沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题06 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（专题强化）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

专题06一元二次方程根的判别式和根与系数的关系一、单选题(共40分)1．(本题4分)(2023·江苏镇江·九年级期末）下列方程中，有实数根的是（

）A． B． C． D．2．(本题4分)(2023·河南金水·九年级期末）关于x的一元二次方程﹣x2+kx+3＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不同的实数根B．有两个相同的实数根C．没有实数根 D．无法确定3．(本题4分)(2023·广东英德·二模）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定4．(本题4分)(2023·福建长乐·九年级期末）方程的根的情况是（

）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．无法判断5．(本题4分)(2023·黑龙江·牡丹江四中九年级阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则化简的结果为（

）A．1 B．2 C． D．6．(本题4分)(2023·江苏·泰州中学附属初中九年级期末）若关于x的方程x2﹣ax+6＝0的一个根为2，则a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．(本题4分)(2023·广东禅城·九年级期末）若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（

）A．2 B．±2 C．±4 D．±28．(本题4分)(2023·山东桓台·二模）定义新运算“a⊕b”：对于任意实数a，b都有a⊕b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如4⊕3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝6．若x⊕k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．有一个实根 D．没有实根9．(本题4分)(2023·黑龙江密山·九年级期末）已知x1，x2分别为一元二次方程x2+4x﹣5=0的两个实数解，则的值为（）A． B． C．1 D．10．(本题4分)(2023·四川自贡·九年级期末）若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（

）A．1 B．-1 C．2 D．-2二、填空题(共20分)11．(本题5分)(2023·甘肃兰州·九年级期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为__________．12．(本题5分)(2023·河南·模拟预测）若关于x的一元二次方程x2+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值可能是_____（写出一个即可）．13．(本题5分)(2023·广东·桂林华侨初级中学二模）若、是一元二次方程x2－6x－5＝0的两个根，则的值等于_________．14．(本题5分)(2023·四川·石室中学九年级阶段练习）实数x、y分别满足99x2+2021x＝﹣1，y2+2021y＝﹣99，且xy≠1，则＝___．三、解答题(共90分)15．(本题8分)（湖南省湘潭市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k＋1）x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求k的取值范围；(2)若x1＋x2＝3，求k的值及方程的根．16．(本题8分)(2023·湖南·娄底市第三中学九年级阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣x2）2＝16﹣x1x2，求实数m的值．17．(本题8分)(2023·江苏句容·九年级期中）已知关于的方程．(1)小明同学说：“无论为何实数，方程总有实数根．”你认为他说的有道理吗？(2)若方程的一个根是－1，求另一根及的值．18．(本题8分)(2023·广东阳东·二模）已知关于x的一元二次方程：2x2+(m－2)x－m＝0(1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根．(2)当m=－9时，此方程的两个根分别是菱形ABCD的两条对角线长，求菱形ABCD的面积．19．(本题10分)(2023·浙江·宁波市海曙外国语学校八年级开学考试）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定：满足，例如有整数解3和4，所以＝0属于同族方程，所以．(1)如果同族方程中有两个相等的解、我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有；(2)关于x的一元二次方程属于同族方程，求整数k的值．20．(本题10分)(2023·四川游仙·一模）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不等的实根．(1)求a的取值范围；(2)当a取最大整数值时，△ABC的三条边长均满足关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0，求△ABC的周长．21．(本题12分)(2023·广东·华南师大附中九年级阶段练习）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；(2)若对于，2．3，…，2020，2021时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和，和，和，…，和，和，试求的值．22．(本题12分)(2023·北京市三帆中学九年级期中）法国数学家韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了一元二次方程的根与系数之间的关系：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么，．后来人们将这个“一元二次方程根与系数的关系”称为“韦达定理”．这一结论同学们由求根公式也很容易得到．请你根据“韦达定理”解决以下三个问题：（1）已知是方程的两根，则＝，＝；（2）设是方程的两个根，则的值是（

）；A．15

B．12

C．6

D．3（3）若是两个不相等的实数，且满足，，那么=_____．23．(本题14分)(2023·福建·泉州七中九年级阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝．（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值．（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．专题06一元二次方程根的判别式和根与系数的关系一、单选题(共40分)1．(本题4分)(2023·江苏镇江·九年级期末）下列方程中，有实数根的是（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：分别计算出每个方程根的判别式的值，再进一步判断即可．【详解】解：A．此选项方程根的判别式Δ=02-4×1×1=-4＜0，此方程没有实数根；B．此选项方程根的判别式Δ=12-4×1×1=-3＜0，此方程没有实数根；C．此选项方程根的判别式Δ=（-1）2-4×1×1=-3＜0，此方程没有实数根；D．此选项方程根的判别式Δ=32-4×1×1=5＞0，此方程有两个不相等的实数根；故选：D．【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．2．(本题4分)(2023·河南金水·九年级期末）关于x的一元二次方程﹣x2+kx+3＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不同的实数根 B．有两个相同的实数根C．没有实数根 D．无法确定答案:A解析：分析：直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：此方程根的判别式为，则此方程有两个不同的实数根，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．3．(本题4分)(2023·广东英德·二模）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定答案:B解析：分析：根据一元二次方程根的判别式直接求解即可．【详解】解：由题意可知：，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．4．(本题4分)(2023·福建长乐·九年级期末）方程的根的情况是（

）A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．无法判断答案:B解析：分析：根据可知或，进而求出x的取值即可．【详解】解：∵，∴，，∴，，故方程由两个不相等的实数根，故选：B．【点睛】本题考查解一元二次方程，能够选用合适的方法快速解一元二次方程是解决本题的关键．5．(本题4分)(2023·黑龙江·牡丹江四中九年级阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则化简的结果为（

）A．1 B．2 C． D．答案:D解析：分析：先根据有两个不相等的实数根得到Δ＞0，即4﹣4×（﹣m）＞0，则m的取值范围为m＞﹣1，然后根据二次根式的性质得到原式＝|m+2|，再利用m的范围化简即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即4﹣4×（﹣m）＞0，∴m＞﹣1，∴m+2＞0，∴，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．也考查了二次根式的性质与化简．6．(本题4分)(2023·江苏·泰州中学附属初中九年级期末）若关于x的方程x2﹣ax+6＝0的一个根为2，则a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5答案:D解析：分析：根据关于的一元二次方程的一个根是2，将代入方程即可求得的值．【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是2，，解得．故选：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解决本题亦可利用根与系数的关系．7．(本题4分)(2023·广东禅城·九年级期末）若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（

）A．2 B．±2 C．±4 D．±2答案:C解析：分析：根据一元二次方程根的判别式与根的关系：当△=0时，方程有两个相等的实数根解答即可．【详解】解：∵一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，∴△=m2－4×4=0，解得：m=±4，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根的判别式与根的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当当△＜0时，方程无实数根．8．(本题4分)(2023·山东桓台·二模）定义新运算“a⊕b”：对于任意实数a，b都有a⊕b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如4⊕3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝6．若x⊕k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根C．有一个实根 D．没有实根答案:A解析：分析：利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．【详解】解：∵x⊕k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查了新定义和一元二次方程根的情况，理解新定义是解答关键．9．(本题4分)(2023·黑龙江密山·九年级期末）已知x1，x2分别为一元二次方程x2+4x﹣5=0的两个实数解，则的值为（）A． B． C．1 D．答案:B解析：分析：直接根据根与系数的关系求出，再把变形为，然后整体代入计算即可．【详解】解：∵x1，x2分别为一元二次方程x2+4x﹣5=0的两个实数解，∴∴==故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为根x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=．10．(本题4分)(2023·四川自贡·九年级期末）若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（

）A．1 B．-1 C．2 D．-2答案:C解析：分析：利用方程根的定义和根与系数关系得到，，分子进行因式分解后，利用整体代入即可得到答案．【详解】解：∵m，n是的两个实数根∴，∴∴=2故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系等知识，关键在于利用因式分解正确变形，用整体代入方法解决．二、填空题(共20分)11．(本题5分)(2023·甘肃兰州·九年级期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为__________．答案:解析：分析：根据，计算求解即可．【详解】解：由题意知解得故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确一元二次方程有两个相等的实数根时判别式．12．(本题5分)(2023·河南·模拟预测）若关于x的一元二次方程x2+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值可能是_____（写出一个即可）．答案:﹣4解析：分析：根据方程的系数结合根的判别式可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其内的任意一值即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝02﹣4m＞0，∴m＜0．故答案可为：﹣4．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．13．(本题5分)(2023·广东·桂林华侨初级中学二模）若、是一元二次方程x2－6x－5＝0的两个根，则的值等于_________．答案:6解析：分析：根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得．【详解】解：∵、是一元二次方程x2－6x－5＝0的两个根，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握和灵活运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．14．(本题5分)(2023·四川·石室中学九年级阶段练习）实数x、y分别满足99x2+2021x＝﹣1，y2+2021y＝﹣99，且xy≠1，则＝___．答案:解析：分析：将变形为，因为且xy≠1，则实数、可看作是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系得到，，再把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：，，，即，实数、可看作方程的两实数根，，，原式．故答案为．【点睛】本题考查了一元二次方程的变形应用以及根与系数的关系．根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．三、解答题(共90分)15．(本题8分)（湖南省湘潭市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k＋1）x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求k的取值范围；(2)若x1＋x2＝3，求k的值及方程的根．答案:(1)(2)k＝1，x1＝1，x2＝2解析：分析：（1）由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可知Δ＞0，据此进行计算即可；（2）利用根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，进而得出关于k的方程求出即可．(1)解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴，整理得，4k﹣3＞0，解得：k＞，∴实数k的取值范围为k＞；(2)∵方程的两个根分别为x1，x2，∴x1+x2＝2k+1＝3，解得：k＝1，∴原方程为x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝1，x2＝2．∴k的值为1，方程两根分别为x1＝1，x2＝2．【点睛】本题考查了一元二次方程（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根，以及根与系数的关系．16．(本题8分)(2023·湖南·娄底市第三中学九年级阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣x2）2＝16﹣x1x2，求实数m的值．答案:(1)m≥﹣1(2)1解析：分析：（1）又题意知，Δ＝b2﹣4ac≥0，计算求解即可；（2）由题意知，x1+x2＝﹣2（m+1），x1x2＝m2﹣1；代入（x1﹣x2）2＝16﹣x1x2，计算求出符合要求的解即可．(1)解：由题意得Δ＝[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）≥0，整理得8m+8≥0，解得m≥﹣1，∴实数m的取值范围是m≥﹣1；(2)解：由两根关系得x1+x2＝﹣2（m+1），x1•x2＝m2﹣1，∵（x1﹣x2）2＝16﹣x1x2∴（x1+x2）2﹣3x1x2﹣16＝0，∴[﹣2（m+1）]2﹣3（m2﹣1）﹣16＝0，∴m2+8m﹣9＝0，解得m＝﹣9（不符合要求，舍去）或m＝1∴m＝1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别，根与系数的关系等知识．解题的关键熟练掌握一元二次方程根的判别，根与系数的关系．17．(本题8分)(2023·江苏句容·九年级期中）已知关于的方程．(1)小明同学说：“无论为何实数，方程总有实数根．”你认为他说的有道理吗？(2)若方程的一个根是－1，求另一根及的值．答案:(1)有，理由见解析(2)方程另一根的值为，k的值为1解析：分析：（1）由可知无论为何实数，方程总有实数根；（2）将代入方程求出k的值，然后根据求解方程的另一根即可．(1)解：有道理，理由如下∵∴无论为何实数，方程总有实数根．(2)解：将代入方程得解得∵∴∴另一根的值为，k的值为1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别，根与系数之间的关系．解题的关键在于熟练掌握判根公式，两根之和与系数的关系．18．(本题8分)(2023·广东阳东·二模）已知关于x的一元二次方程：2x2+(m－2)x－m＝0(1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根．(2)当m=－9时，此方程的两个根分别是菱形ABCD的两条对角线长，求菱形ABCD的面积．答案:(1)见解析(2)解析：分析：对于（1），直接求出b2-4ac，根据结果判断即可；对于（2），将m=-9代入得出一元二次方程，再根据一元二次方程根与系数的关系求出x1x2，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得出答案．(1)∵b2-4ac=(m-2)2-4×2(-m)=m2-4m+4+8m=(m+2)2≥0∴不论m为何实数，方程总有实数根．(2)当m=－9时，方程为2x2-11x+9=0，由根与系数关系可得x1x2=，所以菱形ABCD的面积是．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，菱形的面积等．当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．19．(本题10分)(2023·浙江·宁波市海曙外国语学校八年级开学考试）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定：满足，例如有整数解3和4，所以＝0属于同族方程，所以．(1)如果同族方程中有两个相等的解、我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有；(2)关于x的一元二次方程属于同族方程，求整数k的值．答案:(1)证明见解析(2)-3或-1或1或3．解析：分析：（1）根据完美方程的定义结合一元二次方程根的判别式即得出，即．再由，即可求证；（2）将原一元二次方程利用因式分解法求解，得出．根据该一元二次方程为同族方程，即得出的值应为整数，从而即可求出k的值．(1)证明：根据完美方程的定义可知，∴，∵，∴；(2)解：，解得：．∵该一元二次方程为同族方程，∴的值应为整数，∴的值为-3或-1或1或3．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程．理解题意，掌握同族方程和完美方程的定义是解题关键．20．(本题10分)(2023·四川游仙·一模）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不等的实根．(1)求a的取值范围；(2)当a取最大整数值时，△ABC的三条边长均满足关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0，求△ABC的周长．答案:(1)a＜且a≠3(2)3或9或7解析：分析：（1）关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根，可知二次项系数不为0且判别式大于0．（2）在此范围内找出最大的整数，然后分四种情况讨论，求得三角形周长即可．(1)∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根，∴，解得a＜且a≠3．(2)由（1）得a的最大整数值为4；∴x2﹣4x+3＝0解得：x1＝1，x2＝3．∵△ABC的三条边长均满足关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝7，∴①三边都为1，则△ABC的周长为3；②三边都为3，则△ABC的周长为9；③三边为1，1，3，因为1+1＜3；④三边为1，3，3，则△ABC的周长为7．【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；也考查了三角形三边关系．21．(本题12分)(2023·广东·华南师大附中九年级阶段练习）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；(2)若对于，2．3，…，2020，2021时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和，和，和，…，和，和，试求的值．答案:(1)见解析(2)解析：分析：（1）设方程两根为α，β，由一元二次方程根与系数的关系求得α＋β＝2，α•β＝−a2−a，可得（α−2）（β−2）＜0；（2）由（1）中根与系数的关系将整理为，然后将a＝1，2，3，…，2020，2021代入求解．(1)证明：设方程的两根是，，则，，∴∵，∴，即这个方程的一根大于2，一根小于2．(2)解：∵，∵对于，2，3，…，2020，2021时，相应得到的一元=次方程的两根分别为和，和，和，…，和，和，∴．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．22．(本题12分)(2023·北京市三帆中学九年级期中）法国数学家韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了一元二次方程的根与系数之