专题09 存在性-直角三角形（含答案）-2024年中考数学压轴满分突破之二次函数篇

2024中考数学压轴题--二次函数--存在性问题第9节直角三角形的存在性方法点拨一、勾股定理及其逆定理若▲ABC为直角三角形，那么：。(2)若，那么：▲ABC为直角三角形。二、直线与斜率的关系在平面直角坐标系中，若两直线垂直，()相似三角形相似，对应边成比例；▲ADB∽▲BEC，例题演练1．在平面直角坐标系中，直线x＝﹣2与x轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于x轴上方一点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点B(1，0)，且AC＝2BC．(Ⅰ)求抛物线的解析式；(Ⅱ)点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直于x轴于点D，交线段AB于点E，使DE＝3PE；①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为以AB为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx+n(k≠0)经过B，C两点，已知A(1，0)，C(0，3)，且BC＝5．(1)试求出点B的坐标．(2)分别求出直线BC和抛物线的解析式．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知抛物线L经过点A(﹣1，0)和B(3，0)与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)平移抛物线L，使平移后的抛物线经过点B，与x轴的另一个交点为Q，与y轴交于点P，同时满足△BPQ是直角三角形，请你写出平移过程并说明理由．4．抛物线C：y＝ax2+bx+c(a≠0)，过点A(﹣1，0)、B(5，0)，并交y轴于点C(0，﹣)．(1)求抛物线C的表达式；(2)已知抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点Q(2，﹣)的距离与到直线y＝﹣的距离相等，若点M为抛物线C上的一动点，P(3，4)为平面内一点，求MP+MQ的最小值，并求出此时点M的坐标．(3)在此抛物线对称轴上是否存在一点D，使以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)，点P为直线BC下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式；(2)当△PBC的面积最大时，求点P的坐标，并求这个最大面积；(3)试探究：是否存在点P，使△PBC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．6．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点坐标为(﹣1，)，交y轴于点A(0，3)，交直线l：x＝﹣2于点B，点C(0，2)在y轴上，连接BC并延长，交抛物线于点D．(1)求抛物线解析式；(2)如图①，E为直线l上位于点B下方一动点，连DE、BD、AD，若S△BDE＝4S△ABD，求E点坐标；(3)如图②，在(2)的条件下，P为射线EB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，若△APQ为直角三角形，请求出P点坐标．7．如图，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动(运动到点O停止)，运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．(1)求点A，点B的坐标．(2)用含t的代数式分别表示EF和AF的长．(3)是否存在t的值，使△AGF是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线与x轴交于点A、B(A在B的右侧)，与y轴交于点C，连接AC、BC，过点A作BC的平行线交抛物线于点D．(1)如图1，若点P为直线BC下方抛物线上任意一点，直线AD上有一动点E，当△BCP面积最大时，求PE﹣AE的最小值；(2)如图2，将△BOC绕点O顺时针旋转得到△B'OC'，点B，C的对应点分别是B'，C'，且C'恰好落在∠BCO的平分线上(C'与C不重合)，点M是抛物线对称轴上的一个动点，则△B'OM能否为直角三角形？若能，请直接写出点M的坐标，若不能，请说明理由．9．如图，已知抛物线与x轴交于A(﹣3，0)、B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，对称轴l与x轴交于点D，点E在y轴上，且OE＝OB．P是该抛物线上的动点，连接PA、PE，PD与AE交于点F．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)设点P的横坐标为t(﹣3＜t＜0)①求△PAE的面积的最大值；②在对称轴l上找一点M，使四边形PAME是平行四边形，求点M的坐标；③抛物线上存在点P，使得△PEF是以EF为直角边的直角三角形，求点P的坐标，并判断此时△PAE的形状．10．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4(a≠0)经过点A(﹣1，0)，B(3，0)和点C．(1)求抛物线的解析式；(2)作直线BC，点G是线段BC上一个动点，过点G作y轴的平行线交x轴于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点D，若设△BEG的周长为C1，△GDF的周长为C2，C＝C1+C2，点G的横坐标为m(0＜m＜3)，请用含m的代数式表示C，并计算当m取何值时，C取得最大值；(3)点P是抛物线对称轴上的一点，若以点P，C，B为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点P的坐标．11．已知抛物线y＝ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)和点B，与直线y＝﹣x+3交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式及点M的坐标；(2)直线ME与BC交于点N，点P为直线BC上方抛物线上一点，在直线BC上是否存在一点Q，使得以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；(3)点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，A'F，当△FA'C是直角三角形时，直接写出点F的坐标．中考数学压轴题--二次函数--存在性问题第9节直角三角形的存在性方法点拨一、勾股定理及其逆定理若▲ABC为直角三角形，那么：。(2)若，那么：▲ABC为直角三角形。二、直线与斜率的关系在平面直角坐标系中，若两直线垂直，()相似三角形相似，对应边成比例；▲ADB∽▲BEC，例题演练1．在平面直角坐标系中，直线x＝﹣2与x轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于x轴上方一点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点B(1，0)，且AC＝2BC．(Ⅰ)求抛物线的解析式；(Ⅱ)点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直于x轴于点D，交线段AB于点E，使DE＝3PE；①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为以AB为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：(Ⅰ)∵直线x＝﹣2与x轴交于点C，∴C(﹣2，0)．∵B(1，0)，∴BC＝3，∵AC＝2BC，∴AC＝6，∵直线x＝﹣2与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于点A，∴A(﹣2，6)，把点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4；(Ⅱ)①∵点P是直线AB上方抛物线上的一点，∴设点P的坐标为(a，﹣a2﹣3a+4)，设直线AB的解析式为y＝kx+b(k≠0)，把点A、B的坐标代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+2．∵PD⊥x轴于点D，交AB于点E，∴点E的坐标为(a，﹣2a+2)，∴DE＝﹣2a+2，PE＝﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)＝﹣a2﹣a+2，∵DE＝3PE，∴﹣2a+2＝3(﹣a2﹣a+2)，解得：a1＝1(舍去)，a2＝﹣，∴当x＝﹣时，y＝﹣﹣3×(﹣)+4＝，∴点P的坐标为(﹣，)；②∵点M在直线PD上，∴设点M的坐标为(﹣，m)，∵A(﹣2，6)，B(1，0)，∴AB＝＝，AM＝，BM＝，∵△ABM为以AB为直角边的直角三角形，当AB为斜边时，AB2+AM2＝BM2，即45++(6﹣m)2＝+m2，解得：m＝，∴点M的坐标为(﹣，)；当AM为斜边时，AB2+BM2＝AM2，即45++m2＝+(6﹣m)2，解得：m＝﹣，∴点M的坐标为(﹣，﹣)．综上所述，符合题意的点M的坐标为(﹣，)或(﹣，﹣)．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx+n(k≠0)经过B，C两点，已知A(1，0)，C(0，3)，且BC＝5．(1)试求出点B的坐标．(2)分别求出直线BC和抛物线的解析式．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1)∵点C(0，3)，即OC＝3．∵BC＝5，在Rt△BOC中，根据勾股定理得OB＝，即点B坐标为(4，0)．(2)把B(4，0)、C(0，3)分别代入y＝kx+n中，得，解得．∴直线BC解析式为；把A(1，0)、B(4，0)、C(0，3)分别代入y＝ax2+bx+c得，解得．∴抛物线的解析式是．(3)在抛物线的对称轴上存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：∵抛物线的解析式是，∴抛物线对称轴为直线x＝．设点P坐标为()．①当∠PCB＝90°时，有BP2＝BC2+PC2．∵，，BC2＝25．即＝+25，解得：m＝．故点P1()；②当∠PBC＝90°时，有PC2＝PB2+BC2．∵，，BC2＝25．即＝+25，解得：m＝﹣2．故点P2()；③当∠BPC＝90°时，有BC2＝BP2+PC2．即25＝+．解得：m1＝，m2＝．∴P3(，)，P4(，)．综上所述，使得△BCP为直角三角形的点P的坐标为()或()或(，)或(，)．3．已知抛物线L经过点A(﹣1，0)和B(3，0)与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)平移抛物线L，使平移后的抛物线经过点B，与x轴的另一个交点为Q，与y轴交于点P，同时满足△BPQ是直角三角形，请你写出平移过程并说明理由．【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入y＝ax2+bx+c，得．解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．(2)设平移后的抛物线为K：y＝﹣x2+mx+n，∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点B(3，0)，∴﹣9+3m+n＝0，∴n＝9﹣3m，∴y＝﹣x2+mx+9﹣3m，∴P(0，9﹣3m)；当y＝0时，由﹣x2+mx+9﹣3m＝0，得x＝，∴x1＝3，x2＝m﹣3．如图1，当m﹣3≥0，即m≥3时，△BPQ不能是直角三角形；如图2，当m﹣3＜0，即m＜3时，存在△BPQ是直角三角形，且只有∠BPQ＝90°一种情况.∵∠POQ＝∠BOP＝90°，∠QPO＝90°﹣∠BPO＝∠PBO，∴△POQ∽△BOP，∴，∴OP2＝OQ•OB，∴(9﹣3m)2＝3(3﹣m)，∴m1＝，m2＝3(不符合题意，舍去)，∴抛物线K：y＝﹣x2+x+1，∵抛物线L：y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，抛物线K：y＝﹣x2+x+1＝﹣(x﹣)2+，∴﹣1＝，﹣4＝﹣，∴抛物线L向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度．4．抛物线C：y＝ax2+bx+c(a≠0)，过点A(﹣1，0)、B(5，0)，并交y轴于点C(0，﹣)．(1)求抛物线C的表达式；(2)已知抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点Q(2，﹣)的距离与到直线y＝﹣的距离相等，若点M为抛物线C上的一动点，P(3，4)为平面内一点，求MP+MQ的最小值，并求出此时点M的坐标．(3)在此抛物线对称轴上是否存在一点D，使以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1)∵抛物线C：y＝ax2+bx+c(a≠0)，过点A(﹣1，0)、B(5，0)，并交y轴于点C(0，﹣)，∴，解得：，∴抛物线C的表达式为：y＝x2﹣x﹣；(2)如图1，作PH⊥直线y＝﹣于点H，作MH′⊥直线y＝﹣于点H′，∵抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点Q(2，﹣)的距离与到直线y＝﹣的距离相等，∴MQ＝MH′，∴MP+MQ＝MP+MH′，当P，M，H′三点在同一条直线上，MP+MH′最小，∴M与M′重合时，MP+MQ最小，∵P(3，4)，∴PH＝4﹣(﹣)＝，∴MP+MQ的最小值为；当x＝3时，y＝×32﹣3﹣＝﹣2，∴M(3，﹣2)；(3)∵y＝x2﹣x﹣＝y＝(x﹣2)2﹣；∴抛物线对称轴为x＝2，设点坐称为(2，m)，∵A(﹣1，0)，P(3，4)，D(2，m)，∴AP＝4，AD2＝9+m2，PD2＝1+(m﹣4)2，∵以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形，∴分三种情况讨论：∠DAP＝90°或∠ADP＝90°或∠APD＝90°①当∠DAP＝90°时，AP2+AD2＝PD2，∴(4)2+9+m2＝1+(m﹣4)2，解得：m＝﹣3，∴D1(2，﹣3)；②当∠ADP＝90°时，PD2+AD2＝AP2，∴1+(m﹣4)2+9+m2＝(4)2，解得：m1＝2+，m2＝2﹣，∴D2(2，2+)；D3(2，2﹣)；③当∠APD＝90°时，PD2+AP2＝AD2，∴1+(m﹣4)2+(4)2＝9+m2，解得：m＝5，∴D4(2，5)；综上所述，点D的坐标为(2，﹣3)或(2，2+)或(2，2﹣)或(2，5)．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)，点P为直线BC下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式；(2)当△PBC的面积最大时，求点P的坐标，并求这个最大面积；(3)试探究：是否存在点P，使△PBC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【解答】解：(1)将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3①；(2)过点P作y轴的平行线交BC于点H，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝x﹣3，设点P的坐标为(t，t2﹣2t﹣3)，则点H(t，t﹣3)，则△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝×PH×OB＝×3×(t﹣3﹣t2+2t+3)＝﹣(t﹣)2+≤，∴当t＝时，△PBC的面积最大值为，此时点P的坐标为(，﹣)；(3)∵点P为直线BC下方抛物线上一动点，故∠PBC≠90°，①当∠PCB为直角时，由直线BC的表达式知，直线BC和x轴负半轴的夹角为45°，∴当∠PCB为直角时，则直线PC与x轴的夹角为45°，故直线PC的表达式为y＝﹣x﹣3②，联立①②得：x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣3，解得x＝0(舍去)或1，即t＝1，②当∠BPC为直角时，如图2，过点P作y轴的垂线交y轴于点N，交过点B与y轴的平行线于点M，设点P的坐标为(t，t2﹣2t﹣3)，∵∠BPM+∠PBM＝90°，∠BPM+∠CPN＝90°，∴∠PBM＝∠CPN，∴tan∠PBM＝tan∠CPN，即，∴，解得t＝(不合题意的值已舍去)；综上，t的值为1或．6．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点坐标为(﹣1，)，交y轴于点A(0，3)，交直线l：x＝﹣2于点B，点C(0，2)在y轴上，连接BC并延长，交抛物线于点D．(1)求抛物线解析式；(2)如图①，E为直线l上位于点B下方一动点，连DE、BD、AD，若S△BDE＝4S△ABD，求E点坐标；(3)如图②，在(2)的条件下，P为射线EB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，若△APQ为直角三角形，请求出P点坐标．【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x+1)2+，将A(0，3)代入y＝a(x+1)2+，得a+＝3，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝(x+1)2+，即y＝x2x+3．(2)当x＝﹣2时，y＝×4+3+3＝3，∴B(﹣2，3)．由C(0，2)，设直线BC的解析式为y＝kx+2，则﹣2k+2＝3，解得k＝，∴y＝x+2，由，得，，∴D(，)；∵AB∥x轴，且AB＝2，∴S△ABD＝×2×(3﹣)＝，∴S△BDE＝4S△ABD＝4×＝；设E(﹣2，m)，∵BE∥y轴，∴S△BDE＝×(+2)(3﹣m)，∴×(+2)(3﹣m)＝，解得m＝﹣1，∴E(﹣2，﹣1)．(3)设直线DE的解析式为y＝px+q，则，解得，∴y＝x+1．如图2，设DE交x轴于点F，交y轴于点H，直线x＝﹣2交x轴于点M，则F(﹣1，0)，H(0，1)，M(﹣2，0)，在BM上取点G(﹣2，1)，连接FG、AG、BH，∵OF＝OH＝1，∠FOH＝90°，∴∠OFH＝∠OHF＝45°，∴∠MFE＝∠MEF＝45°，∠EPQ＝45°，∵MF＝MG＝1，AB＝AH＝BG＝2，∴△ABG、△BAH、△FMG、△FOH、△PEQ都是等腰直角三角形，∵∠HBE＝∠HEB＝45°，∴∠BHE＝90°；∵∠GFM＝∠HFO＝45°，∴∠GFH＝90°，∴PQ∥GF∥BH．∵∠AGB＝∠MGF＝45°，∴∠AGF＝90°，当PQ与GF重合时，则∠APQ＝∠AGF＝90°，此时P(﹣2，1)；当PQ与BH重合时，则∠PAQ＝∠BAH＝90°，此时P(﹣2，3)；如图3，∠PAQ＝90°，作QT⊥PE于点T，QR⊥BA交BA的延长线于点R，设P(﹣2，n)，则PB＝n﹣3，PE＝n+1，∴ET＝PT＝QT＝(n+1)，AR＝(n+1)﹣2，QR＝(n+1)﹣4，∵∠PBA＝∠ARQ＝90°，∠BPA＝90°﹣∠PAB＝∠RAQ，∴△ABP∽△QRA，∴，∴，解得n＝9，∴P(﹣2，9)．综上所述，点P的坐标为(﹣2，1)或(﹣2，3)或(﹣2，9)．7．如图，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动(运动到点O停止)，运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．(1)求点A，点B的坐标．(2)用含t的代数式分别表示EF和AF的长．(3)是否存在t的值，使△AGF是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1)在直线y＝﹣x+2中，令y＝0，得：﹣x+2＝0，解得：x＝2，令x＝0，得：y＝2，∴A(2，0)，B(0，2)；(2)由(1)可知OA＝2，OB＝2，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∵运动时间为t秒，∴BE＝t，∵EF∥x轴，∴在Rt△BEF中，EF＝BE•tan∠ABO＝BE＝t，BF＝2EF＝2t，在Rt△ABO中，OA＝2，OB＝2，∴AB＝4，∴AF＝AB﹣BF＝4﹣2t；(3)存在．∵EG∥x轴，∴∠GFA＝∠BAO＝60°，∵G点不能在抛物线的对称轴上，∴∠FGA≠90°，∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG＝90°，又∠FGA＝30°，∴FG＝2AF，∵EF＝t，EG＝4，∴FG＝4﹣t，且AF＝4﹣2t，∴4﹣t＝2(4﹣2t)，解得：t＝，即当t的值为秒时，△AGF为直角三角形，此时OE＝OB﹣BE＝2﹣t＝2﹣×＝，∴E点坐标为(0，)，∵抛物线的顶点为A，∴可设抛物线解析式为y＝a(x﹣2)2，把E点坐标代入可得：＝4a，解得：a＝，∴抛物线解析式为y＝(x﹣2)2，即y＝x2﹣x+．8．已知抛物线与x轴交于点A、B(A在B的右侧)，与y轴交于点C，连接AC、BC，过点A作BC的平行线交抛物线于点D．(1)如图1，若点P为直线BC下方抛物线上任意一点，直线AD上有一动点E，当△BCP面积最大时，求PE﹣AE的最小值；(2)如图2，将△BOC绕点O顺时针旋转得到△B'OC'，点B，C的对应点分别是B'，C'，且C'恰好落在∠BCO的平分线上(C'与C不重合)，点M是抛物线对称轴上的一个动点，则△B'OM能否为直角三角形？若能，请直接写出点M的坐标，若不能，请说明理由．【解答】解：(1)对于，令＝0，解得x＝1或﹣3，令x＝0，则y＝﹣，故点A、B、C的坐标分别为(1，0)、(﹣3，0)、(0，﹣)，过点P作PH∥y轴交x轴于点H，交AD于点E，则点E为所求点，理由：由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为y＝﹣x﹣，则tan∠OBC＝，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°，由AD∥BC知，∠DAB＝∠OBC＝30°，∴EH＝AE，则PE﹣AE＝PE﹣EN＝PN＝﹣yP为最小，由△BCP面积＝S△PHB+S△PHC＝PH×OB，故△BCP面积最大，即PH的长度最大即可．设点P的坐标为(x，x2+x﹣)，则点H的坐标为(x，﹣x﹣)，则PH＝(﹣x﹣)﹣(x2+x﹣)＝﹣(x2+3x)，∵＜0，故PH有最大值，当x＝﹣时，PH取得最大值，此时点P的坐标为(﹣，﹣)，∴PE﹣AE的最小值为﹣yP＝；(2)连接CC′，∵C'恰好落在∠BCO的平分线上，∠OCB＝60°，OC＝OC′，则∠OC′C＝∠OC′C＝30°，则∠C′OC＝120°，即△BCO顺时针旋了120°，则∠BOB′＝120°，∠B′OA＝60°，过点B′分别作x、y轴的垂线，垂足分别为M、N，则OM＝OB′cos60°＝OBcos60°＝，MB＝，故点B′的坐标为(，)，由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝﹣1，故设点M的坐标为(﹣1，m)，由点O、M、B′的坐标知，B′M2＝(+1)2+(m﹣)2，同理可得：OM2＝m2+1，OB′2＝9，当BM是斜边时，则m2+1+9＝(+1)2+(m﹣)2，解得m＝；当OM是斜边时，则m2+1＝9+(+1)2+(m﹣)2，解得m＝；当OB′是斜边时，则(+1)2+(m﹣)2+m2+1＝9，方程无解，故点M的坐标为(﹣1，)或(﹣1，)．9．如图，已知抛物线与x轴交于A(﹣3，0)、B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，对称轴l与x轴交于点D，点E在y轴上，且OE＝OB．P是该抛物线上的动点，连接PA、PE，PD与AE交于点F．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)设点P的横坐标为t(﹣3＜t＜0)①求△PAE的面积的最大值；②在对称轴l上找一点M，使四边形PAME是平行四边形，求点M的坐标；③抛物线上存在点P，使得△PEF是以EF为直角边的直角三角形，求点P的坐标，并判断此时△PAE的形状．【解答】解：(1)∵抛物线与x轴交于A(﹣3，0)、B(1，0)两点，∴设所求抛物线的函数表达式为y＝a(x+3)(x﹣1)，把点C(0，3)代入，得：3＝a(x+3)(x﹣1)，解得：a＝﹣1，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣(x+3)(x﹣1)，即：y＝﹣x2﹣2x+3；(2)①【解法一】如图1，过点P作PH⊥x轴于点H，交AE于点I，∵OE＝OB，∴E(0，1)，设直线AE的函数表达式为y＝kx+b，将A(﹣3，0)，E(0，1)分别代入，得：，解得：，∴直线AE的表达式为，由题意，点P的坐标为(t，﹣t2﹣2t+3)，则点I的坐标为，∴，∴．∵，且﹣3＜t＜0，∴当时，△PAE的面积最大值为．【解法二】如图1，连接PO，由题意，点P的坐标为(t，﹣t2﹣2t+3)，∴S△PAE＝S△PAO+S△PEO﹣S△AOE＝AO•|yP|+EO•|xP|﹣AO•EO＝(﹣t2﹣2t+3)+(﹣t)﹣＝﹣t2﹣t+3＝﹣(t+)2+，∵a＝﹣＜0，且﹣3＜t＜0，∴当时，△PAE的面积最大值为．②∵点M在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴x＝﹣1上，∴设点M的坐标为(﹣1，m)，由题意，点P的坐标为(t，﹣t2﹣2t+3)，∵四边形PAME是平行四边形，AE、PM为对角线，∴xP+xM＝xA+xE，即t﹣1＝﹣3+0，解得：t＝﹣2，∴点P的坐标为(﹣2，3)，∴yP+yM＝yA+yE，得3+m＝0+1，∴m＝﹣2．∴点M的坐标为(﹣1，﹣2)．③△PEF是以EF为直角边的直角三角形分两种情况：(Ⅰ)若∠PEF＝90°，如图2，过点P作PG⊥y轴于点G，∴∠PGE＝∠AOE＝90°，∵∠PEG+∠AEO＝90°，∠AEO+∠EAO＝90°，∴∠PEG＝∠EAO，∴△EPG∽△AEO，∴，即，整理得t2﹣t﹣2＝0，解得t1＝﹣1，t2＝2(舍去)，∴点P的坐标为(﹣1，4)，∴PG＝OE＝1，∴＝＝1，∴PE＝AE，∴△PAE是等腰直角三角形．(Ⅱ)若∠PFE＝90°，如图3，过点P作PH⊥x轴于点H，∴∠PHD＝∠AOE＝90°，∴∠DPH+∠PDH＝90°，∵∠AFD＝∠PFE＝90°，∴∠PDH+∠EAO＝90°，∴∠DPH＝∠EAO，∴△PHD∽△AOE，∴，即，整理得t2﹣t﹣6＝0，解得t1＝﹣2，t2＝3(舍去)，∴点P的坐标为(﹣2，3)，∴H(﹣2，0)，∴PH＝3，AH＝OA﹣OH＝3﹣2＝1，∴PH＝OA，AH＝OE，∠PHA＝∠AOE＝90°，∴△PHA≌△AOE(SAS)，∴△PAE是等腰三角形．综上所述，P的坐标为(﹣1，4)，△PAE是等腰直角三角形；或P的坐标为(﹣2，3)，△PAE是等腰三角形．10．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4(a≠0)经过点A(﹣1，0)，B(3，0)和点C．(1)求抛物线的解析式；(2)作直线BC，点G是线段BC上一个动点，过点G作y轴的平行线交x轴于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点D，若设△BEG的周长为C1，△GDF的周长为C2，C＝C1+C2，点G的横坐标为m(0＜m＜3)，请用含m的代数式表示C，并计算当m取何值时，C取得最大值；(3)点P是抛物线对称轴上的一点，若以点P，C，B为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点P的坐标．【解答】解：(1)将点A(﹣1，0)，B(3，0)分别代入抛物线的关系式中得，解得，∴抛物线的关系式为；(2)由题意得，点C(0，﹣4)，则BC＝5，∴△OBC的周长为3+4+5＝12，由点B、C的坐标得，直线BC的关系式为．∵GE∥y轴，∴△BEG∽△BOC，∴．∵FD⊥BC，∠DGF＝∠OCB，∴△FDG～△BOC，∴．∵点G的横坐标为m(0＜m＜3)，∴，，∴，，∴C1＝12﹣4m，，即．当时，C取得最大值；(3)由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1，①当∠BPC为直角时，过点P作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点M，交y轴于点N，设点P的坐标为(1，m)，则MB＝m，PM＝3﹣1＝2，NP＝1，CN＝m+4，∵∠MPB+∠NPC＝90°，∠NPC+∠PCN＝90°，∴∠MPB＝∠PCN，∴tan∠MPB＝tan∠PCN，则，∴，解得m＝﹣2±，故点P的坐标为或；②∠BCP为直角时，∵直线BC的表达式为y＝x﹣4，∵PC⊥BC，故设直线PC的表达式为y＝﹣x+t，将点C的坐标代入上式并解得y＝﹣4，故直线PC的表达式为y＝﹣x﹣4，当x＝1时，y＝﹣x﹣4＝﹣，故点P的坐标为(1，﹣)；③当∠CBP为直角时，同理可得，直线PB的表达式为y＝﹣(x﹣3)，当x＝1时，y＝﹣(x﹣3)＝，则点P的坐标为(1，)；综上，点P的坐标为，，或．11．已知抛物线y＝ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)和点B，与直线y＝﹣x+3交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式及点M的坐标；(2)直线ME与BC交于点N，点P为直线BC上方抛物线上一点，在直线BC上是否存在一点Q，使得以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；(3)点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，A'F，当△FA'C是直角三角形时，直接写出点F的坐标．【解答】解：(1)∵直线y＝﹣x+3过点B和点C，∴B(3，0)、C(0，3)，OB＝OC＝3，把A(1，0)、B(3，0)代入y＝ax2+2x+c，得，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点M的坐标为(1，4)．(2)对于直线y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，∴N(1，2)．设P(m，﹣m2+2m+3)．若MN是平行四边形的一边，如图1，则PQ∥MN且MN＝PQ＝2，Q(m，﹣m+3)，∴﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)＝2，解得：m1＝2，m2＝1(不符合题意，舍去)，∴Q(2，1)若MN是平行四边形的对角线，如图2，∵线段MN的中点为坐标为(1，3)，且点Q与点P关于点(1，3)成中心对称，∴Q(2﹣m，m2﹣2m+3)，∵点Q在直线y＝﹣x+3上，∴m2﹣2m+3＝﹣(2﹣m)+3，解得m1＝0，m2＝2(不符合题意，舍去)，∴Q(0，3)．综上所述，点Q的坐标为(2，1)或(0，3)．(3)如图3，∠A'FC＝90°，作FG⊥x轴于点G，则FG＝A'G，设F(m，﹣m+3)，则﹣m+3＝m﹣1，解得m＝2，∴F(2，1)；如图4，∠CA'F＝90°，作FG⊥x轴于点G，则∠FA'G＝90°﹣∠OAC＝∠A'CO，∴＝＝tan＝∠A'CO＝，∴FG＝A'G，∴﹣m+3＝(m﹣1)，解得m＝，∴F(，)．综上所述，点F的坐标为(2，1)或(，)．故答案为：(2，1)，(，)．中考数学压轴题--二次函数--存在性问题第10节等边三角形的存在性中考数学压轴题--二次函数--存在性问题第10节等边三角形的存在性方法点拨一、两定一动A、确定点的位置B、求解过程二、两动一定三、方法总结例题演练题组1：两定一动1．如图，已知抛物线C1与x轴交于A(4，0)，B(﹣1，0)两点，与y轴交于点C(0，2)．将抛物线C1向右平移m(m＞0)个单位得到抛物线C2，C2与x轴交于D，E两点(点D在点E的左侧)，与抛物线C1在第一象限交于点M．(1)求抛物线C1的解析式，并求出其对称轴；(2)①当m＝1时，直接写出抛物线C2的解析式；②直接写出用含m的代数式表示点M的坐标．(3)连接DM，AM．在抛物线C1平移的过程中，是否存在△ADM是等边三角形的情况？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1)设抛物线C1的解析式为y＝ax2+bx+c(a≠0)，则，解得，抛物线C1的解析式为，对称轴是直线；(2)①∵抛物线C1的解析式为，即y＝﹣+，∴当m＝1时，由抛物线的平移规律可得抛物线C2解析式为：y＝﹣+＝；即抛物线C2解析式为y＝；②由抛物线的平移规律可得：抛物线C1向右平移m(m＞0)个单位得到抛物线C2的解析式为：y＝﹣+，其对称轴为：x＝，∴交点M的横坐标为：+＝，将其代入抛物线C1的解析式可得：y＝，∴点M的坐标为；(3)存在m值使△ADM是等边三角形，理由如下：过点M作MN⊥AD于点N，∵，∴，，若△ADM是等边三角形，则∠DMN＝30°，∴，即，解得m＝4﹣5或m＝5(不合题意，舍去)，∴当时，△ADM是等边三角形．2．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点(2，1)在二次函数的图象上，过点F(0，1)作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．(1)求二次函数的表达式；(2)P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；(3)在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．【解答】解：(1)∵二次函数的图象顶点在原点，故设二次函数表达式为：y＝ax2，将(2，1)代入上式并解得：a＝，故二次函数表达式为：y＝x2；(2)将y＝1代入y＝x2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为(﹣2，1)、(2，1)，则MN＝4，∵△PMN是等边三角形，∴点P在y轴上且PM＝4，∴PF＝2；∵点F(0，1)，∴点P的坐标为(0，1+2)或(0，1﹣2)；(3)假设二次函数的图象上存在一点E满足条件，设点Q是FN的中点，则点Q(1，1)，故点E在FN的中垂线上．∴点E是FN的中垂线与y＝x2图象的交点，∴y＝×12＝，则点E(1，)，EN＝＝，同理EF＝＝，点E到直线y＝﹣1的距离为|﹣(﹣1)|＝，故存在点E，使得以点E为圆心半径为的圆过点F，N且与直线y＝﹣1相切．3．如图，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为(2，0)，将抛物线C1向右平移m(m＞0)个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C．(1)求抛物线C1的解析式及顶点坐标；(2)以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式；(3)若抛物线C2的对称轴存在点P，使△PAC为等边三角形，求m的值．【解答】解：(1)∵抛物线C1经过原点，与X轴的另一个交点为(2，0)，∴，解得，∴抛物线C1的解析式为y＝x2﹣2x，∴抛物线C1的顶点坐标(1，﹣1)，(2)如图1，∵抛物线C1向右平移m(m＞0)个单位得到抛物线C2，∴C2的解析式为y＝(x﹣m﹣1)2﹣1，∴A(m，0)，B(m+2，0)，C(0，m2+2m)，过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，∵△ACD为等腰直角三角形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠CDH+∠ADE＝90°∴∠HCD＝∠ADE，∵∠DEA＝90°，∴△CHD≌△DEA，∴AE＝HD＝1，CH＝DE＝m+1，∴EH＝HD+DE＝1+m+1＝m+2，由OC＝EH得m2+2m＝m+2，解得m1＝1，m2＝﹣2(舍去)，∴抛物线C2的解析式为：y＝(x﹣2)2﹣1．(3)如图2，连接BC，BP，由抛物线对称性可知AP＝BP，∵△PAC为等边三角形，∴AP＝BP＝CP，∠APC＝60°，∴C，A，B三点在以点P为圆心，PA为半径的圆上，∴∠CBO＝∠CPA＝30°，∴BC＝2OC，∴由勾股定理得OB＝＝OC，∴(m2+2m)＝m+2，解得m1＝，m2＝﹣2(舍去)，∴m＝．4．如图，抛物线y＝ax2+x+c经过点A(﹣1，0)和点C(0，3)与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．【解答】解：(1)把点A(﹣1，0)和点C(0，3)代入y＝ax2+x+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3；(2)不存在，理由如下：①当点Q在y轴右边时，如图1所示：假设△QCO为等边三角形，过点Q作QH⊥OC于H，∵点C(0，3)，∴OC＝3，则OH＝OC＝，tan60°＝，∴QH＝OH•tan60°＝×＝，∴Q(，)，把x＝代入y＝﹣x2+x+3，得：y＝﹣≠，∴假设不成立，∴当点Q在y轴右边时，不存在△QCO为等边三角形；②当点Q在y轴的左边时，如图2所示：假设△QCO为等边三角形，过点Q作QT⊥OC于T，∵点C(0，3)，∴OC＝3，则OT＝OC＝，tan60°＝，∴QT＝OT•tan60°＝×＝，∴Q(﹣，)，把x＝﹣代入y＝﹣x2+x+3，得：y＝﹣﹣≠，∴假设不成立，∴当点Q在y轴左边时，不存在△QCO为等边三角形；综上所述，在抛物线上不存在一点Q，使得△QCO是等边三角形；(3)令﹣x2+x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴B(4，0)，设BC直线的解析式为：y＝kx+b，把B、C的坐标代入则，解得：，∴BC直线的解析式为：y＝﹣x+3，当M在线段BC上，⊙M与x轴相切时，如图3所示：延长PM交AB于点D，则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，设P(x，﹣x2+x+3)，M(x，﹣x+3)，则PD＝﹣x2+x+3，MD＝﹣x+3，∴(﹣x2+x+3)﹣(﹣x+3)＝﹣x+3，解得：x1＝1，x2＝4(不合题意舍去)，∴⊙M的半径为：MD＝﹣+3＝；当M在线段BC上，⊙M与y轴相切时，如图4所示：延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P(x，﹣x2+x+3)，M(x，﹣x+3)，则PD＝﹣x2+x+3，MD＝﹣x+3，∴(﹣x2+x+3)﹣(﹣x+3)＝x，解得：x1＝，x2＝0(不合题意舍去)，∴⊙M的半径为：EM＝；当M在BC延长线，⊙M与x轴相切时，如图5所示：点P与A重合，∴M的横坐标为﹣1，∴⊙M的半径为：M的纵坐标的值，即：﹣×(﹣1)+3＝；当M在CB延长线，⊙M与y轴相切时，如图6所示：延长PM交x轴于D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P(x，﹣x2+x+3)，M(x，﹣x+3)，则PD＝x2﹣x﹣3，MD＝x﹣3，∴(x2﹣x﹣3)﹣(x﹣3)＝x，解得：x1＝，x2＝0(不合题意舍去)，∴⊙M的半径为：EM＝；综上所述，⊙M的半径为或或或．题组2：两动一定5．如图，抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A(﹣2，5)，与x轴相交于B，C两点，点B在点C的左边．(1)求抛物线的函数表达式与B，C两点坐标；(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．【解答】解：(1)由题意得：y＝x2﹣2x+c过点A(﹣2，5)，∴c＝﹣3，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3，∵B、C是抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点，x2﹣2x﹣3＝0，∴B(﹣1，0)，C(3，0)；(2)∵抛物线与x轴交于B(﹣1，0)，C(3，0)，∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为(1，0)，BH＝2，由翻折得C′B＝CB＝4，在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H＝＝＝2，∴点C′的坐标为(1，2)，tan∠C′BH＝＝＝，∴∠C′BH＝60°，由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，在Rt△BHD中，DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°＝，∴点D的坐标为(1，)；(3)取(2)中的点C′、D，连接CC′，∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，△C′CB为等边三角形，分类讨论如下：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P，∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，∴∠BCQ＝∠C′CP，∴△BCQ≌C′CP(SAS)，∴BQ＝C′P，∵点Q在抛物线的对称轴上，∴BQ＝CQ，∴C′P＝CQ＝CP，又∵BC′＝BC，∴BP垂直平分CC′，∴点D在直线BP上，设直线BP的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BP的函数表达式为y＝x+；②当点P在x轴下方时，点Q在x轴下方，∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB﹣60°，∴∠BCP＝∠C′CQ，∴△BCP≌△C′CQ(SAS)，∴∠CBP＝∠CC′Q，∵BC′＝CC′，C′H⊥BC，∴∠CC′Q＝∠CC′B＝30°，∴∠CBP＝30°，设BP与x轴相交于点E，在Rt△BOE中，OE＝OB•tan∠CBP＝OB•tan30°＝1×＝．∴点E的坐标为(0，)．设直线BP的函数表达式为y＝mx+n，则，解得，∴直线BP的函数表达式为y＝﹣x﹣，综上所述，直线BP的函数表达式为y＝x+或y＝﹣x﹣．6．如图，抛物线的解析式为y＝﹣x+5，抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交于点C，抛物线对称轴与直线BC交于点D．(1)E点是线段BC上方抛物线上一点，过点E作直线EF平行于y轴，交BC于点F，若线段CD长度保持不变，沿直线BC移动得到C'D'，当线段EF最大时，求EC'+C'D'+D'B的最小值；(2)Q是抛物线上一动点，请问抛物线对称轴上是否存在一点P是△APQ为等边三角形，若存在，请直接写出三角形边长，若不存在请说明理由．【解答】解：(1)因为y＝﹣x2+x+5＝﹣(x﹣5)(x+)，∴A(﹣，0)，B(5，0)，C(0，5)，抛物线对称轴为x＝＝2，由B、C坐标可求得直线BC的解析式为y＝﹣x+5，令x＝2，则y＝﹣×2+5＝3，∴D(2，3)，∴CD＝C'D'＝4．设E(m，﹣m2+m+5)，则F(m，﹣m+5)，∴EF＝yE﹣yF＝﹣m2+m+5+m﹣5＝﹣m2+m＝﹣(m﹣)2+，∴当m＝时，EF取得最大值，此时E(，)．如图1，作平行四边形EC'D'E'，则EC'＝E'D'，E'(，)．作D'G⊥OB于G，E'H⊥OB于H．∵tan∠CBO＝＝＝，所以∠CBO＝30°，∴D'G＝D'B，∴EC'+C'D'+D'B＝C'D'+E'D'+D'G≥C'D'+E'H，当且仅当E'、D'、G三点共线时，EC'+C'D'+D'B取得最小值C'D'+E'H＝4+＝．(2)①如图2，△APQ是等边三角形，此时Q与B重合，∴等边三角形的边长为AQ＝AB＝6．②如图3，△APQ是等边三角形，此时Q与B重合，P在x轴下方．∴等边三角形的边长为AQ＝AB＝6．③如图4，△APQ是等边三角形，此时Q与C重合，P在x轴上方．∴等边三角形的边长为AQ＝AC＝2．④如图5，△APQ是等边三角形，此时Q在第三象限，P在x轴下方．∵PA＝PB＝PQ，所以A、Q、B三点在以P为圆心PA为半径为圆周上，∴∠ABQ＝∠APQ＝30°，∴直线BQ的解析式为y＝x﹣5，联立方程组，解得或(舍)，∴Q＝(﹣2，﹣7)，∴AQ＝2，即等边△APQ的边长为2√．综上所述，满足要求的等边三角形的边长可以是：6、2、2．7．综合与探究如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，直线l经过B、C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM，将线段MC绕点M顺时针旋转90°得到线段MD，连接CD、BD．设点M运动的时间为t(t＞0)，请解答下列问题：(1)求点A的坐标与直线l的表达式；(2)①请直接写出点D的坐标(用含t的式子表示)，并求点D落在直线l上时t的值；②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值．【解答】解：(1)当y＝0时，，解得x1＝1，x2＝﹣3，∵点A在点B的左侧，∴A(﹣3，0)，B(1，0)，当x＝0时，y＝，即C(0，)，设直线l的表达式为y＝kx+b，将B，C两点坐标代入得，，解得，，则直线l的表达式为y＝﹣x+；(2)①如图1，当点M在AO上运动时，过点D作DN⊥x轴于N，由题意可知，AM＝t，OM＝3﹣t，MC⊥MD，则∠DMN+∠CMO＝90°，∠CMO+∠MCO＝90°，∴∠MCO＝∠DMN，在△MCO与△DMN中，，∴△MCO≌△DMN(AAS)，∴MN＝OC＝，DN＝OM＝3﹣t，∴D(t﹣3+，t﹣3)；同理，如图2，当点M在OB上运动时，点D的坐标为：D(﹣3+t+，t﹣3)将D点坐标代入直线BC的解析式y＝﹣x+得，t﹣3＝﹣×(﹣3+t+)+，t＝6﹣2，即点D落在直线l上时，t＝6﹣2；②∵△COD是等腰直角三角形，∴CM＝MD，∴线段CM最小时，线段CD长度的最小，∵M在AB上运动，∴当CM⊥AB时，CM最短，CD最短，即CM＝CO＝，根据勾股定理得，CD的最小值为．题组3：三动点8．如图1，抛物线C1：y＝ax2﹣2ax+c(a＜0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为(﹣1，0)，点O为坐标原点，OC＝3OA，抛物线C1的顶点为G．(1)求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；(2)如图2，将抛物线C1向下平移k(k＞0)个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：(3)在(2)的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y＝﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．【解答】解：(1)∵点A的坐标为(﹣1，0)，∴OA＝1，∴OC＝3OA，∴点C的坐标为(0，3)，将A、C坐标代入y＝ax2﹣2ax+c，得：，解得：，∴抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，所以点G的坐标为(1，4)．(2)设抛物线C2的解析式为y＝﹣x2+2x+3﹣k，即y＝﹣(x﹣1)2+4﹣k，过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′＝m，∵△A′B′G′为等边三角形，∴G′D＝B′D＝m，则点B′的坐标为(m+1，0)，点G′的坐标为(1，m)，将点B′、G′的坐标代入y＝﹣(x﹣1)2+4﹣k，得：，解得：(舍)，，∴k＝1；(3)设M(x，0)，则P(x，﹣x2+2x+3)、Q(x，﹣x2+2x+2)，∴PQ＝OA＝1，∵∠AOQ、∠PQN均为钝角，∴△AOQ≌△PQN，如图2，延长PQ交直线y＝﹣1于点H，则∠QHN＝∠OMQ＝90°，又∵△AOQ≌△PQN，∴OQ＝QN，∠AOQ＝∠PQN，∴∠MOQ＝∠HQN，∴△OQM≌△QNH(AAS)，∴OM＝QH，即x＝﹣x2+2x+2，解得：x＝(负值舍去)，当x＝时，HN＝QM＝﹣x2+2x+2＝，点M(，0)，∴点N坐标为(+，﹣1)