函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1．下面函数与为同一函数的是（）解：，且概念域，∴选D2．已知是的反函数，那么的反函数是（） 解:令反解出：互换，位置得反函数，选A3．设在有概念，那么以下函数为奇函数的是（）解：的概念域且∴选C4．以下函数在内无界的是（）解:排除法：A有界，B有界，C应选D5．数列有界是存在的（）A必要条件B充分条件C充分必要条件D无关条件解：收敛时，数列有界（即），反之不成立，（如有界，但不收敛，选A6．当时，与为等价无穷小，那么=（）AB1C2D-2解：，选C二、填空题（每题4分，共24分）7．设，那么的概念域为解：∵∴概念域为8．设则解：（1）令（2）9．函数的反函数是解：（1），反解出：（2）互换位置，得反函数10．解：原式11．若则解：左式=故12．=解：当时，～∴原式==三、计算题（每题8分，共64分）13．求函数的概念域解：∴函数的概念域为14．设求解：故15．设，的反函数，求解:（1）求∴反解出：互换位置得(2)16．判别的奇偶性。解法（1）：的概念域，关于原点对称为奇函数解法（2）：故为奇函数17．已知为偶函数，为奇函数，且，求及解：已知即有得故得故18．设，求的值。解：故19．求解：（1）拆项，（2）原式=20．设求解：原式=四、综合题（每题10分，共20分）21．设=，求=并讨论的奇偶性与有界性。解：（1）求（2）讨论的奇偶性为奇函数（3）讨论的有界性有界22．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V表示成中心角的函数。解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为，底半径为，依题意：漏斗容积V=故（2）函数的概念域故五、证明题（每题9分，共18分）23．设为概念在的任意函数，证明可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。证：(1)(2)令为偶函数(3)令为奇函数（4）综上所述：偶函数+奇函数24设知足函数方程2+=，证明为奇函数。证：（1）令函数与自变量的记号无关（2）消去，求出（3）的概念域又为奇函数＊选做题1已知，求解:且∴由夹逼定理知，原式2假设关于任意的，函数知足：，证明为奇函数。解(1)求：令(2)令为奇函数第二讲：函数的极限与洛必达法那么的强化练习题答案一、单项选择题（每题4分，共24分）1．以下极限正确的（）A．B．不存在C．D．解：选C注：2．以下极限正确的选项是（）A．B．C．D．解：选A注：3．假设，，那么以下正确的选项是（）A．B．C．D．解：选D4．若，则（）A．3B．C．2D．解：选B5．设且存在，那么=（）A．-1B．0C．1D．2解：选C6．当时，是比高阶无穷小，那么（）A．B．C．为任意实数D．解：应选A二、填空题（每题4分，共24分）7．解：原式8．解：原式9．解：原式10．已知存在，则=解：11．解：又故原式=112．若且,那么正整数=解：故三、计算题（每题8分，共64分）13．求解：原式=原式14．求解：原式15．求解：令，当时，原式16．求解：原式注:原式17．求解：原式18．设且存在，求的值。解：19．解：原式也能够用两个重要极限中的一个，凑一个1出来（凡是能够用换底的都能够用重要极限来求）20．求无穷大与0之间的转换（笔记）解：原式四、证明题（共18分）21．当时且,证明证：证毕（利用两个重要极限）22．当时，证明以下四个差函数的等价无穷小。（1）Tanx-sinx能够提取一个tanx，从而凑成Tanx*(1-cosx)，用等价无穷小能够得出1-cosx~1/2x^2,从而整体等价于x^3/2;(总结规律：注意tanx-sinx有公共因子tanx，从而充分利用等价无穷小的规律，在不定积分中也一样能够用此方式化解式子)（2）（3）（4）证：当时，（0/0型，先用洛比达法那么进行求导，然后利用tanx与secx之间的关系转换，再利用等价无穷小）规律总结：见到tanx的方式：与sinx同幂组合，注意看是不是能够提取公因式tanx;有平方项看是不是能够转化为secx（转化的时候把转化式子写出来，要注意是加1仍是减1.。。）；注意利用全能公式（看书温习全能公式，归纳适用条件）（如何将一个word文要分两边显示。。。如何就能够够将如此的文档转化为适应的样子？？？问老哥）当时，当时，当时，（规律总结：三角函数，反三角函数与X组合，0/0型的时候应该先用洛比达法那么求一次导，（求导的时候能够对分母先应用等价无穷小，再求导），然后再应用等价无穷小进行化简，，另外应该专门注意，能够先应用极限的四那么运算，（四那么不仅只有加减，还有乘除，应额外熟悉）,将某些难化简，但极限好求的先进行计算，（一样题目要求求的都是极限存在的，因此能够用此方式解题，假设解出来发觉极限不存在，这说明不能用四那么运算，因此再想别的方式））五、综合题（每题10分，共20分）23．求有根号，无从下手时想到用分母有理化，化成指数次幂除以指数次幂的形式。解：原式24．已知，求常数的值。解：（1）∵原极限存在且（2）答选做题求解：原式令原式第三讲：函数的持续性与导数、微分的概念的强化练习题答案一、单项选择题（每题4分，共24分）1．若为是持续函数，且，则()A．-1B．0C．1D．不存在解：原式，选B2．要使在点处持续，应给补充概念的数值是()A．B．C．D．解：选A3．若，那么以下正确的选项是（）A．B．C．D．解：选B4．设且在处可导，,那么是的()A．可去中断点B．跳跃中断点C．无穷中断点D．持续点解：，故是的第一类可去中断点。选A5．在处()A．极限不存在B．极限存在但不持续C．持续但不可导D．可导但不持续解：，且在持续，又不存在，在不可导选C（判定函数是不是可导，应该用概念法去判定。。。）6．设在可导，那么为（）A．B．C．D．解：（1）在持续，故（2），代入得，选C（两个未知数找准两个方程，第一人利用持续的性质，第二个利用可导，求出特殊点的导数）二、填空题（每题4分，共24分）7．设为持续奇函数，那么=解：（1）为奇函数，（2）又在持续故规律总结：持续的奇函数在0点的函数值为0；可导的偶函数，0点的导函数为0；8．若为可导的偶函数，那么解：（1）为偶函数，(2)可导，故即9．设是曲线的一条切线，那么解：（1）（2）故10．假设知足：，且则=解：（在不确信函数是不是能够求的导的情形下必然要用概念求在某点的导数）11．设在持续，且=4，则解：原式=12．的中断点个数为解：令为中断点，故有三个中断点（中断点确实是函数没成心义的点）三、计算题（每题8分，共64分）13．已知在上持续，求的值解：在持续且故14．讨论在持续性解：（1）在处，且在处持续（2）在处，在不持续(判定持续性即找准分段点，求极限)15．设有持续的导函数，且若在持续，求常数A。解：且，答16．设在可导，求的值。（看到可导的条件要求变量，必然是两个方程，一个关于持续性，一个是关系某点的导数值（都是左导等于右导）找一个题目自己动手计算，看是不是有问题！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！）解：（1）在持续，故有（2）在可导，答17．设在可导，求与解：（1）在持续，且，故有（2）在可导答：18．讨论在是不是可导，其中在持续。解：（1）（2）答：当时，在持续，当时，在不连续19．求的中断点，并指出中断点类型解：（1）中断点：（2）在处：是的第一类中断点。（3）在处：为的第二类无穷中断点。20．设指出的中断点，并判定中断点的类型。解：（1）为中断点，可能是中断点。（2）在处：是的第二类无穷中断点（3）在处：是的第一类跳跃中断点四、综合题（每题10分，共20分）21．求的中断点，并判别中断点的类型。解：（1）中断点：（2）在处：是的第一类可去中断点（3）在处：是的第一类可去中断点（4）在处：是的第二类无穷中断点22．已知，在可导，求之值解：（1）在持续，故（2）在可导故有（3）在持续，即（4）在可导：故有由（3）（4）解得答：五、证明题（每题9分，共18分）23．证明在区间内至少有两个实根。证：（1）在持续，且由零点定理知，=0在上至少有一个实根。（2）在持续,且由零点定理知，=0在上至少有一个实根（3）综上所述，=0在上至少有两个实根24．设，证明（1）当时在持续，当时，在可导解：（1）当时，在持续(2)当时，在可导总之，当时，在持续当时，在可导选做题设关于任意的，函数知足且证明证：（1）令，，即(2)证毕第四讲：导数与微分的计算方式的强化练习题答案一、单项选择题（每题4分，共24分）1．设则()A．1B．3C．-1D．-3解：（1）(2)选C2．设,那么（）A．B．C．D．解：令选B注：此题用导数概念计算更方便！3．设，那么=()A．B．C．D．解：选A4．设由方程所确信，那么曲线在点（0，1）的切线斜率=()A．2B．-2C．D．-解：选B5．设为可导偶函数，且，那么（）A．0B．1C．-1D．2解：（1）（2）得（3）选A6．设在有持续导数，且,那么()A．1B．-1C．2D．-2解：(2)原式选B二、填空题（每题4分，共24分）7．若，则解：（1）(2)8．设，则=解：(1)（2）9．直线与轴平行，且与曲线相切，那么切点坐标是解：故有切点坐标10．由方程确信，那么解：当时，得，11．设，则解：12．设，那么=解：三、计算题（每题8分，共64分）13．设，求。解：(1)（3）14．设，求及。解：(1)15．方程确信，求解：(1)=0（2）当时，（3），16．设，求解：（1）(2)17．设，确信，求。解：（1）(2)18．设，求解：（1）变形，（2）19．设由方程所确信，其中F可导，且，求解：（1）（2）当时，（3）20．已知，求解：（1）四、证明题（此题8