2023-2024学年上海市杨浦高二年级下册开学考试数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年上海市杨浦高二下册开学考试数学模拟试题

一、填空题

1.掷一颗公正的六面骰子，观察向上的面的点数，则“点数为偶数”的对立事件是.

【正确答案】点数为奇数

【分析】根据对立事件的概念即可写出答案.

【详解】因为六面骰子的点数只有偶数点和奇数点两种情况，

故"点数为偶数”的对立事件是：点数为奇数，

故点数为奇数

2.满足等式比=28号的正整数„的值为.

【正确答案】4

【分析】根据排列数公式展开，并计算，即可得答案.

【详解】因为氏=28^,所以2〃(2〃-1)(2〃-2)=28〃(〃-1),

即2〃—1=7,则〃=4,

故4

3.圆上有10个不同的点，以其中任意3个点为顶点，可以组成个不同的三角形.

【正确答案】120

【分析】根据圆周上任意三点不会共线，任选三点用组合数公式计算即可.

【详解】因为三点在圆周上，所以三点是不会共线的，

所以从十个点中任选三个点即可构成三角形，

所以可以组成不同的三角形的个数为C；°==^=120.

3x2x1

故120.

4.已知x是1,2,x,4,5这5个数的中位数，又知-1,5,-24，y这四个数据的平均数

x"

为3,则x+y的最小值为.

【正确答案】12

【分析】根据中位数得到24x44,根据平均数得到-24+^=8,再利用均值不等式计算得

x

到答案.

【详解】X是1,2,X,4,5这5个数的中位数，故24xW4：

444

-1,5,一一，y这四个数据的平均数为3,故一1+5--+歹=12,即―一+歹=8,

XXX

x+y=x+—+8>2.xx—+8=12,当且仅当x=2时等号成立.

xVx

故12

5.已知乌勺,与不共面，Q=q+2gB=-3,+/+2/，c=e1-e2-e3,若

d=2q—弓+3/=xa+yb+zc,贝!J1+歹一？=.

【正确答案】2

【分析】根据题意，化简得至lJxa+yB+zc=(x-3y+z)e[+(2x+y-z)/+(—x+2y-z)%，再

由

d=2e1-e2+3e3=xa+yb+zc,得出关于工，，，z的方程组，求得的值，即可求解.

【详解】由题意，向量^©心不共面，ci=ex+2e2-e3,b=-3e1+e2+2e3,c=el-e2-e3,

则xa+yb+zc=x(e1+2/-e3)+y(-3e1+e2-i-2e3)+z(el-e2-e3)

=(x-3y+z)e[+(2x+y-z)e2+(-x+2y-z)ei

因为d=2q-e2+3%=xa+yb+zc,

x-3y+z=2

则，2x+y-z=-lf解得x=_3,y=_5,z=_10,

-x+2y-z=3

所以x+y-z=-3-5+10=2.

故答案为.2

6.已知点力(1,0,0),8(0,1,0),C(0,0,2),P(l,-l,0),则过点尸平行于平面48c的平面与平

面Z3C的距离为.

【正确答案】I

.Z印词

【分析】求得平面力8C的一个法向量〃=(xj,z,由d求解

H

【详解】解：因为点】(1,0,0),5(0,1,0),C(0,0,2),P(l,-l,0),

所以海=(-1,1,0),元=(-1,0,2)舒=(0,-1,0),

设平面ABC的一个法向量为〃=(x,y,z),

令x=l,得y=l,z=；,则N=(1,L；

2

所以过点P平行于平面ABC的平面与平面Z8C的距离为d=

3

44,2

故3

7.某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为

【正确答案】一##0.648

【分析】由独立重复试验的概率公式计算即可.

【详解】由题意，设X表示击中目标的次数，X〜8(3,0.6),

Q1

P(X>2)=P(X=2)4-P(X=3)=C/0.62X0.4+C/0.63=0.648=—

V81

故——

125

8.已知常数机>0.在卜+的二项展开式中，一项的系数是*项的系数的4倍，则

m=>

【正确答案】g##0.5

【分析】通过展开式得出一项和二项的系数，利用等量关系建立方程，解方程组即可得出机

X

的值.

【详解】解：由题意加>0,

在+的二项展开式中，展开式为CKx)6-[?]=am"6-2,，

当6-2厂=2即r=2时,€>“6-2,=c犷f=j5/—,

/.丁项的系数为15m2

62r4242

当6-2r=-2即，•=4时，C'6m'x-=C>%-=15mX-,

•••了项的系数为前

：一项的系数是:项的系数的4倍

15加2=4x15〃/1

…解得:m=—

2

故答案为.5

9.已知三位数“命满足:以“，b,c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形,

则有个满足条件的三位数.

【正确答案】165

【分析】利用排列组合的方法，分等边三角形和等腰（非等边）三角形两类情况分类讨论求

解.

【详解】若构成等边三角形，则这样的三角形的个数为〃1=9个;

若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三角形有〃2个,

由于三位数中只有两个不同数码，设为。力,

注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组有2C；,

但是当大数为底时，设a>6,必须满足6<a<2b.

此时，不能构成三角形的数码是:

a987654321

b4,3,2,14,3,2,13,2,13,2,12,12,111

共20种情况，同时:每个数码组（。,b）中的二个数码填上三位数，有C；种情况,

故〃2=C（2C；-20）=6（C；-10）=156,

综上"i+〃2=165,

故答案为:165.

10.已知圆锥的顶点为S,O为底面中心，A,B,C为底面圆周上不重合的三点，AB为

底面的直径，SA=AB,〃为S4的中点.设直线与平面”8所成角为则sina的最

大值为

【正确答案】G-i

【分析】由题意建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论和均值不等式确定s〃以的最大

值即可.

【详解】以的中点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设S/=48=4,

则：

M（0,-1,百）,C（xj,O）,如图所示，由对称性不妨设x>0）<0且/+/=4,

则研=+易知平面S/8的一个法向量为初=。,0,0）,

MC•丽_x

据此有：""何同二4+（一）2+3

=JQX_（y+4）-----+8<-74-2-73=A/3-1>

当且仅当y=20-4时等号成立,

综上可得：si〃a的最大值为6-1.

本题主要考查空间向量及其应用，学生的空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和

计算求解能力.

二、单选题

11.以下5个命题，其中正确的是（）

①从1,2,3,L,9九个数字中任取3个不同的数，组成三位数的个数为C：；

②4封信投入3个信箱，有3,种投法；

③从a,b,c,"四名学生中选两名去完成同一份工作，有C；种选法：

④5个人相互通电话一次，通电话的总次数为C；次；

⑤5个人相互写一封信，所有信的数量C；封.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【正确答案】B

【分析】根据各命题有无顺序，选择是排列还是组合问题，逐一判断.

【详解】①3个不同的数，组成三位数是排列问题，有顺序，组成三位数的个数为A）故

①错误；

②4封信投入3个信箱，每封信有3种选择，共有T种投法，故②正确；

③从a,b,c,"四名学生中选两名去完成同一份工作，因为是同一份工作，没有顺序，有C：

种选法正确，故③正确；

④5个人相互通电话一次，两人通一次电话就是互通，没有顺序，通电话的总次数为C；次正

确，故④正确；

⑤5个人相互写一封信，两人相互写信指各写一封信，所有信的数量A；封，故⑤错误：

综上②③④正确，有3个正确.

故选：B.

12.设4、B、C、。是空间不共面的四点，且满足，ADAC-O>%.%=0，点M为

8c的中点，则4MD是（）

A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不能确定

【正确答案】C

【分析】由题，可得?平面后由平面/8C,可得答案.

__.UU1UU11

【详解】由力。-NC=0，ABAD=Q>可知彳。1AC,AD1AB.

又NCu平面NBC,平面N8C,ACCiAB=A,则ZD_L平面Z8C.

因8Cu平面力8C,则陆lu平面/8C.

故即是直角三角形.

故选：C

13.为创建“全国文明城区“，某市随机抽取了甲、乙两区，派出一个考核组对这两个区的创

建工作进行量化考核.量化考核过程中，在两个区各随机抽取20个单位量化考核成绩，得

到下图数据，以此作为依据对甲乙两个区的工作进行分析.关于甲、乙两个区的考核成绩，

下列结论正确的是()

A.甲区样本数据的平均数是80

B.甲区样本数据众数小于乙区样本数据众数

C.不低于80的数据个数，甲区多于乙区

D.甲区样本数据的75%分位数是83

【正确答案】D

【分析】对于A：计算甲区样本数据的平均数即可判断；对于B：分别计算两区的众数即可

判断；对于C：分别计算两区不低于80的数据个数即可判断；对于D：计算甲区样本数据

的75%分位数即可判断.

【详解】对于A：甲区样本数据的平均数

丁=(57x2+58+59+67+68x2+69x2+79x6+87+88x2+89+98)+20=74.8,A错误;

对于B：由图可知甲区众数为79,乙区众数为西罗=75,B错误；

对于C：因为不低于80的数据个数，甲区为5个，乙区为：(0.02+0.005)x10x20=5,C错

误；

对于D：因为75%x20=15,甲区的75%分位数为：当79+8~7=83,D正确.

故选：D

14.如下图，已知四边形43cD,ADEF,4FGH均为正方形,先将矩形ED//G沿折起,

使二面角的大小为30。，再将正方形ZF'GT/沿4尸，折起，使二面角H—4F-D

的大小为30。，则平面/F'GT/'与平面488所成的锐二面角的余弦值为()

【正确答案】B

【分析】根据射影面积法找到平面/8C。，平面/尸£。，平面ZkGTT所成的锐二面角的

关系，进而求的结果.

【详解】如图，作/n/_LZ)E',G"N1DE'.

H'MVDE'"

在平面/尸内，由>nJ■平面4尸E'Z).

DE'cAD=D

G"N1DE'

在平面/尸££)内，由NO_LGW,=631面//的。.又因为△4。”与

DE'2D=D'

△■F'E'N全等，

设平面力8。为平面a,平面为平面丑，平面NF'G7T为平面》

由面积射影定理知：COS仍M=:­=，边,

»四边形/尸'GY/'七边形4尸'GYT

同理可得cos(a,#=阻些3,cos(a,y)=c”

S四边形/尸£勿S四边形/FG7T

所以cos〈a,夕〉.cos〈夕,7)=cos〈a,7)，故有cos(a,/)=cos30°-cos30°=—.

故选：B.

射影面积法求二面角大小的方法点睛：

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可

利用射影面积公式cos6=平，求出二面角的大小.

三、解答题

15.2男3女排成一排，求：

(1)2个男生相邻的概率；

(2)3个女生都相邻的概率；

(3)判断(1)和(2)中的两个事件是否是独立事件，并说明理由.

2

【正确答案】(1)《

⑵上

-10

(3)不是，理由见解析

【分析】(1)(2)利用“捆绑法”求解即可：

(3)利用独立事件的乘法公式求解即可.

【详解】(1)5个人排成一排共有A；种情况，

先把2个男生看作一个整体，共有A；种情况，

再将这个“整体”与3个女生排列，共有A：种情况，

A2A42

所以2个男生相邻的概率尸(4)=2?=：.

(2)先把3个女生看作一个整体，共有A；种情况，

再将这个“整体”与2个男生排列，共有A；种情况，

所以3个女生相邻的概率P(8)=+=.

A51V

(3)将2个男生看作一个整体，3个女生看作一个整体，

由此可得2个男生和3个女生都相邻的概率Ppn8)=然"=!，

因为尸(/n8)wP(⑷P(B),所以⑴和(2)中的两个事件不是独立事件.

16.如图，在四棱锥中，底面正方形/8C。的边长为2,尸4_L底面/BCD,E为

8c的中点，PC与平面必。所成的角为arctanm.

2

(1)求处的长度;

(2)求异面直线4E与PD所成角的大小.

【正确答案】(1)2

(2)arccos^^-

10

【分析】(1)由线线垂直进而可得。_L平面尸进而是NCP。是PC与平面所成的

角，因此tanNCPD=92=2=走，求出尸£)=2狡，由此能求出P/.

PDPD2

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线4E与PO所成角的大小.

【详解】(1)•.・在四棱锥P-/8C。中，底面正方形/8C。的边长为2,尸N_L底面

C£)u底面488,CDA.PA,又CDLAD,

又.P4c4D=4,24/。<=平面产/。

\CD*平面PAD,

:.ZCPD是直线PC与平面PAD所成的角，

••・PC与平面/MO所成的角为arctan—.

2

tanZCP£>=—=—=—.解得PZ)=2/，

PDPD2

PA=>]PD2-AD2=7(2A/2)2-22=2•

(2)以A为原点，以方，-AD，而为正方向分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐

标系，

A0,0,0),EQ,1,0),P(0,0,2),0(0,2,。)，

AE=(2，1,0),丽=(0,2,-2),

设异面直线ZE与尸。所成角为&。“0胃

\AEPD\271b

则cos6=

\AE\-\PD\~45-y/s-10

••・异面直线AE与PD所成角的大小0=arccos典.

17.某工厂36名工人的年龄数据如下表.

工人编号工人编号工人编号工人编号

年龄年龄年龄年龄

A.4036S.27AB.34

B.44K.31T.43AC.39

C.40L.38IL41AD.43

D.41M.39匕37AE.38

£.33N.4334AF.42

F.40O.45X.42AG.53

G.45P.39E37AH.37

H.42Q.38Z.44AL49

/.43R.3644.42AJ.39

(1)计算按随机抽样法抽取到样本44,40,36,43,36,37,44,43,37样本的平均值x和

方差52;

(2)36名工人中年龄在于-s与元+s之间有多少人？所占的百分比足多少(精确到0.01%)?

【正确答案】(1)平均值x为40,方差『为与

(2)在f-s和H+s之间的人数有23人,所占的百分比为63.89%

【分析】(1)根据平均数和方差公式求解；

(2)利用频率公式求解.

-44+40+36+43+36+37+44+43+37“八

［详解1(1)x=-----------------------------------=40,

9

s1=1［(44-40)2+(40-40)2+•.+R3-40j+07-40。」卜

(2)因为S2=与，所以5=与43,4),

所以36名工人中年龄在画-s和于+s之间的人数等于在区间［37,43］内的人数,

即40,40,41,…,39,共23人，

23

所以36名工人中年龄再亍-s和三+s之间的人数所占的百分比为7T“63.89%.

18.如图，已知直三棱柱/8C-4耳G中，CA=CB=CC、=2,CA1CB,分别是48

、山、网的中点，点尸在直线64上运动，且盘尸=抚％,(北［0,1］)

(1)证明：无论2取何值，总有8J_平面尸EF；

(2)是否存在点P,使得平面PE”与平面Z8C的夹角为60。？若存在，试确定点尸的位置,

若不存在，请说明理由.

【正确答案】(1)证明见解析

7-3A/5

(2)存在,位置满足qp=

2

【分析】（1）以C为坐标原点，C/、C8、CG所在的直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直

角坐标系，计算丽.丽，丽.而可得证；

（2）假设存在，由空间向量法求二面角可得.

【详解】（1）证明：如图，以C为坐标原点，以、。8、。6所在的直线分别为》轴、y轴、2轴

建立空间直角坐标系，C（0,0,0）,G（0,0,2）,4（2,0,2）,"（0,2,1）,£（1,1,0）,尸（0,1,0）

由于=2Q4="（2,0,0）=（22,0,0）,可得P（22,0,2）,

所以丽=（1-241,-2）,即=（一241,-2）,又丽=（0,2,1）

所以丽.而=0+2-2=0，CH-PF=0+2-2=Q，

所以C4LPE,CHLPF,.又PERPF=P,平面尸，

所以CHL平面PEF,

所以无论2取何值，总有C”,平面PEF.

（2）解：设7=（醐/）是平面PE4的法向量丽=（-1,1,1）,

n-EH=0-x+y+z=0

则__.即八。八，记

n-PE=0[[\-2A）x+y-2、z=Q

令x=3,所以1=（3,1+2九2-22）是平面PEa的一个法向量,

取平面ABC的一个法向量为m=（0,0,1）

I--Itn-n

假设存在符合条件的点尸，则|COS<；M,”>|=百而\2-2A\

\m\\n\^9+(1+2^)2+(2-22)22

化简得4万-14；1+1=0，解得胃J二③屿或4=7+3”(舍去).

44

综上，存在点P,且当0叵时，满足平面PE"与平面/8C的夹角为60。.

'2

19.将连续正整数1,2,3,L,〃(〃eZ+)从小到大排列构成一个123…〃，尸(〃)为这个数

的位数.例如：当〃=12时，此时为123456789101112,共有15个数字，则尸(12)=15.现

从这个数中随机取一个数字，尸(〃)为恰好取到0的概率.

⑴求尸(100):

(2)当“W2023时,求尸⑻得表达式;

(3)令g(〃)为这个数中数字0的个数，/(〃)为这个数中数字9的个数，〃(〃)=/(")-g(〃),

5={M|A(/?)=l,n<100,neZ*},求当时，P(")的最大值.

【正确答案】(1)工

77,1</?<9

2/7-9,10</?<9

⑵尸(〃)=，

3/7-108,100</?<999

4/?-1107,1000</?<2023

【分析】(1)计算F(100)=9+90X2+3=192,数字。的个数为11,得到概率.

(2)考虑1W〃W9,104〃499,1004〃4999,10004”42023四种情况，依次计算得到

答案.

(3)考虑〃=b(l<649,6eN")时，当"=10左+604左M9,0Mb49,%eN*,6eN*)时，当

〃=100时三种情况，得到g(〃)和/(")的解析式,得到5={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90},

再计算概率的最值得到答案.

【详解】(1)当"=100时，尸(100)=9+90x2+3=192,

即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11,

则恰好取到0的概率为P(IOO)=需；

(2)当1W〃W9时，这个数