高中数学向量检测题（难度大含解析）

高中数学向量检测题〔难度大〕

一.选择题〔共3小题〕

1.〔2014・〕△ABC的角A,B,C满足sin2A+sinCA-B+C]=sin[C-A-B]+1,

2

面积S满足1WSW2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边，在以下不等式一定成立的

是〔〕

A.be[b+c]>8B.ab[a+b]>16T/2C.6<abc<12D.12<abc<24

2.〔2010•模拟〕在AABC中，a=*,b=2,B=45°,假设这样的AABC有两个，则实数

*的取值围是〔〕

A.[2,+8]B.[0,2]C.[2,2①D.2〕

3.〔2012•模拟〕设AABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c,假设

a2+b2=abcosC+J^absinC,则△ABC的形状为〔〕

A.直角非等腰三角形B.等腰非等边三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

二.填空题〔共8小题〕

4.〔2013•兴庆区校级三模〕在AABC中，ZA=60°,BC=行，则AC+AB的最大值为.

5.〔2012•校级模拟〕AABC的三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且A=30°,

B=45°,a=2,贝ijb=.

6.12012•镜湖区校级模拟〕在AOAB中，O为坐标原点，A[1,cosO],B[sinG,1],

6€（0,三],则当aOAB的面积达最大值时，则e=.

2

7.〔2010•江门模拟〕在三角形ABC中，ZA,ZB,NC所对的边长分别为a,b,c,

其外接圆的半径R上1则（晓十b2+c2）（，—十二_L_）的最小值为.

36sin2Asin2Bsin2c

8.12009・〕在锐角AABC中，BC=1,B=2A,则匐的值等于,AC的取值围为.

cosA

9.〔2014•一模〕O是锐角AABC的外接圆圆心，ZA=0,假设里理五评2后二2nll3,

sinCsinB

则m=.〔用e表示〕

10.〔2015•模拟〕在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+2b=4,

asinA+4bsinB=6asinBsinC,则AABC的面积最小值时有c2=.

11.〔2015春•期末〕AABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，

线段MN经过4ABC的中心G.假设aAGM的面积为工，则4AGN的面积为.

12

三.解答题〔共3小题〕

12.〔2015•新课标n〕AABC中，D是BC上的点，AD平分/BAC,4ABD面积是△

ADC面积的2倍.

〔1]求sin/B；

sinNC

〔2〕假设AD=1,DC=返，求BD和AC的长.

2

13.〔2015•四模〕在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,函数f〔*〕=2cos*sin

〔*-A〕+sinA〔*€R〕在*=且1处取得最大值.

12

〔1〕当(0,Z)时，求函数f〔*〕的值域；

〔2〕假设a=7且sinB+sinC=136,求aABC的面积.

14

14.〔2015•一模〕在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.cos2A+J=2cosA.

2

〔1〕求角A的大小；

〔2〕假设a=l,求△ABC的周长1的取值围.

高中数学向量检测题〔难度大〕

参考答案与试题解析

一.选择题〔共3小题〕

1.〔2014・〕ZXABC的角A,B,C满足sin2A+sin[A-B+C]=sinCC-A-B]+1,

2

面积S满足1WS<2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边，在以下不等式一定成立的

是〔〕

A.be〔b+c〕>8B.ab〔a+b〕>16A/2C.6<abc<12D.12<abc<24

【考点】正弦定理的应用；二倍角的正弦.

【专题】三角函数的求值；解三角形.

【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进展证明即可得到结论.

【解答】解：•「△ABC的角A,B,C满足sin2A+sin[A-B+C]=sinCC-A-B]+1,

2

sin2A+sin2B=-sin2C+_l,

2

sin2A+sin2B+sin2C=i,

2

/.2sinAcosA+2sin[B+C]cos[B-C]=•1,

2

2sinA[cos[B-C]-cos〔B+C〕〕=•1,

2

化为2sinA[-2sinBsin[-C]]=_1,

2

sinAsinBsinC=A.

8

设外接圆的半径为R,

由正弦定理可得：二b=.c=2R,

sinAsinBsinC

由S=labsinC，及正弦定理得sinAsinBsinC=_L_=_l,

22R28

即R2=4S,

..・面积S满足1<S<2,

.♦.4WR2W8,即2WRW2近，

由sinAsinBsinC=°可得84abcW16&,显然选项C,D不一定正确，

8

A.be[b+c]>abc>8,即be[b+c]>8,正确，

B.ab〔a+b〕>abc>8,即ab[a+b]>8,但ab〔a+b〕>16^2，不一定正确，

应选：A

【点评】此题考察了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、根本不等式等

根底知识与根本技能方法，考察了推理能力和计算能力，属于难题.

2.〔2010•模拟〕在AABC中，a=*,b=2,B=45",假设这样的AABC有两个，则实数

*的取值围是〔〕

A.[2,+8]B.[0,2]C.[2,2点]D.〔传2]

【考点】正弦定理的应用.

【专题】计算题；压轴题.

【分析】先利用正弦定理表示出*,进而根据B=45°可知A+C的值，进而可推断出假设有

两解，则A有两个值，先看Aw45°时推断出A的补角大于135°,与三角形角和矛盾，

进而可知A的围，同时假设A为直角，也符合，进而根据A的围确定sinA的围，进而利

用*的表达式，求得*的围，

【解答】解：由正弦定理可知「^一^,求得*=26sinA

sinAsinB

A+C=180°-45°=135°

有两解，即A有两个值

这两个值互补

假设A<45°

则由正弦定理得A只有一解，舍去.

.-.45°<A<135°

又假设A=90°,这样补角也是90度，一解，A不为90°

所以返<sinAv1

2

:*=2/^sinA

：.2<*<2yf2

应选C

【点评】此题主要考察了正弦定理的运用，解三角形问题.考察了学生推理能力和分类讨论

的思想的运用.

3.〔2012•模拟〕设AABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c,假设

a2+b2=abcosC+^/3absinC,贝!]△ABC的形状为〔〕

A.直角非等腰三角形B.等腰非等边三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

【考点】余弦定理.

【专题】计算题；压轴题.

故答案为：

【点评】在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，

使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式.而余弦定理在使用时一般要求两边有平

方和的形式.

5.〔2012•校级模拟〕AABC的三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且A=30°,

B=45°,a=2,贝豆

【考点】正弦定理.一

【专题】计算题；压轴题；解三角形.

【分析】利用正弦定理_声_=_7^即可求得答案.

sinAsinB

【解答】解：Z\ABC中，・・・A=30°,B=45°,a=2,

由正弦定理_2_=_得：一^—=—

sinAsinBsin30sin45

b=2xHI__=2>/2-

sinSO*

故答案为：2日

【点评】此题考察正弦定理的应用，属于根底题.

6.〔2012•镜湖区校级模拟〕在AOAB中，O为坐标原点，A[1,cosG],B〔sin。，1〕，

ee(o,则当aoAB的面积达最大值时，则e=2L

【考点】正弦定理.

【专题】综合题；压轴题；数形结合.

【分析】根据题意在平面直角坐标系中，画出单位圆O,单位圆。与*轴交于M,与y轴交

于N,过M,N作y轴和*轴的平行线交于P,角。如下图，所以三角形AOB的面积就等

于正方形OMPN的面积减去三角形OAM的面积减去三角形OBN的面积，再减去三角形

APB的面积，分别求出各自的面积，利用二倍角的正弦函数公式得到一个角的正弦函数，

根据正弦函数的值域及角度的围即可得到三角形面积最大时9所取的值.

【解答】解：如图单位圆。与*轴交于M,与y轴交于N,

过M,N作y轴和*轴的平行线交于P,

贝i]S=S-S-S-S

AOAB正方形OMPNAOMAAONBAABP

=1-J.[sin0X1]-A[cosQx1]--L[1-sinQ][1-cos0]

222

=■1-2.sincos0=A-2.sin20

2224

因为eeco,2L],2ee[0,兀],

2

所以当2。=兀即6=工时，sin26最小，

2

三角形的面积最大，最大面积为1.

2

故答案为：2L

2

【点评】此题考察学生灵活运用二倍角的正弦函数公式化简求值，利用运用数学结合的数学

思想解决实际问题，掌握利用正弦函数的值域求函数最值的方法，是一道中档题.

7.〔2010•江门模拟〕在三角形ABC中，NA,ZB,NC所对的边长分别为a,b,c,

11

其外接圆的半径R挈，则(/+匕2十(^―+)..)的最小值为

防sin2AsinZBsin2c

25

-6"

【考点】正弦定理；函数的最值及其几何意义.

【专题】计算题；压轴题.

【分析】先利用正弦定理用a,b和c以及R分别表示出sinA,sinB,sinC,进而把原式

展开后利用根本不等式求得其最小值.

【解答】解：由正弦定理可知-7a-二_^L^=2R

sinAsinBsinC

「.sinA=巨，sinB=_k_,sinC=_2_

2R2R2R

(z2+b2+c2)(—^~十—+—)

sin2Asin2BsinC

=4R2〔a2+b2+c2〕〔L+1+-L]

22

abc

222222

=4R2〔3+月_+旦+3_+£_+J+且〕>4R2〔3+2+2+2]=丝〔当且仅当a=b=c时等号

2222122fi

kbacabcu

成立〕.

故答案为：25

6

【点评】此题主要考察了正弦定理的应用，根本不等式在最值问题中的应用.解题的关键是

利用正弦定理把问题转化为边的问题，进展解决.

8.〔2009・〕在锐角AABC中，BC=1,B=2A,则/L的值等于2,AC的取值围为

cosA——

6〕•

【考点】正弦定理；同角三角函数根本关系的运用.

【专题】综合题；压轴题.

【分析】〔1〕根据正弦定理和B=2A及二倍角的正弦公式化简可得值；

〔2〕由〔1〕得至ijAC=2cosA,要求AC的围，只需找出2cosA的围即可，根据锐角AABC

和B=2A求出A的围，然后根据余弦函数的增减性得到cosA的围即可.

【解答】解：〔1〕根据正弦定理得：

ginBginA

因为B=2A,化简得____组____三二一即A。=2；

2ginAcosAginAcosA

〔2〕因为aABC是锐角三角形，C为锐角，

所以A+B>E，由B=2A得到A+2A>匹且2A=B<?L从而解得：2L<A<2L,

22264

于是J^<2COSA<6,由[1〕的结论得2cosA=AC,故如<蚊<如.

故答案为：2,即,6〕

【点评】考察学生灵活运用正弦定理及二倍角的正弦公式化简求值，此题的突破点是根据三

角形为锐角三角形、角和定理及B=2A变换角得到角的围.

9.〔2014•一模〕O是锐角AABC的外接圆圆心，ZA=G,假设翼无伴区正次而,

sinCsinB

贝！]m=sin0.〔用0表示〕

【考后应弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数.

【专题】计算题；压轴题.

【分析】根据题意画出相应的图形，取AB的中点为D,根据平面向量的平行四边形法则可

得而二百十而1，代入的等式中，连接。D,可得而1标，可得其数量积为0,在化简后的

等式两边同时乘以瓦，整理后利用向量模的计算法则及平面向量的数量积运算法则化简，

再利用正弦定理变形，并用三角函数表示出m,利用诱导公式及三角形的角和定理得到

cosB=-cos[A+C],代入表示出的m式子中，再利用两角和与差的余弦函数公式化简,

抵消合并约分后得到最简结果，把NA=6代入即可用0的三角函数表示出m.

【解答】解：取AB中点D,则有而二元十而，

代入理五例证记导：

sine-sinb

舞而笆正二2nl（W+D0），

sinCsinB

由瓦，同，得而•标=0,

，两边同乘三，化简得:

击而需小而斗庙+此▼AB=mAB,

pncosB2.cosC.82

同.cc+,abc-cosA=me'

sinCsinb

由正弦定理_a_=_k_=_^化简得：

sinAsinBsinC

cosBcosC

sin2csinBsinCcosA=insin2C,

sinCsinB

由sinCwO,两边同时除以sinC得：cosB+cosAcosC=msinC,

•.mrn_-_c_o_s_B_+_c_o_s_A_c__o_s_C—__-__c_o_s__(_A_+_C_)___+_c_o_s_A_c_o_s_C

sinCsinC

=-GosAcosC+sinAsinC+cosAcosC=sjn^

sinC

又NA=e,

贝ijm=sin0.

故答案为：sine

【点评】此题考察了正弦定理，平面向量的数量积运算，三角形外接圆的性质，利用两向量

的数量积判断两向量的垂直关系，诱导公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定

理及公式是解此题的关键.

10.〔2015•模拟〕在锐角4ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+2b=4,

asinA+4bsinB=6asinBsinC,plijAABC的面积最小值时有c2=5-&Z5.

13

【考点】余弦定理；正弦定理.

【专题】解三角形；不等式的解法及应用.

【分析】运用正弦定理和面积公式可得，a2+4b2=12S,运用根本不等式，可得a=2,b=l,

S取得最小值2,求得ainC,再由同角的平方关系，求得cosC,再由余弦定理，即可得到

3

所求值.

【解答】解：由正弦定理，asinA+4bsinB=6asinBsinC即为

a2+4b2=6absinC,又S=3absinC,

2

即有a2+4b2=12S,

由于a+2b=4,即有a2+4b2=[a+2b]2-4ab=16-4ab,

即有4ab=16-12S,

由4ab42〔时2目〕2=8,

2

即有16-12S48,解得S>2.

3

当且仅当a=2b=2,取得等号.

当a=2,b=l,S取得最小值2,

3

sinC=2,〔C为锐角〕，则cosC=J1_$=亚.

3V93

贝I]c2=a2+b2-2abcosC=4+1-2x2x1XYf

3

=5-±/5.

3

故答案为：5-2匹.

3

【点评】此题考察正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，同时考察根本不等式的运用，考

察运算能力，属于中档题.

11.〔2015春•期末〕AABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，

线段MN经过4ABC的中心G.假设AAGM的面积为工，则4AGN的面积为YilL

1224

【考点】正弦定理.

【专题】解三角形.

【分析】设NAGM=Q,由可得AG,ZMAG的值，由正弦定理可得得GM=----------,

6sin(^+―)

6

由S“、.=_lGM・GA・sina=,「】------—=A,解得：cota=2-J^,又利用正弦定理

AGM26(«+cota)12

可得GN=---------返F—，则可求S…&GN・GA・sin〔兀-a〕=——3-------「的

6sin(a-2£)AGN26(V3-cotCt)

6

值.

【解答】解：因为G为边长为1的正三角形ABC的中心，

所以AG=2X且型，NMAG=2L,

32-36

由正弦定理一GM•二---------,得GM=----------

SLETT-sin(7U-Cl--)6sin(a+—)

666

S=GM，GA，Sina=sinQ

贝UAGM-|-=-1-，

7r

12sin6(日+cotQ)12

6

解得：cota=2-证，

又GN二----------------,得GN=----------叵---

TTIT7T

sirr-z-sin(a-)6sin(a~)

666

sin。1_______=」=“+1.

12sin(a--)6(e-cota)6(^3~2+V3)24

6

故答案为：、/1+工

24

【点评】此题主要考察了正弦定理，三角形面积公式的综合应用，将AAGM、AAGN的面

积表示为a的函数是解题的关键.

三.解答题〔共3小题〕

12.〔2015•新课标II〕AABC中，D是BC上的点，AD平分/BAC,4ABD面积是△

ADC面积的2倍.

[1]求£nNB；

sinNC

〔2〕假设AD=1,DC=2返，求BD和AC的长.

2

【考点】正弦定理；三角形中的几何计算.

【专题】解三角形.

【分析】〔1〕如图，过A作AE1BC于E,由及面积公式可得BD=2DC,由AD平分/

BAC及正弦定理可得sin/B=AP义池口上月地sin/C=W义迎口4口照,从而得解

一BDDC

sin/B

sin/C

〔2〕由〔1〕可求BD=J，.过D作DM1AB于M,作DN1AC于N,由AD平分/BAC,

可求AB=2AC,令AC=*,贝i」AB=2*,利用余弦定理即可解得BD和AC的长.

【解答】解：〔1〕如图，过A作AELBC于E,

CJBDXAE

.•△ABD—乙—2

S&IDC如XAE

BD=2DC,

•/AD平分/BAC

.'.ZBAD=ZDAC

在AABD中，____迎=_”-,•ain/R=W：sin/BAD

sinZBADsinZBBD

在AADC中，DC=AP,sin2c=ADXsinZDAC.

sinZDACsinZCDC

_・_sin/B=DC=l.・・6分

.,ginZCBD2,

〔2〕由〔1〕知，BD=2DC=2X^2=A/2.

2

过D作DM1AB于M,作DN1AC于N,

•.,AD平分NBAC,

.-.DM=DN,

C[ABXDH

.___=2,

SAADC|ACXDN

AB=2AC,

令AC=*,贝iJAB=2*,

•."BAD=NDAC,

.'.cosZBAD=cosZDAC,

222

（2X）+i-（A/O）2xJl。（」）

由余弦定理可得：+1-----32）=-------?--,

2X2XX12XXX1

.-.*=1,

.-.AC=1,

•••BD的长为最，AC的长为1.

【点评】此题主要考察了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于根本知

识的考察.

13.〔2015•四模〕在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,函数f〔*〕=2cos*sin

〔*-A〕+sinA〔*€R〕在*=且1处取得最大值.

12

〔1〕当工6（0,2L｝时，求函数f〔*〕的值域；

〔2〕假设a=7且sinB+sinC=_12Ul,求△ABC的面积.

14

【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域.

【专题】解三角形.

【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数f〔*〕的解析式为$皿〔2*-人〕，由于函数在、旦

12

处取得最大值.令2X至Z-A=2kTT+H，其中k€z,解得A的值，

122

〔1〕由于A为三角形角，可得A的值，再由*的围可得函数的值域；

〔2〕由正弦定理求得b+c=13,再由余弦定理求得be的值，由AABC的面积等于_|bcsinA，

算出即可.

【解答】解：...函数f〔*〕=2cos*sin（*-A]+sinA

=2cos*sin*cosA-2cos*cos*sinA+sinA

=sin2*cosA-cos2*sinA=sin[2*-A]

又•.•函数f〔*〕=2cos*sin[*-A]+sinA〔*€R〕在丫卫1处取得最大值.

A12

••■2X--A=2kK+—,其中k€z,

122

即A-