2024年上海市数学高考名校模拟题分类汇编 等式与不等式含详解

备战2024高考优秀模拟题分类汇编等式与不等式

一、填空题

1.（2023春•上海杨浦・高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）不等式!＜-1的解集是

X

2.（2023秋・上海•高三校联考开学考试）已知了＞1,则无+工的最小值是.

x-1

1X

3.（2023秋•上海杨浦・高三复旦附中校考阶段练习）已知正实数x,＞满足：x+—=1,则一的最大值为.

yy

4.（2023秋・上海浦东新•高三上海市进才中学校考阶段练习）要使关于X的不等式04V+如+644恰好只有一个解，

则a=.

5.（2023秋•上海奉贤•高三上海市奉贤中学校考阶段练习）若等式lOx-7=。（尤+1）2+6（尤+l）+c恒成立，则

a+b+c的值为.

6.（2023秋•上海普陀・高三曹杨二中校考阶段练习）若一元二次不等式办2+4x+2＞0的解集是＜x＜“，则

实数。的值为.

7.（2023秋・上海松江•高三上海市松江二中校考阶段练习）设正实数无、y、z满足4丁-3孙+9一z=0,则现的最

Z

大值为一.

8.（2023秋・上海静安•高三校考阶段练习）已知函数1加+bx+c的图像如图所示，则不等式（依+3（及-。）＞0的

解集是.

9.（2023秋•上海杨浦•高三复旦附中校考阶段练习）李明自主创业，在网上经营一家水果店，为增加销量，李明进

行促销：一次购买水果的总价不少于120元，顾客就少付尤元，每笔订单顾客网上支付成功后，扣除平台费用，李

明会得到支付款的80%；为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为.

10.（2023・上海松江•校考模拟预测）已知定义在R上的偶函数/（幻=,-祖+1|-2,若正实数a、6满足

1o

f（a）+f^b）=m,贝心+：的最小值为一.

Clu

11.（2023秋・上海宝山•高三上海交大附中校考阶段练习）设心》均为正数，且孙=1,则5工+5,的最小值为.

12.（2023秋•上海普陀•高三曹杨二中校考阶段练习）若对任意实数x,不等式/22+a恒成立，则实数。的取值范

围为•

13.（2023秋•上海普陀・高三曹杨二中校考阶段练习）设尤且!+禺=。，若尤+y的最小值为3,则实数

a的值为.

14.（2023秋・上海静安•高三校考阶段练习）若对关于x的不等式2代日+:>o对一切任意都成立，

则实数上的取值范围是.

15.（2023秋・上海静安•高三上海市市西中学校考开学考试）设不等式32+2（〃z+l）x+9加+4>0对一切xeR都成

立，则机的取值范围是.

16.（2023・上海黄浦•格致中学校考三模）关于x的不等式依2-忖+2020的解集是（—，小），则实数a的取值范围

为.

916

17.（2023秋•上海黄浦•高三上海市敬业中学校考开学考试）已知0<x<l,则2+F的最小值为_____.

X1-x

18.（2023秋・上海嘉定・高三上海市育才中学校考阶段练习）若实数无、y满足6cos2（x+y-3）=5匚9^^找，

x-y+3

则XV的最小值为.

12

19.（2023秋・上海黄浦・高三格致中学校考开学考试）已知个=10,则1+「的最小值为____.

IgrIgj

二、单选题

20.（2023・上海黄浦・统考一模）设a、b、c、p为实数，若同时满足不等式渥+bx+c>0>bx2+cx+a>0^ex2+ax+b>0

的全体实数x所组成的集合等于（p,w）.则关于结论：①a、仄c至少有一个为0；②p=0.下列判断中正确的是（）

A.①和②都正确B.①和②都错误

C.①正确，②错误D.①错误，②正确

21.（2023・上海金山•统考二模）若实数。、6满足">廿>0,则下列不等式中成立的是（）

A.a>bB.T>2b

22

C.a>\b\D.log2a>log2b

22.（2023.上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测）a,b,c,JeR,且a>2,则“c>d”是“4+°>6+/”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

23.（2023秋・上海松江•高三校考阶段练习）若无>0,y>0且x+y=l,则工+工的最小值为（）

xy

A.4B.-4C.2D.-2

24.（2023秋・上海宝山•高三上海市行知中学校考阶段练习）已知X>0,y>0,x+2y=lf则区业主D的最小

孙

值为（）

A.4+4百B.12C.8+4百D.16

25.（2023・上海静安・统考一模）若实数尤,y满足x?+4y2_冲=3,则（）成立.

A.xy>\B.x2+4y2<4

C.x+2y>-A/2D.x+2y<.

26.（2023春・上海宝山•高三上海交大附中校考开学考试）对任意给定的实数〃、b,有|。+切4|4+同，且等号当且

仅当（）时成立

A.ab>0B.ab<0C.ab>0D."WO

27.（2023秋•上海普陀・高三曹杨二中校考阶段练习）已知则下列不等式一定成立的是（）

A.ac>bdB.aec>bed

C.ea-ec>eb-edD.aln（c-d）>hln（c-d）

28.（2023秋•上海普陀・高三上海市宜川中学校考阶段练习）设a,b是正实数，以下不等式①而〉当；②

a+b

9

a>\a-b\-b；@ab+—>2；④/+尸>4仍_3〃恒成立的序号为（）

ab

A.①②B.①④C.②③D.②④

11|3a+4/?-l|

29.（2023春•上海杨浦・高三复旦附中校考阶段练习）已知正实数a,。满足靛+”=25,则会+我的最小值为

（）

A.1叵-5B3C.—D.-

253

三、解答题

30.（2023秋・上海静安•高三校考阶段练习）已知函数/（劝=/-2依-a+2.

⑴若对于任意x右RJ（x）>0恒成立，求实数a的取值范围；

⑵若函数y=/（x）的图像与x轴正半轴有两个不同的交点，求实数。的取值范围.

备战2024高考优秀模拟题分类汇编一一等式与不等式

一、填空题

1.（2023春•上海杨浦・高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）不等式!<-1的解集是

X

【答案】（一1,0）

【分析】根据分式不等式运算求解.

【详解】因为上<-1,等价于上+1="<0,

XXX

等价于x（l+x）<。，解得-l<x<0,

所以不等式工<-1的解集是（-1,0）.

故答案为：（-1,0）.

2.（2023秋・上海•高三校联考开学考试）已知%>1,则工+94的最小值是_________.

x-1

【答案】5

【分析】利用基本不等式求解即可.

【详解】由1>1,得九一1>0,

44I4~

则x+——=x-l+——+l>2J（x-l）----+1=5,

x-1x-1vX-1

4

当且仅当％-1=—，即尤=3时取等号，

x—1

所以x+二的最小值是5.

x-l

故答案为：5.

1JQ

3.（2023秋•上海杨浦・高三复旦附中校考阶段练习）已知正实数x,y满足：x+—=1,则一的最大值为.

【答案】7

4

【分析】利用不等式。+直接计算即可.

【详解】-=+

>>4（*4

当且仅当x=L=即x=1,y=2时取得等号；

y22

Y1

故一的最大值为J;

y4

故答案为：7-

4

4.（2023秋•上海浦东新•高三上海市进才中学校考阶段练习）要使关于x的不等式0WV+依+6<4恰好只有一个解,

则〃=.

【答案】土2也

2

【分析】配方后得到幺-2=0,求出答案.

4

2/\22

【详解】0<X2+OX+6<4,即幺—6W4幺—2恰有一个解，

42）4

2_

故—2=0,解得a=±2啦.

4

故答案为：士2也

5.（2023秋•上海奉贤•高三上海市奉贤中学校考阶段练习）若等式/-10%-7=4（%+1）2+6（》+1）+°恒成立，贝！J

a+b+c的值为.

【答案】-7

【分析】令x=0即可得.

【详角星】x2-10x-7=q（x+l）~+6（x+l）+c,当尤=0,

则a+b+c=-l

故答案为：-7.

6.（2023秋•上海普陀・高三曹杨二中校考阶段练习）若一元二次不等式依?+4无+2>0的解集是"则

实数。的值为.

【答案】-6

【分析】根据题意，利用韦达定理，列出方程，计算可得

1,4

---1-1二--

【详解】根据题意，易知，a<0,令一+4x+2=0,由韦达定理，可得3解得。=-6.

（-T）xl=-

I3a

故答案为：-6

7.（2023秋・上海松江•高三上海市松江二中校考阶段练习）设正实数无、y、z满足4/_3xv+y2_z=0,则现的最

Z

大值为一.

【答案】1

【分析】把z用x，y表示，代入与中，化简后利用基本不等式即可求出最大值.

Z

【详解】因为4%2_3%y+y2_z=0,LUz=4x2-3xy+y2,

"=孙=]<]_=]=1

所以Z4尤2-3孙+9女-3+上，也一32x2-3,

y龙7丁1一

当且仅当竺=),即y=2无时等号成立，所以色的最大值为1.

yxz

故答案为：1.

8.(2023秋・上海静安•高三校考阶段练习)已知函数>=加+打+。的图像如图所示，则不等式出+顼笈-c)>0的

解集是.

\b=—3〃

【分析】由题意可知：方程以2+6尤+。=0的两根为L2,且。>0,利用韦达定理可得c,代入求解即可.

\c=2a

【详解】由题意可知：方程ox?+方%+o=0的两根为1,2,且〃>0,

-2=3

可得“，整理得

c_\c=2a

—=2'

、a

贝U不等式(ov+b)(/?x-c)>0即为(or—3a)(—3ar—2a)>0,

2

且〃>0,可得(％—3)(3x+2)v0,解得一耳<%<3,

所以不等式(依+6)(灰-c)>0的解集是,尹]

故答案为：,g，3).

9.(2023秋•上海杨浦・高三复旦附中校考阶段练习)李明自主创业，在网上经营一家水果店，为增加销量，李明进

行促销：一次购买水果的总价不少于120元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，扣除平台费用，李

明会得到支付款的80%；为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为.

【答案】15

【分析】设支付款为。2120)元，从而得到不等式，求出。28x,从而得到8xW120,求出答案.

7

【详解】设支付款为a(aN120)元,则80%(a-力之而a,

解得a>8x,

因为a'120,故8x〈120,解得％415.

故答案为：15

10.（2023・上海松江•校考模拟预测）已知定义在R上的偶函数/（幻=|彳-m+1|-2,若正实数服6满足

17

/（a）+/（»）=〃?，则上+］的最小值为一.

au

【答案、】IQ

【分析】首先根据偶函数的定义，得出加的值，再由/5）+/■（处）=%得出。+26=5,用不等式“1”的妙用，即可

得出最小值.

【详解】因为〃x）是定义在R上的偶函数，

所以/（―X）=|—X—77Z+1|—2=f（无）=|x—m+l|—2,即〃?=1,

所以/（幻=同一2,

因为若正实数。、。满足功）=1,

所以/(a)+/(28)="―2+2/?—2=1,即。+2〃=5,

12b2〃、1c29

=l+——+——>l+2x—

5a5b55

当且仅当三=券，即々=〃时，等号成立,

ja5b

Q

故答案为：—.

11.（2023秋•上海宝山•高三上海交大附中校考阶段练习）设x、y均为正数，且移=1,则5、+5，的最小值为

【答案】10

【分析】利用基本不等式结合已知条件求解即可

【详解】5,+5,22后+〉N2/5诉=10，当且仅当尤=>=1时取等号,

则5'+5y的最小值为10.

故答案为：10

12.（2023秋•上海普陀・高三曹杨二中校考阶段练习）若对任意实数无，不等式尤2w2+a恒成立，则实数。的取值范

围为.

【答案】a<-2

【分析】只需将恒成立问题转化为最值问题即可求出参数。的取值范围.

【详解】对任意实数》,不等式/NZ+a恒成立，

等价于xeR时，优）向"22+a,

所以0N2+a即aW—2.

故答案为：a<-2

13.（2023秋•上海普陀・高三曹杨二中校考阶段练习）设尤且!+7匕=。，若x+y的最小值为3,则实数

a的值为.

【答案】2

【分析】利用基本不等式进行求解即可.

【详解】因为x>0,y>l,且!+言=。，

>-|2+2ELZZ|+i=l+b当且仅当上二L=一\时取等号,

NxyTJ〃％y-1

4

因此1+y的最小值为—HI,

4

而已知X+V的最小值为3,所以一+1=3=>。=2,

当且仅当％=i,y=2时1+y有最小值为3,

故答案为：2

14.（2023秋•上海静安•高三校考阶段练习）若对关于x的不等式2日2+反+:>0对一切任意xe都成立,

则实数上的取值范围是.

「41

【答案】0）-

【分析】分左=0和％wO两种情况，结合二次函数分析求解.

【详解】当左=0时，则”>。符合题意；

O

4

当左。0时，可得<—<——,解得。<%（］；

48

4

综上所述：实数上的取值范围是。,§.

-4~

故答案为：0,§.

15.（2023秋・上海静安•高三上海市市西中学校考开学考试）设不等式如2+2（根+1）%+9%+4>0对一切XER都成

立，则加的取值范围是.

【答案】匕,+力

【分析】由二次函数值域恒大于0的条件求解.

【详解】机=。时，不等式2犬+4〉。不满足对一切九ER都成立，则相。0,

不等式侬+2（小+1）%+9机+4>。对一切光£口者|5成立，

m>0］

则有人［2（利+1）>4闻9利+4）<0'解得心“

所以加的取值范围是（J+sj.

故答案为：I;"00］

16.（2023・上海黄浦・格致中学校考三模）关于x的不等式也?-国+2°之0的解集是（7,+®）,则实数a的取值范围

为.

【答案】［孝,+切

【分析】构造八幻=依2-国+24,利用函数的性质，将问题转化成在［0,+8）上恒成立，再通过分离常转化成求函

数的最值即可求出结果.

【详解】因为关于X的不等式加-W+2a20的解集是（分,—）,所以苏-国+2a20在R上恒成立，

令/（尤）=加—国+2a,易知/CO为偶函数，所以加TH+2a20在R上恒成立，即/'（尤）=/—同+2”上0在［0,+oo）

上恒成立，

所以，当％=0时，由ax?一次+2〃=2a20,得至！Ja20,

>%二12

当x>0时，由依2-x+2aN0,得到“一瓦口―一，又因为无+—220,当且仅当尤=夜时取等号，所以

X+—X

X

、1_V2

Q2---尸=---,

204

综上，实数。的取值范围为［学,+8.

故答案为：^~，+8-

L4J

Q16

17.（2023秋•上海黄浦・高三上海市敬业中学校考开学考试）已知Ov%vl,则己+一匕的最小值为_____.

x\-x

【答案】49

【分析】根据2+普=［2+四］（》+1_力化简后直接利用基本不等式求出最小值即可.

X1XkX1XJ

【详解】由Ovxvl,则

/+生平+生］（x+1）=25+&+型+225+2、叵S=49,

X1—x\x1—x）l—xXYl—XX

当且仅当红="二立，即尤时取等号，

1-xx7

所以29+416取得最小值49.

故答案为：49

18.（2023秋・上海嘉定•高三上海市育才中学校考阶段练习）若实数x、y满足6cos2（无+y-3）=+止,

则xy的最小值为.

［答案］土二2

4

【分析】对式子等价变形，利用基本不等式及余弦函数的性质求得>=尤=亍（4eZ）,再利用二次函数性质求得

最值即可.

【详解】6cos“x+y-3)="3)2+(y一③一2孙=八y+9+6=6y-2肛+9

x-y+3x-y+3

(二+3)士—+3+^^

x—y+3x-y+3

99

因为x—y+3n-----------26或x—y+3H------------<—6,且0工6cos2(x+y—3)<6,

x-y+3x-y+3

9

所以6cos2(兀+丁一3)=6,所以cos(x+y-3)=±l,当且仅当％-丁+3=--------^即x—y+3=3,即同时

x-y+3

x+y-3=E(keZ)时，等号成立，所以信eZ),

所以孙=［竽［4等:当人=-1时，等号成立，故孙的最小值为&

故答案为：贝厘

4

19.（2023秋・上海黄浦・高三格致中学校考开学考试）已知x>l,y>l,孙=10,则J+的最小值为____.

IgrIgy

【答案】3+2V2/2V2+3

【分析】依题意可得lgx+lgy=l,再由基本不等式“1”的妙用即可得解.

【详解】因为x>l,y>l,孙=10,

所以lgx+lgy=lg孙=1,lgx>0,lgy>0,

所以4+m=（4+m）dgx+lgy）=3+臀+警23+2肾.警=3+20,

IgxlgyIgxIgyIg.rIgy\lgxIgy

当且仅当警二誉1,即lgy=01gx=2-0时，等号成立，

igxigy

12L

显然此时x，y有解，所以「+厂的最小值为3+2夜.

IgxIgy

故答案为：3+2五.

二、单选题

20.（2023・上海黄浦・统考一模）设a、b、c、p为实数，若同时满足不等式依2+bx+c>Q>bx1+cx+a>Q^cxL+ax+b>G

的全体实数x所组成的集合等于（p,—）.则关于结论：①a、6、c至少有一个为0；②。=0.下列判断中正确的是（）

A.①和②都正确B.①和②都错误

C.①正确，②错误D.①错误，②正确

【答案】D

【分析】分类讨论研究一元二次不等式的解集即可.

【详解】对于①假设。=0、6=0、c=0,则三个不等式解集为0,不符合题意，所以“。、b、c至少有一个为0”

是错误的.

对于②，由题意知，a、b、c三个都不小于0,

当。=0,b=0,c>0时，和,+法+。>0解集为R,加+cx+a>0解集为（。,+°°）,ex?+办+6>0解集为

（-8,0）I（0,+»）,所以三个集合交集为（0,+8）；

当。=0,b>0,c=0时，q尤2+6x+c>0解集为（。,+°°）,6尤a+cx+a>0解集为（H30,。）11（。,+°°）,ex2+ax+b>0^

集为R，所以三个集合交集为（。，y）；

当a=0,b>0,c>0时，ox?+6x+c>0解集为（一f,+（»）,fee?+cx+a>0解集为（一<»,-，）U（0,+°°），ex2+ax+b>0

bb

解集为R,所以三个集合交集为（0,茁）；

同理可得：当。>0,b=0,c=0时，当。>0,b=0,c>0时，当a>0,b>0,c=0时，三个集合交集也是（0,+°°）；

当a>0,b>0,c>0时，

hr

若ax?+法+。=0有两个不同的根，设ax?+6x+c=0的两根为X］、x,则无］+%=—<0,玉x,=—>0,所以玉<。

2a'a

且X2<。，所以62+bx+c>o解集为｛彳|彳<芯或x>xj,

bx2+cx+a=0只有一个根时，bx2+cx+a>0解集为（—0,-三）"（-三,+°°）,

2b2b

er2+ax+6=0无木艮时，ex?+a尤+匕>0解集为R,

所以集合的交集为（-8,加）」（",+oo）,与题意不符，

综述：a、b、。中有一个为。且另外两个大于0或。、b、c中有两个为。且另外一个大于0,P=0.

故选：D.

21.（2023・上海金山•统考二模）若实数。、6满足片>o,则下列不等式中成立的是（）

A.a>bB.2">2"

2

C.。>网D.log,a>log2b~

【答案】D

【分析】对于D,结合对数函数的单调性即可判断；对于ABC,取。=-2,6=-1即可判断.

【详解】由题意，a2>b2>0,所以logz4Alog*"故D正确;

当。=-2,b=-l时，a2>b2>0,^.a<b,2a<2b<网，故A,B,C错误.

故选：D.

22.（2023•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测）a,b,c,JeR,且。>>，则“c>d”是“”+06+年''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】充分性：因为且c>d,由不等式的性质可得a+c>8+d,充分性成立；

必要性：取。=3,b=2,c=l,d=L5,则a+c>6+d成立，S.a>b,但c>d”不成立，必要性不成立.

因此，"c>d"是"。+。>6+1”的充分不必要条件.

故选：A.

23.（2023秋・上海松江•高三校考阶段练习）若x>0,y>。且x+y=l,则工+'的最小值为（）

xy

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】A

【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

【详解】因为x>0,y>。且x+y=l,

所以4+工=（工+工）（尤+丫）=2+2+222+2/1-2=4,

尤y尤y无y，尤y

当且仅当上=二，即x=y=2时，等号成立.

尤y2

所以'的最小值为4.

%y

故选：A.

24.（2023秋・上海宝山•高三上海市行知中学校考阶段练习）已知尤>0,y>0,x+2y=l,则回皿独的最小

孙

值为（）

A.4+4指B.12C.8+4石D.16

【答案】C

【分析】把待求式中“1”用x+2y替换，然后用基本不等式求得最小值.

【详解】因为％>。，y>0,x+2y=lf

所以（x+l）（y+l）=（x+x+2y（y+x+2y）=（2x+2y）（x+3y）_2/+6/+8孙>2也炉・6丁+8孙_8+4^

、孙孙孙孙一孙‘、’

当且仅当2%2=6）/,即％=26-3,丁=2-有时，等号成立.

故选：c.

25.（2023・上海静安・统考一模）若实数满足/+4/_孙=3,则（）成立.

A.xy>lB.x2+4y2<4

C.x+2y>-A/2D.x+2y<5/2.

【答案】B

【分析】运用基本不等式，对条件代数式变形，逐项求解.

【详解】由f+4y2-xy=3和基本不等式d+4^22/万=4|孙|（S%2=4y2时等号成立），

%2+4/-xy=3>4|xy|-xy,当冷之。时，有孙41,当个<。时，xy>-j,A错误；

由刈，孙|（当X,〉同号时等号成立）得：4xy<4|xy|<x2+4y2,-xy>-X,x2+4y2-xy=3>~[x2+4y2）,

尤2+4y2<4,B正确；

x2+4y2—xy=（x+2_y）2—5xy=3,.,.（x+2y）2=3+5xy<3+5=8（x2=4y2时等号成立），

.-.-2V2<x+2y<2V2,C,D错误；

故选：B.

26.（2023春・上海宝山•高三上海交大附中校考开学考试）对任意给定的实数a、b,有|。+切（时+科，且等号当且

仅当（）时成立

A.ab>0B.ab<0C.ab>0D.obWO

【答案】C

【分析】根据不等式的性质化简可得等号成立条件.

【详解】由|々+。除同+例o（a+b）2<（向+同产<^ab^ab\,

所以不等式取等号时，必=0或次?>0,

故选：C

27.（2023秋•上海普陀・高三曹杨二中校考阶段练习）已知则下列不等式一定成立的是（）

A.ac>bdB.aec>bed

C.ea-ec>eb-edD.aln（。-d）>Z?ln（c-d）

【答案】C

【分析】根据已知，结合不等式性质及指对数的性质比较各式的大小关系.

【详解】A：若a=4>>=2>c=—l>d=—2,止匕时ac=Z?d,错；

]e2

B：若a=-l>/?=-2>c=-3>d=T,止匕时=—=--<bcd=--,错；

C：由.=>单调递增,S^a>b>c>d,则e">e">0,e。>e">0,所以e“d>g•/,对;

D：若°=4+1,则ln(c-d)=0,止匕时。111(0—4)=6111(0—4)=0,错.

故选：C

28.（2023秋•上海普陀・高三上海市宜川中学校考阶段练习）设。，5是正实数，以下不等式①，石>当；②

a+b

2

a>\a-b\-b-@ab+—>2；④1+功>4而一3/恒成立的序号为（）

ab

A.①②B.①④C.②③D.②④

【答案】C

【分析】对于①③：利用基本不等式进行判断，注意等号成立的条件；对于②：根据绝对值不等式，进行处理判断;

对于④：利用作差法进行整理判断，注意等号成立的条件.

【详解】对①，而，即即当且仅当a=6时等号成立，①不正确；

对②，因为。力是正实数，则,一4<々+〃，/.\a-k\-b<a+b-b=