2024高考数学客观题满分限时练限时练5（附答案解析）

限时练5(时间:45分钟,满分:80分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2023山东济南三模)已知全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={3,6},则图中阴影部分代表的集合为()A.{1,2} B.{3,4}C.{4,5} D.{2,3,5}2.(2023全国甲,理2)若a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a=()A.-1 B.0 C.1 D.23.(2023全国甲,文4)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为()A.16 B.C.12 D.4.(2023湖南常德二模)已知函数f(x)=cos(2x-π3),g(x)=sin2x,将函数f(x)的图象经过下列哪种变化可以与g(x)的图象重合(A.向左平移π12B.向左平移π6C.向右平移π12D.向右平移π65.(2023河南郑州三模)2022年11月底,人工智能研究公司OpenAI发布了名为“ChatGPT”的人工智能聊天程序.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的,在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为L=L0DGG0,其中L表示每一轮优化时使用的学习率,L0表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8,衰减速度为12,且当训练迭代轮数为12时,学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据:lg2≈0.A.35 B.36 C.37 D.386.(2023山东烟台二模)尺规作图三等分角是古希腊三大几何难题之一,现今已证明该问题无解.但借助有刻度的直尺、其他曲线等,可将一个角三等分.古希腊数学家帕普斯曾提出以下作法:如图,以∠ACB的顶点C为圆心作圆交角的两边于A,B两点;取线段AB的三等分点O,D;以B为焦点,A,D为顶点作双曲线,与圆弧AB交于点E,连接CE,则∠ACB=3∠BCE.若图中CE交AB于点P,5AP=6PB,则cos∠ACP=()A.-2425 B.-12C.-725 D.7.(2023全国乙,理10)已知等差数列{an}的公差为2π3,集合S={cosan|n∈N*},若S={a,b},则ab=(A.-1 B.-12C.0 D.18.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是()A.-32e,1C.32e,34二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2023福建宁德模拟)若(x-1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6,则()A.a0=64B.a0+a2+a4+a6=365C.a5=12D.a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=-610.(2023山东菏泽一模)已知圆O:x2+y2=4,下列说法正确的有()A.∀m∈R,直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0与圆O都有两个公共点B.圆O与动圆C:(x-k)2+(y-3k)2=4有四条公切线的充要条件是|k|>2C.过直线x+y-4=0上任意一点P作圆O的两条切线PA,PB(A,B为切点),则四边形PAOB的面积的最小值为4D.圆O上存在三点到直线x+y-2=0的距离均为111.(2023广东深圳二模)如图,在矩形AEFC中,AE=23,EF=4,B为EF中点,现分别沿AB,BC将△ABE,△BCF翻折,使点E,F重合,记为点P,翻折后得到三棱锥P-ABC,则()A.三棱锥P-ABC的体积为4B.直线PA与直线BC所成角的余弦值为3C.直线PA与平面PBC所成角的正弦值为1D.三棱锥P-ABC外接球的半径为2212.(2023山东潍坊三模)函数y=ax+bx(ab>0)的图象是双曲线,且直线x=0和y=ax是它的渐近线.已知函数y=33x+1x,则下列说法正确的是(A.x≠0,|y|≥2B.对称轴方程是y=3x,y=-33C.实轴长为2D.离心率为2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2022全国甲,理13)设向量a,b的夹角的余弦值为13,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=.14.(2023河南新乡二模)若正四面体的棱长为4,则该四面体内切球的球心到其一条侧棱的距离为.

15.已知函数f(x)=xex-ex-x的两个零点为x1,x2,x1<x2,函数g(x)=xlnx-lnx-x的两个零点为x3,x4,x3<x4,则1x1+116.(2023江苏南通模拟)弓琴,也可称作“乐弓”,是我国弹弦乐器的始祖.在我国古籍《吴越春秋》中,曾记载着:“断竹、续竹,飞土逐”.弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔,其正面为一椭圆面,它有多条弦,拨动琴弦,音色柔弱动听,现有某研究人员对它做出改进,安装了七根弦,发现声音强劲悦耳.下图1是一弓琴琴腔下部分的正面图.若按对称建立如图2所示坐标系,F1(-c,0)为左焦点,Pi(i=1,2,3,4,5,6,7)均匀对称分布在上半个椭圆弧上,PiF1为琴弦,记ai=|PiF1|(i=1,2,3,4,5,6,7),数列{an}前n项和为Sn,椭圆方程为x2a2+y2b2=1,且a+64c=4ac,则S7图1图2

限时练51.C解析由题意A∪B={1,2,3,6},而阴影部分为∁U(A∪B)={4,5}.故选C.2.C解析由(a+i)(1-ai)=2,可得a+i-a2i+a=2,即2a+(1-a2)i=2,所以2a=2,1故选C.3.D解析由题意,设高一年级2名学生为A,B,高二年级2名学生为C,D,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种,这2名学生来自不同年级的组合有AC,AD,BC,BD,共4种,故所求的概率P=464.C解析f(x)=cos2x-π3=sin(2x-π3+π2)=sin(2x+π6)=sin2x+π12,将函数f(x)的图象向右平移5.B解析由已知0.8×D1212=0.5,D=58,0.8×58G12≤0.2,58G12≤14,G12lg586.C解析设∠BCE=α,则∠ACB=3∠BCE=3α,∠ACP=2α.在△ACP中,由正弦定理,得APsin2在△BCP中,由正弦定理,得BPsin又因为CA=CB,∠APC+∠BPC=π,所以CAsin∠APC=即APBP=sin2αsin又因为5AP=6PB,所以APBP=2cosα=65,故cosα=所以cos∠ACP=cos2α=2cos2α-1=2×925-1=-77.B解析由等差数列{an}的公差为2π3,可知cosan+3=cosan+2π3×3=cosan,所以数列{cosan}是周期为3的数列,所以cosa1,cosa2=cosa1+2π3,cosa3=cosa1+4π3为一个周期的三项.由S={a,b}可知S中只有两个元素,则cosa1=cosa2或cos①若cosa1=cosa1+2π3,即cosa1=-12cosa1-可得cos此时cosa1+4π3=-12cosa1+32sin则S=12,-1或S=-12②同理若cosa1=cosa1可得cos此时cosa1+2π3=-12cosa1-32sin则S=-12,1或③同理若cosa1+2π可得cos此时cosa1+2π3=则S=-12,1或综上,可知ab=-12.故选B8.D解析由题意,存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,即存在唯一的整数x0,使ex0(2x0-1)<a(x0-设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1).g'(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),从而当x∈-∞,-12时,g(当x∈-12,+∞时,g又∵h(x)=a(x-1)的图象必过点(1,0),即h(1)=0,h(0)=-a,a<1,g(0)=-1,g(1)=e,∴h(0)>g(0),h(1)<g(1).由g(x)的单调性知x0=0.∵g(-1)=-3e,令h(-1)=g(-1),得a=0--3e1-(-1)=39.ABD解析令x=-1,则(-1-1)6=a0,即a0=64,故A正确;令x=0,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=(0-1)6=1,令x=-2,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=(-2-1)6=729,则a0+a2+a4+a6=1+7292=365,故B正确(x-1)6=[(x+1)-2]6,则Tk+1=C6k(x+1)6-k(-2)k,令k=1,则a5=C61(-2)1=-12,由(x-1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6两边求导,得6(x-1)5=a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+…+6a6(x+1)5,令x=0,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=6×(0-1)5=-6,故D正确.故选ABD.10.BC解析对于选项A,因为(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,即m(2x+y-7)+x+y-4=0,令2x+y又因为32+12>4,所以定点(3,1)在圆O外,所以直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0与圆O可能相交、相切、相离,即交点个数可能为0个、1个、2个.故选项A错误;对于选项B,因为圆O与动圆C有4条公切线,所以圆O与圆C相离,又因为圆O的圆心O(0,0),半径r1=2,圆C的圆心C(k,3k),半径r2=2,所以|OC|>r1+r2,即k2+(3k)2>4,解得对于选项C,S四边形PAOB=2S△OAP=2×12×|OA|×|PA|=2×12×|OA|×|OP|又因为O到P的距离的最小值为O到直线x+y-4=0的距离,即|OP|min=|-4|2=22,所以四边形PAOB的面积的最小值为2(22)2对于选项D,因为圆O的圆心O(0,0),半径r1=2,则圆心O到直线x+y-2=0的距离为d=22=2,所以r1-d=2-2<1,所以圆O上存在两点到直线x+y-2=0的距离为1.故选项D错误.11.BD解析由题意可得BP⊥AP,BP⊥CP,又AP∩CP=P,AP,CP⊂平面PAC,所以BP⊥平面PAC,在△PAC中,PA=PC=23,AC边上的高为(23)2-22=22,所以VP-ABC=VB-PAC=13×12×4×对于B,在△PAC中,cos∠APC=12+12-162×23×23=13,BC=12+4=4,cos<PA,BC对于C,S△PBC=12PB·PC=23,设点A到平面PBC的距离为d,由VB-PAC=VA-PBC,得13×23d=823,解得d=463,所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为由B选项知,cos∠APC=13,则sin∠APC=2所以△PAC的外接圆的半径r=12设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,又因为BP⊥平面PAC,则R2=r2+12PB2=92+1=即三棱锥P-ABC外接球的半径为222,故D正确故选BD.12.ABD解析当x>0时,y=33x+1x≥233x·1x=243,当且仅当33x=1x,即x=43时取等号,x<0时当且仅当-33x=-1x,即x=-43时取等号,故依题意,此双曲线两条渐近线为x=0和y=33x,由双曲线的对称性,双曲线的渐近线关于双曲线的对称轴对称,故得双曲线的两条对称轴方程为y=3x,y=-33x,故B由双曲线的性质,双曲线实轴的两个顶点为对称轴y=3x与双曲线y=33x+1x的两个交点,则由y=3x,y=33x+1x得双曲线实轴的两个顶点分别为A232,632,A1-2依题意,此双曲线两条渐近线x=0和y=33x的夹角为π3,则渐近线x=0与对称轴y=3x的夹角为π6,由双曲线的性质有ba所以b2a2=c2-a2a2=e2-1故选ABD.13.11解析由题得,a·b=1×3cos<a,b>=1×3×13=则(2a+b)·b=2a·b+|b|2=2+9=11.14.2解析如图,设O为正四面体S-ABC的内切球球心,也是外接球球心,D为△ABC的外心,过O作OG⊥SA,垂足为G,AD=2SD=SA因为SO=AO,所以SO2=(SD-SO)2+AD2,解得SO=6.因为sin∠ASD=ADSA=33,所以OGSO即该四面体内切球的球心到其一条侧棱的距离为2.15.2解析因为函数f(x)=xex-ex-x的两个零点为x1,x2,则x1ex1−ex1