3y2，∵4x=3y，∴原式=-3y2+3y2=0.【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式运算法则和完全平方公式、平方差公式是解题的关键．【变式3-3】（2022·山东威海·期中）化简求值：，其中，．【答案】，【分析】首先根据完全平方公式及平方差公式进行运算，再合并同类项，即可化简，最后把x、y的值代入化简后的式子，即可求得．【详解】解：当，时，原式【点睛】本题考查了整式的化简求值问题，熟练掌握和运用完全平方公式及平方差公式进行运算是解决本题的关键．题型四：利用添括号计算整式乘法【例题4】（2021·四川·成都七中七年级阶段练习）计算．．【答案】【分析】根据整式的混合运算的法则和顺序，结合平方差公式和完全平方公式计算即可．解：原式，，．【点睛】本题考查了整式的混合运算的法则和顺序，解决此题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式进行运算．变式训练【变式4-1】【答案】【分析】利用完全平方公式和平方差公式求解即可．【详解】解．【变式4-2】（2021·深圳市福田区石厦学校七年级月考）计算：（x+2﹣3y）（x+3y﹣2）；【答案】x2﹣9y2﹣4+12y【分析】利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算，最后去括号即可；【详解】解：（x+2﹣3y）（x+3y﹣2）=[x﹣（3y﹣2）][x+（3y﹣2）]=x2﹣（3y﹣2）2=x2﹣（9y2﹣12y+4）=x2﹣9y2﹣4+12y；【变式4-3】（2021·黑龙江八年级期末）计算（1）（2）【答案】（1）6x-5；（2）4x2-y2+6y-9【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【详解】解：（1）原式=9x2-4-（9x2-6x+1）=9x2-4-9x2+6x-1=6x-5；（2）原式=[2x-（y-3）][2x+（y-3）]=4x2-（y-3）2=4x2-y2+6y-9．【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．【变式4-4】（2022·四川成都·七年级期中）利用平方差公式或完全平方公式计算：【答案】【分析】应用平方差公式和完全平方公式进行计算即可得出答案．原式．【点睛】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式进行求解是解决本题的关键．题型五：杨辉三角【例题5】（2022·山东德州·八年级阶段练习）如图为杨辉三角系数表的一部分，请仔细观察下表中的规律，写出(a+b)4的展开式．(a+b)＝a+b；(a+b)2＝a2+2ab+b2；(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3；则(a+b)4＝_____．【答案】a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4【分析】先根据图形得出规律，再根据规律得出即可．【详解】解：(a+b)4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，故答案为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．【点睛】本题考查了完全平方公式和数字的变化类，能根据图形得出规律是解此题的关键．变式训练【变式5-1】（2022·山东泰安·期末）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，六下课本49页，介绍南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”.据“杨辉三角”，设的展开式中第三项的系数为m，的展开式中第三项的系数n，则______.【答案】60【分析】由杨辉三角的规律得到（a+b）n的展开式的第三项系数是n（n−1），依此可得（a+b）6的展开式中第三项的系数m，（a+b）10的展开式中第三项的系数n，再代入计算即可求解．【详解】解：根据“杨辉三角”的规律得到（a+b）n的展开式的第三项系数是n（n−1），则（a+b）6的展开式第三项的系数是×6×（6-1）=15，（a+b）10的展开式第三项的系数是×10×（10-1）=45，则m+n=15+45=60．故答案为：60．【点睛】本题考查数字的变化规律，能够根据所给杨辉三角，观察得出（a+b）n的展开式系数的规律是解题的关键．【变式5-2】（2022·江西九江·七年级期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数，第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应展开式中的系数．(1)根据上面的规律，写出，的展开式；(2)利用上面的规律计算：【答案】(1)（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；(2)1【分析】（1）根据“杨辉三角”的规律求解；（2）根据规律，找出（a+b）n中a，b，n的值后计算．（1）解：如图，∴（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）解：25-5×24+10×23-10×22+5×2-1=（2-1）5=1．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，正确理解“杨辉三角”的规律是求解本题的关键．【变式5-3】（2022·河南郑州·七年级期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，揭示了（为非负整数）展开式各项系数的有关规律：……请你猜想的展开式中所有系数的和是（

）A．2022 B．512 C．128 D．64【答案】B【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察已知给出的各式中的所有系数的和可得：（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数和是2n，问题即得解决.【详解】解：（a+b）0的展开式的各项系数和为：1=20；（a+b）1的展开式的各项系数和为：1+1=2=21；（a+b）2的展开式的各项系数和为：1+2+1=4=22；（a+b）3的展开式的各项系数和为：1+3+3+1=8=23；（a+b）4的展开式的各项系数和为：1+4+6+4+1=16=24；……∴（a+b）n（n为非负整数）的展开式的各项系数和为：2n．∴（a+b）9的展开式中所有系数的和是：29＝512.故选：B．【点睛】本题是阅读理解题，考查的是完全平方公式的拓展—规律型问题，先由特殊的数字入手去寻找一般性的数字规律是解题关键.链接中考体验真题，中考夺冠链接中考【真题1】（2022·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由合并同类项可判断A，利用完全平方公式的应用可判断B，由积的乘方与幂的乘方运算可判断C，由同底数幂的除法运算可判断D，从而可得答案．【详解】解：不是同类项，故A不符合题意；故B不符合题意；，运算正确，故C符合题意；，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是合并同类项，完全平方公式的应用，积的乘方运算，幂的乘方运算，同底数幂的除法运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．【真题2】（2022·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】，-9【分析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：原式．，，原式【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．【真题3】（2021·湖南永州·中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】，7．【分析】先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将代入求值即可得．【详解】解：原式，，将代入得：原式．【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键．满分冲刺能力提升，突破自我满分冲刺【拓展1】（2020·南阳市第三中学）阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．根据材料回答：（1）填空：i3＝，i4＝；（2）求（2+i）2的共轭复数；（3）已知（a+i）（b+i）＝1+3i，求a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值．【答案】（1）﹣i，1；（2）3﹣4i；（3）﹣3或3【分析】（1）按照定义计算即可；（2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出实部和虚部的值，再代入要求得式子求解即可；（3）按照定义计算ab及a+b的值，分两种情况讨论，利用配方法得出（a2+b2）的值；由于i2+i3+i4+i5=-1-i+1+i=0，4个一组，每相邻四项的和均为0，从而可得答案．【详解】（1）∵i2＝﹣1，∴i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1；故答案为：﹣i，1．（2）（2+i）2＝i2+4i+4＝﹣1+4i+4＝3+4i，故（2+i）2的共轭复数是3﹣4i；（3）∵（a+i）（b+i）＝ab﹣1+（a+b）i＝1+3i，∴ab﹣1＝1，a+b＝3，解得a＝1，b＝2或a＝2，b＝1，当a＝1，b＝2时，a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）＝1+4（﹣1﹣i+1+i…+1+i﹣1）＝﹣3；当a＝2，b＝1时，a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）＝4+1（﹣1﹣i+1+i…+1+i﹣1）＝3．故a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值为﹣3或3．【点睛】本题考查了定义新运算，多项式与多项式的乘法法则，完全平方公式等知识，读懂定义及其运算法则是解题的关键，本题的计算较