第33讲 简单的三角恒等变换（学生版）-高一数学同步讲义

第11讲简单的三角恒等变换

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课程标准课标解读

1.会运用三角函数的正弦、余弦、正切

的和与差、二倍角公式进行三角函数通过本节课的学习，要求会运用三角函数的相关公式进

式的化简与求值.行简单的三角恒等变换，并能解决与三角函数有关的计

2.会运用相应的三角函数公式进行三角算、化简、证明等问题.

函数式的证明.

趣知识精讲

率'知识点

以上称之为半角公式，符号由3所在象限决定.

2

2.积化和差与和差化积公式(不要求记忆)

(1)和差化积公式:

a+Ba-B

sina+sin夕=2sin-------cos--------

22

a+/3.a-B

sina-sin"=2cos-------sin--------

22

cosa+cos〈=2cos"'cos。J；

ex+J3.cc-B

cosa-cospD=-2sin—^-sin-・

(2)和差化积公式：

sinacos尸=g［sin(a+夕)+sin(oj?)］；

cosasinfi=­［sin(«+^)-sin(a-^)］；

2

cosacosB=—|cos(a+S)+cos(a-/0］；

2

sinasinp=~—［cos(a+夕)-cos(a-份］.

2

3.辅助角公式

asinx+bcosx-yla2+b2sin(x+m),其中cos<p=l"一二,sinm=—j=^=.

其中。称为辅助角，它的终边所在象限由点(〃，h)决定.

4.三角函数式的化简与证明

(1)化简原则

①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的转化，再使用公式.

②二看“函数名”，看函数名之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦

③三看式子“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇

到根式一般要升幕”等.

(2)化简要求

①使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；

②式子中的分母尽量不含三角函数；

③尽量使被开方数不含三角函数等.

(3)化简方法

①异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化；

②"1”的代换，三角公式的正用、逆用.

(4)化简技巧

①角的代换：常用拆角、拼角技巧，例如，

2a=(a+£)+(a-6)；

a=(a+0)-[]=(a-Q+/?；

忏空丁_七==(a+2夕)-(a+夕)；

a-(a-y)+(y-^?)；

15*45。—30。；

—兀+(x=兀-----(，—兀a)、等­.

424

②公式变换

tana士tan£=tan(a邛)(1.tanatanfi)；

万itana+tmBtana-tan/?1

tanatanp=1----------------=---------------1；

tan(a+〃)tan(a-/7)

•32sinacosa2tancr

sin2a=---------------=------------；

sin-tz+cos~a1+tan-a

八cos2a-sin2a1-tan2a

cos2a=——--------------=-------------.

cos'a+sirra1+tan-a

③常值代换

l=sin2cr+cos2a；1=sin90°；1=tan45°；\/5=tan6O°等.

(即学即练1】tan70°+tan50。一小tan70°tan50°的值为()

A.A/3B.g

C.-D.一小

【即学即练2］已知Gsinx+cosx=2a-3,贝Ucz的取值范围是（）

A.-<a<-B.a<-

222

C.a>-D.—Wag—

22~~2

［即学即练3］函数y=cos2x-sin2x的一条对称轴为（）

兀

AA.X——B.x=-

48

C.x=--Dn.x——兀

84

【即学即练4】;-明°三=________.

1—^/3tan10°

【即学即练5】已知sin2a=L,则2cos2（a-巴）=.

44

【即学即练6】已知锐角质夕满足（tana-1）（tan6即=2,则a+6的值为.

【即学即练7】.已知sin2a='，则2cos2（a--）=.

44

IJI

【即学即练8］若sina+cosa=一，（一，兀）贝!jsina-cosa二

52

【即学即练9］已知sina+sin/=；,cosa+cos/?=；,则tan（a+在）的值为.

2cos2"-sin6-l

【即学即练10］已知tan月-2,则2

V2sin(6+：

【即学即练11】函数=V2cosxsin的最大值是)

A.2B.-1D.

【即学即练12】设。」94°-乌加4,6=2叫2/l-sin40,则”,反。大小关系正确的是（)

221+柩112V2

A.c<h<aB.a<b<cC.a<c<hD.b<c<a

u能力拓展

考法01

1.三角函数的化简

（1）化简三角函数式的要求：

①能求出值的应求出值；

②使三角函数的种类尽量少；

③使式子中的项数尽量少：

④尽量使分母不含三角函数；

⑤尽量使被开方数不含三角函数.

（2）化简三角函数式的技巧：

①变角：通过观察不同三角函数式所包含的角的差异，借助于“拆凑角”（如用特殊角表示一般角，用己

知角表示所求角等）、“消角’’（如异角化同角，复角化单角等）来减少角的个数，消除角与角之间的差

异.

②变名（即式子中不同函数之间的变换）：通过观察角的三角函数种类的差异，借助于“切化弦弦切互

化”等进行函数名称的变换.

③变式（即式子的结构形式的变换）：通过观察不同的三角:

函数结构形式的差异，借助于以下几种途径进行变换

(a)常值代换，如“1”的代换.

(b)变形公式，如tanatan夕='ana_四2_]

tan(。一/)

(c)升降累公式，^01+cosa=2cos2T；1-cosa=2sin2T；sin2«=--8s；cos2a=+cos^.sinacos

2222

1.c

a=—sin2a.

2

2cos2cr-l

【典例1］化简:

2tan(71-a)sin2(2+a)

44

(、sinll0°sin20°

【典例2】求值:(1)—--------------3——；

cos~155°-sin~155°

V3tanl20-3

sinl2°(4cos2120-2)

【典例3］己知sin（a+/=东，兀）.求：⑴cosa的值；（2）sin（2a—不）的值.

【典例4］（1）己知cosa=：,cos（a—4）=修，若0＜尸〈。芍，则夕=.

(2)若xe[0,7t],—sin^sin段=cos'cos如，则x的值是（）

33

人兀

A.—C.-

63

考法02

三角函数的证明

恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种.

（1）无条件的恒等式证明，常用综合法（由因导果）和分析法（执果索因），证明的形式有化繁为简,

左右归一，变更论证等无论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度

和函数关系，找出差异，寻找证明突破口；

（2）有条件的恒等式证明，常常先观察条件及欲证式中左右两边三角函数式的区别和联系，灵活地使

用条件变形得证.

a+0a-B

【典例5】求证:sina+siny?=2sin------cos.......-

22

【典例6】已知锐角。，用满足tan（a-Q=sin2在，求证：2tan2^=tana+tan/5.

考法03

辅助角公式的应用

利用辅助角公式将含有两种三角函数的函数式化成含有一种三角函数的形式:

asina+hcosa=\ja2+b2sin(0+9)(/甘其中士s.in^=—-b----，

这是研究三角函数性质的非常重要的思想方法，也是历年高考的热点内容.

【典例7】已知函数I己）=—cos（2x+-）+sin2x（049＜兀），求例）的值域.

26

【典例8】函数〃x）=sin2x+6sinxcosx+g,则下列结论正确的是（）

A.“X）的最大值为1

B.y=/（x）的图象关于点（卷,o1对称

c./（X）在上单调递增

D.y=〃x）的图象关于直线*=管对称

羔分层提分

题组A基础过关练

.(4万

sina----

TT15、

若tana=2tanm,则)

1.sinfa--

I5,

A.B.-3C.3D.5

4则sin(2aj

2.若cos[a+?()

5

7n24724

A.B.—C.D.

25252525

2COS3%+2COS2X-2COS2—

3.已知函数/*）=2,则函数f（x）的最小正周期是（）

2cos2-

2

71

A.~2B.冗C.2万D.44

4.设a、/3£(0,]),sina=^^,sin[=，

则a+Q的大小是()

33bD.3]或

A.—冗B.一71c.

44444

6.已知5m仁+“="则cosa+Gsina

的值为()

A.—B.gc.2D.-1

42

7.cos^-sin?的化简结果为()

22

a

A.cos—B.cosac.cos2aD.cos4a

2

8.函数"x)=cosrsin(x+?)的对称轴方程为

()

A.x=—k7r+—(kGZ)B.x=—k7r--(kwZ)

28<28V)

C.x=k^r+^kGZ)D.X=k7T-^{<kGZ)

9.函数/(x)=COSfy-x)COS(方+x\73(1+cos2x)G

2+2则/(X)的最小正周期和最大值分别为()

1c1

A.乃,一B.7C、一C・2几、--------D.2肛--

4222

10.已知函数f(x)=sinx-cosx,则下列结论中正确的是()

A.“X)的最小正周期为万B.“X)的最大值为2

C./(x)在区间(0号)上单调递增D.的图象关于x=(对称

11.设函数/(x)=8sin2x-cos2x,则下列结论错误的是()

A.f(x)的一个周期为一〃

7T

B.y=/(x)的图像关于直线x=对称

C.y=/(x)的图像关于点对称

D.f(x)在［0,2m有3个零点

12.已知角ae(0,5),且点(cos2q,cos2a)在直线y=-x上，则tan(a+?)=()

A.-3-2&B.-1

C.3-2也D.3+2夜

L+斗cos171

13.设函数f(x)=6sin—x+—，则y=/(x)()

2626

A.在„单调递增,且其图象关于直线x=1对称

O

B.在（0,。）单调递增,

且其图象关于直线X对称

C.在%单调递减,且其图象关于直线X=J对称

O

D.在％单调递减,且其图象关于直线X=?对称

B+C…/、

14.在ABC中，若cosA=-,则sin2-------+cos2A=()

2

A。-IB-Ic1D-I

15,若函数/'(x)=cos(K-V

+COSx+—+sinx+m的最大值为则实数机=（）

I61.

A.1B.-1C.3D.一3

题组B能力提升练

・一1A905,.\71i

1.已知tan—+cot—=—，ni则sin—+20()

222122

A-ir24

D.—

25

2.在.ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csinA=acosC.当GsinA-cos取最大

值时，A的大小为（）

712万

A.—B.-c.-D.

3463

.已知〈九且(夕一

30<asina=*cosa)=则夕=（)

兀_24_713冗

A.一B.—c.—D.

334T

4.若a(sinx+cosx)W2+sinxcosx对任意无£恒成立，则，7的最大值为（)

5夜

A.2B.3C.-包D.

24

2九1

5.已知£-/=可，且costz+cos/?=q,则cos(a+0=()

17

A.-B._1cD.

55-49

6.在-ABC中，若sinA=受则cos8+&cosC的取值范围是()

2

A.(0,1]B.(0,l]U(2,V5]

C.(O,1JU(|^,V5JD.以上答案都不对

7.(多选题).若sina+>/5C0S6T=—,则()

2

B.3tan2CT+8A/3tancr=-11

D.3tan2or4-85/3tana=-12

8.（多选题）已知函数/。）=cos[x—看）—cos2x,则（）

A.〃x）的最大值为匕正

2

B./（x）的图象关于点（今,0）对称

C./（X）图象的对称轴方程为x=+飞■（%£Z）

D./（x）在[0,2加上有4个零点

9.（多选题）已知函数/（力=46加微氏0$|彳+4加2,1-2,则下列说法正确的是（）

A.函数/（x）的周期为与B.函数〃x）图象的一条对称轴为直线

C.函数〃x）在卜华,上单调递增D.函数〃x）的最小值为Y

10.已知函数f（x）=2sin2A+“-石cos2x.若关于x的方程f（x）-m=2在xe上有解，则实数机

的取值范围是