高考数学一轮复习试题第3节 导数与函数的极值、最值

第3节导数与函数的极值、最值

考试要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件2会用

导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.

知识诊断•基础夯实

I知识梳理

1.函数的极值

（1）函数的极小值：

函数y=«r）在点x=a的函数值式。）比它在点无=。附近其他点的函数值都小,/5）

=0；而且在点x=a附近的左侧［右侧尸（幻＞0.则a叫做函数y=/（x）的极

小值点，7（。）叫做函数y=/U）的极小值.

（2）函数的极大值：

函数y=/W在点x=b的函数值/（3比它在点x=b附近其他点的函数值都大,/S）

=0；而且在点x=b附近的左侧片光）＞0,右侧片幻V0.则b叫做函数y=/（x）的极

大值点，,穴田叫做函数y=/（x）的极大值.

（3）极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.

2.函数的最大（小）值

（1）函数人冷在区间也，句上有最值的条件：

如果在区间3,句上函数y=/U）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大

值和最小值.

（2）求y=Hx）在区间出，句上的最大（小）值的步骤：

①求函数y=«r）在区间（a,Q上的极值;

②将函数y=«x）的各极值与端点处的函数值33比较，其中最大的一个是最

大值，最小的一个是最小值.

常用结论

1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，

不可想当然认为极值就是最值.

2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间

没有必然的大小关系.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打"J"或"X”）

（1）对于可导函数7U）,若/（x（））=0,则xo为极值点.（）

（2）函数的极大值不一定是最大值，最小值也不一定是极小值.（）

（3）函数/U）在区间（a,勿上不存在最值.（）

（4）函数次x）在区间以，句上一定存在最值.（）

答案（1）X（2）V（3）X（4）V

解析（1）反例：x犬）=必，/（JOMBX2,了（0）=0,但x=O不是兀好=/的极值点.（3）

反例：,*x）=f在区间（一1,2）上的最小值为0.

2.如图是式外的导函数/（x）的图象，则人幻的极小值点的个数为（）

答案A

解析由题意知在x=—1处/（—1）=0,且其两侧导数值符号为左负右正.

3r

3.（多选）（2022.青岛月考）已知.穴无）=晟，贝U段）（）

A.在（-8,+8）上单调递减

B.在（一8,1）上单调递增

C.有极大值|,无极小值

D.有极小值也无极大值

答案BC

3（1—x）

2

解析由题意知了（均=V-T一，当*<1时，，㈤>0,./U）递增，x>l时，/⑴

3

<0,兀¥）递减，/U）是函数的极大值，也是最大值函数无极小值.

4.（2021.新乡三模）某冷饮店的日销售额y（单位：元）与当天的最高气温M单位：℃,

204W40）的关系式为产相/一得力，则该冷饮店的日销售额的最大值约为

A.907元B.910元C.915元D.920元

答案C

解析•，•尸扁2—点\2CXW40,

尸罪一奈=-*(L38).

.•.当20WxW38时，>。0,即函数在［20,38］上单调递增，当38WxW40时，yWO,

19

即函数在［38,40］上单调递减，，当x=38时，函数取值最大值，38?

1*

一而义383弋915.

5.(易错题)函数.*%)=/一加+2》一1有极值，则实数a的取值范围是.

答案(-8,—y［6)U(y/6,+°°)

解析了。)=31-2利+2,由题意知/(x)有变号零点，.../MQay—4X3X2>(),

解得a>,或a<—y［6.

6.若函数兀x)=¥—4x+"?在［0,3］上的最大值为4,则"?=.

答案4

解析/(x)=f—4,%G［0,3］,当x£［0,2)时，/(x)<0,当xe(2,3］时，f(x)

>0,所以«x)在［0,2)上单调递减，在(2,3］上单调递增.又10)=机，次3)=—3+

加.在［0,3］上，.穴X)max=A0)=4,所以"2=4.

□考点突破,题型剖析

考点一利用导数求函数的极值

角度1根据函数图象判断极值

例1(多选)(2022.重庆检测)函数尸危)的导函数尸了⑴的图象如图所示，则()

A.-3是函数的极值点

B.-1是函数y=/U)的极小值点

C.y=/(x)在区间(一3,1)上单调递增

D.-2是函数y=/(x)的极大值点

答案AC

解析根据导函数的图象可知，当8,—3)时，/(x)<0,当xG(—3,—1)

时，/(x)>0,所以函数y=y(x)在(一8,—3)上单调递减，在(一3,—1)上单调递

增，可知一3是函数y=*x)的极值点，所以A正确.

因为函数y=/(x)在(一3,1)上单调递增，可知一1不是函数y=/(x)的极小值点，

-2也不是函数y=/(x)的极大值点，所以B错误，C正确，D错误.

感悟提升由图象判断函数y=/U)的极值，要抓住两点：(1)由y=/(x)的图象与x

轴的交点，可得函数y=/(x)的可能极值点；(2)由导函数y=/(x)的图象可以看出y

=/(x)的值的正负，从而可得函数y=/U)的单调性.两者结合可得极值点.

角度2求已知函数的极值

例2已知函数/(x)=lnx—ox(aGR).

⑴当a=T时，求危)的极值；

(2)讨论函数/(X)在定义域内极值点的个数.

11112~x

解⑴当时，«r)=ln九一/,函数的定义域为(0,+°°)Kf(x)=x~2=~^x~'

令/(x)=0,得x=2,

于是当X变化时，/(X),7U)的变化情况如下表.

X(0,2)2(2,+8)

/(X)+0—

於)In2-1

故«r)在定义域上的极大值为人幻强大值=/(2)=ln2-1,无极小值.

⑵由⑴知,函数yu)的定义域为(0,十8),

］一以

X,

当aWO时，/(x)>0在(0,+8)上恒成立，

则函数在(0,+8)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点;

当。>0时，若xG(0,5J,则/(x)>0,

若+8),则/(x)<0,

故函数在x=5处有极大值.

综上可知，当aWO时，函数兀X)无极值点，

当。＞0时，函数y=/(x)有一个极大值点，且为x=:

感悟提升运用导数求函数/U)极值的一般步骤：(1)确定函数«r)的定义域；(2)

求导数/(x);(3)解方程/(x)=0,求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验/(x)

在了。)=0的根xo左右两侧值的符号；(5)求出极值.

角度3由函数的极值求参数

例3设函数g(x)=lnx—〃a+:若gtr)存在两个极值点xi,%2,求实数利的取值

范围.

解,/g(x)=In

1mx—iw^—m

：.g\X)=--m-^=一p-

J77X2—x+机

-X2，

令以用二加r2一工+机，要使g(X)存在两个极值点尢1,X2,

则方程〃/一尤+团=。有两个不相等的正数根XI,X2.

V2m＞0,••♦饵0)=机＞°，

7?(0)＞0,

故只需满足12--M-hs即可，解得OVmV*1

始)V。

故〃2的取值范围为(0,

感悟提升1.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点

的导数为。和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.

2.导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.

训练1(1)设函数凡r)在R上可导，其导函数为了(x),且函数＞=(1

—x»(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()

A.函数"r)有极大值<2)和极小值负1)

B.函数加0有极大值八-2)和极小值41)

C.函数/U)有极大值12)和极小值八-2)

D.函数人x)有极大值式-2)和极小值.*2)

答案D

解析由题图可知，当了<一2时，/(x)>0；

当一2<x〈l时，/(x)<0；当l<x<2时，f(x)<0；

当x>2时，/(x)>0.

由此可以得到函数/U)在x=—2处取得极大值，

在x=2处取得极小值.

(2)设函数(4“U)X+4L6,若兀^)在％=—2处取得极大值，求a

的取值范围.

._e,ax2+(4a-2)x+4〃-6

解因为於)=----------最-----------，

所以了(幻=

(2ar+4〃-2)«'—[加+(4〃-2)x+4a—6]e'

e?”

(ar—2)(x+2)

若aWO,

2?2+2a

令/(x)=0，则x=4或x=—2,当彳>一2时，即--->0,...aX)或aV—1.

①若a<~\时，

2

(―0°,—2)-2

X”1:a芸+8；

+0—0+

於)极大值极小值

此时，_/U)在％=—2处取得极大值，符合题意.

2

②若”>0时，当xV—2或时，/(x)V0,

当一2Vx<1时，/(x)>0,

.•犹x)在x=2处取得极小值，不符合题意；

?

③若,<一2,即一1<。<0时，

2..

当xV,或x>—2时，/(x)>0,

当(VxV—2时，/(x)<0,

.•JU)在彳=一2处取得极小值，不符合题意；

2

④若£=—2,即。=-1时，1(x)20,Xx)无极值，不符合题意；

尸\乂।2(冗+2)..

⑤若a=0时，/(%)=---/---，当x<~2时，/(x)<0,

当X>—2时，/(x)>0,.../(x)在X=—2处取得极小值，不符合题意.

综上，a的取值范围为(一8,-1).

考点二利用导数求函数的最值

3—2x

例4(2021・北京卷)已知函数

(1)若a=0,求y=/(x)在(1,犬1))处的切线方程；

⑵若函数«r)在x=-l处取得极值，求«r)的单调区间，以及最大值和最小值.

3—2x

解(1)当4=0时，兀月=二^-，

X2-(-2)—(3-2x)-2x

贝I/(%)=---------彳-----------

2x一6

=—

当x=l时，XD=1,/⑴=一4,

故y=/(x)在(1,.穴1))处的切线方程为

y-1=-4(x—1),

整理得4x+y—5=0.

3—2x

(2)已知函数人幻="7，

(/+。)•(-2)—(3-2x)-2x

则/(*)=

(f+a)2

2(x2—3x—a)

(f+a)2

若函数/(x)在尤=—1处取得极值，

2(4—ci)

则八一1)=0,即(“+])2=0,解得。=4.

经检验，当a=4时，x=-1为函数应丫)的极大值，符合题意.

,3—2x4、2(x—4)(x+1)

此时犬只二不了，其定义域为R，/«=—m…3―,

令/(X)=O,解得Xl=-1,X2=4.

fix),/(X)随X的变化趋势如下表：

X(—8,—1)-1(T，4)4(4,+°0)

+0—0+

於)/极大值极小值/

故函数的单调递增区间为(一8,-1),(4,+8),单调递减区间为(一1,4).

极大值为人-1)=1,极小值为X4)=—/

33

又因为x<5时，Xx)>0；x>5时，危)<0,

所以函数/U)的最大值为人-1)=1,

最小值为14)=一

感悟提升1.利用导数求函数/U)在[a,切上的最值的一般步歌：

(1)求函数在他，刀内的极值.

(2)求函数在区间端点处的函数值式a),他).

(3)将函数«x)的各极值与贝。)，,穴〃)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个

为最小值.

2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单

调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到

函数的最值.

训练2已知函数八x)=ax+lnx,其中a为常数.

(1)当。=一1时,求式x)的最大值;

(2)若在区间(0,e］上的最大值为一3,求。的值.

解(1)易知/U)的定义域为(0,+°°),

当a=-1时，/(x)=-x+lnx,

/㈤=-1+*亍

令.(x)=0,得x=l.

当0V尤VI时，/(x)>0;

当x>l时，/(x)<0.

在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

••fix)mm1)=-1.

.,.当〃=—1时，函数兀X)在(0,+8)上的最大值为-1.

(2)/(x)=a+pxe(0,e],

-ePp+8).

xLe7

①若则/(x)20,从而«r)在(0,e]上单调递增，

，y(x)max=/(e)=ae+120,不符合题意.

②若“V—令/(x)>0得。+：>0,结合x40,e],解得OVxV一：；

CJiCl

令/(*)＜0得。+：＜0,结合x£(0,e］,解得一：＜xWe.

从而Xx)在(0,一号上单调递增，

在(一］,e］上单调递减,

即a=­e2.

1

9a=—e2为所求.

故实数a的值为一e2.

I分层训练•巩固提升

|A级基础巩固

1.已知函数/U）的定义域为（a,b）,导函数/（x）在（a,与上的图[

象如图所示，则函数/W在（a,份上的极大值点的个数为（）\八/\g

aO

A.lB.2C.3D.4

答案B

解析由函数极值的定义和导函数的图象可知，/a）在3,匕）上与无轴的交点个数

为4,但是在原点附近的导数值恒大于零，故x=0不是函数_/（x）的极值点.其余的

3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点

有2个.

2.已知a为函数,*%）=必一12^的极小值点，则a等于（）

A.-4B.-2C.4D.2

答案D

解析由题意得八x）=3f-12,由1（%）=0得*=±2,当xe（-oo,-2）时,〃x）＞0,

函数/W单调递增，当xe（—2,2）时，/（幻＜0,函数本）单调递减，当Xd（2,+

8）时，/（x）＞0,函数7U）单调递增，所以4=2.

3.函数三在[2,+8）上的最小值为（）

已3人

A飞B.e,C-7D2e

答案A

解析依题意/（x）=（/二）24一2x—3）

=（二）2d）（x+l）,故函数在区间（2,3）上单调递减，在区间（3,十8）上

单调递增，故函数在x=3处取得极小值也即是最小值，且最小值为贝3）=逑三=

e3

'6'

4.已知函数f(x)=x3+bx2+ex

()

.2「4

A-3B-3

答案C

解析由题中图象可知/U)的图象经过点(1,0)与(2,0),加，及是函数人犬)的极值

点，所以l+Z?+c=0,8+4/?+2c=0,解得b=—3,c=2,所以.穴刈=%3—31+

lx,所以/(x)=3f—6x+2,xi,X2是方程3%2—6x+2=0的两根，所以XI+X2=2,

XI•尤2=1,♦.X彳+送=(尤1+X2)2X1X2=4-2*§二§.

5.已知定义在R上的函数_/(>)满足式x+4)=-Ax),函数,/U+2)为偶函数，当x6(0,

91

2)时，,穴x)=一r+衬一6x+a.若x£(—2,0)时，儿r)的最大值为一］,则。=()

13

A.3B.2C，2D.—2

答案A

解析由函数/U+2)是偶函数，得/(x)关于直线x=2对称，即/U+4)=/(-x),

因为4x+4)=-A九)，所以犬一x)=—/U),故/U)为奇函数，因为7U)在(-2,0)

上的最大值为一4所以於)在(0,2)上的最小值是今当xG(0,2)时，/(无)=—3/

+9x-6,令/(x)=0,得x=l,故处0在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，

故x=l时，危)取极小值，即最小值，故於)min=*l)=a—1=；,故a=3.

Jp-Y---1

6.(多选)(2022•烟台模拟)已知函数_/(x)=:~~R—，则下列结论正确的是()

A.函数兀r)存在两个不同的零点

B.函数/U)既存在极大值又存在极小值

C.当一eVkWO时，方程/U)=女有且只有两个实根

D.若+8)时，凡r)max=',则r的最小值为2

答案ABC

解析由/(X)=O,得V+x—lnO,

:J故A正确；

x2—%—2（尤+1）（九一2）

当XG（—8,-1）U（2,+8）时，/Q）VO,

当xG（-l,2）时,/（x）>0,

...於）在（一8,-1）,（2,+8）上单调递减,在（一1,2）上单调递增,

，人-1）是函数的极小值，人2）是函数的极大值，故B正确；

又八一D=-e,心）=5，

且当x-*—8时，y（x）->+oo,%f+8时，y（x）-*O,

.,JU）的图象如图所示，

由图知C正确，D不正确.

7.若商品的年利润y（万元）与年产量x（百万件）的函数关系式为y=~xi+27x+

123（x>0）,则获得最大利润时的年产量为百万件.

答案3

解析y'=-3/+27=-3（x+3）（x-3）,当0<x<3时，歹>0；当x>3时，y<0.

故当x=3时，该商品的年利润最大.

8.（2022•安徽江南十校联考）己知尤=1是函数兀^二⑴+奴弁的一个极值点，则曲

线y=/U）在点（0,/。））处的切线斜率为.

3

答案-I

解析由

得/（x）=（/+or+2x+a）ev,

因为x=l是函数九行=^^+办拉，的一个极值点，

3

所以/（D=（3+2a）e=0,解得a=一

."./（X）=卜+$-1卜，

3

所以/(0)=-

3

所以曲线/U)在点(0,7(0))处的切线斜率为一3

9.(2021・新高考I卷)函数_Ax)T2x—l|-21nx的最小值为.

答案1

解析函数«r)=|2x—1|-21nx的定义域为(0,+°°).

①当时，./(x)=2x—1—21nx,

22(x—1)

所以/(x)=2—-•

当如<1时，/(x)<0,当尤>1时，/(x)>0,所以於)在&1)上单调递减，在(1,+

8)上单调递增，所以y(x)min=/U)=2—1—21n1=1；

②当OawT时，/U)=l—2x—21nx,显然«r)在(0,上单调递减，所以«x)min=

彳，=-21n^=21n2=ln4>lne=1.

综上，/(X)min=L

10.已知函数J(x)=e¥cosx~x.

(1)求曲线y=/(x)在点(0,10))处的切线方程；

7T

(2)求函数«r)在区间［。，可上的最大值和最小值.

解(1)Hfix)=e^cosx-x,

所以/(x)=e'(cos%—sinx)—1,/(0)=0.

又因为犬0)=1,

所以曲线y=/(x)在点(0,/0))处的切线方程为y=L

(2)设h(x)=ex(cos%—sinx)~1,

贝!］h'(x')=ex\cosx-sinx-sinx-cosx)=­Ze^sinx.

当x6(0,野时，"(x)<0,

所以g)在区间［o,引7T上单调递减，

所以对任意Xe(o，］有h(x)<h(O)=O,即/(x)<0,

所以函数;(x)在区间[o,自上单调递减.

因此於)在区间0,用上的最大值为式0)=1,最小值为器)=—去

11.设函数yu)=(x—a)(x—与(X—c),a,b,cGR,/(x)为«r)的导函数.

(1)若。=力=,，44)=8,求。的值；

(2)若aWZbb=c,且/U)和1(x)的零点均在集合｛—3,1,3｝中，求/U)的极小值.

解(1)因为a=b=c,

所以|尤)=(X—a)(x一勿(九一c)=(x—.

因为」4)=8,所以(4—a)3=8,解得a=2.

(2)因为b=c,所以/(x)=(x—a)(x—b)2=r—(a+2b)f+/?(2a+h)x—a〃，从而/(九)

(2a+b]

=3(x-Z?)-Lv-—-I.

令/U)=0,得x=b或尤=2"；"

令/(x)=。，得尤=a或x—b.

2。1b

因为a,b,崂」都在集合｛-3,1,3｝中，

且aWb,

2(z+i>

所以一—=1,a=3,h=­3.

此时，_/U)=(x—3)。+3)2,/(x)=3(x+3)(x-l).

令『(x)=0，得x=—3或x=L

当x变化时，/(“)变化如下表:

X(一8,-3)-3(一3，1)1(1,+°0)

了(无)+0一0+

於)极大值极小值

所以/U)的极小值为41)=(1—3)(1+3)2=—32.

|B级能力提升

12.(多选)(2022•青岛模拟)对于函数式幻=161n(1+x)—1Ox,下列说法正确的是

()

A.x=3是函数/(x)的一个极值点

B危)的单调递增区间是(一1,1),(2,+8)

C月x)在区间(1,2)上单调递减

D.直线y=161n3—16与函数«r)的图象有3个交点

答案ACD

162f—8x+6

解析由题意得了(1)=［4+2尢-10=---7V----，x>一1,令2f一8九+6=0,

得x=l或x=3,则7U)在(一1,1),(3,+8)上单调递增，在(1,3)上单调递减，

所以尤=3是函数7U)的一个极值点，故A、C正确，B错误<l)=161n(l+1)+12

-10=161n2-9,A3)=161n(l+3)+32-10X3=161n4-21,且y=161n3-16=

/2),根据犬犬)在(1,3)上单调递减得;(1)>/(2)>式3),又X—-1时，代。一一8,

xf+8时，/(%)—+°°,所以直线y=161n3—16与函数/U)的图象有3个交点，

故D正确.

13.已知函数/(x)=xlnx+m&\e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取

值范围是.

答案(-?°)

解析fix)=xlnx+a&'a〉。)，

/./(x)=lnx+1+nje*(x>0),

“kInx+1

令1(x)=0，仔一m=———,

、“Inx+1

设g(x)=：-，

--Inx-1

则g'M=-■_最一(A>0),

令〃(x)=g—Inx-1,

则h\x)=—^<0(x>0),

，/2(X)在(0,+8)上单调递减且力(1)=0,

...当XG(O,1］时，力。)20,即g，(x)20,g(x)在(0,1］上单调递增；

当xe(l,+8)时，/2(%)<0,即g，(x)V0,g(x)在(1,+8)上单调递减，

故g(X)max=g(l)=