2024届江苏省苏州市东山中学九年级上册数学期末质量跟踪监视试题含解析

2024届江苏省苏州市东山中学九上数学期末质量跟踪监视试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.如图，BC是A的内接正十边形的一边，8。平分NABC交AC于点。，则下列结论正确的有()

①BC=BD=AD；②5c2=OCAC；③A8=2AD；®BC=^^-AC.

2

©

BC

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学,

根据题意，列出方程为()

11

A.x(x+l)=1035B.x(x-l)=1035C.yx(x+l)=1035D.—x(x-l)=1035

3.将抛物线y=2/向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为().

A.y=2(x+2)2+3；B.y=2(x—2)2+3；

C.y=2(x-2)2-3；D.y=2(x+2)2-3.

5.在平面直角坐标系中，以原点。为位似中心，位似比为1：2.将ZVLBC缩小，若点A坐标(-2,4),则点A对

应点4坐标为()

A.(-1,2)B.(-4,8)C.(一1.2)或(1,-2)D.(-4,8)或(4,-8)

6.在AABC中，ZC=90°,若cosB=X^，贝UsinA的值为（）

2

AHKV3RA/3nJ_

322

7.若关于x的一元二次方程kx2-2x+l=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）

A.k>lB.k<lC.k>l且k邦D.kVl且导0

8.已知点P（a,b）是平面直角坐标系中第四象限的点，则化简后+|b-a|的结果是（）

A.a-2bB.aC.-a+2bD.-a

9.顺次连结菱形各边中点所得到四边形一定是（）

A.平行四边形B.正方形C.矩形D.菱形

10.已知点4（加,1）,8（〃,3）都在反比例函数丫=&（%〉0）的图像上，那么（）

x

A.m<nB.m=nC.m>nD.m、〃的大小无法确定

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图，抛物线y与直线y="+c的两个交点坐标分别为A（-2,4）,B（1,1）,则关于X的方程依2-fer-c=O

12.若关于x的方程f+5x+左=o的一个根是1,则上的值为.

;7m

13.已知实数m,n满足等式m2+2m-l=0,n2+2n-l=0,那么求一+一的值是.

mn

91

14.如图，点A为函数y=—（x>0）图象上一点，连接OA,交函数y=—（x>0）的图象于点B,点C是x轴上一点,

xx

且AO=AC,则AABC的面积为.

15.如图，与。。相切于点A,AB是。。的直径，在。。上存在一点C满足《4=PC,连结尸8、AC相交于点R

PF

且NAPB=3N8PC,则——=.

16.如图，AABC中，NB4C=90°，A3=4,AC=5,。是AC上一个动点，以AO为直径的。。交3。于£,

则线段CE长的最小值是.

17.设a,b是一个直角三角形两条直角边的长，且(/+/)(/+/+])=]2,则这个直角三角形的斜边长为

18.数据8,8,10,6,7的众数是

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图：在R3ABC中，ZC=90°,NABC=30。。延长CB至D,使DB=AB。连接AD.

(1)求NADB的度数.

(2)根据图形，不使用计算器和数学用表，请你求出tan75。的值.

k

20.（6分）如图，四边形ABC。为正方形，点A的坐标为（0,2）,点B的坐标为（0,-3）,反比例函数y=—（女声0）的

x

图象经过点C.

（1）AO的线段长为；点。的坐标为；

（2）求反比例函数的解析式：

（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△24。的面积恰好等于正方形ABCO的面积，求点P的坐标.

21.（6分）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD=2m.经测量，得到其它数据如图所示.其

中NCA”=37。，ZDBH=67°,AB=10/«,请你根据以上数据计算GH的长.（参考数据

22.（8分）如图，A3与酸相交于点。，XOBDSAOAC,—=OB=6,SAAOC=50,

OC5

求：（1）AO的长；

(2)求S^BOD

23.（8分）省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单

位：环）：

第一次第二次第三次第四次第五次第六次

甲10898109

乙10101098

(1)根据表格中的数据，可计算出甲的平均成绩是环(直接写出结果)；

(2)已知乙的平均成绩是9环，试计算其第二次测试成绩的环数；

(3)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差，根据计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由.

(计算方差的公式：52=^[(%,-%)2+(^-%)2++(X„-X)2])

24.(8分)如图，一块等腰三角形钢板的底边长为80ca,腰长为5OC777.

(1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径；

(2)用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少cm?

25.(10分)为争创文明城市，我市交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动.在活动前和活动后分

别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，并将两次收集的数据制成如下统计图

表.

活动前骑电瓶车戴安全帽情况娩计表活动后罚电瓶车戴安全帽情况统计图

糊！J人数

A68

B245

C510

D177

1000

百分

类别人数

比

A686.8%

B245b%

Ca51%

D17717.7%

总计c100%

根据以上提供的信息解决下列问题:

(1)a=，b=c=

（2）若我市约有30万人使用电瓶车，请分别计算活动前和活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数.

（3）经过某十字路口，汽车无法继续直行只可左转或右转，电动车不受限制，现有一辆汽车和一辆电动车同时到达该

路口，用画树状图或列表的方法求汽车和电动车都向左转的概率.

26.（10分）某商场经销一种布鞋，已知这种布鞋的成本价为每双30元.市场调查发现，这种布鞋每天的销售量y（单

位：双）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=—x+60（304x^60）.设这种布鞋每天的销售利润为w元.

（1）求w与x之间的函数解析式；

（2）这种布鞋销售单价定价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、C

【分析】①③，根据已知把NASO,ZCBD,NA角度确定相等关系，得到等腰三角形证明腰相等即可;②通过证

△A3cs△BQ9,从而确定②是否正确，根据AD=BD=BC,^—="解得BC=且二1AC,故④正确.

ACBC2

【详解】①3c是。4的内接正十边形的一边，

因为AB=AC,NA=36°,

所以NABC=NC=72。，

又因为BD平分NA8C交AC于点D,

:.ZABD=ZCBD=^ZABC=36°=ZA,

：.AD=BD,ZBDC=ZABD+4=72。="

:.BC=BD,：.8c=皿=4。,正确；

又「△ABD中，AD+BD>AB

.*.2AD>AB,故③错误.

②根据两角对应相等的两个三角形相似易证4ABC^^BCD,

.BCCD寸

••=，又AB=AC,

ABBC

故②正确，

根据即—=—

ACBC

解得BC=避二1AC,故④正确，

2

故选C.

【点睛】

本题主要考查圆的几何综合，解决本题的关键是要熟练掌握圆的基本性质和几何图形的性质.

2、B

【解析】试题分析：如果全班有X名同学，那么每名同学要送出（X-1）张，共有X名学生，那么总共送的张数应该是

X（X-1）张，即可列出方程.

•.•全班有X名同学，

.•.每名同学要送出（X-1）张;

又•.•是互送照片，

...总共送的张数应该是X（X-1）=1.

故选B

考点：由实际问题抽象出一元二次方程.

3、B

【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.

【详解】解：将抛物线），=2/向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为

y=2（x-2）-3,

故选B.

【点睛】

本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.

4、B

【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1,所以每一个三角形的边

长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项.

【详解】设小正方形的边长为1,根据勾股定理，所给图形的边分别为及，2无，回,

所以三边之比为1:2:石

A、三角形的三边分别为2、丽、3夜，三边之比为2：质：3及，故本选项错误；

B、三角形的三边分别为2、4、2近，三边之比为1:2:逐，故本选项正确;

C、三角形的三边分别为2、3、小，三边之比为2:3:后，故本选项错误；

D、三角形的三边分别为逐、JB、4,三边之比为正：至：4,故本选项错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，观察出所给图形的直角三角形的特点是解题的

关键.

5、C

【分析】若位似比是k,则原图形上的点(x,y),经过位似变化得到的对应点的坐标是(依，⑪)或(-自，-妙).

【详解】•••以原点O为位似中心，位似比为1:2,将♦ABC缩小，

点4(—2,4)对应点A的坐标为：(-1，2)或(1,-2).

故选：C.

【点睛】

本题考查了位似图形与坐标的关系.此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，

相似比为攵，那么位似图形对应点的坐标比等于土％.

6、C

【分析】根据特殊角的三角函数值求出NB,再求NA,即可求解.

【详解】在AA3C中，NC=90°,若COS8=E,则NB=30。

2

故NA=60°,所以sinA=X3

2

故选：C

【点睛】

本题考查的是三角函数，掌握特殊角的三角函数值是关键.

7、D

【解析】根据一元二次方程的定义和A的意义得到到1且A>1,即(-2)2-4x*xl>l,然后解不等式即可得到4的

取值范围.

【详解】二•关于x的一元二次方程kx2-2x+l=l有两个不相等的实数根，

.•.写1且A>1,BP(-2)2-4x*xl>l,

解得且厚1.

...A的取值范围为AVI且写1.

故选o.

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+〃x+c=l(。丹)的根的判别式A=%2-4ac：当A>L方程有两个不相等的实数根；当A

=1,方程有两个相等的实数根；当AVI,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.

8、A

【解析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，求解即可.

【详解】•••点P(a,b)是平面直角坐标系中第四象限的点,

.".a>0,b<0,

:.b-a<0,

+|b-a|=-b-(b-a)=-b-b+a=-2b+a=a-2b,

故选A.

【点睛】

本题考查点的坐标，二次根式的性质与化简，解题的关键是根据象限特征判断正负.

9、C

【分析】根据三角形的中位线定理首先可以证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形.再根据对角线

互相垂直，即可证明平行四边形的一个角是直角，则有一个角是直角的平行四边形是矩形.

【详解】如图，四边形ABCD是菱形，且E.F.G、H分别是AB、BC、CD,AD的中点,

B

r,11

贝(JEH〃FG〃BD,EF=FG=-BD；EF〃HG〃AC,EF=HG=-AC,AC±BD.

22

故四边形EFGH是平行四边形，

XVAC1BD,

；.EH_LEF,ZHEF=90°，

边形EFGH是矩形.

故选：C.

【点睛】

本题考查平行四边形的判定和三角形中位线定理，解题的关键是掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理.

10、C

【分析】由反比例函数的比例系数为正，那么图象过第一，三象限，根据反比例函数的增减性可得m和n的大小关系.

【详解】解：•••点A(m,1)和B(n,3)在反比例函数y="(k>0)的图象上,

X

1<3,

Am>n.

故选：C.

【点睛】

此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是根据反比例函数的比例系数得到函数图象所在的象限,

用到的知识点为：k>0,图象的两个分支分布在第一，三象限，在每一个象限内，y随X的增大而减小.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、%=-2,%2=1

)'=了的解为

【详解】•••抛物线/=以2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(—2,4),8(1,1),.•.方程组，

y=bx+c

=-2x

9即关于工的方程or2-fer-c=O的解为玉=-2,%=1,

71=4

12、一6

【分析】把X=1代入原方程就可以得到一个关于k的方程，解这个方程即可求出k的值.

【详解】把x=l代入方程/+5%+左=()得到1+5+%=0,解得左=-6.

故答案为：-6.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，将方程的根代入并求值是解题的关键.

13、1或-2

【分析】分两种情况讨论：①当机时，根据根与系数的关系即可求出答案；②当,〃=〃时，直接得出答案.

【详解】由题意可知：，〃、〃是方程—+lx-l=0的两根，分两种情况讨论：

①当机#〃时，由根与系数的关系得：

.国力—m2+/i2_（根+〃）2—2加〃_4+2_

••=-------=---------------=-----=-2,

mnmn-1

②当m=n时，原式=1+1=1.

72m

综上所述：一+一的值是1或-2.

mn

故答案为：1或-2.

【点睛】

本题考查了构造一元二次方程求代数式的值，解答本题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于中等题型.

14、6.

91

【分析】作辅助线，根据反比例函数关系式得：SAAOD=],SABOE=5,再证明ABOEsaAOD,由性质得OB与OA

的比，由同高两三角形面积的比等于对应底边的比可以得出结论.

【详解】如图，分别作BEJLx轴，AD_Lx轴，垂足分别为点E、D,

/.BE/7AD,

/.△BOE^AAOD,

.S、BOK=OB?

S'AOD。4一

VOA=AC,

/.OD=DC,

SAAOD=SAADC=--SAAOC>

2

9

•••点A为函数y=—(x>0)的图象上一点,

x

••SAAOD——，

2

同理得：SABOE=，

2

故答案为6.

15、华.

4

【分析】连接OP,0C,证明△04尸出△OCP,可得PC与。。相切于点C,证明BC=CP,设OM=x,贝!]3C=CP=

1।、丽PFPM

AP=2x必证得△AMPs/XOAP,可得：刀=V-y,证明△PMFS/\BC尸，由一二—可得出答案.

f8BFAP

【详解】解：连接。p,OC.

・・・B4与。。相切于点4PA=PC9

AZOAP=90°,

•・・OA=OC,OP=OP,

:.AOAP段AOCP(SSS),

；・NOAP=NOCP=90°,

・・・PC与。。相切于点c,

■:NAPB=3NBPC,ZAPO=NCPO,

:・/CPB=/OPB,

・・・A5是。。的直径，

AZBCA=90°,

OPLAC,

:.OP〃BC,

:・NCBP=/CPB,

：.BC=CP=AP,

•；OA=OB,

：.OM=-BC=-AP.

22

设OM=x,贝！J8C=CP=AP=2x,PM=y,

VZOAP=ZAMP=90°,ZMPA=ZAPO,

:.△AMPSAOAP,

,AP__0P_

''~PM一~AP'

:.AP2=PM*OP,

(2x)2=y(j+x),

解得：x=1上迎y,x=1二5一y(舍去).

88

".,PM//BC,

:.△PMFs^BCF,

.竺_现_PM_=y_V17-1

''BF~BC~AP2x~—4

故答案为：MI二1.

【点睛】

本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理.正确作出辅助线,

熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

16、V29-2

【分析】连接AE,可得NAED=NBEA=90。，从而知点E在以AB为直径的。Q上，继而知点Q、E、C三点共线时

CE最小，根据勾股定理求得QC的长，即可得线段CE的最小值.

【详解】解：如图，连接AE,则NAED=NBEA=90。值径所对的圆周角等于90°）,

B

：.点E在以AB为直径的。Q上，

VAB=4,

.\QA=QB=2,

当点Q、E、C三点共线时，QE+CE=CQ（最短）,

而QE长度不变为2,故此时CE最小，

VAC=5,

QC=y/A^+AC2=V22+52=y/29，

：.CE=QC-QE=V29-2,

故答案为：V29-2.

【点睛】

本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点

到圆上一点的最短距离问题.

17、乖)

【分析】此题实际上求寿的值.设t=a?+b2,将原方程转化为关于t的一元二次方程t(t+1)=12,通过解方程

求得t的值即可.

【详解】设t=a?+b2,则由原方程，得

t(t+1)=12,

整理，得

(t+4)(t-3)=0,

解得t=3或t=-4(舍去).

则a2+b2=3,

Ya,b是一个直角三角形两条直角边的长，

22

,这个直角三角形的斜边长为y/a+b=V3•

故答案是：百.

【点睛】

此题考查了换元法解一元二次方程，以及勾股定理，熟练运用勾股定理是解本题的关键.

18、1

【分析】根据众数的概念即可得出答案.

【详解】众数是指一组数据中出现次数最多的数，题中的1出现次数最多，所以众数是1

故答案为：L

【点睛】

本题主要考查众数，掌握众数的概念是解题的关键.

三、解答题(共66分)

19、(1)ZADB=15°；(2)2+73

【分析】(D利用等边对等角结合NABC是AADB的外角即可求出NADB的度数；

CD

(2)根据图形可得NDAB=75。，设AC=x,根据“zND4C=——，求出CD即可；

AC

【详解】(1)VDB=AB

ZBAD=ZBDA

VZABC=30°=ZBAD+ZBDA

ZADB=15°

(2)设AC=x,

在RtZ\ABC中，NABC=30。，

:.AB=2X,BC=MX

:.AB=BD—2x

CD=BC+BD=Q+6)x

tan!5°=tan/DAC==2+A/3

AC

【点睛】

此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握

定理及性质是解本题的关键.

20、⑴5,(5,-3)；(2)y=(3)点P的坐标为［一*12］或8)

【分析】(D根据正方形及点A、B的坐标得到边长，即可求得AD,得到点C的坐标；

(2)将点C的坐标代入解析式即可；

(3)设点P到AO的距离为〃，根据△PAD的面积恰好等于正方形ABC。的面积求出h的值，再分两种情况求得

点P的坐标.

【详解】⑴•.•点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(0,-3),

.*.AB=2-(-3)=5,

•.•四边形ABC。为正方形，

，AD=AB=5,

VBC=AD=5,BC_Ly轴，

.-.C(5,-3).

故答案为：5,(5,-3)；

（2）把C（5,-3）代入反比例函数y=£得

k

-3=《解得人=—15

反比例函数的解析式为y=--；

x

（3）设点P到AO的距离为〃.

正方形ABCD的面积5x5=25,

的面积1x5x〃=25,

2

解得丸=10.

①当点P在第二象限时%=//+2=12,

…155

此时，x=----=—

124

二点尸的坐标为（一；,12）

②当点P在第四象限时，»=一（〃-2）=-8

1515

此时，Xp¥

点P的坐标为

综上所述，点P的坐标为或（孩,-8

【点睛】

此题考查正方形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，利用反比例函数求点坐标，（3）中确定点P时不要忽略

反比例函数的另一个分支.

21、GJ7的长为10m

【分析】首先构造直角三角形，设DE=xm,则CE=(x+2)m,由三角函数得出AE和BE,由AE=BE=AB得出方程,

解方程求出DE,即可得出GH的长

【详解】解：延长交A”于点E,则如图所示.

CFDE

在RtAAEC和Rt^BED中，tan37°=一tan67°=

AE~BE

DE

：.AE=-^-T，BE=

tan370tan67°

,：AE-BE=AB,

x+2x

.CEDE

-------=10,即312=10,

''tan37°tan67°4T

解得：x=8,

；.DE=8m,

:.GH=CE=CD+DE=.

答：GH的长为10机.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，解题关键在于作出点E

22、(1)10;(2)1.

【分析】(1)根据相似三角形对应边之比相等可得四=型=』，再代入30=6可得40长;

AOCO5

(2)根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得白丝=白，进而可得SAB”.

3Aoe25

【详解】解：(1),:△OBDS^OAC,

.BODO_3

••--

AOCO5

,;BO=6,

.♦.40=10；

(2)•:AOBDsAOAC,—=-

CO5

SBOD_9

AOC25

VSAAOC=50,

•'•SABOD=1.

【点睛】

此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方.

24

23、(1)9；(2)7；(3)S^=-,Sl=~,选甲，理由见解析.

【分析】(1)根据图表中的甲每次数据和平均数的计算公式列式计算即可；

(2)根据图表中的乙每次数据和平均数的计算公式列式计算即可；

(3)分别从平均数和方差进行分析，即可得出答案.

【详解】(1)甲的平均成绩是：(10+8+9+8+10+9)+6=9；

(2)设第二次的成绩为

则乙的平均成绩是：(10+。+10+10+9+8)+6=9,

解得：a=7；

(3)酩=|[(10-9)2+(8—9)2+(9—9『+(8—9)2+(10—9)2+(9-9)2=|,

Si=\(10—9)2+(7-9)2+(10—9)2+([0—9)2+(9—歹+(8—旷-二：,

推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：

两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛

更合适.

【点睛】

此题主要考查了平均数的求法、方差的求法以及运用方差做决策，正确的记忆方差公式是解决问题的关键，方差反映

了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.

40

24、(1)—cm；(2)40cm.

3

【分析】(1)由于三角形ABC是等腰三角形，过A作AD_LBC于D,那么根据勾股定理得到AD=30,又从这块钢板

上截得的最大圆就是三角形的内切圆，根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在AD上，分别连接AO、BO、CO,然后

利用三角形的面积公式即可求解；

(2)由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆是三个三角形的外接圆，设覆盖圆的半径为R,根据垂径定理和勾股

定理即可求解

【详解】解：(1)如图，过A作ADLBC于D

BDC

VAB=AC=50,BC=80

J根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理可得

AD=30,BD=CD=40,

设最大圆半径为r,

贝|JSAABC=SAABO+SABOC+SAAOCr

11

ASAABC=一xBCxAD=-(AB+BC+CA)r

22

11

-x80x30=5(50+80+50)r

“40

解得：r=—cm；

3

(2)设覆盖圆的半径为R,圆心为Ol

:•△ABC是等腰三角形，过A作ADLBC于D,

.-.BD=CD=40,AD=7502-402=30，

.,.O,在AD直线上，连接O，C,

在RtAOfDC中，

由R2=402+(R-30)2,

.125

•*R=-----；

3

若以BD长为半径为40cm,也可以覆盖，

,最小为40cm.

【点睛】

此题分别考查了三角形的外接圆与外心、内切圆与内心、等腰三角形的性质，综合性