（课程标准卷地区专用）高考数学二轮复习 专题限时集训（十五）B第15讲 圆锥曲线热点问题配套作业 文（解析版）

专题限时集训(十五)B[第15讲圆锥曲线热点问题](时间：45分钟)1．与两圆x2＋y2＝1及x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆的圆心在()A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上2．到坐标原点的距离是到x轴距离2倍的点的轨迹方程是()A．y＝±eq\r(3)xB．y＝eq\f(\r(3),3)xC．x2－3y2＝1D．x2－3y2＝03．点P是抛物线x2＝y上的点，则点P到直线y＝x－1的距离的最小值是()A.eq\r(2)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3\r(2),4)D.eq\f(3\r(2),8)4．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))，则动点P的轨迹C的方程是()A．y2＝4xB．y2＝－4xC．y2＝8xD．y2＝－8x5．已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b)＝1，直线l：y＝mx＋1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是()A．[1,4)B．[1，＋∞)C．[1,4)∪(4，＋∞)D．(4，＋∞)6．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A．y2－eq\f(x2,48)＝1(y≤－1)B．y2－eq\f(x2,48)＝1C．y2－eq\f(x2,48)＝－1D．x2－eq\f(y2,48)＝17．若点O和点F(－2,0)分别是双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的取值范围为()A．[3－2eq\r(3)，＋∞)B．[3＋2eq\r(3)，＋∞)C．－eq\f(7,4)，＋∞D.eq\f(7,4)，＋∞8．过椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上一点M作圆x2＋y2＝2的两条切线，点A，B为切点．过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于P，Q两点，则△POQ的面积的最小值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C．1D.eq\f(4,3)9．过双曲线的左焦点F1且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若在双曲线虚轴所在直线上存在一点C，使eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，则双曲线离心率e的取值范围是________．10．抛物线y2＝8x的准线为l，点Q在圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0上，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋|PQ|的最小值为________．11．过抛物线y2＝x的焦点F的直线m的倾斜角θ≥eq\f(π,4)，m交抛物线于A，B两点，且A点在x轴上方，则|FA|的取值范围是________．12．已知圆O：x2＋y2＝2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为eq\f(\r(2),2)的椭圆，其左焦点为F.若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交直线x＝－2于点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．图15－113．已知圆C1：(x－4)2＋y2＝1，圆C2：x2＋(y－2)2＝1，圆C1，C2关于直线l对称．(1)求直线l的方程；(2)直线l上是否存在点Q，使Q点到点A(－2eq\r(2)，0)的距离减去点Q到点B(2eq\r(2)，0)的距离的差为4？如果存在求出Q点坐标；如果不存在，说明理由．14．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且点－1，eq\f(\r(2),2)在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点Qeq\f(5,4)，0，动直线l过点F，且直线l与椭圆C交于A，B两点，证明：eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))为定值．

专题限时集训(十五)A【基础演练】1．B[解析]由题意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋1>0，,3－k>0，,k＋1>3－k，))解得1<k<3.2．C[解析]由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知|PF1|＋|PF2|＝4，故动点P的轨迹是以定点F1(－1,0)、F2(1,0)为焦点，长轴长为4的椭圆，故其方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.3．B[解析]x＋2＝0为抛物线的准线，根据抛物线的定义，圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，故这些圆恒过定点(2,0)．4．D[解析]双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，由于点(1,2)在上区域，故2>eq\f(b,a)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)<eq\r(5).又e>1，所以所求的范围是(1，eq\r(5))．【提升训练】5．C[解析]圆心到准线的距离为4，由题意只要|FM|>4即可，而|FM|＝y0＋2，∴y0>2.6．B[解析]根据|eq\o(MN,\s\up6(→))|·|eq\o(MP,\s\up6(→))|＋eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝0得4eq\r(x＋22＋y2)＋4(x－2)＝0，即(x＋2)2＋y2＝(x－2)2，即y2＝－8x.7．A[解析]根据已知只能m>0，n>0，且m＋2－n＝m＋n，即n＝1，所以椭圆的离心率为e＝eq\f(\r(m＋1),\r(m＋2))＝eq\r(1－\f(1,m＋2)).由于m>0，所以1－eq\f(1,m＋2)>eq\f(1,2)，所以eq\f(\r(2),2)<e<1.8．D[解析]由抛物线的定义，|PF|＝d1＋1，d1＝|PF|－1，d1＋d2＝d2＋|PF|－1，显然当PF垂直于直线x－y＋4＝0时，d1＋d2最小．此时d2＋|PF|为点F到直线x－y＋4＝0的距离为eq\f(|1－0＋4|,\r(12＋12))＝eq\f(5,2)eq\r(2)，∴d1＋d2的最小值为eq\f(5,2)eq\r(2)－1.9.eq\f(2\r(6),3)[解析]已知即eq\f(b,a)＝eq\r(3)，此时b＝eq\r(3)a且双曲线的离心率为eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2，所以eq\f(a2＋e,b)＝eq\f(a2＋2,\r(3)a)≥eq\f(2\r(2)a,\r(3)a)＝eq\f(2\r(6),3)，等号当且仅当a＝eq\r(2)时成立．10.eq\f(1,2)[解析]根据已知O(0,0)，F(c,0)，G(a,0)，Heq\f(a2,c)，0，所以eq\f(|FG|,|OH|)＝eq\f(a－c,\f(a2,c))＝eq\f(ac－c2,a2)＝e－e2＝－e－eq\f(1,2)2＋eq\f(1,4)≤eq\f(1,4)，所以当eq\f(|FG|,|OH|)最大时e＝eq\f(1,2).11．抛物线[解析]如图，以点A为坐标原点建立直角坐标系，设P(x，y)，则P到A1D1`的距离为eq\r(1＋x2)，P到点M的距离为eq\r(x－\f(1,3)2＋y2)，根据已知得1＋x2－x－eq\f(1,3)2－y2＝eq\f(8,9)，化简即得y2＝eq\f(2,3)x，故点P的轨迹为抛物线．12．解：(1)设椭圆C的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且a2＝b2＋c2.由题意可知：b＝1，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).解得a2＝4，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)由(1)得Q(－2,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由直线l垂直于x轴时，则直线l的方程为x＝－eq\f(6,5).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(6,5)，,\f(x2,4)＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(6,5)，,y＝\f(4,5)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(6,5)，,y＝－\f(4,5).))不妨设点A在x轴上方，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，\f(4,5)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)))，则直线AQ的斜率kAQ＝eq\f(\f(4,5)－0,－\f(6,5)－－2)＝1，直线BQ的斜率kBQ＝eq\f(－\f(4,5)－0,－\f(6,5)－－2)＝－1.因为kAQ·kBQ＝－1，所以AQ⊥BQ，所以∠AQB＝eq\f(π,2)，即∠AQB的大小为eq\f(π,2).13．解：(1)由题设知|EF1|＋|EF2|＝2eq\r(2)>|F1F2|，根据椭圆的定义，点E的轨迹是焦点为F1，F2，长轴长为2eq\r(2)的椭圆．设其方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝1，a＝eq\r(2)，b＝1，所以E的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)依题设直线l的方程为y＝k(x－1)．将y＝k(x－1)代入eq\f(x2,2)＋y2＝1并整理得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2＋8>0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(4k2,2k2＋1)，x1x2＝eq\f(2k2－2,2k2＋1).设MN的中点为Q，则xQ＝eq\f(2k2,2k2＋1)，yQ＝k(xQ－1)＝－eq\f(k,2k2＋1)，即Qeq\f(2k2,2k2＋1)，eq\f(－k,2k2＋1).因为k≠0，所以直线MN的垂直平分线的方程为y＋eq\f(k,2k2＋1)＝－eq\f(1,k)x－eq\f(2k2,2k2＋1).令x＝0解得yP＝eq\f(k,2k2＋1)＝eq\f(1,2k＋\f(1,k)).当k>0时，因为2k＋eq\f(1,k)≥2eq\r(2)，所以0<yP≤eq\f(\r(2),4)；当k<0时，因为2k＋eq\f(1,k)≤－2eq\r(2)，所以－eq\f(\r(2),4)≤yP<0.综上，点P纵坐标的取值范围是－eq\f(\r(2),4)，0∪0，eq\f(\r(2),4).14．解：(1)设半焦距为c，由题意得FC，BC的中垂线方程分别为x＝eq\f(a－c,2)，y－eq\f(b,2)＝eq\f(a,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))，于是圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－c,2)，\f(b2－ac,2b))).所以m＋n＝eq\f(a－c,2)＋eq\f(b2－ac,2b)≤0，即ab－bc＋b2－ac≤0，即(a＋b)(b－c)≤0，所以b≤c，于是b2≤c2，即a2＝b2＋c2≤2c2，所以e2＝eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,2)，即eq\f(\r(2),2)≤e<1.(2)由(1)知emin＝eq\f(\r(2),2)，a＝eq\r(2)b＝eq\r(2)c，此时椭圆方程为eq\f(x2,2c2)＋eq\f(y2,c2)＝1.设P(x，y)，则－eq\r(2)c≤x≤eq\r(2)c，所以(eq\o(PF,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))·eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)x2－x＋c2＝eq\f(1,2)(x－1)2＋c2－eq\f(