2024中考数学几何模型12讲第3讲对角互补模型含解析

2024中考数学几何模型12讲第3讲对角互补模型含解析中考数学几何模型3：对角互补模型名师点睛拨开云雾开门见山共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。主要：含90°的对角互补，含120°的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.类型一：含90°的对角互补模型（1）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，则有以下结论：作法1作法2；；（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：作法1作法2；； 类型二：含120°的对角互补模型（1）如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，则有以下结论：作法1作法2；；作法1作法2（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：；； 典题探究启迪思维探究重点例题1.如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．变式练习>>>1.角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．例题2.四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．变式练习>>>2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，若这个四边形的面积为12，则BC+CD=_______.例题3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝．变式练习>>>3.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（）A． B． C． D．例题4.用两个全等且边长为4的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由；（3）在上述情况中，△AEC的面积是否会等于？如果能，求BE的长；如果不能，请说明理由．变式练习>>>4.我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”．（1）若点A（x，y）是“完美点”，且满足x+y＝4，求点A的坐标；（2）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），连接OB，E点从O向B运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t．①不管t为何值，E点总是“完美点”；②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由．例题5.已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON＝180°．（1）利用图1，求证：PA＝PB；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB＝3S△PCB时，求PB与PC的比值；（3）若∠MON＝60°，OB＝2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD＝∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．达标检测领悟提升强化落实1.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连结DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③四边形CDFE的面积保持不变；④DE长度的最小值为4；⑤△CDE面积的最大值为8，其中正确的结论是______________.2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，求BE的长.3.如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，连接OF．求：（1）CF的长；（2）OF的长．4.如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN＝α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图①，当α＝90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是；（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，其他条件不变，当α＝60°时，（1）中的结论变为DE+DF＝AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．5.“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．”这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：＝．在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图2，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F，设＝．”（1）探究发现：如图②，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图3，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．6.（2019·贵阳适应性）如图①，已知AC=BC，AC⊥BC，直线MN经过点B，过点A作AD⊥MN，垂足为D，连接CD．（1）动手操作：根据题意，请利用尺规将图①补充完整；（保留作图痕迹，不写作法）（2）探索证明：在补充完成的图①中，猜想CD、BD与AD之间的数量关系，并说明理由；（3）探索拓广：一天小明一家在某公园游玩时走散了，电话联系后得知，三人的位置如图②，爸爸在A处，妈妈在C处，小明在D处，B为公园大门口，若B、D在直线MN上，且AC⊥BC，AD⊥MN，AC=BC，AD=100m，CD=40m，求出小明到公园门口的距离BD的长度.中考数学几何模型3：对角互补模型名师点睛拨开云雾开门见山共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。主要：含90°的对角互补，含120°的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.类型一：含90°的对角互补模型（1）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，则有以下结论：；；作法1作法2（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：；； 作法1作法2类型二：含120°的对角互补模型（1）如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，则有以下结论：；；作法1作法2（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：；； 作法1作法2典题探究启迪思维探究重点例题1.如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．【解答】解：当OP∥AD或OP经过C点，重叠部分的面积显然为正方形的面积的，即25，当OP在如图位置时，过O分别作CD，BC的垂线垂足分别为E、F，如图在Rt△OEG与Rt△OFH中，∠EOG＝∠HOF，OE＝OF＝5，∴△OEG≌△OFH，∴S四边形OHCG＝S四边形OECF＝25，即两个正方形重叠部分的面积为25．变式练习>>>1.角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM＝ON；例题2.四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．【解答】解：将△ABC绕点A旋转90°，使B与D重合，C到C′点，则有∠CDC′＝∠ADC+∠ADC′＝∠ADC+∠ABC＝180°，所以C、D、C′在同一直线上，则ACDC′是三角形，又因为AC＝AC′，所以△ACC′是等腰直角三角形，在△ABC和△ADC′中∴△ABC≌△ADC′（SAS），∴四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ACC′的面积，所以S四边形ABCD＝S△ACC′＝×2×2＝2．变式练习>>>2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，若这个四边形的面积为12，则BC+CD=_______.答案：例题3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝3．【解答】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴＝＝2，∴PQ＝2PR＝2BQ，∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x+3x＝3，∴x＝，∴AP＝5x＝3．故答案为3．变式练习>>>3.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（）A． B． C． D．【解答】解：如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC．∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，∵OB＝OF，∴OE＝OB＝OF＝OC，∴B，C，F，E四点共圆，∴∠EBF＝∠ECF，∴tan∠EBF＝tan∠ACD，∴＝＝，故选：B．【本题两种方法解答，过E作两垂线亦可】例题4.用两个全等且边长为4的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由；（3）在上述情况中，△AEC的面积是否会等于？如果能，求BE的长；如果不能，请说明理由．【解答】解：（1）BE＝CF．证明：在△ABE和△ACF中，∵∠BAE+∠EAC＝∠CAF+∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∵AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF；（3）能．△AEC的CE边上的高为等边△ABC的高，为2，∵△AEC的面积等于，∴底边CE＝2，∴BE＝6或2．变式练习>>>4.我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”．（1）若点A（x，y）是“完美点”，且满足x+y＝4，求点A的坐标；（2）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），连接OB，E点从O向B运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t．①不管t为何值，E点总是“完美点”；②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由．【解答】解（1）∵点A（x，y）是“完美点”∴x＝y∵x+y＝4∴x＝2，y＝2∴A点坐标（2，2）（2）①∵四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），∴AO＝AB＝BC＝4∴B（4，4）设直线OB解析式y＝kx过B点∴4＝4kk＝1∴直线OB解析式y＝x设点E坐标（x，y）∵点E在直线OB上移动∴x＝y∴不管t为何值，E点总是“完美点”．例题5.已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON＝180°．（1）利用图1，求证：PA＝PB；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB＝3S△PCB时，求PB与PC的比值；（3）若∠MON＝60°，OB＝2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD＝∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．【解答】解：（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为E、F∵四边形OEPF中，∠OEP＝∠OFP＝90°，∴∠EPF+∠MON＝180°，已知∠APB+∠MON＝180°，∴∠EPF＝∠APB，即∠EPA+∠APF＝∠APF+∠FPB，∴∠EPA＝∠FPB，由角平分线的性质，得PE＝PF，∴△EPA≌△FPB，即PA＝PB；（2）∵S△POB＝3S△PCB，∴PO＝3PC，由（1）可知△PAB为等腰三角形，则∠PBC＝（180°﹣∠APB）＝∠MON＝∠BOP，又∵∠BPC＝∠OPB（公共角），∴△PBC∽△POB，∴＝，即PB2＝PO•PC＝3PC2，∴＝达标检测领悟提升强化落实1.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连结DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③四边形CDFE的面积保持不变；④DE长度的最小值为4；⑤△CDE面积的最大值为8，其中正确的结论是______________.答案：①②③2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，求BE的长.答案：3.如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，连接OF．求：（1）CF的长；（2）OF的长．【解答】解：（1）如图，在BE上截取BG＝CF，连接OG，∵RT△BCE中，CF⊥BE，∴∠EBC＝∠ECF，∵∠OBC＝∠OCD＝45°，∴∠OBG＝∠OCF，在△OBG与△OCF中，，∴△OBG≌△OCF（SAS），∴OG＝OF，∠BOG＝∠COF，∴OG⊥OF，在RT△BCE中，BC＝DC＝6，DE＝2EC，∴EC＝2，∴BE＝＝＝2，∵BC2＝BF•BE，则62＝BF•2解得：BF＝，∴EF＝BE﹣BF＝，∵CF2＝BF•EF，∴CF＝；4.如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN＝α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图①，当α＝90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是DE+DF＝AD；（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，其他条件不变，当α＝60°时，（1）中的结论变为DE+DF＝AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．【解答】解：（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，∴PA＝PD，∠PAE＝∠PDF＝45°，∵∠APE+∠EPD＝∠DPF+∠EPD＝90°，∴∠APE＝∠DPF，在△APE和△DPF中∴△APE≌△DPF（ASA），∴AE＝DF，∴DE+DF＝AD；（2）如图②，取AD的中点M，连接PM，∵四边形ABCD为∠ADC＝120°的菱形，∴BD＝AD，∠DAP＝30°，∠ADP＝∠CDP＝60°，∴△MDP是等边三角形，∴PM＝PD，∠PME＝∠PDF＝60°，∵∠PAM＝30°，∴∠MPD＝60°，∵∠QPN＝60°，∴∠MPE＝∠FPD，在△MPE和△DPF中，∴△MPE≌△DPF（ASA）∴ME＝DF，∴DE+DF＝AD；5.“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．”这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：＝．在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图2，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F，设＝．”（1）探究发现：如图②，若m＝n，点E在线段AC上，则＝1；（2）数学思考：①如图3，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．【解答】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴＝，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝＝1，∴＝1，故答案为1．（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴＝，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝＝，∴＝，故答案为．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵＝＝，∴＝＝＝，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝＝＝2，①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）而AC＝＜CE，∴此种情况不存在，6.（2019·贵阳适应性）如图①，已知AC=BC，AC⊥BC，直线MN经过点B，过点A作AD⊥MN，垂足为D，连接CD．（1）动手操作：根据题意，请利用尺规将图①补充完整；（保留作图痕迹，不写作法）（2）探索证明：在补充完成的图①中，猜想CD、BD与AD之间的数量关系，并说明理由；（3）探索拓广：一天小明一家在某公园游玩时走散了，电话联系后得知，三人的位置如图②，爸爸在A处，妈妈在C处，小明在D处，B为公园大门口，若B、D在直线MN上，且AC⊥BC，AD⊥MN，AC=BC，AD=100m，CD=40m，求出小明到公园门口的距离BD的长度.中考数学几何模型4：中点模型中考数学几何模型4：中点模型名师点睛拨开云雾开门见山中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：①三角形中线平分三角形面积，等分点等分面积；②等腰三角形“三线合一”的性质；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三角形中位线平行且等于第三边的一半.这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型，与倍长中线法相通。典题探究启迪思维探究重点例题1.如图，在△ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、N．求证：MQ＝QN．【解答】证明：连接BG和CE交于O，∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，∴∠GAB＝∠EAC，在△BAG和△EAC中，，∴△BAG≌△EAC（SAS），∴BG＝CE．∵BE、BC、CG的中点M、Q、N，∴MQ＝CE，QN＝BG，∵BG＝CE，∴QN＝MQ．变式练习>>>1.如图，在△ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点M是AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形．求证：△FMH是等腰直角三角形．【解答】证明：连接MB、MD，设FM与AC交于点P，∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形，∴MD∥AC，且MD＝AC＝BC＝BF；MB∥CE，且MB＝CE＝CD＝DH，∴四边形BCDM是平行四边形，∴∠CBM＝∠CDM，又∵∠FBP＝∠HDC，∴∠FBM＝∠MDH，在△FBM和△MDH中，∴△FBM≌△MDH（SAS），∴FM＝MH，且∠FMB＝∠MHD，∠BFM＝∠DMH．∴∠FMB+∠HMD＝180°﹣∠FBM，∵BM∥CE，∴∠AMB＝∠E，同理：∠DME＝∠A．∴∠AMB+∠DME＝∠A+∠AMB＝∠CBM，∴∠FMH＝180°﹣（∠AMB+∠DME）﹣（∠FMB+∠HMD）＝180°﹣∠CBM﹣（180°﹣∠FBM）＝∠FBC＝90°，∴△FMH是等腰直角三角形．例题2.如图，已知BD、CE分别是△ABC的AC、AB边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．求证：GF⊥DE．【解答】证明：如图，连接EG、DG，∵BD、CE分别是△ABC的AC、AB边上的高，点G是BC的中点，∴DG＝EG＝BC，∵点F是DE的中点，∴GF⊥DE．变式练习>>>2.如图，在△ABC中内取一点，使∠PBA＝∠PCA，作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：DE的垂直平分线必过BC的中点M．【解答】解：取BC，PB，PC的中点M，N，F，连接MN，MF，E，DN，DM，EM，∴MF＝BP，MN＝PC，MF∥PN，MN∥PF，∴四边形NMFP是平行四边形，∴∠PNM＝∠PFM，∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴DN＝PB，EF＝PC，∴DN＝MF，MN＝EF，∵∠DNP＝2∠ABP，∠PFE＝2∠ACD，∵∠ABP＝∠ACD，∴∠DNP＝∠PFE，∴∠DNM＝∠EFM，在△DNM与△MFE中，，∴△DNM≌△MFE，∴DM＝EM，∴△DME是等腰三角形，∴底边DE的垂直平分线（过M点）必是BC的中点M．例题3.已知：AD为△ABC的中线，AE是△ABD的中线，AB＝BD，求证：AC＝2AE．（两种证法）【解答】（1）解：∵AD为△ABC的中线，AE是△ABD的中线，∴BD＝CD，BE＝DE，∴BE＝BD，BD＝BC；又∵AB＝BD，∴BE＝AB，AB＝BC，∴＝＝，∠B＝∠B，∴△ABE∽△CBA；（2）证明：∵由（1）知，△ABE∽△CBA，∴＝＝，∴AC＝2AE．变式练习>>>3.如图①，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，可证△PMO≌△QNO．根据上述结论完成下列探究活动：探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论；探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB．若AB＝4，CF＝2，求DF的长度．【解答】解：（1）AB＝AF+CF．如图2，分别延长DC、AE，交于G点，根据图①得△ABE≌△GCE，∴AB＝CG，又AB∥DC，∴∠BAE＝∠G而∠BAE＝∠EAF，∴∠G＝∠EAF，∴AF＝GF，∴AB＝CG＝GF+CF＝AF+CF；（2）如图3，分别延长CF、AE，交于G点，根据CF∥AB得△ABE∽△GCE，∴AB：CG＝BE：CE，而BE：EC＝1：2，AB＝4，∴CG＝8，又AB∥FC，∴∠BAE＝∠G，而∠BAE＝∠EDF，∴∠G＝∠EDF，∴DF＝GF，而CF＝2，∴DF＝CG﹣CF＝8﹣2＝6．例题4.如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为．【解答】解：方法1、延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．则PH∥AB．∵P是AE的中点，∴PH是△AOE的中位线，∴PH＝OA＝（3﹣1）＝1．∵直角△AOE中，∠OAE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，同理△PHE中，HE＝PH＝1．∴HG＝HE+EG＝1+1＝2．∴在Rt△PHG中，PG＝＝＝．故答案是：．变式练习>>>4.如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F，∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ，在△PFD和△QCD中，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝3，∴DE＝，故答案为．例题5.如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG.易证：EG=CG且EG⊥CG.（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2所示，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想.（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3所示，则线段EG和CG又有怎样的数量和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.（3）将△BEF绕点B旋转一个任意角度α，如图4所示，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出结论.解答：第（1）（2）略（3）解法一：如图，延长EG至点H，使GH=EG.连接DH，CE，CH.因为点G是DF的中点，所以GF=GD.根据SAS易证△GEF≌△GHDEF=HD且∠GEF=∠GHD，所以EF//DH.分别延长HD与EB交于点K，HD的延长线交BC于点M.如下图：因为EB⊥EF，而EF//DH，所以EK⊥HK，即∠BKM=∠MCD=90°.又∠BMK=∠CMD.根据三角形的内角和，可得∠KBM=∠MDC.所以∠EBC=∠HDC.又EB=HD，BC=DC所以△EBC≌△HDC.所以CE=CB且∠ECB=∠HCD.所以∠ECB=90°，即△BCE是等腰直角三角形，又因为点G是斜边EB的中点，所以CG⊥GE且CG=GE.变式练习>>>5.请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及数量关系．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）如图2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC，探究PG与PC的位置关系及数量关系；（3）将图2中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转，原问题中的其他条件不变（如图3），你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．【解答】解：（1）PG⊥PC，＝；理由如下：延长GP交DC于H，如图1所示：∵四边形ABCD和BEFG均为菱形，∴DC＝BC，GF＝BG，DC∥AE∥GF，∴∠HDP＝∠GFP，∠DHP＝∠FGP，∵P是线段DF的中点，∴DP＝FP，在△DHP和△FGP中，，∴△DHP≌△FGP（AAS），∴HP＝GP，DH＝FG＝BG，∴CH＝CG，∴CP⊥HG，即PG⊥PC，∵∠ABC═60°，∴∠HCG＝180°﹣60°＝120°，∴∠CGP＝（180°﹣120°）＝30°，∴＝；（3）在（2）中得到的两个结论不发生变化；理由如下：过点F作FH∥DC交CP的延长线于H，交CB的延长线于N，交BE于M，连接CG、HG，如图3所示：则∠CDP＝∠PFH，在△CDP和△FHP中，，∴△CDP≌△FHP（ASA），∴CP＝PH，CD＝FH，∵∠BNM＝∠MEF＝90°，∠BMN＝∠EMF，∴∠NBM＝∠EFM，∵∠CBG+∠NBM＝180°﹣90°＝90°，∠EFM+∠MFG＝90°，∴∠CBG＝∠MFG，在△CBG和△FHG中，，∴△CBG≌△FHG（SAS），∴CG＝GH，∠BGC＝∠FGH，∴∠CGH＝∠BGC﹣∠HGB＝∠FGH﹣∠HGB＝∠BGF＝90°，∴△CGH是等腰直角三角形，∴PG＝PC，且PG⊥PC．达标检测领悟提升强化落实1.如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是（）A．12 B．14 C．16 D．18【解答】解：延长BN交AC于D，在△ANB和△AND中，，∴△ANB≌△AND，∴AD＝AB＝8，BN＝ND，∵M是△ABC的边BC的中点，∴DC＝2MN＝6，∴AC＝AD+CD＝14，故选：B．2.如图，△ABD和△ACE都是直角三角形，其中∠ABD=∠ACE=90°，且点C在AB上，连接DE，M为DE中点，连接BM，CM，求证BM=CM.3.如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，F是DA的中点，连接BE，与CF相交于P，求证：AP＝AB．【解答】证明：延长CF、BA交于点M，∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，在△BCE与△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE＝∠DCF．∵∠DCF+∠BCP＝90°，∴∠CBE+∠BCP＝90°，∴∠BPM＝∠CBE+∠BCP＝90°．在△CDF与△AMF中，，∴△CDF≌△AMF（AAS），∴CD＝AM，∵CD＝AB，∴AB＝AM，∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线，∴AP＝BM，即AP＝AB．4.如图，分别以△ABC的边AB、AC为斜边向外侧构造等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC中点．求证：DM＝ME，DM⊥ME．【解答】证明：如图，取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，∴AF＝，AG＝，∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，∴DF⊥AB，DF＝，EG⊥AC，EG＝，∴∠AFD＝∠AGE＝90°，DF＝AF，GE＝AG．∵M是BC的中点，∴MF∥AC，MG∥AB，∴四边形AFMG是平行四边形，∴AG＝MF，MG＝AF，∠AFM＝∠AGM．∴MF＝GE，DF＝MG，∠AFM+∠AFD＝∠AGM+∠AGE，∴∠DFM＝∠MGE．在△DFM和△MGE中，，∴△DFM≌△MGE（SAS），∴DM＝ME；∠MDF＝∠GME，∵∠MDF+∠BFD+∠BFM+∠DMF＝180°，∠BFD＝90°，∴∠MDF+∠BFM+∠DMF＝90°，∵AB∥MG，∴∠BFM＝∠GMF，∴∠GME+∠GMF+∠DMF＝90°，即∠DME＝90°，∴DM⊥ME．5.已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连接DF、CF．（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请判断此时线段DF、CF的数量关系和位置关系，并说明理由．（2）如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．（3）如图3，将△ADE绕点A逆时针旋转90°时，若AD＝2，AC＝3，求此时△FBC中CF边上的高的长．（直接写出结果）【解答】解：（1）DF＝CF，且DF⊥CF，理由如下：∵∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，∴∠BDE＝90°，CF＝BE＝EF＝BF，∴DF＝BE＝EF＝BF，∴DF＝CF．∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°∵BF＝DF，∴∠DBF＝∠BDF，∵∠DFE＝∠ABE+∠BDF，∴∠DFE＝2∠DBF，同理得：∠CFE＝2∠CBF，∴∠DFE+∠EFC＝2∠DBF+2∠CBF＝2∠ABC＝90°，∴DF＝CF，且DF⊥CF．（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：延长DF交BC于点G．如图2所示：∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．∵F为BE中点，∴EF＝BF．在△DEF和△GBF中，∴△DEF≌△GBF（AAS）．∴DE＝GB，DF＝GF．∵AD＝DE，∴AD＝GB，∵AC＝BC，∴AC﹣AD＝BC﹣GB，∴DC＝GC．∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形，∵DF＝GF．∴DF＝CF，DF⊥CF．（3）延长DF交BA于点H，如图3所示：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC＝BC，AD＝DE．∴∠AED＝∠ABC＝45°，∵由旋转可以得出，∠CAE＝∠BAD＝90°，∵AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF．∵F是BE的中点，∴EF＝BF，∴△DEF≌△HBF，∴ED＝HB，∵BC＝AC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝AC＝6，∵AD＝2，∴ED＝BH＝2，∴AH＝4，6.已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC，AD＝DE，按图1放置，使点E在BC上，取CE的中点F，连接DF、BF．（1）探索DF、BF的数量关系和位置关系，并证明；（2）将图1中△ADE绕A点顺时针旋转45°，再连接CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；（3）将图1中△ADE绕A点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连接CE，取CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论．【解答】解：（1）DF＝BF且DF⊥BF．（1分）证明：如图1：∵∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC，AD＝DE，∴∠CDE＝90°，∠AED＝∠ACB＝45°，∵F为CE的中点，∴DF＝EF＝CF＝BF，∴DF＝BF；（2分）∴∠DFE＝2∠DCF，∠BFE＝2∠BCF，∴∠EFD+∠EFB＝2∠DCB＝90°，即：∠DFB＝90°，∴DF⊥BF．（3分）（2）仍然成立．证明：如图2，延长DF交BC于点G，∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∴DE∥BC，∴∠DEF＝∠GCF，又∵EF＝CF，∠DFE＝∠GFC，∴△DEF≌△GCF，∴DE＝CG，DF＝FG，（4分）∵AD＝DE，AB＝BC，∴AD＝CG，∴BD＝BG，（5分）又∵∠ABC＝90°，∴DF＝BF且DF⊥BF．（6分）7.如图：在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于D且BE＝CF，求证：DE＝DF．【解答】证明：如图，过点E作EG∥AC交BC于G，则∠ACB＝∠BGE，∠F＝∠DEG，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠BGE，∴BE＝GE，又∵BE＝CF，∴GE＝CF，∵在△CDF和△GDE中，，∴△CDF≌△GDE（AAS），∴DE＝DF．8.（1）已知：如图1，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图2，∠A＝120°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，请你找出一个条件，使线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，给出证明．【解答】（1）证明：延长FD到G使GD＝DF，连接BG，EG，∵D为BC中点，∴BD＝DC，∵在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝FC，∠C＝∠GBD，∵ED⊥DF，∴EG＝EF，∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABC+∠GBD＝90°，即∠EBG＝90°，∴线段BE、BG、EG总能构成一个直角三角形，∵BG＝FC，EG＝EF∴线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；（2）当线段FC＝BE时，线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，证明：延长FD到W使WD＝DF，连接BW，EW，∵D为BC中点，∴BD＝DC，∵在△BDW和△CDF中∴△BDW≌△CDF（SAS），∴BW＝FC，∠C＝∠WBD∵ED⊥DF∴EW＝EF，∵∠A＝120°，∴∠ABC+∠C＝60°，∴∠ABC+∠WBD＝60°，即∠EBW＝60°，∴当线段BW＝BE（或BE＝EW，BW＝WE）时，BE、BW、EW能构成一个等边三角形；∵EW＝EF，BW＝FC∴当线段FC＝BE（或BE＝EF，EF＝FC）时，线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形．9.在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，E，F分别在AC，BC上，∠EDF＝90°，已知CE＝4，AE＝2，BF﹣CF＝，求AB．【解答】解：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接AG，EG，EF，如图所示：∵D为斜边AB的中点，∴AD＝BD，在△ADG和△BDF中，，∴∴△ADG≌△BDF（SAS），∴AG＝BF，∠DAG＝∠DBF，∵∠DBF+∠BAC＝90°，∴∠DAG+∠BAC＝90°，即∠EAG＝90°，∴EG2＝AG2+AE2，设BF＝AG＝x，∵BF﹣CF＝，∴CF＝x﹣，∵∠EDF＝90°，∴DE⊥FG，∵DG＝DF，∴EF＝EG，∴EF2＝EG2，在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，∴AG2+AE2＝CE2+CF2，即x2+22＝42+（x﹣）2，解得：x＝，∴BF＝，CF＝x﹣＝，∴BC＝BF+CF＝8，∵∠C＝90°，AC＝AE+CE＝6，∴AB＝＝10．10.在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB＝3，BC＝5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．【解答】解：（1）∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，∴AM＝BM＝ABcos45°＝3×＝3，则CM＝BC﹣BM＝5﹣3＝2，∴AC＝＝＝；（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．由DM＝MC，∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，∴△BMD≌△AMC（SAS），∴AC＝BD，又∵CE＝AC，因此BD＝CE，由BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，FG＝FE，∴△BFG≌△CFE，故BG＝CE，∠G＝∠E，所以BD＝CE＝BG，因此∠BDG＝∠G＝∠E．11.（1）方法回顾在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：第一步添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF＝DE，连接CF；第二步证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到DE∥BC，DE＝BC．（2）问题解决如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF的长．（3）拓展研究如图3，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝110°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝4，DF＝，∠GEF＝90°，求GF的长．【解答】解：（1）如图1，在△ABC中，延长DE（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF＝DE，连接CF，在△ADE和△CFE中∵，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，∴AD∥CF∵AD＝BD，∴BD＝CF，∵BD∥CF，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DE∥BC，DF＝BC∴DE＝DF＝BC．（2）如图2，延长GE、FD交于点H，∵E为AD中点，∴EA＝ED，且∠A＝∠EDH＝90°，在△AEG和△DEH中，，∴△AEG≌△DEH（ASA），∴AG＝HD＝2，EG＝EH，∵∠GEF＝90°，∴EF垂直平分GH，∴GF＝HF＝DH+DF＝2+3＝5；（3）如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，同（1）可知△AEG≌△DEH，GF＝HF，∴∠A＝∠HDE＝100°，AG＝HD＝4，∵∠ADC＝110°，∴∠HDF＝360°﹣100°﹣110°＝150°，∴∠HDP＝30°，∵∠DPH＝90°∴PH＝2，PD＝2∵DF＝，∴PF＝PD+DF＝+2＝3，在Rt△HFP中，∠HPF＝90°，HP＝2，PF＝3，∴HF＝＝＝，∴GF＝FH＝．12.在△ABC中，AB＝AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC＝∠DCF＝90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC＝∠DCF＝60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当∠BAC＝∠DCF＝α时，直接写出AG与DG的数量关系．【解答】（1）AG⊥DG，AG＝DG，证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，∵四边形CDEF是正方形，∴DE＝DC，DE∥CF，∴∠GBH＝∠GED，∠GHB＝∠GDE，∵G是BE的中点，∴BG＝EG，在△BGH和△EGD中∴△BGH≌△EGD（AAS），∴BH＝ED，HG＝DG，∴BH＝DC，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DCF＝90°，∴∠DCB＝90°，∴∠ACD＝45°，∴∠ABH＝∠ACD＝45°，在△ABH和△ACD中∴△ABH≌△ACD（SAS），∴∠BAH＝∠CAD，AH＝AD，∵∠BAH+∠HAC＝90°，∴∠CAD+∠HAC＝90°，即∠HAD＝90°，∴AG⊥GD，AG＝GD；（3）DG＝AGtan；证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，∵四边形CDEF是菱形，∴DE＝DC，DE∥CF，∴∠GBH＝∠GED，∠GHB＝∠GDE，∵G是BE的中点，∴BG＝EG，在△BGH和△EGD中∴△BGH≌△EGD（AAS），∴BH＝ED，HG＝DG，∴BH＝DC，∵AB＝AC，∠BAC＝∠DCF＝α，∴∠ABC＝90°﹣，∠ACD＝90°﹣，∴∠ABC＝∠ACD，在△ABH和△ACD中∴△ABH≌△ACD（SAS），∴∠BAH＝∠CAD，AH＝AD，∴∠BAC＝∠HAD＝α；∴AG⊥HD，∠HAG＝∠DAG＝，∴tan∠DAG＝tan＝，∴DG＝AGtan．名师点睛拨开云雾开门见山中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：①三角形中线平分三角形面积，等分点等分面积；②等腰三角形“三线合一”的性质；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三角形中位线平行且等于第三边的一半.这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型，与倍长中线法相通。典题探究启迪思维探究重点例题1.如图，在△ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、N．求证：MQ＝QN．变式练习>>>1.如图，在△ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点M是AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形．求证：△FMH是等腰直角三角形．例题2.如图，已知BD、CE分别是△ABC的AC、AB边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．求证：GF⊥DE．变式练习>>>2.如图，在△ABC中内取一点，使∠PBA＝∠PCA，作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：DE的垂直平分线必过BC的中点M．例题3.已知：AD为△ABC的中线，AE是△ABD的中线，AB＝BD，求证：AC＝2AE．（两种证法）变式练习>>>3.如图①，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，可证△PMO≌△QNO．根据上述结论完成下列探究活动：探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论；探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB．若AB＝4，CF＝2，求DF的长度．例题4.如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为．变式练习>>>4.如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．例题5.如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG.易证：EG=CG且EG⊥CG.（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2所示，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写