专题11二次函数与角综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘含答案

挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题11二次函数与角综合问题二次函数与角综合问题，常见的主要有三种类型：特殊角问题：利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形2.角的数量关系问题(1)等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决(2)二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答(3)角的和差问题3.角的最值问题：利用辅助圆等知识来解答

【例1】(2021•兰州)如图1，二次函数y＝a(x+3)(x﹣4)的图象交坐标轴于点A，B(0，﹣2)，点P为x轴上一动点．(1)求二次函数y＝a(x+3)(x﹣4)的表达式；(2)过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；(3)如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．①当点D在抛物线上时，求点D的坐标；②点E(2，﹣)在抛物线上，连接PE，当PE平分∠BPD时，直接写出点P的坐标．【例2】(2021•贵港)如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A(﹣3，0)，B两点，与y轴相交于点C(0，2)，对称轴是直线x＝﹣1，连接AC．(1)求该抛物线的表达式；(2)若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；(3)在(2)的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使S△BDP＝S△ABD．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．【例3】(2021•罗湖区校级模拟)如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A(﹣3，0)、B，与y轴交于点C(0，﹣3)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上求点P，使S△BCP＝2S△BCO，求点P的坐标；(3)如图2，直线y＝x+3交抛物线于第一象限的点M，若N是抛物线y＝x2+bx+c上一点，且∠MAN＝∠OCB，求点N的坐标．【例4】(2021•溧阳市一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，经过点C的直线l与该抛物线交于另一点D，并且直线l∥x轴，点P(m，y1)为该抛物线上一个动点，点Q(m，y2)为直线l上一个动点．(1)当m＜0，且y1＝y2时，连接AQ，BD，说明：四边形ABDQ是平行四边形；(2)当m＞0，连接AQ，线段AQ与线段OC交于点E，OE＜EC，且OE•EC＝2，连接PQ，求线段PQ的长；(3)连接AC，PC，试探究：是否存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例5】(2020•十堰)已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A(﹣1，0)和C(0，3)，与x轴交于另一点B，顶点为D．(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；(2)如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EF⊥BC，垂足为F，EM⊥x轴，垂足为M，交BC于点G．当BG＝CF时，求△EFG的面积；(3)如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使∠OPB＝∠AHB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例6】(2020•包头)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=13x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y=-12x+b经过点A，与y轴交于点(1)求b的值及点M的坐标；(2)将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D(2，0)，连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°；(3)点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【题组一】1．(2021•海陵区一模)如图，点C(0，)(a＜0)是y轴负半轴上的一点，经过点C作直线，与抛物线y＝ax2交于A、B两点(点A在点B的左侧)，连接OA、OB，设点A的横坐标为m(m＜0)．(1)若点A的坐标为(﹣4，﹣2)，求点C的坐标；(2)若AC：BC＝1：2，m＝﹣1，求a的值，并证明：∠AOB＝90°；(3)若AC：BC＝1：k(k＞1)，问“∠AOB＝90°”这一结论还成立吗？试说明理由．2．(2021•郫都区模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与轴交于A(﹣1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接AC、BC．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D是抛物线上位于第四象限内的一点，连接AD，点E是AD的中点，连接BE、CE，求△BCE面积的最小值；(3)如图2，点P是抛物线上位于第四象限内的一点，点Q在y轴上，∠PBQ＝∠OBC，是否存在这样的点P、Q使BP＝BQ，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．(2021•新洲区模拟)在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+(a﹣2)x+2a与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴的正半轴交于点C．(1)若AB＝5，求抛物线的解析式；(2)若经过点C和定点M的直线与该抛物线交于另一点D，且S△ACM＝S△ADM(“S”表示面积)．①求定点M的坐标；②连接BD交y轴于点E，连接AE，若∠AEO＝∠BDC，求a的值．4．(2021•东港区校级二模)如图，已知点A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，1)在抛物线y＝ax2+bx+c上．(1)求抛物线解析式；(2)在直线BC上方的抛物线上有一点P，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标．(3)在对称轴上求一点M，使得BM﹣CM最大；(4)在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在．说明理由．【题组二】5．(2021•郑州模拟)如图，已知直线BC的解析式为y＝﹣x+3，与x轴，y轴交于点B，C．抛物线y＝ax2+bx+3过A(﹣1，0)，B，C三点，D点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，CD．(1)求二次函数及直线CD的解析式；(2)点P是线段CD上一点(不与点C，D重合)，当△BCP的面积为时，求点P的坐标．(3)点F是抛物线上一点，过点F作FG⊥CD交直线CD于点G，当∠CFG＝∠EDB时，请直接写出点F的坐标．6．(2021•宝安区模拟)如图，二次函数y＝ax2+5ax+7与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，若OB：OC＝7：2．点P是抛物线第二象限内的一个动点．连接PC交y轴于点D，连接PB．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，设P点横坐标为t，△PBD的面积为S，求S与t的关系式；(3)如图2，作PE⊥x轴于E，连接ED，点F为ED上一个动点，连接AF交PE于点G，若2∠GAO+∠EDO＝90°，DF＝2EG，求P点坐标．7．(2021•渭滨区模拟)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A(1，0)，点B(﹣3，0)，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；(2)已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接BC，BN，点H在x轴上，当∠HCB＝∠NBC时，求满足条件的点H的坐标．8．(2021•山西模拟)综合与探究：如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点(点B在点A的右侧)，且与y轴交于点C．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)如图1，若M(m，y1)，N(n，y2)是第四象限内抛物线上的两个动点，且m＜n，m+n＝4．分别过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E．判断四边形MDEN的形状，并求其周长的最大值；(3)如图2，在(2)的条件下，当四边形MDEN的周长有最大值时，若x轴上有一点H(2m，0)，抛物线的对称轴与x轴相交于点F，试探究在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝2∠OCH？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【题组三】9．(2021•洪山区模拟)已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A(﹣1，0)，且与x轴右侧交于B点，对称轴为直线x＝1，与y轴交于C点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点C作直线l∥x轴交抛物线于点D，点P在抛物线上，且∠DCP＝∠ACO，求点P的坐标；(3)如图2，直线y＝kx+b(k≠b)交抛物线于M、N两点，NH⊥x轴于点H，HQ∥MA，HQ与MN相交于点Q，求点Q的横坐标．10．(2021•宁波模拟)如图，在平面直角坐标系中二次函数y＝ax2+bx+3的图象过点A，B两点，其坐标分别为(﹣5，0)，(﹣2，3)．(1)求二次函数的表达式；(2)点C在抛物线上，若∠ABC＝90°，求点C的坐标；(3)在(2)的条件下，BC与y轴交于点D，点P在抛物线上，若∠PBC＝∠OAD，直接写出点P的坐标．11．(2021•吉安县模拟)已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x＝2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中A(1，0)、C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在抛物线上运动(不与点A重合)．①当△PBC的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标；②当∠PCB＝∠BCA时，求直线CP的解析式．12．(2021•江西模拟)如图，抛物线y＝ax2+k(a＞0，k＜0)与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，其顶点为C，点P为线段OC上一点，且PC＝OC．过点P作DE∥AB，分别交抛物线于D，E两点(点E在点D的右侧)，连接OD，DC．(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(用含a，k的式子表示)(2)猜想线段DE与AB之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若∠ODC＝90°，k＝﹣4，求a的值．【题组四】13．(2020•碑林区校级二模)如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A(﹣5，0)，B(﹣4，﹣3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接BD，CD．(1)求该抛物线的表达式；(2)判断△BCD的形状，并说明理由；(3)若点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．(2020•武汉模拟)抛物线y＝ax2+bx+c，顶点为P(h，k)．(1)如图，若h＝1，k＝4，抛物线交x轴于A、B，交y轴正半轴于C，OC＝3．①求抛物线的解析式；②向下平移直线BC，交抛物线于MN，抛物线上是否存在一定点D，连DM，DN分别交x轴于E，F，使∠DEF＝∠DFE？若存在，求D的坐标；若不存在，请说明理由．(2)若c＝0，当点P在抛物线y＝x2﹣x上且﹣1＜h≤2时，求a的取值范围．15．(2020•西华县一模)如图，直线y=12x+c与x轴交于点B(4，0)，与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过点B(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形ACPB面积最大时点P的坐标；(3)若M是抛物线上一点，且∠MCB＝∠ABC，请直接写出点M的坐标．16．(2020•硚口区模拟)如图1，该抛物线是由y＝x2平移后得到，它的顶点坐标为(-32，-254)，并与坐标轴分别交于A，(1)求A，B的坐标．(2)如图2，连接BC，AC，在第三象限的抛物线上有一点P，使∠PCA＝∠BCO，求点P的坐标．(3)如图3，直线y＝ax+b(b＜0)与该抛物线分别交于P，G两点，连接BP，BG分别交y轴于点D，E．若OD•OE＝3，请探索a与b的数量关系．并说明理由．【题组五】17．(2020•深圳模拟)如图，抛物线y=14x2+bx+c与直线y=-12x+3分别交于x轴，y轴上的B、C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为D，连接CD(1)求该抛物线的解析式；(2)点F，G是对称轴上两个动点，且FG＝2，点F在点G的上方，请求出四边形ACFG的周长的最小值；(3)连接BD，若P在y轴上，且∠PBC＝∠DBA+∠DCB，请直接写出点P的坐标．18．(2020•岱岳区二模)如图，直线y=12x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y=-12x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，如图1，△CDE，△BCE的面积分别为S1，S2，求S1(3)过点D作DF⊥AC于F，连接CD，如图2，是否存在点D，使得△CDF中的某个角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，说明理由．19.(2020•曾都区模拟)如图，边长为3的正方形的边AB在x轴负半轴上，点C，D在第三象限内，点A的坐标为(﹣5，0)，经过点A，C的抛物线y＝x2+bx+c交y轴于点N，其顶点为M．(1)求抛物线的解析式；(2)若y轴左侧抛物线上一点P关于y轴的对称点P'恰好落在直线MC上，求点P的坐标；(3)连接AC，AM，AN，请你探究在y轴左侧的抛物线上，是否存在点Q，使∠ANQ＝∠MAC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．20．(2020•南岗区校级三模)如图1，抛物线y=-14x2+bx+c与x轴负半轴交于A点，与x轴正半轴交于B点，与y轴正半轴交于C点，CO＝BO(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点M、N在第一象限内抛物线上，M在N点下方，连CM、CN，∠OCN+∠OCM＝180°，设M点横坐标为m，N点横坐标为n，求m与n的函数关系式(n是自变量)；(3)如图3，在(2)条件下，连AN交CO于E，过M作MF⊥AB于F，连BM、EF，若∠AFE＝2∠FMB＝2β，求N点坐标．【题组六】21．(2020•武侯区校级模拟)如图所示，抛物线y＝ax2+bx+4的顶点坐标为(3，254)，与y轴交于点A．过点A作AB∥x轴，交抛物线于点B，点C是第四象限的抛物线上的一个动点，过点C作y轴的平行线，交直线AB于点D(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点E在y轴的负半轴上，且AE＝AD，直线CE交抛物线y＝ax2+bx+4于点F．①求点F的坐标；②过点D作DG⊥CE于点G，连接OD、ED，当∠ODE＝∠CDG时，求直线DG的函数表达式．22.(2020•滨海县二模)如图1，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，B(﹣2，0)，与y轴交于点C，线段BC的垂直平分线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E．对称轴l与x(1)求抛物线的函数表达式及对称轴；(2)求点D和点F的坐标；(3)如图2，若点P是抛物线上位于第一象限的一个动点，当∠EFP＝45°时，请求出此时点P的坐标．23．(2020•无锡一模)如图①，一次函数y=12x﹣2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y=-12x2+bx+c的图象经过A、B(1)求二次函数的关系式及点C的坐标；(2)如图②，若点P是直线AB上方的抛物线上一点，过点P作PD∥x轴交AB于点D，PE∥y轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；(3)如图③，若点M在抛物线的对称轴上，且∠AMB＝∠ACB，求出所有满足条件的点M的坐标．24．(2020•吴江区三模)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为C(3，6)，并与y轴交于点B(0，3)，点A是对称轴与x轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；(3)如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题11二次函数与角综合问题二次函数与角综合问题，常见的主要有三种类型：特殊角问题：利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形2.角的数量关系问题(1)等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决(2)二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答(3)角的和差问题3.角的最值问题：利用辅助圆等知识来解答

【例1】(2021•兰州)如图1，二次函数y＝a(x+3)(x﹣4)的图象交坐标轴于点A，B(0，﹣2)，点P为x轴上一动点．(1)求二次函数y＝a(x+3)(x﹣4)的表达式；(2)过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；(3)如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．①当点D在抛物线上时，求点D的坐标；②点E(2，﹣)在抛物线上，连接PE，当PE平分∠BPD时，直接写出点P的坐标．【分析】(1)将B(0，﹣2)代入y＝a(x+3)(x﹣4)，即可求解；(2)先求直线AB的解析式为y＝x﹣2，则Q(1，﹣)，C(1，﹣2)，可求S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ＝；(3)①设P(t，0)，过点D作x轴垂线交于点N，可证明△PND≌△BOP(AAS)，则D(t+2，﹣t)，将D点代入抛物线解析式得﹣t＝(t+2+3)(t+2﹣4)，求德D(3，﹣1)或D(﹣8，10)；②分两种情况讨论：当PE∥y轴时，∠OBP＝45°，则P(2，0)；当PE不平行y轴时，过B点作BG⊥PB交PE于点G，过G点作FG⊥y轴，交于点F，可证明△BPO≌△GBF(AAS)，则E点与G点重合，求得P(﹣，0)．【解答】解：(1)将B(0，﹣2)代入y＝a(x+3)(x﹣4)，∴a＝，∴y＝(x+3)(x﹣4)＝x2﹣x﹣2；(2)令y＝0，则(x+3)(x﹣4)＝0，∴x＝﹣3或x＝4，∴A(4，0)，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣2，∵OP＝1，∴P(1，0)，∵PQ⊥x轴，∴Q(1，﹣)，C(1，﹣2)，∴AP＝3，∴S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ＝×3×2﹣×3×＝；(3)①设P(t，0)，如图2，过点D作x轴垂线交于点N，∵∠BPD＝90°，∴∠OPB+∠NPD＝90°，∠OPB+∠OBP＝90°，∴∠NPD＝∠OBP，∵BP＝PD，∴△PND≌△BOP(AAS)，∴OP＝ND，BO＝PN，∴D(t+2，﹣t)，∴﹣t＝(t+2+3)(t+2﹣4)，解得t＝1或t＝﹣10，∴D(3，﹣1)或D(﹣8，10)；②如图3，∵PE平分∠BPD，∴∠BPE＝∠EPD，∵∠BPD＝90°，∴∠BPE＝45°，当PE∥y轴时，∠OBP＝45°，∴P(2，0)；如图4，过B点作BG⊥PB交PE于点G，过G点作FG⊥y轴，交于点F，∵∠PBF+∠FBG＝90°，∠FBG+∠FGB＝90°，∴∠PBF＝∠FGB，∵∠BPG＝45°，∴BP＝BG，∴△BPO≌△GBF(AAS)，∴BF＝OP，FG＝OB，∵OB＝2，∴FG＝2，∵E(2，﹣)∴E点与G点重合，∴PO＝BF＝2﹣＝，∴P(﹣，0)；综上所述：P点的坐标为(2，0)或(﹣，0)．【例2】(2021•贵港)如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A(﹣3，0)，B两点，与y轴相交于点C(0，2)，对称轴是直线x＝﹣1，连接AC．(1)求该抛物线的表达式；(2)若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；(3)在(2)的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使S△BDP＝S△ABD．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．【分析】(1)先根据对称轴得出b＝2a，再由点C的坐标求出c＝2，最后将点A的坐标代入抛物线解析式求解，即可得出结论；(2)分两种情况，Ⅰ、当点D在x轴上方时，先判断出AE＝BE，进而得出点E在直线x＝﹣1上，再求出点E的坐标，最后用待定系数法求出直线l的解析式；Ⅱ、当点D在x轴下方时，判断出BD∥AC，即可得出结论；(3)先求出点D的坐标，进而求出△ABD的面积，得出△PBD的面积，设P(m，﹣m2﹣m+2)(m＜0)，过P作y轴的平行线交直线BD于F，得出F(m，m﹣)，进而表示出PF，最后用面积建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：(1)∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵点C的坐标为(0，2)，∴c＝2，∴抛物线的解析式为y＝ax2+2ax+2，∵点A(﹣3，0)在抛物线上，∴9a﹣6a+2＝0，∴a＝﹣，∴b＝2a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；(2)Ⅰ、当点D在x轴上方时，如图1，记BD与AC的交点为点E，∵∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE，∵直线x＝﹣1垂直平分AB，∴点E在直线x＝﹣1上，∵点A(﹣3，0)，C(0，2)，∴直线AC的解析式为y＝x+2，当x＝﹣1时，y＝，∴点E(﹣1，)，∵点A(﹣3，0)点B关于x＝﹣1对称，∴B(1，0)，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+，即直线l的解析式为y＝﹣x+；Ⅱ、当点D在x轴下方时，如图2，∵∠ABD＝∠BAC，∴BD∥AC，由Ⅰ知，直线AC的解析式为y＝x+2，∴直线BD的解析式为y＝x﹣，即直线l的解析式为y＝x﹣；综上，直线l的解析式为y＝﹣x+或y＝x﹣；(3)由(2)知，直线BD的解析式为y＝x﹣①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2②，∴或，∴D(﹣4，﹣)，∴S△ABD＝AB•|yD|＝×4×＝，∵S△BDP＝S△ABD，∴S△BDP＝×＝10，∵点P在y轴左侧的抛物线上，∴设P(m，﹣m2﹣m+2)(m＜0)，过P作y轴的平行线交直线BD于F，∴F(m，m﹣)，∴PF＝|﹣m2﹣m+2﹣(m﹣)|＝|m2+2m﹣|，∴S△BDP＝PF•(xB﹣xD)＝×|m2+2m﹣|×5＝10，∴m＝﹣5或m＝2(舍)或m＝﹣1或m＝﹣2，∴P(﹣5，﹣8)或(﹣1，)或(﹣2，2)．【例3】(2021•罗湖区校级模拟)如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A(﹣3，0)、B，与y轴交于点C(0，﹣3)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上求点P，使S△BCP＝2S△BCO，求点P的坐标；(3)如图2，直线y＝x+3交抛物线于第一象限的点M，若N是抛物线y＝x2+bx+c上一点，且∠MAN＝∠OCB，求点N的坐标．【分析】(1)直接将A、C两点坐标代入到解析式中，解方程组，可以求得抛物线解析式；(2)由于B、C坐标已知，且均在坐标轴上，直接求出△BCO面积，从而求得△BCP面积为3，由于B、C两点坐标已知，过P作BC的平行线与抛物线相交，此平行线上任意一点与B和C两点所构成的三角形面积均等于3，所以我们找到此线与x轴交点M(此处也可以选择与y轴交点)，由△MBC面积为3，可以求得M点坐标，再由直线BC解析式，可以求得直线PM的解析式，联立直线PM与抛物线解析式，即可解决；(3)利用△BCO，可以求得tan∠BCO，从而得到tan∠MAN，接联立抛物线与直线y＝x+3，可以求得交点A、M坐标，则N的位置可以分为在AM上方和AM下方，利用M为直角顶点，AM为直角边，构造一线三等角相似，从而求得直线AN的解析式，联立AN与抛物线解析式，从而求得交点N的坐标．【解答】解：(1)将C(0，﹣3)代入到抛物线解析式中得，c＝﹣3，将B(﹣3，0)代入到抛物线解析式中得，9﹣3b﹣3＝0，∴b＝2，∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；(2)令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴B(1，0)，∴，∵S△BCP＝2S△BCO，∴S△BCP＝3，如图1，过P作PM∥BC交x轴于M，连接MC，则S△MBC＝S△BCP＝3，∴，∴MB＝2，∴M(﹣1，0)，设直线BC为y＝k1x﹣3，代入点B(1，0)得，k1＝3，∴直线BC为：y＝3x﹣3，则直线PM设为：y＝3x+b，代入点M(﹣1，0)得，b＝3，∴直线PM为：y＝3x+3，联立，解得，，∴P(3，12)或(﹣2，﹣3)；(3)∵直线y＝x+3交抛物线于第一象限的点M，∴联立，解得，，∴A(﹣3，0)，M(2，5)，在Rt△OBC中，tan∠OCB＝，∴，①如图2，当N在AM下方时，过A作y轴平行线，过M作x轴平行线，两线交于点G过M作MQ⊥AM交AN于Q，过Q作y轴平行线交GM于H，∴∠AGM＝∠MHQ＝90°，∴∠AMG+∠GAM＝90°，又AM⊥MQ，∴∠AMQ＝90°，∴∠AMG+∠HMQ＝90°，∴∠GAM＝∠HMQ，又∠AGM＝∠MHQ＝90°，∴△AGM∽△MHQ，∴＝，∵A(﹣3，0)，M(2，5)，∴AG＝5，GM＝5，∴MH＝HQ＝，∴Q()，设直线AQ为：y＝k2(x+3)，代入点Q，得，∴直线AQ为，联立，化简得，2x2+3x﹣9＝0，解得x＝或﹣3，当x＝时，y＝，∴N()，②当N在AM上方时，同理可得，N(3，12)，∴N()或(3，12)．【例4】(2021•溧阳市一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，经过点C的直线l与该抛物线交于另一点D，并且直线l∥x轴，点P(m，y1)为该抛物线上一个动点，点Q(m，y2)为直线l上一个动点．(1)当m＜0，且y1＝y2时，连接AQ，BD，说明：四边形ABDQ是平行四边形；(2)当m＞0，连接AQ，线段AQ与线段OC交于点E，OE＜EC，且OE•EC＝2，连接PQ，求线段PQ的长；(3)连接AC，PC，试探究：是否存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)求出点D(3，﹣3)，求出CQ＝2，DQ＝5，则AB＝DQ，由平行四边形的判定可得出答案；(2)证明△AOE∽△QCE，得出，求出QC＝2，则可得出答案；(3)分两种不同的情况：①当点P在直线l上方时，②当点P在直线l下方时，由直角三角形的性质得出tan∠PCQ＝tan∠ACO＝，列出方程求出答案即可．【解答】解：(1)证明：当y＝0时，x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴A(﹣1，0)，B(4，0)，∴AB＝5．当x＝0时，y＝﹣3，∴C(0，﹣3)．∵直线l∥x轴，∴直线l的解析式为y＝﹣3．∴x﹣3＝﹣3，解得x3＝0，x4＝3，∴D(3，﹣3)，∴CD＝3．∵点Q(m，y2)在直线l上，∴y2＝﹣3．∵y1＝﹣，∴y1＝，∵m＜0，点P(m，y1)在该抛物线上，∴，解得m＝﹣2或m＝5(舍去)．∵直线l∥x轴，∴CQ＝2，∴DQ＝5，∴AB＝DQ，AB∥DQ，∴四边形ABDQ是平行四边形．(2)∵P，Q两点的横坐标都是m，∴直线l∥x轴，∴PQ＝|y1﹣y2|＝|m|，设OE＝n，则EC＝3﹣n，∴n(3﹣n)＝2，解得n＝1或n＝2．∵OE＜EC，∴OE＝1，EC＝2．∵直线l∥x轴，∴∠OAE＝∠CQE，∠AOE＝∠QCE，∴△AOE∽△QCE，∴，∴QC＝2，∵m＞0，∴m＝2，∴PQ＝；(3)存在．假设存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角，即∠PCQ+∠BAC＝90°．∵∠BAC+∠ACO＝90°，∴∠PCQ＝∠ACO．∵OA＝1，OC＝3，∴tan∠PCQ＝tan∠ACO＝，连接PQ．∵直线l∥x轴，直线PQ∥y轴，∴△PCQ是直角三角形，且∠CQP＝90°．∴tan∠PCQ＝，①当点P在直线l上方时，PQ＝y1﹣y2＝m，(i)若点P在y轴左侧，则m＜0，∴QC＝﹣m．∴m＝×(﹣m)，解得m1＝0(舍去)，m2＝(舍去)．(ii)若点P在y轴右侧，则m＞0，∴QC＝m．∴m＝m，解得m3＝0(舍去)，m4＝．∴y1﹣y2＝，∴y1＝﹣，∴；②当点P在直线l下方时，m＞0，∴QC＝m，PQ＝y2﹣y1＝﹣m，∴﹣m＝m，解得m5＝0(舍去)，m6＝，∴y2﹣y1＝，∴y1＝﹣，∴．综上，存在点，，使得∠PCQ与∠BAC互为余角．【例5】(2020•十堰)已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A(﹣1，0)和C(0，3)，与x轴交于另一点B，顶点为D．(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；(2)如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EF⊥BC，垂足为F，EM⊥x轴，垂足为M，交BC于点G．当BG＝CF时，求△EFG的面积；(3)如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使∠OPB＝∠AHB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标；(2)先求出BC的解析式y＝﹣x+3，再设直线EF的解析式为y＝x+b，设点E的坐标为(m，﹣m2+2m+3)，联立方程求出点F，G的坐标，根据BG2＝CF2列出关于m的方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；(3)过点A作AN⊥HB，先求得直线BD，AN的解析式，得到H，N的坐标，进而得到∠H＝45°，设点P(n，﹣n2+2n+3)，过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS＝PR，证明△OPS∽△OBP，根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求解后即可得到点P的坐标．【解析】(1)把点A(﹣1，0)，C(0，3)代入y＝ax2﹣2ax+c中，a+2a+c=0c=3解得a=-1c=3∴y＝﹣x2+2x+3，当x=-b2a=1∴D(1，4)；(2)如图1，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，∴x＝﹣1，或x＝3，∴B(3，0)．设BC的解析式为y＝kx+b(k≠0)，将点C(0，3)，B(3，0)代入，得b=33k+b=0解得k=-1b=3∴y＝﹣x+3．∵EF⊥CB．设直线EF的解析式为y＝x+b，设点E的坐标为(m，﹣m2+2m+3)，将点E坐标代入y＝x+b中，得b＝﹣m2+m+3，∴y＝x﹣m2+m+3，联立得y=-x+3y=x-∴x=m∴F(m把x＝m代入y＝﹣x+3，得y＝﹣m+3，∴G(m，﹣m+3)．∵BG＝CF．∴BG2＝CF2，即(m-3)解得m＝2或m＝﹣3．∵点E是BC上方抛物线上的点，∴m＝﹣3，(舍去)．∴点E(2，3)，F(1，2)，G(2，1)，EF=12+∴S△EFG(3)如图2，过点A作AN⊥HB于N，∵点D(1，4)，B(3，0)，∴yDB＝﹣2x+6．∵点A(﹣1，0)，点C(0，3)，∴yAC＝3x+3，联立得y=x+3y=-2x+6∴x=3∴H(3设yAN=12∴y=12x+∴x=11∴N(11∴AN2=(∴AN＝HN．∴∠H＝45°．设点P(n，﹣n2+2n+3)．过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS＝PR，∴∠RSP＝45°且点S的坐标为(﹣n2+3n+3，0)．若∠OPB＝∠AHB＝45°在△OPS和△OPB中，∠POS＝∠POB，∠OSP＝∠OPB，∴△OPS∽△OBP．∴OPOB∴OP2＝OB•OS．∴n2+(n+1)2(n﹣3)2＝3•(﹣n2+3n+3)．∴n＝0或n=1±52∴P1(0，3)，P2(1+【例6】(2020•包头)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=13x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y=-12x+b经过点A，与y轴交于点(1)求b的值及点M的坐标；(2)将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D(2，0)，连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°；(3)点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可．(2)证明：如图1中，设平移后的直线的解析式为y=-12x+n．把点M的坐标代入求出n，过点D(2，0)作DH⊥MC于H，则直线DH的解析式为y＝2x﹣4，构建方程组求出点H的坐标，证明DH＝HM，推出∠(3)如图2中，过点G作GH⊥OA于H，过点E作EK⊥OA于K．证明∠EFA＝∠BAO，由题意∠EFA＝∠GFH，tan∠BAO=OBOA=36=12，推出tan∠GFH＝tan∠EFK=12，由GH∥EK，推出GFEF【解析】(1)解：对于抛物线y=13x2﹣2x，令y＝0，得到13x2解得x＝0或6，∴A(6，0)，∵直线y=-12x+b经过点∴0＝﹣3+b，∴b＝3，∵y=13x2﹣2x=13(∴M(3，﹣3)．(2)证明：如图1中，设平移后的直线的解析式y=-12x+∵平移后的直线经过M(3，﹣3)，∴﹣3=-32∴n=-3∴平移后的直线的解析式为y=-12x过点D(2，0)作DH⊥MC于H，则直线DH的解析式为y＝2x﹣4，由y=2x-4y=-12∴H(1，﹣2)，∵D(2，0)，M(3，﹣3)，∴DH=22+1∴DH＝HM．∴∠DMC＝45°，∵∠ADM＝∠DMC+∠ACM，∴∠ADM﹣∠ACM＝45°．(3)解：如图2中，过点G作GH⊥OA于H，过点E作EK⊥OA于K．∵∠BEF＝2∠BAO，∠BEF＝∠BAO+∠EFA，∴∠EFA＝∠BAO，∵∠EFA＝∠GFH，tan∠BAO=OB∴tan∠GFH＝tan∠EFK=1∵GH∥EK，∴GFEF=GHEK=43，设GH则OH＝HG＝4k，FH＝8k，FK＝AK＝6k，∴OF＝AF＝12k＝3，∴k=1∴OF＝3，FK＝AK=32，EK∴OK=9∴E(92，3【题组一】1．(2021•海陵区一模)如图，点C(0，)(a＜0)是y轴负半轴上的一点，经过点C作直线，与抛物线y＝ax2交于A、B两点(点A在点B的左侧)，连接OA、OB，设点A的横坐标为m(m＜0)．(1)若点A的坐标为(﹣4，﹣2)，求点C的坐标；(2)若AC：BC＝1：2，m＝﹣1，求a的值，并证明：∠AOB＝90°；(3)若AC：BC＝1：k(k＞1)，问“∠AOB＝90°”这一结论还成立吗？试说明理由．【分析】(1)将A(﹣4，﹣2)代入抛物线y＝ax2中，求得a的值，则C点坐标可得；(2)过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥BE于F，交y轴于G，则AG⊥y轴，由m＝﹣1，可得点A(﹣1，a)，则OD＝AG＝1，OG＝AD＝﹣a；利用△ACG∽△ABF，可得，求得OE＝GF＝2，则B(2，4a)，BE＝﹣4a，进而可得BF＝BE﹣EF＝BE﹣OG＝﹣3a，因为点C(0，)，所以OC＝﹣，可得CG＝﹣+a，利用△ACG∽△ABF，可得，将CG，BF的值代入即可求得a的值；利用勾股定理的逆定理可证明：∠AOB＝90°．(3)“∠AOB＝90°”这一结论还成立；理由与(2)的过程相同．【解答】解：(1)将A(﹣4，﹣2)代入抛物线y＝ax2中得：16a＝﹣2．解得：a＝﹣．∴点C的坐标(0，﹣8)．(2)过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥BE于F，交y轴于G，则AG⊥y轴，如图，∵m＝﹣1，∴A(﹣1，a)．∴OD＝AG＝1，OG＝AD＝EF＝﹣a．∵AC：BC＝1：2，∴AC：AB＝1：3．∵CG∥BF，∴△ACG∽△ABF．∴．∴AF＝3．∴GF＝AF﹣AG＝2．∴B(2，4a)．∴BE＝﹣4a，∴BF＝BE﹣EF＝﹣3a．∵C(0，)(a＜0)，∴OC＝﹣．∴CG＝OC﹣OG＝﹣+a．∵△ACG∽△ABF，∴．∴．解得：a＝．∵a＜0，∴a＝﹣．∵OA2＝AD2+OD2＝1+a2，BO2＝BE2+OE2＝4+16a2，∴OA2+OB2＝5+17a2＝13.5．又AB2＝AF2+BF2＝9+9a2＝13.5，∴OA2+OB2＝AB2．∴∠AOB＝90°．(3)过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥BE于F，交y轴于G，则AG⊥y轴，如图，∵点A的横坐标为m(m＜0)，∴A(m，am2)．∴OD＝AG＝﹣m，OG＝AD＝EF＝﹣am2．∵AC：BC＝1：k(k＞1)，∴AC：AB＝1：(k+1)．∵CG∥BF，∴△ACG∽△ABF．∴．∴AF＝﹣(1+k)m．∴OE＝GF＝AF﹣AG＝﹣km．∴B(﹣km，k2m2a)．∴BE＝﹣k2m2a，∴BF＝BE﹣EF＝﹣k2m2a+am2．∵C(0，)(a＜0)，∴OC＝﹣．∴CG＝OC﹣OG＝﹣+am2．∵△ACG∽△ABF，∴．∴．解得：．∵OA2＝AD2+OD2＝m2+a2m4，BO2＝BE2+OE2＝k2m2+k4m4a2，∴OA2+OB2＝＝．又AB2＝AF2+BF2＝(﹣km﹣m)2+(﹣k2m2a+am2)2＝k2m2+2km2+m2+k4m4a2﹣2k2m4a2+a2m4＝﹣2＝＝，∴OA2+OB2＝AB2．∴∠AOB＝90°．∴“∠AOB＝90°”这一结论还成立．2．(2021•郫都区模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与轴交于A(﹣1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接AC、BC．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D是抛物线上位于第四象限内的一点，连接AD，点E是AD的中点，连接BE、CE，求△BCE面积的最小值；(3)如图2，点P是抛物线上位于第四象限内的一点，点Q在y轴上，∠PBQ＝∠OBC，是否存在这样的点P、Q使BP＝BQ，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用交点式设该抛物线的函数表达式为y＝a(x+1)(x﹣4)，将C(0，﹣3)代入，即可求出答案；(2)运用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝x﹣3，过点E作EM∥y轴，交BC于M，设D(t，t2﹣t﹣3)，得出S△BCE＝EM•OB＝2(t2﹣t+)＝(t﹣2)2+，运用二次函数求最值方法即可得出答案；(3)在BC上截取BE＝BO＝4，过点E作EG∥OC交x轴于G，作EF⊥BC交y轴于F，交抛物线于P，通过△BEG∽△BCO，得出EG＝，BG＝，进而求得E(，﹣)，再利用△ECF∽△OCB，求出F(0，﹣)，运用待定系数法求出直线EF的解析式为y＝x﹣，进而联立方程组可求得答案．【解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与轴交于A(﹣1，0)，B(4，0)，∴设该抛物线的函数表达式为y＝a(x+1)(x﹣4)，将C(0，﹣3)代入，得：﹣4a＝﹣3，解得：a＝，∴y＝(x+1)(x﹣4)＝x2﹣x﹣3，∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3；(2)设直线BC的解析式为y＝kx+n，∵B(4，0)，C(0，﹣3)，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，过点E作EM∥y轴，交BC于M，设D(t，t2﹣t﹣3)，∵点E是AD的中点，∴E(，t2﹣t﹣)，∴M(，)，∴EM＝t2﹣t﹣﹣＝t2﹣t+，∴S△BCE＝EM•OB＝2(t2﹣t+)＝(t﹣2)2+，∵＞0，∴当t＝2时，S△BCE取得最小值；(3)存在，P(，﹣)，Q(0，﹣)．如图2，在BC上截取BE＝BO＝4，过点E作EG∥OC交x轴于G，作EF⊥BC交y轴于F，交抛物线于P，∵B(4，0)，C(0，﹣3)，∴OB＝4，OC＝3，CE＝BC﹣BE＝1，∵∠BOC＝90°，∴BC＝＝＝5，∵EG∥OC，∴△BEG∽△BCO，∴＝＝，∴＝＝，∴EG＝，BG＝，∴OG＝OB﹣BG＝4﹣＝，∴E(，﹣)，∵EF⊥BC，∴∠CEF＝∠COB＝90°，∵∠ECF＝∠OCB，∴△ECF∽△OCB，∴＝，即＝，∴CF＝，OF＝OC﹣CF＝3﹣＝，∴F(0，﹣)，设直线EF的解析式为y＝k1x+n1，∵E(，﹣)，F(0，﹣)，∴，解得：，∴直线EF的解析式为y＝x﹣，联立方程组，得：，解得：(舍去)，，∴P(，﹣)，在Rt△BPE中，PE＝＝，∵∠PBQ＝∠OBC，∴∠PBE+∠CBQ＝∠CBQ+∠QBO，∴∠PBE＝∠QBO，∵BE＝BO＝4，∠PEB＝∠QOB＝90°，∴△PEB≌△QOB(SAS)，∴BP＝BQ，OQ＝PE＝，∴Q(0，)，∴存在，P(，﹣)，Q(0，)．3．(2021•新洲区模拟)在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+(a﹣2)x+2a与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴的正半轴交于点C．(1)若AB＝5，求抛物线的解析式；(2)若经过点C和定点M的直线与该抛物线交于另一点D，且S△ACM＝S△ADM(“S”表示面积)．①求定点M的坐标；②连接BD交y轴于点E，连接AE，若∠AEO＝∠BDC，求a的值．【分析】(1)令y＝﹣x2+(a﹣2)x+2a＝0，解得x＝a或﹣2，故点A、B的坐标分别为(﹣2,0)、(a，0)，则AB＝a﹣(﹣2)＝5，即可求解；(2)①S△ACM＝S△ADM，则点M是CD的中点，由中点公式得，点M的坐标为(t，)，即可求解；②在△BEH中，由直线BD的表达式知，tan∠HBN＝2，则sin∠HBN＝，cos∠HBN＝，则BN＝BHcos∠HBN＝BH，HN＝BHsin∠HBN＝BH，则EN＝BE﹣NB＝a﹣BH，tan∠HEN＝＝＝tan∠AEO＝，BH＝，即可求解．【解答】解：(1)令y＝﹣x2+(a﹣2)x+2a＝0，解得x＝a或﹣2，故点A、B的坐标分别为(﹣2,0)、(a，0)，则AB＝a﹣(﹣2)＝5，解得：a＝3，则抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+6；(2)①∵S△ACM＝S△ADM，而上述两个三角形的高相等，则CM＝DM，即点M是CD的中点，由抛物线的表达式知，点C的坐标为(0,2a)，设点D的坐标为(t，﹣t2+(a﹣2)t+2a)，由中点公式得，点M的坐标为(t，)，设y＝＝﹣t2﹣t+a(t+2)，当t＝﹣4时，y为定值﹣4，即点M的坐标为(﹣2，﹣4)；②由点M、C(0,2a)的坐标，由中点公式得：点D的坐标为(﹣4，﹣8﹣2a)，由B、D的坐标得，直线BD的表达式为y＝2(x﹣a)，当x＝0时，y＝2(x﹣a)＝﹣2a，即点E的坐标为(0，﹣2a)，则OE＝2a，则tan∠AEO＝＝；由点B、E的坐标得，BE＝＝a，过点E作EH∥CD交x轴于点H，则∠HEB＝∠CDB，由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝(a+2)(x+2)，则直线EH的表达式为y＝(a+2)x﹣2a，令y＝(a+2)x﹣2a＝0，解得x＝，则点H(,0)，则BH＝a﹣＝，在△BEH中，过点H作HN⊥BD于点N，由直线BD的表达式知，tan∠HBN＝2，则sin∠HBN＝，cos∠HBN＝，则BN＝BHcos∠HBN＝BH，HN＝BHsin∠HBN＝BH，则EN＝BE﹣NB＝a﹣BH，tan∠HEN＝＝＝tan∠AEO＝，BH＝，解得a＝1±(舍去负值)，故a＝1+．4．(2021•东港区校级二模)如图，已知点A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，1)在抛物线y＝ax2+bx+c上．(1)求抛物线解析式；(2)在直线BC上方的抛物线上有一点P，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标．(3)在对称轴上求一点M，使得BM﹣CM最大；(4)在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在．说明理由．【分析】(1)用待定系数法解抛物线解析式为：y＝﹣；(2)连接PO，作△POB的高PE，△CPO的高PD，设点P坐标为(m，﹣+1)，用m的代数式表示出S△PBC＝S△PCO+S△PBO﹣S△CBO＝+﹣＝﹣＝﹣，即可求解；(3)由抛物线的解析式得，对称轴为直线x＝1，作点C关于直线x＝1的对称点C′，则MC＝MC′，在△MC′B中，BM﹣CM＜BC′，当M，C′，B三点共线时，BM﹣CM＝BC′，此BM﹣CM最小，由B(3，0)和点C′(2，1)求直线BC的关系式为：y＝﹣x+3，即可求解；(4)存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC，理由：作△ABC的外接圆⊙D，交直线x＝1于点Q，根据同弧所对圆周角相等，得∠BQC＝∠BAC，理由K型全等即可求得圆心坐标和半径，即可求解．【解答】解：(1)把点A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，1)代入抛物线y＝ax2+bx+c，得，，解得，，∴抛物线解析式为：y＝﹣；(2)连接PO，作△POB的高PE，△CPO的高PD，设点P坐标为(m，﹣+1)，S△PBC＝S△PCO+S△PBO﹣S△CBO＝+﹣＝﹣＝﹣当m＝时，△PBC面积的最大，最大值为，此时点P坐标为(，)；(3)由抛物线的解析式得，对称轴为直线x＝1，作点C关于直线x＝1的对称点C′，则MC＝MC′，∴点C′坐标为(2，1)在△MC′B中，BM﹣CM＜BC′，当M，C′，B三点共线时，BM﹣CM＝BC′，此BM﹣CM最小，设BC′的函数解析式为：y＝kx+n，把B(3，0)和点C′(2，1)代入得，，解得，，∴直线bc′的关系式为：y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝4，∴BM﹣CM最大时，点M坐标为(1，2)；(4)存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC，理由：作△ABC的外接圆⊙D，交直线x＝1于点Q，根据同弧所对圆周角相等，得∠BQC＝∠BAC，∵AB的垂直平分线是直线x＝1，∴圆心在直线x＝1上，在Rt△CAO中，AO＝CO，∴∠CAO＝45°，∴∠CDB＝90°，过点C作CF⊥DQ于点F，易证△CFD≌△DHB(AAS)，∴CF＝DH＝1，∴半径CD＝＝，∴点Q坐标为(1，﹣1﹣)．【题组二】5．(2021•郑州模拟)如图，已知直线BC的解析式为y＝﹣x+3，与x轴，y轴交于点B，C．抛物线y＝ax2+bx+3过A(﹣1，0)，B，C三点，D点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，CD．(1)求二次函数及直线CD的解析式；(2)点P是线段CD上一点(不与点C，D重合)，当△BCP的面积为时，求点P的坐标．(3)点F是抛物线上一点，过点F作FG⊥CD交直线CD于点G，当∠CFG＝∠EDB时，请直接写出点F的坐标．【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)由△BCP的面积＝PH(xB﹣xC)＝×2m(3﹣0)＝，即可求解；(3)分类讨论，画出图形，利用数形结合的方法，由三角形相似求出点F的坐标，进而求解．【解答】解：(1)对于y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，解得x＝3，令x＝0，则y＝3，故点B、C的坐标分别为(0，3)、(3，0)，由题意把点A(﹣1，0)、B(3，0)代入y＝ax2+bx+3得：，解得，∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；(2)由抛物线的表达式知，点D的坐标为(1，4)，由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为y＝x+3，过点P作PH∥y轴交BC于点H，设点P的坐标为(m，m+3)，则点H(m，﹣m+3)，则PH＝2m，则△BCP的面积＝PH(xB﹣xC)＝×2m(3﹣0)＝，解得m＝，故点P的坐标为(，)；(3)∵抛物线y＝﹣(x﹣3)(x+1)＝﹣x2+2x+3与与y轴交于点C，∴C点坐标为(0，3)，顶点(1，4)，E(1，0)∴tan∠BDE＝＝．①当点M在对称轴的右侧时．(I)当点G在射线CD上时，如图2，过点G作y轴的垂线，垂足为R，过点F作GR的垂线，垂足为H，则△CGR，△FGH均为等腰直角三角形．∵∠CFG＝∠BDE，∴tan∠CFG＝tan∠BDE＝＝．∴△CGR，△FGH相似比为1：2设CR＝a，则RG＝a，FH＝GH＝2a，∴F(3a，3+a﹣2a)，即F(3a，3﹣a)，将点F的坐标代入抛物线的解析式得：﹣(3a)2+2×3a+3＝3﹣a，解得：a＝0(舍去)或a＝；此时F(，)．(II)若点G在射线DC上，如图3，过点N作x轴的垂线l，分别过点F、C作RG的垂线，垂足为H、R，则△CGR，△FGH均为等腰直角三角形，∵∠CFG＝∠BDE，∴tan∠CFG＝tan∠BDE＝＝，∴△CGR与△FGH相似比为1：2设CN＝a，则GR＝a，GH＝2a，∴F(a，3﹣a﹣2a)，即F(a，3﹣3a)，将点F的坐标代入抛物线的解析式得：﹣a2+2a+3＝3﹣3a，解得：a＝0(舍去)或a＝5，此时F(5，﹣12)②当点F在对称轴左侧时．∵∠CFG＝∠BDE＜45°，∴∠FCG＞45°，∵抛物线左侧任意一点K，都有∠KCG＜45°，∴点F不存在．综上可知，F(，)或(5，﹣12)．6．(2021•宝安区模拟)如图，二次函数y＝ax2+5ax+7与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，若OB：OC＝7：2．点P是抛物线第二象限内的一个动点．连接PC交y轴于点D，连接PB．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，设P点横坐标为t，△PBD的面积为S，求S与t的关系式；(3)如图2，作PE⊥x轴于E，连接ED，点F为ED上一个动点，连接AF交PE于点G，若2∠GAO+∠EDO＝90°，DF＝2EG，求P点坐标．【分析】(1)根据B点坐标可求出C点坐标，将C点坐标代入解析式即可求a值确定函数解析式；(2)作PH⊥x轴于H，证△CDO∽△CPH，得线段比例关系，根据P点在抛物线上写出P点的坐标，再用含有t的代数式计算OD的长度，根据面积公式计算出S的函数解析式即可；(3)设EG＝y，则DF＝2y，延长EA至K，使AK＝2y，证△AGE∽△KDO，得线段比例关系，分别用含t和y的代数式表示出各线段，再利用勾股定理列出t和y的另一关系式解方程组即可．【解答】解析：(1)∵B点是二次函数y＝ax2+5ax+7与y轴交点，∵当x＝0时，y＝7，∴B(0，7)，OB＝7，∵OB：OC＝7：2，∴OC＝2，∴C(2，0)，把C点坐标代入解析式得4a+10a+7＝0，解得：a＝﹣，∴函数解析式为：；(2)如图1，作PH⊥x轴于H，∵∠COD＝∠CHP＝90°，∠PCA＝∠PCA，∴△CDO∽△CPH，∴＝，∵P点在抛物线＝﹣(t+7)(t﹣2)上，∴P()，∵CH＝2﹣t，PH＝，∴＝，∴OD＝t+7，BD＝OB﹣OD＝7﹣(t+7)＝﹣t，∴S＝BD•OH＝(﹣t)(﹣t)＝t2；(3)∵∠EDO+∠DEO＝90°，∠EDO+2∠GAO＝90°，∴∠DEO＝2∠GAO，∴∠GAO＝∠GFE，∵A点是抛物线与x轴的交点坐标，∴A(﹣7，0)，∴AE＝EF＝7+t，∵OD＝7+t，即AE＝EF＝OD，设EG＝y，则DF＝2y，延长EA至K，使AK＝2y，则EK＝DE，∴△AFE和△KED为同顶角的等腰三角形，∴∠FAE＝∠DKE，又∵∠GEA＝∠DOK＝90°，∴△AGE∽△KDO，∴＝，∴①在Rt△EDO中，OE2+OD2＝DE2，∴(﹣t)2+(7+t)2＝(2y+7+t)2，即t2＝4y(7+t)+4y2②，联立①②得，t1＝0(舍去)，t2＝﹣4，∴P(﹣4，9)．7．(2021•渭滨区模拟)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A(1，0)，点B(﹣3，0)，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；(2)已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接BC，BN，点H在x轴上，当∠HCB＝∠NBC时，求满足条件的点H的坐标．【分析】(1)利用待定系数法将A，B的坐标代入抛物线解析式即可求出a和c，再运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标；(2)如图，连接CN，分两种情况：①当BN∥CH1时，∠H1CB＝∠NBC，根据平行四边形性质即可求出答案，②当∠H2CB＝∠NBC时，利用待定系数法求得直线BN解析式为y＝3x+9，设BN和CH2的交点M(m，3m+9)，由BM＝CM，即BM2＝CM2，建立方程求解得出M(﹣，)，再求出直线MC的解析式是：y＝x+3，即可得出H2(﹣9，0)．【解答】解：(1)把A(1，0)，B(﹣3，0)代入抛物线y＝ax2﹣2x+c中，得，解得：，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣y＝﹣(x+1)2+4，∴顶点坐标为(﹣1，4)；(2)如图，连接CN，由对称得：N(﹣2，3)，分以下两种情况：①当BN∥CH1时，∠H1CB＝∠NBC，∵CN∥AB，∴四边形CNBH1是平行四边形，∴H1(﹣1，0)；②当∠H2CB＝∠NBC时，令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)，设直线BN解析式为y＝kx+b，∵B(﹣3，0)，N(﹣2，3)，∴，解得：，∴直线BN解析式为y＝3x+9，∴设BN和CH2的交点M(m，3m+9)，∵∠H2CB＝∠NBC，∴BM＝CM，即BM2＝CM2，∴(3m+9)2+(m+3)2＝m2+(3﹣3m﹣9)2，解得：，∴M(﹣，)，设直线MC的解析式为y＝mx+n，∵M(﹣，)，C(0，3)，∴，解得：，∴直线MC的解析式是：y＝x+3，令y＝0，得x+3＝0，解得：x＝﹣9，∴H2(﹣9，0)；综上所述，满足条件的点H的坐标是(﹣1，0)或(﹣9，0)．8．(2021•山西模拟)综合与探究：如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点(点B在点A的右侧)，且与y轴交于点C．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)如图1，若M(m，y1)，N(n，y2)是第四象限内抛物线上的两个动点，且m＜n，m+n＝4．分别过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E．判断四边形MDEN的形状，并求其周长的最大值；(3)如图2，在(2)的条件下，当四边形MDEN的周长有最大值时，若x轴上有一点H(2m，0)，抛物线的对称轴与x轴相交于点F，试探究在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝2∠OCH？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)令x＝0得出y的值，则点C坐标可得；令y＝0，解方程可得A，B的横坐标，纵坐标为0，结论可得；(2)求出直线BC的解析式，分别用m，n表示D，E的坐标，用坐标表示线段MD，NE的长度，利用m+n＝4，将MD，NE都用m表示后可得MD＝NE，四边形MDEN的形状可得；过D作DF⊥NE，用勾股定理求得线段BC，利用△OBC∽△FED，求得线段DE的长，利用四边形MDEN为平行四边形的结论可求它的周长，将周长的式子用配方法变形后，周长的最大值可得；(3)依据题意画出图形，分点P在x轴的上方和P在x轴的下方两种情形讨论解答，设出点P的坐标，用坐标表示相应的线段的长度；由已知∠APB＝2∠OCH，和抛物线的对称性可得∠PBF＝∠OCH，利用三角形相似得出比例式，解由比例式得到的方程，结论可求．【解答】解：(1)令y＝0，则．解这个方程得：．∵点B在点A的右侧，∴A(﹣，0)，B(4，0)．令x＝0，则y＝﹣3．∴C(0，﹣3)．(2)四边形MDEN为平行四边形．理由：∵若M(m，y1)，N(n，y2)是第四象限内抛物线上的两个动点，∴，．设直线BC的解析式为y＝kx+b，由题意：．解得：．∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．∵过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E，∴D(m，)，E(n，n﹣3)．∴MD＝﹣(m2﹣﹣3)﹣(3﹣m)＝﹣m2+4m，EN＝﹣(n2﹣n﹣3)﹣(3﹣n)＝﹣n2+4n．∵m+n＝4，∴n＝4﹣m．∴EN＝﹣(4﹣m)2+4(4﹣m)＝﹣m2+4m．∴MD＝EN．∵过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E，∴MD∥EN．∴四边形MDEN为平行四边形．过D作DF⊥NE于F，则DF＝n﹣m，如图，∵B(4，0)，C(0，﹣3)．∴OB＝4，OC＝3．∴BC＝．∵DF∥OB．∴∠EDF＝∠OBC．∵∠COB＝∠DFE＝90°，∴△DFE∽△BOC．∴．∴．∴DE＝(n﹣m)＝(4﹣m﹣m)＝(2﹣m)．∴平行四边形MDEN的周长＝2MD+2DE＝2(﹣m2+4m)+2×(2﹣m)＝﹣2m2+3m+10．∵﹣2m2+3m+10＝﹣2，又﹣2＜0，∴当m＝时，四边形MDEN的周长有最大值．(3)在抛物线的对称轴上存在一点P，使得∠APB＝2∠OCH．由(2)可知H的坐标为(，0)．∴OH＝．∵抛物线的解析式为y＝，∴抛物线的对称轴为直线x＝．∴OF＝．∴BF＝OB﹣OF＝4﹣＝．分两种情况解答：①当P在x轴的下方时，∠APB＝2∠OCH．如图，∵由抛物线的对称性可知∠APB＝2∠BPF，∴∠OCH＝∠BPF．∴tan∠OCH＝tan∠BPF．∵tan∠OCH＝，tan∠BPF＝，∴．∴PF＝2BF＝2×＝．∴点P的坐标为()．②当点P在x轴的上方时，由对称性可知，点P的坐标为()．综上所述，在抛物线的对称轴上存在一点P，使得∠APB＝2∠OCH，此时点P的坐标为()或()．【题组三】9．(2021•洪山区模拟)已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A(﹣1，0)，且与x轴右侧交于B点，对称轴为直线x＝1，与y轴交于C点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点C作直线l∥x轴交抛物线于点D，点P在抛物线上，且∠DCP＝∠ACO，求点P的坐标；(3)如图2，直线y＝kx+b(k≠b)交抛物线于M、N两点，NH⊥x轴于点H，HQ∥MA，HQ与MN相交于点Q，求点Q的横坐标．【分析】(1)利用A(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，可得点B的坐标为(3，0)，将A，B的坐标代入抛物线y＝ax2+bx﹣3中，利用待定系数法抛物线解析式可求；(2)根据题意确定点P的位置，分P在直线CD的上方和P在直线CD的下方两种情形解答；过P作PE⊥CD于E，设出P点坐标，用坐标表示出相应线段，根据∠DCP＝∠ACO，则得tan∠DCP＝tan∠ACO＝，可得．列出比例式，P点坐标可求；(3)过M作MG⊥x轴于G，过Q作QT⊥x轴于T，分别设出M，N，Q的坐标，利用坐标表示出相应线段；将抛物线与直线解析式联立，利用一元二次方程根于系数的关系得出M，N的横坐标的关系；利用△MGA∽△QTH，列出比例式，结论可求．【解答】解：(1)∵A(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，∴点B的坐标为(3，0)．将A，B的坐标代入抛物线y＝ax2+bx﹣3中得：．解得：．∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．(2)①当P在直线CD的上方时，过P作PE⊥CD于E，如图1，∵A(﹣1，0)，∴OA＝1．令x＝0，则y＝﹣3．∴C(0，﹣3)．图1﹣1∴OC＝3．设P(m，m2﹣2m﹣3)，m＞0，m2﹣2m﹣3＜0，∵CD∥x轴，PE⊥CD，∴CE＝m，PE＝3﹣(﹣m2+2m+3)＝m2﹣2m．∵tan∠ACO＝，∠DCP＝∠ACO，∴tan∠DCP＝tan∠ACO＝．∴．∴．解得：m＝或m＝0(不合题意，舍去)．∴P()．②当P在直线CD的下方时，过P作PE⊥CD于E，如图1﹣1，设P(m，m2﹣2m﹣3)，m＞0，m2﹣2m﹣3＜0，∵CD∥x轴，PE⊥CD，∴CE＝m，PE＝(﹣m2+2m+3)﹣3＝﹣m2+2m．∵tan∠ACO＝，∠DCP＝∠ACO，∴tan∠DCP＝tan∠ACO＝．∴．∴．解得：m＝或m＝0(不合题意，舍去)．∴P()．综上，点P的坐标为()或()．(3)过点M作MG⊥x轴于G，过Q作QT⊥x轴于T，如图，∵M，N在直线y＝kx+b上，∴设M(e，ke+b)，N(f，kf+b)，其中，e＜0，f＞0，ke+b＞0．∵MG⊥x轴，NH⊥x轴，∴OG＝﹣e，OH＝f，MG＝ke+b．∴AG＝OG﹣OA＝﹣e﹣1．由题意：．整理得：x2﹣(k+2)x﹣(3+b)＝0．∵e，f是方程x2﹣(k+2)x﹣(3+b)＝0的两根，∴e+f＝k+2．ef＝﹣b﹣3．设Q(n，kn+b)，n＞0，kn+b＞0，∵QT⊥x轴，∴OT＝n，QT＝kn+b．∴HT＝OH﹣OT＝f﹣n．∵HQ∥MA，∴∠MAG＝∠QHT．∵∠MGA＝∠QTH＝90°，∴△MGA∽△QTH．∴．∴．即：．∴ken﹣kef+nb﹣bf＝ken+be+kn+b．∴﹣kef+nb﹣bf﹣be﹣kn﹣b＝0．∴﹣kef﹣b(e+f)﹣n(k﹣b)﹣b＝0．将e+f＝k+2．ef＝﹣b﹣3代入上式整理得：﹣k(﹣b﹣3)﹣b(k+2)﹣n(k﹣b)﹣b＝0．∴(k﹣b)(3﹣n)＝0．∵k≠b，∴3﹣n＝0．∴n＝3．∴点Q的横坐标为3．10．(2021•宁波模拟)如图，在平面直角坐标系中二次函数y＝ax2+bx+3的图象过点A，B两点，其坐标分别为(﹣5，0)，(﹣2，3)．(1)求二次函数的表达式；(2)点C在抛物线上，若∠ABC＝90°，求点C的坐标；(3)在(2)的条件下，BC与y轴交于点D，点P在抛物线上，若∠PBC＝∠OAD，直接写出点P的坐标．【分析】(1)将A(﹣5，0)、B(﹣2，3)代入y＝ax2+bx+3，列方程组求a、b的值；(2)过点E作x轴的垂线，可知直线BC与坐标轴成45°角，根据这一特点求直线BC的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求点C的坐标；(3)当BP在BC下方时，以AD为直径作圆，可证明BP经过原点O，求PB的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求点P的坐标；当BP在BC上方时，作点O关于BC的对称点H，作射线BH交抛物线于点P，则∠PBC＝∠GBO＝∠OAD，求直线PB的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求出点P的坐标．【解答】解：(1)把A(﹣5，0)、B(﹣2，3)代入y＝ax2+bx+3，得，解得，∴二次函数的表达式为y＝x2x+3．(2)如图1，作BE⊥x轴于点E，设BC交x轴于点G，交y轴于点D，则∠AEB＝90°，E(﹣2，0)，∴AE＝﹣2﹣(﹣5)＝3＝BE，∴∠EBA＝∠EAB＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠EBC＝∠ODG＝∠EGB＝45°，∴GE＝BE＝3，OG＝OD＝1，∴G(1，0)，D(0，1)．设直线BC的解析式为y＝kx+1，则k+1＝0，解得k＝﹣1，∴y＝﹣x+1．由，得，，∴C(5，﹣4)．(3)如图2，以AD为直径作⊙K，连接KB、KO，作射线BO交抛物线于点P．∵∠ABD＝∠AOD＝90°，KA＝KD，∴KB＝KO＝AD，∴点B、点O都在⊙K上，∴∠PBC＝∠OAD．设直线PB的解析式为y＝mx，则﹣2m＝3，解得m＝，∴y＝x．由，得，，∴P(，)；如图3，作GH⊥x轴，使GH＝GO＝1，作射线BH交抛物线于点P，则∠AGH＝90°，H(1，1)．∵∠BGH＝∠BGO＝45°，GH＝GO，GB＝GB，∴△GBH≌△GBO(SAS)，∴∠PBC＝∠GBO＝∠OAD．设直线BP的解析式为y＝px+q，则，解得，∴y＝x+，由，解得，，∴P(，)．综上所述，点P的坐标为(，)或(，)．11．(2021•吉安县模拟)已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x＝2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中A(1，0)、C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在抛物线上运动(不与点A重合)．①当△PBC的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标；②当∠PCB＝∠BCA时，求直线CP的解析式．【分析】(1)由抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(1，0)、C(0，3)且对称轴为直线x＝2，列方程组求a、b、c的值；(2)①由△PBC与△ABC面积相等，可知点P到直线BC的距离等于点A到直线BC的距离，做点A关于直线BC的对称点A′，过点A和点A′分别作BC的平行线，与抛物线的交点就是所求的点P，求出直线AP、A′P的解析式并且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组即可求得点P的坐标；②由①可得△A′BC≌△ABC，作直线CA′交抛物线于点P，这时∠PCB＝∠BCA，由直线CP经过C、A′两个已知点可求直线CP的解析式．【解答】解：(1)由题意，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．(2)①如图1，作点A′B⊥AB，使A′B＝AB，连结AA′交BC于点D．∵点B与点A(1，0)关于抛物线的对称轴直线x＝2对称，∴B(3，0)，∴A′B＝AB＝3﹣1＝2，∴A′(3，2)．过点A、点A′分别作BC的平行线交抛物线于点P1、P2、P3，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠ABD＝∠A′BD＝45°，∴BC⊥AA′，且A′D＝AD，∴△P1BC、△P2BC、△P3BC的面积都等于△ABC的面积．设直线BC的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴y＝﹣x+3；设直线AP1的解析式为y＝﹣x+d，则﹣1+d＝0，解得d＝1，∴y＝﹣x+1；设直线P2P3的解析式为y＝﹣x+m，则﹣3+m＝2，解得m＝5，∴y＝﹣x+5．由，得，，∴P1(2，﹣1)；由，得，，∴P2(，)，P3(，)．综上所述，点P的坐标为)(2，﹣1)或(，)或(，)．②由①，得A′(3，2)，作直线CA′交抛物线于点P．∵A′B＝AB，∠A′BC＝∠ABC＝45°，BC＝BC，∴△A′BC≌△ABC(SAS)，∴∠PCB＝∠BCA．设直线CP的解析式为y＝nx+3，则3n+3＝2，解得n＝，∴直线CP的解析式为y＝x+3．12．(2021•江西模拟)如图，抛物线y＝ax2+k(a＞