创新能力题（解析版）

随着高考综合改革在各省市的逐步深入，高考命题也更能体现创 f({an{(=a1+a2x+⋯+anxn-1+⋯,x∈R．定义运算⊗：若{an{,{bn{∈S，则{an{⊗{bn{f({an{⊗{bn{(=f({an{(⋅f({bn{(.4表示m4；(2)证明：({an{⊗{bn{(⊗{cn{={an{⊗({bn{⊗{cn{(；n=2=n{={an{⊗{bn{，证明：d200<.4=a1b4+a2b3+a3b2+a4b1；(2)利用新定义证明f(({an}⊗{bn})⊗f{cn})=f({an}⊗({bn}⊗f{cn}))即可；(3)根据多项式的乘法可得dn=a1bn+a2bn-1+⋯+akbn+1-k+⋯+an-1b2+anb1，然后利用通项公式整理化简即【详解】(1)因为f({an{⊗{bn{(=f({an{(⋅f({bn{(=(a1+a2x+a3x2+a4x3⋯((b1+b2x+b3x2+b4x3⋯(且f({mn{(=m1+m2x+m3x2+m4x3+⋯,所以，由{an{⊗{bn{={mn{可得m4x3=(a1b4+a2b3+a3b2+a4b1)x3，所以m4=a1b4+a2b3+a3b2+a4b1.1所以f({an})⋅f({bn})⋅f({cn})=f({an}⊗{bn})⋅f({cn})又因为f({an{(⋅f({bn{(⋅f({cn{(=f({an{(⋅[f({bn{(⋅f({cn{([=f({an})⋅f({bn}⊗{cn})=f({an}⊗({bn}⊗{cn}))所以f(({an}⊗{bn})⊗f{cn})=f({an}⊗({bn}⊗f{cn}))，所以({an{⊗{bn{(⊗{cn{={an{⊗({bn{⊗{cn{(.n因为(a1+a2x+⋯+anxn-1+⋯)(b1+b2x+⋯+bnxn-1+⋯)=d1+d2x+⋯+dnxn-1+⋯,所以dnxn-1=a1(bnxn-1)+⋯+akxk-1(bn+1-kxn-k)+⋯+an-1xn-2(b2x)+anxn-1b1，所以dn=a1bn+a2bn-1+⋯+akbn+1-k+⋯+an-1b2+anb1，200=akb201-k=akb201-k+1akb201-k=akb201-k=，所以d200=1+-,=-=-<.公式即可得证. n(Sn+1+Sn-1-2Sn((n∈N*，且n≥2).①对任意k≤5且k∈N*≤ak≤bk+1成立；②当k≥6且k∈N*≤am≤cm+1对任意正整数m≤k成立.anan+1=2Sn(Sn+1+Sn-1-2Sn(=2Sn(an+1-an((n≥2(，n{各项均不为0且递增，n+1-an≠0，n=，n-1=(n≥3(，2233n=-，化简得an(an+1+an-1-2an(=0(n≥3(，n+1+an-1=2an(n≥3(，1=2,a2=4，2a3=2S2(S3+S1-2S2(，3=6，1+a3=2a2，n{为等差数列，n=2n,Sn=n2+n，∴==-Snn(∴==-∴Tn=1-+-+⋯+-=；k-1≤2k≤2qk成立，即(k-1(lnq≤lnk≤klnq成立，设f(x(=，则f,(x(=，令f,(x(=0，解得x=e，f,(x(>0,f(x(单调递增，f,(x(<0,f(x(单调递减，∴f(k(=≤，，使得lnk≤klnq对任意k≤5且k∈N*成立，k-1≤k均成立，m≤am≤cm+1成立，则qm-1≤m≤qm成立，当k≥6时，取m=3得q2≤3≤q3，取m=6得q5≤6≤q6，*时，不存在“G-数列”{cn{使得cm≤am≤cm+1对任意正整数m≤k成立.i=an-i+1(i∈N，且1≤i≤n(，就1=2,b3=8所以S2k+1=c1+c2+⋯⋯ck+ck+1+ck+2⋯⋯+c2k+1=2(ck+1+ck+2⋯⋯+c2k+1(-ck+1=-4k-2+2501，*③2m-12,⋯,2m-2,2m-1④2m-12,⋯,2m-2,2m-1对于①,当m≥2024时，S2024=1+2+22+⋯+22023==22024-1；当1500<m≤2023时，2024=(1+2+⋯+2m-2+2m-1(+(2m-2+⋯+22m-2025(=+=2m+2m-1-22m-2025-1；对于②,当m≥2024时，S2024=22024-1；当1500<m≤2023时，S2024=(1+2+⋯+2m-2+2m-1(+(2m-1+2m-2+⋯+22m-2024(=+=2m+1-22m-2024-1；对于③,当m≥2024时，S2024=2m-1+2m-2+⋯+2m-2024=1-2=2m-2m-2024；当1500<m≤2023时，S2024=(2m-1+2m-2+⋯+2+1(+(2+⋯+22024-m(44=+=2m+22025-m-3；对于④,当m≥2024时，S2024=2m-1+2m-2+⋯+2m-2024=1-2=2m-2m-2024；当1500<m≤2023时，S2024=2m-1+2m-2+⋯+2+1+1+2+⋯+22023-m1-2m=1-2m==2m+22024-m-2；+14+2x1+22x2+⋯+2kxk,xi∈=x0+x1q+x2q2+⋯+xkqk.4n=a2i=a2-1；n<am≤an+1.7=1+q+q2,a8=q3n=a2=qn-1，分别计算bi和a2-1可证明结论；2=qn-1无上界说明存在正整数m，使得an<am，分m-1是偶数和m-1是奇数分别说明.27=1+q+q2；8=q3；(2)由数列{an{定义得：bn=a2=qn-1；所以bi=1+q+q2+⋯+qn-1.n-1=1+2+22+⋯+2n-1，所以a2=1+q+q2+⋯+qn-1=bi；m>an.设m是满足am>an的最小正整数．下面证明am≤an+1.①若m-1是偶数，设m-1=2x1+22x2+⋯+2kxk,xi∈{0,1{,i=1,2,⋯,k，则m=1+2x1+22x2+⋯+2kxk，于是am=1+x1q+x2q2+⋯+xkqk=1+am-1.n≥am-1，所以am=1+am-1≤an+1.②若m-1是奇数，设m-1=1+2+22+⋯+2l+2l+2xl+2+⋯+2kxk，则am-am-1=ql+1-1+q+q2+⋯+ql=q-11+q+q2+⋯+ql-1+q+q2+⋯+ql+1<1.所以am<am-1+1≤an+1.5555列{an{为m的k增数列：①a1+a2+a3+⋅⋅⋅+an=m；②对于1≤i<j≤n，使得ai<aj的正整数对i,j有k个.+a2+⋯+an=4，且对于1≤i<j≤4，使得ai<aj的正整数对i,j有1个，即a1+a2+a3+a4+a5=m，且对于1≤i<j≤5，使得ai<aj的正整数对i,j有6个，所以数列{an{的各项中必有不同的项，所以m≥6且m∈N*.若ai+1-ai∉{0,1{，所以ai+1≥ai+2，若数列{an{中存在相邻的两项ai=2，ai+1≥3，设此时{an{中有x项为2，所以k=xy=100-2yy=-2y2+100y=-2y-252+1250，6 i,nj=xj,1,xj,2,j,n的数量积ai⋅aj=xi,1xj,1+xi,2xj,2+⋅⋅⋅+xT(T为常数)且ai⋅aj=1.则称A为T的完美n维向量集.(3)依题意可得S1+S2+⋯+Sn=nT，运用反证法，假设存在k，使得T+1≤Sk≤n，不妨设T+1≤S1≤n，分别从S1=n及T+1≤S1<n两方面证得矛盾即可得Sk≤T，进而可证得结果.所以S1+S2+⋯+Sn=nT(*)，假设存在k，使得T+1≤Sk≤n，不妨设T+1≤S1≤n.(i)当S1=n77i=0或Si=1(i≠1)，此时S1+S2+⋯+Sn≤n+(n-1)=2n-1<2n≤nT，与(*)矛盾，不合题意.(ii)当T+1≤S1<n时，如下记Sk=x1,k+x2,k+⋯+xn,k(k=1,2,⋯,n)，不妨设x1,1=x2,1=⋯xT+1,1=1，xn,1=0，xn,2=xn,3=⋯xn,T+1=1，故x1,j2,j，⋯T+1,j(j=2,3,⋯,T+1)中至多有1个1，所有含1的个数至多有(T+1)+T=(2T+1)个1(**).另一方面，考虑⋅=1(i=1,2,⋯,T+1)，故对任意k≤n且k∈N+，Sk≤T，由(*)可得Sk=T.7(2024·上海松江·一模)对于数列{an{，称P(ak)=(|a1-a2|+|a2-a3|+⋯+|ak-1-ak|((其中k≥72,k∈N)为数列{an{的前k项“波动均值”.若对任意的k≥2,k∈N，都有P(ak+1)<P(ak)，则称数列{an{+CP(Sn((n≥2,n∈N)；88n-n-1)+(2n-1)(3)证明见解析|+⋯+|an|)=a1+d，从而得到CP(S2)+CP(S3)+⋯+CP(Sn)=a1(C+C+⋯+C=(1+q+q2+⋯+qk-1)，从而化为k(1+q+q2+⋯+qk-2)>(k-1)(1+q+q2+⋯+qk-2+qk-1)，从而证明.【详解】(1)由题意1-x>，即1-x>x-2解得x>k)=S1-S2+S2-S3+⋯+Sk-1-Sk=a2+a3+⋯+an1>0,d>0∴an=a1+(n-1)d>0，k)=a2+a3+⋯+an=a1+d∴CPS2+CPS3+⋯+CPSn=a1(C+C+⋯+C)+(2C+3C+⋯+nC)=a1(2n-n-1)+(nC-1+nC-1+⋯+nC)=a1(2n-n-1)+(2n-1)1>0且0<q<1，k-1>bkk)=b1-b2+b2-b3+⋯+bk-1-bk=(b1-b2+b2-b3+⋯+bk-1-bk)=(1+q+q2+⋯+qk-2)k+1)=(1+q+q2+⋯+qk-1)，i>qk-1(i<k-1)q>qk-1,q2>qk-1,⋯,qk-2>qk-1,k-2+qk-1)即对任意的k≥2,k∈N*，都有P8899<⋯<an.②若cn=tana2n+1⋅tana2n-1(n∈N*)，求数列{cn{的前n项和Tn.nn结合裂项相消法求和.=..2024=b1+b2+b3+⋯+b2024=3×1012=3036.②cn=tana2n+1⋅tana2n-1=tan(3n+1(⋅tan(3n-2((n∈N*).因为tan(3n+1(⋅tan(3n-2(=tan(3n+1(3n-2(-1，=tan(3n-tan1-n.切公式等等知识才能顺利求解.9c2=a12c3+a2b3c1+a3b1c2-a3b2c1-a2b1c3-a1b3c2.若y1y2y1y2x1x2=2=S△AOB⋅则×=021=4-++2--3=-+2=1,-1,2.-132则×=y1z2+z1x2+x1y2-x2y1-z2x1-y2z1=y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1，2与y122z1-y1z2,z2x1-z1x2,x2y1-x1y2，2∠AOB=1-2-(2故S△AOB=故S△AOB=故要证S△AOB= 故要证S△AOB=2-(2-(2=|22-(×=y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y12=y1z2-y2z12+z1x2-z2x12+x1y2-x2y12，2=x+y+z,|2=x+y+z，2=x1x2+y1y2+z1z222=|22-( 2故S△故S△AOB==OB.,2=12=S△AOB⋅ 2 2条件坐标化处理. Cz+D=0，其中A,B,C,D∈R，A2+B2+C2≠0，且=A,B,C为该平面的法向量.已知集合P=x,y,zx≤1,y≤1,z≤1，Q=x,y,zx+y+z≤2，T=x,y,zx+y≤2,y+z≤2,z+x≤2.和V=4，S2=8；2=；后用割补法求解体积即可.集合M=x,y,zz=0表示xOy平面上所有的点，而P∩M可以看成正方体在xOy平面上的截面对于Q=x,y,zx+y+z≤2，当x,y,z>0时，这六个顶点形成的正八面体内所有的点.考虑集合Q的子集Q=x,y,zx+y+z≤2,x≥0,y≥0,z≥0；即为三个坐标平面与x+y+z=2围成的四面体.即P,={(x,y,z(|0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1{，Q,={(x,y,z(|x+y+z≤2,x≥0,y≥0,z≥0{，显然P,3在平面x+y+z=2上，同时也在P,的底面上.则P,P=.故P,VQ=VP-VQ-QQQ=1-=.其中正方体ABCD-IJML即为集合P所构成的区域.E-ABCD构成了一个正四棱锥，其中E到面ABCD的距离为2，V=VP+6VE-ABCD=8+6×=16.=.由图知两个相邻的面所成角为钝角.故H相邻两个面所成角为.到所要求的二面角余弦值即可.元素的绝对值之和.+|max(P(|≥4；注：由n个实数组成的集合叫做n元实数集合，max(P(,min(P(分别表示<⋯<x5，从而分三种情况，x1≥0，x5≤0，x1<0,x5>0讨论即可得证；+列求和即可得解.则min(Q1(=1>min(Q2(=0.9，(2)不妨设集合P={x1,x2,x3,x4,x5{且x1<x2<⋯<x5，即min(P(=x1,max(P(=x5.i*,1≤i≤4，则xi+1-xi≥1，且∃i0∈N*,1≤i0≤4，使得xi+1-xi=1.当x1≥0时，|min(P(|+|max(P(|=|x1|+|x5|=(x2-x1(+(x3-x2(+⋯+(x4-x3(+(x5-x4(+2x1≥4+2x1≥4.当且仅当xi+1-xi=1且x1=0时，等号成立；5≤0时，|min(P(|+|max(P(|=|x1|+|x5|=-x1-x5=(x2-x1(+(x3-x2(+(x4-x3(+(x5-x4(-2x5≥4-2x5≥4.当且仅当xi+1-xi=1且x5=0时，等号成立；当x1<0,x5>0时，|min(P(|+|max(P(|=|x1|+|x5|=-x1+x5=(x2-x1(+(x3-x2(+(x4-x3(+(x5-x4(≥4.当且仅当xi+1-xi=1时，等号成立.综上所述：|min(P(|+|max(P(|≥4.(3)设x1<x2<⋯<x2024.*,1≤i≤2023,xi+1-xi≥1，且∃i0∈N*,1≤i0≤2023，使得xi+1-xi=1.*,1≤j≤1012,xj+1-xj≥1.下先证对n元理想数集P，有|min(P(|+|max(P(|≥n-1.不妨设集合P中的元素满足x1<x2<⋯<xn.即min(P(=x1,max(P(=xn.*,1≤i≤n-1,xi+1-xi≥1，且∃x0∈N*,1≤i0≤n-1，使得xi+1-xi=1.当x1≥0时，|min(P(|+|max(P(|=|x1|+|xn|=x1+xn=(x2-x1(+(x3-x2(+⋯+(xn-xn-1(+2x1≥n-1+2x1≥n-1，当且仅当xi+1-xi=1且x1=0时，等号成立；当xn≤0时，|min(P(|+|max(P(|=|x1|+|xn|=-x1-xn=(x2-x1(+(x3-x2(+⋯+(xn-xn-1(-2xn≥n-1-2xn≥n-1，当且仅当xi+1-xi=1且xn=0时，等号成立；当x1<0,xn>0时，|min(P(|+|max(P(|=|x1|+|xn|=-x1+xn=(x2-x1(+⋯+(xn-xn-1(≥n-1.当且仅当xi+1-xi=1时，等号成立.+|max(P(|≥n-1.+|x2|+⋯+|x2024|≥2023+2021+⋯+1==10122.即可顺利得解.=3,b2=5,b3=7(3)构造等比数列求出{an{的通项公式，进一步求其前n项和Sn，分n为奇数和偶数两种情况结合数列-b1|<<，故-<-b1<，1=32=5,b3=7.-bn|<，故an-<bn<an+,an+1-<bn+1<an+1+，从而an+1-an-1<bn+1-bn<an+1-an+1，即-1<bn+1-bn-d<1，nn+1-bn-d=0,即bn+1-bn=d，故数列{bn{是等差数列.n+1=-an+,则an+1+λ=-(an+λ(，解得λ=-，n+1-n=-n+1+，当n为奇数时，an=n+1+，易知an=n+1+单调递减，故<an≤a1=，得an-2∈n=2；当n为偶数时，an=-n+1+，易知an=-n+1+单调递增，n=易知Sn=n+1-（-n, 3n+1; 3n+1;当n为奇数时，Tn=Tn+1-bn+1=-1=n<Tn,得1+n<,即n<，n.现的概率，其中pij=P(ξ=ai,η=bj)=P[(ξ=ai)∩(η=bj)].概率公式列式化简即得.②依题意，0≤m+n≤3，P(ξ=m,η=n)=P(ξ=m|η=n)⋅P(η=n)，显然P(η=n)=Cn3-n，则P(ξ=m|η=n)=Cnm3-n-m=Cn3-n，所以P(ξ=m,η=n)=Cn3-n⋅Cn3-n=CCn=.i2j)]∪⋯}=P[(ξ=ai)∩(η=b1)]+P[(ξ=ai)∩(η=b2)]+⋯+P[(ξ=ai)∩(η=bj)]+⋯=P[(ξ=ai)∩(η=bj)]=P(ξ=ai,η=bj)=pij.设每次信号的传输相互独立.(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为fα,求fα的最小X的分布列和数学期望.由题可知fα=α3+(1-α)3=3α2-3α+1=3(α-2+， 2 2时，fα的最小值为 .4因此，PX=4=4+4=.所以X的分布列为X1234P8 49 C CC23第二问所得，可得Pn+2=Pn+Pn+1-2Pn，借助累乘法研究该数列计算即可得解.；则经过2秒机器人位于区域Q的概率为p1p3设经过n秒机器人位于区域Q的概率Pn， 6 6故经过n秒机器人位于区域P的概率为1-2Pn，若第n秒机器人位于区域P，则第n+2秒机器人位于区域Q的概率为 若第n秒机器人位于区域Q1，则第n+2秒机器人位于区域Q的概率为 则有Pn+2=Pn+Pn+1-2Pn，即Pn+2=+Pn，令Pn+2+λ=Pn+λ,即Pn+2=Pn-λ,即有λ=-，即有Pn+2-=Pn-，则=，故有=、=、⋯、=，-=Pn-=-1×-=-⋅即Pn=-⋅，(1)求函数fx在x=1处的切线方程；(2)若x1+x2+⋯+xn=2，且xi>0i=1,2,⋯,n,n∈N*，求证：fx1+fx2+⋯+fxn≤.(2)首先求出f(x)在x=a处的切线方程y=x+，由此可构造函数g(x)=x+-,(0所以fx在x=1处的切线斜率k=f1=0，且f1=，故所求切线方程为y=.(2)设fx在x=a0<a<2处的切线斜率为k，且f(a)=，故f(x)在x=a处的切线方程为y=x+，设gx=x+-0<x≤2，则gx=-.设hx=-，则hx=.因为0<x≤2，所以hx≥0，仅在x=2时取等号，故hx在0,2[上单调递增.列表如下.x=agx<0gx=0gx>0gx单调递减极小值ga=0gx单调递增所以gx≥0，即x+≥.令x=x1,x2,⋯,xn，其中x1+x2+⋯+xn=2，且xi>0i=1,2,⋯,n,n∈N*，则有x1+≥，x2+≥，⋯,xn+≥，累加得x1+x2+⋯+xn+n⋅≥fx1+fx2+⋯+fxn，即2⋅+n⋅≥fx1+fx2+⋯+fxn，取a=n≥2，即得fx1+fx2+⋯+fxn≤，当n=1时，fx1=显然满足题意，综上可得fx1+fx2+⋯+fxn≤.n-2在于能想到和切线相关的不等式，即x+≥,(0<x≤2)，因此需要先求得f(x)在x=a处的切(3)记n号盒子中红球的个数为Xn，求Xn的期望EXn.n-1为第n(n≥2(号盒子有三个红球和一个白球的概率，则a1=，n-1为第n(n≥2(号盒子有两个红球和两个白球的概率，则b1=，则第n(n≥2(号盒子有一个红球和三个白球的概率为1-an-1-bn-1，且bn-1=bn-2+an-2+(1-an-2-bn-2((n≥3(，化解得bn-1=bn-2+，即可求解.P(ξ=2(=1-P(ξ=1(-P(ξ=3(=，ξ123P 记an-1为第n(n≥2(号盒子有三个红球和一个白球的概率，则a1= n-1为第n(n≥2(号盒子有两个红球和两个白球的概率，则b1=，b2=，则第n(n≥2(号盒子有一个红球和三个白球的概率为1-an-1-bn-1，n-1=bn-2+an-2+(1-an-2-bn-2((n≥3(，化解得bn-1=bn-2+，n-1-=bn-2-，b1-=，2-=b1-，则数列所以bn=+n-1，又由an-1=bn-2+an-2求得：an=-n因此E(Xn(=1×an-1+2×bn-1+3×(1-an-1-bn-1(=3-2an-1-bn-1=2.n-1为第n(n≥2(号盒子有三个红球和一个白球的概率，则a1=，bn-1为第n(n≥2(号盒子有两个红球和两个白球的概率，则b1=，b2=，则率为1-an-1-bn-1，且bn-1=bn-2+an-2+1-an-2-bn-2n≥3，即可求解.身高/cm体重平均值/kgR2胞数量J(t)=J0ert，其中J0和r2分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重y关于身高x的函数2J0x因为y(t)=k2J(t)=k2J0ert，所以ert=，所以r=errt=r，x；x得y=0.001x2.1029，(2)记甲第i次答题所得分数Xii∈N*的数学期望为EXi.，并猜想当i≥2时，EXi与EXi-1之间的关系式；i=EXi-1+5,i≥2；(ⅱ)10，EX3=25，结合题意，得到EXi=EXi-1+5， 2 2 2当i≥2时，因为甲第i-1次答题所得分数Xi-1的数学期望为EXi-1，=15， 所以EXi=2EXi-1×+10×=EXi-1+5，可猜想：EXi=EXi-1+5,i≥2.4、注意期望与方差的性质EaX+b=aEX+b,Dax+b=a2DX的应用；(2)记n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为n+1个的概率为an，求{an{的前n项和Sn；n=4-n+4n； 其中PX=3=3=，P(X=4(=C⋅⋅2=，P(X=5(=C⋅2⋅=，P(X=6(=3=，所以X的分布列为X3456P (2)因为n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为n+1个，于是an=C⋅⋅n-1=⋅n，3+⋯+n×n，于是Sn=1×2+23+34+⋯+(n-1(×n+n×n+1，n==-n×n+1=1-(n+4(×n+1，所以Sn=4-(n+4(n.则既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的人数为100-x，因此游客得到纪念品的总个数n=x+2(100-x(=200-x，此时bn=C0x100-x=C03x，， (x+1( (x+1(!(99-x(! (x-1(!(101-x(!≥x+ln(1+x(-1.n=f(n(-ln(n+1(+n,Sn为数列{an{的前n项和.证明：当a=时，S64<2024； e ex-x+1的单调性与最值判定fx的单调性即可证明；n=n+lnn+1-1-lnn+1+n=n+n-1，所以S64=1+2+⋯+64+0+1+2+⋯+64-1=+2016(2)易知a=时，fx=+ln1+x-1⇒f,x=-=x>-1，令gx=ex-1+xx>-1⇒g,x=ex-1，即gx在-1,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，故gx≥g0=0⇒f,x≥0，所以fx在-1,+∞上单调递增，又f0=0，所以x∈-1,0时，fx<0,x∈0,+∞时，fx>0，故xfx≥0；x<，x∈0,+∞时，ax>， +ln1+x-1<0， x∈0,+∞时，fx +ln1+x-1>0，且f0=0，则函数fx只有一个零点，不符题意； e e时，fx在-1,+∞上单调递增，也不符题意；f,x=+=x>-1，令hx=x-ln⋅1+x,>e,x>-1(⇒h,x=lnx-1(,x<0,x∈0,+∞时，h,x>0，即hx在-1,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，注意到h-1=a>0,h0=1+lna<0，x→+∞,hx>0，∈0,+∞使得hx1=hx2=0，即fx在-1,x1和x2,+∞上单调递增，在x1,x2上单调递减，又x→-1时，fx→-∞,fx1>f0=0>fx2，x→+∞,fx>0，x >0；(3)设集合P={anm={x|m<x<2m{，记P∩Qmm=m.1<cos<n，可得bm=m.【详解】(1)因为a=2，所以f(x(=2xsinx+cos2x-1=2(x-sinx(sinx，0<x<，2sinx>0.设g(x(=x-sinx，0<x<，所以g(x(>g(0(=0，因此f(x(>0.(2)函数f(x(=axsinx+cosax-1，0<x<，f'(x(=a(sinx+xcosx-sinax(，当0<a≤2时，注意到0<ax≤2x<，故sinax≤sin2x，因此f'(x(≥a(sinx+xcosx-sin2x(=a[sinx(1-cosx(+(x-sinx(cosx[，由(1)得x-sinx>0，因此f'(x(>0，当a>2时，令h(x(=f'(x(=a(sinx+xcosx-sinax(，'(x(=a(2cosx-xsinx-acosax(<a(2-acosax(=a2-cosax(,x(<a2-=0，所以f,(x(在(0,θ(上单调递减，从而f,(x(<f,(0(=0，所以f(x(在(0,θ(上单调递减，因此f(θ(<f(0(=0，不合题意；综上，0<a≤2.f,(x(=a(sinx+xcosx-sinax(，当0<a≤2时，注意到0<ax≤2x<，故sinax≤sin2x，因此f,(x(≥a(sinx+xcosx-sin2x(=a[sinx(1-cosx(+(x-sinx(cosx[，由(1)得x-sinx>0，因此f,(x(>0，当a>2时，先证明当x>0时，x-x2<sinx.令G(x(=x-x2-sinx，则G,(x(=1-2x-cosx，令H(x(=1-2x-cosx，则H,(x(=-2+sinx<0，因此当x>0时，x-x2<sinx.又由(1)得x-sinx>0，此时f,(x(=a(sinx+xcosx-sinax(<a[2x-ax+(ax(2[=a[a2x2-(a-2(x[=ax[a2x-(a-2([，0<时，f,(x(<0。所以f(x(在(0,x0(上单调递减，因此f(x0(<f(0(=0，不合题意；综上，0<a≤2.∴cos>1-=1--(, ≥++n-2-->n-2+-，--1>--1=>0，则->1，得cos>n-2+->n-1，又cos<n，时，都有n-1<cos<n，P={an∗由2m-m=m，所以bm=m.成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；anan24*；t=1(t(3)若n=2m+rm≥0,m∈N,0≤r<2m，证明：J(n)=2r+1.k=k,k∈N∗,1=J2=1成立，假设k=t-1成立，即J2k=J2t-1=1，当k=t时，可得J2k=J2t=J2⋅2t-1=2J-2t-1-1=1，t=1.m+r，经过2m次操作变成2m+1,2m+2,⋯2m+r,1,3,5,⋯,2m-1，再经过r+1次操作，变成3,5,⋯,2m+r-2,2m+r，这里由有2m-1+个数，第i位是2i+1，所以J(2m+r)=2J2m-1++1=2⋅2+1+1=2r+1，综上可得，当n=2m+rm≥0,m∈N,0≤r<2m时，J(n)=2r+1成立.以力臂x，等于最下方积木的重力G乘以力臂-x得出方程Gx=G-x求出x=．所以当叠堆叠伸出桌外的最远距离为1+++⋯+，构造函数fx=x-lnx+1，结合导数研究函数单调性可得>ln，即可得1++⋯+>lnn+1，将n=64代入即可得证；(3)构造函数gx=lnx+1-，结合导数研究函数单调性可得ln>，故有++⋯+<lnn，将n=352代入即可得证.当n=4时，有3Gx=G（-x则x=，故L+=L，设第n个积木伸出桌外的长度为xn，则有n-1xnG=G-xn解得xn=，++⋯+=1+++⋯+,令fx=x-lnx+1x>0，则fx=1-=>0，故fx在0,+∞上单调递增，故fx>f0=0，故1++⋯+>ln+ln+⋯+ln=ln××⋯×=lnn+1，即1+++⋯+>ln65，又50<e4<55，故ln65>lne4=4，故1+++⋯+>×4=2L，++⋯+=1+++⋯+,令gx=lnx+1-x>0，则gx=-=>0，故gx在0,+∞上单调递增，故gx>g0=0，即有lnx+1>在0,+∞上恒成立，令x=，则有ln>=，故ln+ln+⋯+ln>++⋯+，即++⋯+<lnn，则1+++⋯+<1+ln352，只需证1+ln352≤，即证ln352≤6.5，由50<e4<55，故ln352-4<ln=ln7.04，(n-1(xnG=G-xn可得xn=，即可得n个积木堆叠伸出桌外的最远距离为，第二个是证到1++⋯+>ln(n+1(及++⋯+<lnn.(1)用t表示点M的横坐标x和纵坐标y；【答案】(1)x=t-sint,y=1-cost；所以x=t-sint,y=1-cost.(2)由复合函数求导公式y=y⋅x及(1)得y===，因此tanθ=，而1+cos2θ=2cos2θ===1-cost=y0，(t)=(1-cost)2+sin2t=2-2cost=2|si由0≤≤π,得sin≥0，则F,(t)=2sin，于是F(t)=-4cos+c(c为常则F(2π)-F(0)=(-4cosπ+c)-(-4cos0+c)=8，方程为：y-f(x0)=f,(x0)(x-x0).C的轨迹为E.(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，则曲线上一0(处的切线方程为：Ax0x+B(x0y+y0x(+Cy0y+D(x0+x(+E(y0+y(+F=0，试运用该性质解|S1-S2|的最大值.=52-r，|CC2|=r-2，+=52-r+r-2=42，C1|=4<42，设E的方程为：+=1(a>b>0(，2=a2-c2=4，故E的方程为：+=1.切线PB方程为+=1，(ii)设直线AB的方程为：x=my+2+2(y2+2my-7=0，y1+=-，（y1y2m2+2又A,(x1,-y1(，所以直线A,B的方程为y+y1=-+(x-x1(，令y=0得， xM=y11+x1=y1x1=y1my2+22my1+1==1+2my1y2+y=1+y2+y1y2+y1=1+=8，所以S1-S2=C2Mm2+2≤== m2+2≤==y1-y2=3y1+y26=6=20，常利用直线的点斜式方程y-y0=kx-x0或截距式y=kx+b来证明. . .种数为：==90，PX=1=C10=，PX=2===，PX=3==，故X的分布列为：X123P7 25 两条渐近线.(2)已知点A是曲线C的左顶点．圆E：(x-1(2+(y2-y2=1.2(，可得kAP+kAQ=1，设MN：m(x+1(+ny=1，联立双曲线方程化简得出(1-2m((x+1(2-2n(x+1(y-y2=0，变形后利用根与系数的关系可得出+=kAP+kAQ=-2n=1，求出n，即可推出MN过定点，即可求得答案..，-,-(,故实轴长为2a=+2++2=2；曲线C的方程为x2-y2=1；2(，显然直线MN的斜率存在，设MN：y=kx+m，2-y2=1得(1-k2(x2-2kmx-(m2+1(=0，所以Δ=4(m2+1-k2(>0，x1+x2=，x1x2=-①,依题意得yp+yQ=2，③ x2+1由①②③得，-2k+2m=-m2+2km-k2，所以(m-k((m-k+2(=0，即m=k或m=k-2，若m=k，则MN：y=k(x+1(过点A，不合题意；若m=k-2，则MN：y=k(x+1(-2．所max=|AG|=2．当且仅当MN⊥AG，即k=0时取得，此时MN方程为y=-2，结合x2-y2=1，解得N(5,-2(，yQ=-(5-1(，r=1-yQ=5，则AP：x=y-1，AQ：x=y-1，联立x2-y2-1=0，得-1y2-y=0，代入AP方程得，x1=-1，同理可得y2=，x2=-1，N所以直线MN的方程为y=x-+1+=(x+1(-2，所以直线MN过定点G(-1,-2(,所以dmax=|AG|=2．当且仅当MN⊥AG，即kMN==0时取得，解得r=5,则kAP+kAQ=+=1，依题意，直线MN不过点A，可设MN：m(x+1(+ny=1，曲线C的方程x2-y2=1改写为[(x+1(-1[2-y2=1，即(x+1(2-2(x+1(-y2=0，联立直线MN的方程得(x+1(2-2(x+1([m(x+1(+ny[-y2=0，所以(1-2m((x+1(2-2n(x+1(y-y2=0，则Δ=4n2-8m+4>0，+=kAP+kAQ=-2n=1得n=-，在直线MN：m(x+1(-y=1中，令x=-1，则y=-2，max=|AG|=2，且MN方程为y=-2，解得N(5,-2(，yQ=-(5-1(，r=1-yQ=5， -y-1=0故椭圆方程为：+=1(y≤0(，双曲线方程为-=1(y≥0(.由图可知，切点M在双曲线-=1(y≥0(上.=4，将x0=4代入-=1(y≥0(，得y0=3，y=k(x-2(-=1(y≥0(整理得：(3-4k2(x2+16k2xy=k(x-2(y=k(x-2(+=1(y≤0(整理得：(3+4k2(x2-16k2xy=k(x-2(.=0，所以kBP=-kBQ，所以∠PBA=∠QBA.P:x+2y-6=0.x3=,x4=，2+b2=13.P所以椭圆E的标准方程为+y2=1，(y=kx+1+y2=，消去y可得(12k2+1(x2+12kx(y=kx+1由根与系数的关系可得：x1+x2=-,x1x2=-:y=x-1，所以y-1==x2(y1-1(=x2(kx1-=kx1x2-2=kx1x2-1+x2(+x1y+1x1(y2+1(x1(kx2+kx1x2+1kx1x2+1=--×(-+1=-+1=1-+1-+13.所以直线AP1,BP2的交点P在直线y=2上.:y=x+1.y1， 解得x3=,x4 因为|x1-x2|=(x1+x2(2-4x1x2=（-2+=，(k(+1|2+9=252+16(1)当1<s≤2时，讨论fx的单调性；①证明fx有唯一极值点；②记fx的唯一极值点为gs，讨论gs的单调性，并证明你的结论.【答案】(1)fx在0,+∞上单调递减；【分析】(1)对函数fx求导，并构造函数hx=s-1-x⋅ex-s-1利用1<s≤2即可得出hx<0恒成立，可得函数fx在0,+∞上单调递减，(2)①易知当s>2时，由hx=s-1-x⋅ex-s-1可知fx存在唯一变号零点x0∈s-2,+∞,即可知fx有唯一极大值点x0；②易知x0=gs，求得gs的反函数g-1s，利用g-1s的单调性即可求得gs为单调递增；=fx==xs-2⋅[s-1-x⋅ex-s-1[ex-12令hx=s-1-x⋅ex-s-1，则hx=-ex+s-x-1⋅ex=s-x-2⋅ex；又1<s≤2，x>0，所以s-x-2<0,ex>0，即hx<0恒成立；即函数hx在0,+∞上单调递减，<0恒成立，因此函数fx在0,+∞上单调递减，即当1<s≤2时，函数fx在0,+∞上单调递减；令hx=s-x-2⋅ex=0，可得x=s-2>0,易知当x∈0,s-2时，hx=s-x-2⋅ex>0，即函数hx在0,s-2上单调递增，当x∈s-2,+∞时，hx=s-x-2⋅ex<0，即函数hx在s-2,+∞上单调递减，即函数hx在x=s-2处取得极大值，也是最大值；注意到h0=0，由单调性可得hs-2>h0=0，可知hx在0,s-2大于零，不妨取x=2s-2，则h2s-2=1-s⋅e2s-2-s-1=1-se2s-2+1<0；0满足fx0=0，即可得函数fx在0,x0上单调递增，在x0,+∞单调递减；所以fx有唯一极大值点x0；②记fx的唯一极值点为gs，即可得x0=gs由hx0=s-1-x0⋅ex-s-1=0可得s=+1，即可得gs的反函数g-1s=+1，构造函数mx=ex-x-1,x∈0,+∞,则mx=ex-1，显然mx=ex-1>0在0,+∞恒成立，所以mx在0,+∞上单调递增，因此mx>m0=0，即ex>x+1在0,+∞上恒成立，而s>2，即s-2>0，所以ex>x+1在s-2,+∞上恒成立，即可得φx=exx--x11>0在s-2,+∞上恒成立，因此g-1s在s-2,+∞单调递增；易知函数gs与其反函数g-1s有相同的单调性，所以函数gs在2,+∞上单调递增；s的单调性进行证明. A12+y2=1与平行四边形A1B2A2B 2-1与直线 2-1得+=mx+所以直线A2B1的方程为+=1，即bx+ay-ab=0，2+y2=1与平行四边形A1B2A2B1内切，整理得a2=，所以a2+4b2=+4b2=+4b2-1+5，2>1，所以+4b2-1+5≥24+5=9，2+4b2的最小值为9.,Mx2由对称性和切线性质可知，PS=PT,MS=NT，所以PM=PN，设Sm,n，则直线PM的方程为mx+ny=1，代入椭圆方程得+=mx+ny2，+1-m2=0=-1，即+1-m2=0=-1，即+=m2+n2，=m2+n2，又点Sm,n在圆x2+y2=1上，所以m2+n2=1，②圆C与曲线Γ在点A处有相同的切线；2+y-b2=r2在点Ax0,y0处的二阶导数等于)；则称圆C为曲线Γ在A点处的曲率圆，其半径r称为曲率半径.(3)若曲线y