2024届黑龙江省龙西北高中名校联盟高三年级上册开学考试数学试题（解析版）

2024届黑龙江省龙西北高中名校联盟高三上学期开学考试数学试题

一、单选题

1.已知集合4={—3,-2,—1,0,1,2,3},B=则AcB的真子集的个数为()

A.7B.8C.15D.16

【答案】A

【分析】进行交集的运算求出A",然后即可得出AB的真子集的个数.

【详解】•.•集合A={-3,-2,-l,O,l,2,3},B={X|-1<X<3},

.•.A3={O,l,2},

..AB的真子集的个数为：23-1=7个.

故选：A

2.设i为虚数单位，复数z满足(l+i)z=-l+i,则z与为()

L3

A.y/2B.1C.3D.—

2

【答案】B

【分析】由已知化简可得，z=i,然后根据共较复数求出三，即可得出答案.

【详解】由已知可得,Z=-号(IT)?T

(l+i)(l-i)2

所以，Z

所以，z-z=ix(-i)=l.

故选：B.

3.已知关于x的一元二次不等式加+6x+c>0的解集为{刈令<3},则不等式篁1>0的解集为

()

A.,|x|——<.^<4

B.

C.{也<-：或x>4}D.{小〈-4或x>-g}

【答案】C

【分析】由题意知1和3为方程底+fec+c=O的两个根，由韦达定理可得c=3a,b=4,且a<0,

则不等式竺把＞0等价于三二＞0,即（3X+D（X-4）＞0,由此即可写出答案.

cx+a3x+l'八

【详解】因为关于x的一元二次不等式o^+bx+oO的解集为卜|1令＜3},

所以1和3为方程奴?+加+c=0的两个根，

b

1+3=—

由韦达定理有："，

1x3=-

a

所以c、=3々，b=-4a,且a＜0,

则竺吆＞o,等价于二过＞o,gp（3x+l）（x-4）＞0,

故不等式的解集为（^，-:卜卜+动.

故选：C.

4.已知向量a=（cosa$in。），/?=（2,-1）,若Q_L/;,则cos26+；sin26的值为（）

A.-3B.1-C.4-D.2:

5353

【答案】A

【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求出tan。的值，利用二倍角公式以及弦化切可求得所求代数

式的值.

1

【详解】已知向量a=（cosO,sin。），/?=（2,-1）,且。_1力，

则。力=2cos6-sine=0,即sin6=2cos。，

若cos6=0,则sinO=O,这与sire+co/*1矛盾，

所以，cos，w0,故tang=力”?=2,

cos，

EiU2八1.八八2A•八八cos2。+sin。cos。1+tan。

因止匕，cos-0+—sin2。=cos-。+sin0cos0=----z----------=------—

2cos?。+sir?。l+tan20

1+23

~T+4~5'

故选：A.

5.如图，在正方体ABC。-A4G。中，尸为线段AC的中点，则异面直线4。与片尸所成角的大小

为（）

7Tn

C.D.

7n

【答案】C

【分析】根据异面直线夹角的定义，连接BC,则NCB/就是所求的角,

解三角形即可.

连接BC，则A。//8c,故NCB7为异面直线4。与B7所成角或其补角,

连接A片，则AA=CB1,

因为尸为AC的中点，故B£_LAC,在中，

因为CF=gAC=；AC,故NC87=2，

即异面直线A。与B7所成角的大小为g；

0

故选：C.

6.设定义R在上的函数y=/(x),满足任意xeR,都有〃x+4)=〃x),且xe(0,4］时,

>/(x)，则/(2021),」(2；22),〃2023)的大小关系是()

矿(x)

3

“2022):“2023)B.»<2021)<»

A./(2021)</(

2'3

“2023)<«</(2021)D.«<21)<«

C./(20

3

【答案】A

【分析】利用构造函数法，结合导数以及函数的周期性确定正确答案.

【详解】依题意，任意xeR,都有/(x+4)=〃x),所以/(x)是周期为4的周期函数.

所以〃2021)=〃1)，'(2~，，''§~；-)-

构造函数F(x)=W(0<x44)/(x)=(x)>0,

所以外力在区间(0,4］上单调递增，所以尸(1)<尸(2)〈尸(3),

即型〈幽<组，也即〃2。21)〈%也<01.

123v723

故选：A

7.将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，

若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为()

A.90B.135C.270D.360

【答案】B

【分析】根据题意和简单计数问题，结合分步乘法计数原理即可求解.

【详解】在6个盒子中任选2个，放入与其编号相同的小球，有CS=15种，

剩下的4个盒子的编号与放入的小球编号不同，

假设这4个盒子的编号为3,4,5,6,

则3号小球可以放进4,5,6号盒子，有3种选法，

剩下的3个小球放进剩下的3个盒子，有3种选法，

所以不同的放法种数为15x3x3=135种选法.

故选：B.

8.设a=e3,b=lnl.2,c=23,则()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】c

【分析】根据a=e«8的结构特征，令〃x)=e'-x-1,利用其导数可得e'±x+l,从而推出

“=摩”0.2,同理构造g(x)=lnx-x+l,推出b<0.2<a,再利用第函数性质比较4。，即得答案.

【详解】设/(x)=e"—x—l,则_f(x)=e'—1,

当x>0时，f\x)>0,当xvO时，尸(“<0,

所以f(x)在(0,+8)上单调递增，在(-8,0)上单调递减,

所以/■(")*="0)=0,

所以/(3)之。,「©-%—120,「.e'Nx+1在R上恒成立，

所以a=e«8>-0.8+1=02.

设g(x)=lnx-x+l,贝ijg<x)=g-l,

当x>l时，g'(x)<0,当0<x<l时，g'(x)>0,

所以g(x)在(1,一)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

所以g(x)a=g6=lnl—1+1=0,

所以g(x)40,,Inr-x+140,Inr<x-1在(0,+力)上恒成立,

所以Z?=lnl.2cl.2-1=0.2<。.

函数y=#8在(o,+8)上单调递增，所以(；「>(：’，即

从而有c>a>b,

故选：C.

【点睛】关键点睛：此类比较大小的问题的关键是能根据数值的结构特征确定变量，从而构造函数,

利用导数判断其单调性，进而比较大小.

二、多选题

9.下列命题中，真命题的是()

A.«>1,人>1是必>1的充分不必要条件

fl

B.若(1+x)”=〃0+4X+%％2+—Fanx,则q+%+…〃〃=2"

函数〃"=J7+16+9

C.的最小值为6

4+16

D.命题“VxeR,d+x+iwo，，的否定是“玉°eR,芯+/+1=0”

【答案】AD

【分析】根据不等式的性质和举例说明即可判断A；令x=1可得2"=劭+4+生++4即可判断B；

根据基本不等式的应用即可判断C；根据全称量词命题的否定即可判断D.

【详解】A：当时，他＞1成立，

当。=-2,0=-2,满足必＞1,但不成立，

故是“而＞1”的充分不必要条件,故A正确；

B：令/(x)=(l+x)",令x=l,得2"=4+4+的++a„,故B错误；

C-4+16＞0,丁9--＞0,

VZ716

则/(x)=&+16+/-2——＞2」4+]69=6,

Vx2+16VVX2+16

I-----9

当且仅当'"2+16=,即丁=一7时等号成立,显然f=_7不符合题意，故C错误；

VX+16

D：命题“DxeR,/+x+lH0”的否定为“切eR,片+$+1=0"，故D正确.

故选：AD.

22

10.已知曲线c的方程为一J+”_=l(meR),则()

机+13-加

A.当m=1时，曲线。为圆

B.当m=5时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y=±日x

C.当勿＞1时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆

D.不存在实数“使得曲线C为双曲线，其离心率为及

【答案】ABD

【分析】根据给定的方程，利用选项中的条件计算判断A,B,C；否定结论，导出矛盾判断D作答.

22

【详解】在曲线C的方程工+」一=](〃蚱七中，加工一1且，”*3,

+13-721

对于A,当〃7=1时，曲线C的方程为炉+丁=2,曲线C是原点为圆心，血为半径的圆，A正确;

对于B,当〃?=5时，曲线C的方程为曲线C是双曲线，其渐近线方程为y=±/x,

B正确；

对于C,由选项B知，当加=5＞1时，曲线C：上—3=1是双曲线，C不正确；

62

对于D,假定存在实数机使得曲线C为双曲线，其离心率为夜，

则有(相+1)(3-附＜0,且|加+1|=|3-机|,显然无解，

所以不存在实数，〃使得曲线C为双曲线，其离心率为应，D正确.

故选：ABD

11.下列命题是真命题的是()

A.若函数〃x+l)的定义域为[-2,2],则函数“X)的定义域为[-3』

B.函数f(x)=k>ga(2x-l)+/T(其中a>0且"1)的图象过定点(1,1)

C.函数/(x)=ln(x-x2)的单调递减区间为[g,+8]

~x"_cix-5(x<1)

D.已知/")=〃/八在(e,y)上是增函数，则实数。的取值范围是[T—2]

口”)

【答案】BD

【分析】根据-24x42可求得x+1的范围，即为定义域，知A错误：由/⑴=1恒成立可知B

正确；根据对数型复合函数单调区间的求法可知C错误；令分段函数每一段单调递增且在分段处函

数值大小关系符合单调递增关系即可构造不等式组求得D正确.

【详解】对于A,Q/(x+l)的定义域为[―2,2],即—24x42,14X+143,

\f(x)的定义域为为1,3],A错误;

对于B,/(l)=logal+a°=0+1=1,\f(x)图象过定点(1,1),B正确;

对于C,令〃=工一12,由〃>0知：Ovxvl,

.〃=尸丁在(0，；上单调递增，在；，1)上单调递减，

又y=ln〃在(0,田)上单调递增，\/(X)的单调递减区间为C错误;

-->1

2

对于D,4X)在(T»,+<»)上是增函数，二,a<0，解得：-2,

-\-a-5<a

即实数。的取值范围为[-3,-2],D正确.

故选：BD.

12.设定义在R上的函数“X)与g(x)的导函数分别为/(X)和g'(x).若)=2,

g'(x)=f'(x-2),且/(x+2)为奇函数，则下列说法中一定正确的是()

A.函数/(力的图象关于点(1,0)对称B.g(3)+g(5)=^

20232023

C.Zf(%)=°D.Zg(A)=O

*=1A=1

【答案】BC

【分析】由g'(x)=/'(x—2)得g(x)=〃x-2)+a,结合〃x)-g(4-x)=2得〃x)=〃2-x)+a+2,

即可令x=l求得a=-2.

对A,由/(x)=/(2-x)可判断其对称性;

对C,由/(x+2)为奇函数可得y=/(x)的周期、对称性及特殊值，从而化简；

对BD,由g(x)=/(x-2)-2,结合C即可判断.

【详解】对A,•••g'(x)=/'(x-2),则g(x)=/(x-2)+a,则g(4-x)="2-x)+a,

又/(x)-g(4—x)=2,所以/(x)=f(2-x)+a+2,令x=l,可得a+2=0,即a=-2.

所以f(x)=/(2-x),所以函数/(x)的图象关于x=l对称，A错；

对C,•••”x+2)为奇函数，则y=〃x)图像关于(2,0)对称，ja/(2+x)+/(2-x)=0,

.•.40)=0,/(2)=0,/⑴+"3)=0,/(4)+/(O)=O,.\/(4)=0.

又/@+2)=_〃_*+2)=_〃6，.・.〃6=-〃％+2)=/&+4),二丫=/(司的周期7'=4,

2023

£f(k)=505[/(1)+/(2)+”3)+/(4)]+/(1)+/(2)+/(3)=0,C对；

k=l

对B,g(x)=f(x-2)-2,则g(x)是周期7=4的函数，g(3)+g(5)=〃l)—2+“3)—2=T,B

对；

20232023

对D,2g(幻=/(T)-2+/(0)-2+f⑴-2+…+/(2021)-2=Z/(Q-2X2023=-4046,D错.

A=1A=l

故选：BC.

三、填空题

13.设aeR,f(x)=a'2'+a~2(xeR),/(x)为奇函数，贝心的值为________.

2*+1

【答案】1

【分析】先化简已知函数，再由函数为奇函数可得/(耳+/(-力=0,由此式可解。的值.

【详解】要使〃x)为奇函数，；xeR,.•.需"x)+"-x)=0,

f(x)=a-—,f(-x)=a———=a-^—,

')2*+1八)Tx+12V+1

由"丁-+。-芈=0,得2a一生M=0，，a=L

2+12+12*+1

故答案为：1.

14.等差数列｛4｝中的&,。监是函数f(x)=x3—6x2+4x-l的极值点，则l°g;即“。=.

【答案】-1/-0.5

【分析】先由题意求出a4+/36=4,利用等差中项求出"m。和对数的运算法则，即可求解.

【详解】函数f(x)=d-6/+4X-1的定义域为R,导函数函数/(x)=3f-12x+4.

因为4,g36是函数/(》)=1-6/+4犬-1的极值点，

所以。4,。刈6是方程/。)=0的两根，所以“4+”如6=4.

因为｛%｝为等差数列，所以.。=区詈3=2,

IIC1

所以log]/0=1%2=一不.

442

故答案为：

15.已知函数f(x)=2x+a,g(x)=lnx-2x,如果对任意的x2e；,2,都有/(xJVgG)成立,

则实数a的取值范围是.

【答案】(-，In2-8]

【分析】根据题意转化为/(x)皿4g(X)mm，求导函数，分别求出函数〃尤)的最大值,g(x)的最小

值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围.

11V

【详解】由g(x)=3—2x,可得g，(x)=；-2=『，

当xe1,2,g'(x)<0,所以g(x)在；，2单调递减，

，g(x)而n=g(2)=ln2-4,

f(x)=2x+a,\/(x)在；,2上单调递增，

“(x)2=〃2)=4+a，

对任意的X1，1,2,都有〃xjvg(w)成立，

.•.4+6z<ln2-4,

/.6r<ln2-8,

故答案为：(Y,ln2-8].

四、双空题

16.己知函数〃X)=|2-，T，8⑴="2,且方程"x)=〃?有两个不同的解，则实数机

的取值范围为,方程g[/(x)]=机解的个数为.

【答案】0<加<14

【分析】作出函数y=m与函数y=・f(x)的图象，数形结合可得出实数加的取值范围；在方程

g[/(x)]=机中，设f=/(x)e(O,+8),作出函数的图象，数形结合可得出函

数丫=8(。与直线y=m«O,l)的交点横坐标八％、4的取值范围，再利用数形结合思想得出方程

〃x)=4、/(x)f、"x)=g的根的个数，即可得解.

【详解】函数/(》)=|2一"-1|=｛二’-当记0时，-40,则0<2一"1,此时

2—1,x<()

/(x)=l-2^e[0,l),

由题意可知，直线丫=根与函数y=/(x)的图象有两个不同的交点，如下图所示：

由图可知，当0<加<1时，直线y=〃2与函数y=/(x)的图象有两个不同的交点，故0<“<1；

方程g[f(x)]=m中，设f=/(x)e(0,+oo),

即g(f)=/n,即函数y=g。)与直线y=，〃«0,l)的交点问题,

|1log/|,0</<2〜

作出函数g(f)=39-M>2的图象如下图所示:

因为。＜加＜1,函数卜=8（。与y=加有3个交点，

即g（f）=机有三个根乙、f2、*其中U«O,1）、马«1，2）、4«2,3）,

再结合y=〃x）图象可知，方程〃x）=4有2个不同的根，方程f2=〃x）有1个根，

方程4=/（x）有1个根，

综上所述，方程g[/（x）]=加有一4个不同的解.

故答案为：0＜加＜1；4.

五、解答题

17.在“45C中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,sin（4-3）=sinC-sin8.

⑴求角A；

（2）若工"C外接圆的半径为亚，求JWC面积的最大值.

3

【答案】（1）A=]

⑵26.

（分析]（I）先根据sin（A-8）=sinC-sinB展开，结合正弦和差化积公式进行化简，可得出cosA=g,

进而得出角A的值.

（2）根据题意和正弦定理可得出边长〃的值，再由第一问和余弦定理得出h和c的关系

b2+c2=bc+S,结合基本不等式即可求出一45C面积的最大值.

【详解】（1）由sin（A—8）=sinC—sinB得，sin（A-B）=sin（A+B）-sinB,

所以sin5=sin（A+6）-sin（A_8）=2cosAsinB,又0＜3＜兀，所以sin3＞0,

]TT

所以cosA=二，因为0<4<兀，所以4=:；

23

(2)由一A8C外接圆的半径为侦，则得a=£^sin4=20,

33

由余弦定理得，cos4」+厂-J即〃+°2=从+8,

2hc

所以〃+°2=/7C+8N»C,解得历<8.

所以SAABC=；6csinAW2上,故.ABC面积的最大值为2百•

18.已知二次函数f(x)满足〃x+l)—/(x)=2x且"0)=1.

⑴求〃x)的解析式；

⑵若方程〃x)=ar,xe[2,3]时有唯一一个零点，且不是重根，求“的取值范围；

⑶当xe[-1,1]时，不等式/(x)>2x+m恒成立，求实数加的范围.

【答案】(1)/(司=/一工+1

⑵匕「3区7'

(3)

【分析】(1)设/(司=歌2+桁+。，〃0)=1,得到c=l,代入函数计算得到[：=:，得到解析式.

[D=-1

(2)令网力=〃力-5，只需砍2>〃(3)40,解不等式并验证得到答案.

(3)设g(x)=d-3x+l-〃?，确定函数的单调性，计算最值得到答案.

【详解】(1)设/(力=以2+版+。，则由/(O)=l,c=L

“\[2a=2[a=\

/(x+l)-/(x)=2x,Bp2ax+a+b=2x,\,即，，，，

'''，[a+6=0n[Z?=-l

/(x)的解析式为/(x)=x2—x+l.

(2)-^-/i(x)=/(x)-ar=x2-(a+l)x+l,则/z(2)=3-2a,〃⑶=7-3a,

由刈力=0在[2,3]上有唯一零点且不是重根，

、q7

只需力(2b可3)40,(3-2«)(7-3«)<0,解得

3

经检验。时，方程Mx)=O在［2,3］上有唯一解片2；

时，方程人(力=0在［2,3］上有唯一解X=3,

'37'

故实数。的取值范围为.

(3)x?-x+1>2x+%在［-1,1］上恒成立，即f—3x+l—〃?>0在［-1,1］上恒成立.

设g(x)=x2-3x+l-m,其图象的对称轴为直线x=1,

所以g(x)在［-1,1］上单调递减.

故只需g⑴>0，即『-3xl+l-m>0,解得机<—1,机e(-0o,T)

19.已知函数f(x)=xsinx+cosx,xe(O,2兀).

⑴求函数“X)在x=n处的切线方程；

(2)求函数“X)的极值.

【答案】⑴也+y-Y+l=0

⑵〃x)的极大值为?/(x)的极小值为-9•

【分析】(D根据导数的几何意义即可求解;(2)根据导数与极值的关系即可求解.

【详解】(1)因为/(x)=xsinx+cosx,

所以/'(%)=sinx+xcosx+(-sinx),

所以/'(x)=xcosx,

所以/'(兀)=7tCOS7l=_7C,

而/(7l)=7lsin7l+COS7C=-l,

所以函数/(x)在冗=兀处的切线方程为：=

BP7ix4-y—7r24-1=0,

(2)因为/(x)=xsinx+cosx,

所以尸(%)=sinx+xcosx+(-sinx),

所以/'(x)=xcosx,

令/'(x)-xcosx=0,

jr

解得了=0或X=]+,

又因为xe（0,2元）,

i3

所以X=]兀或X=17t,

1fl3]3

X-7t_兀,一兀—71

2(22)2(13

f\x)+0—0+

/极大值极小值/

函数/（X）的极大值为了（；兀）=各呜+8$5=5；

函数/（X）的极4、值为兀）=/sin芋+cos¥=-与.

20.随着全国新能源汽车推广力度的加大，尤其是在全国实现“双碳”目标的大背景下，新能源汽车

消费迎来了前所未有的新机遇.为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会

依据年龄采用按比例分层随机抽样的方式抽取了200名市民，并对他们选择新能源汽车，还是选择

传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据：

选择新能源汽车选择传统汽车合计

40岁以下65

40岁以上（包含40岁）60100

合计200

（1）完成2x2列联表，并判断依据。=0.001的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关;

⑵以样本的频率作为总体的概率，若从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机

抽取3人，用X表示抽取的是“选择新能源汽车''的人数，求X的分布列及数学期望E（X）.

n(ad-bey.,

附:Z2二---------r;---------0--------「----r,n=a+b+c+a

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0100.001

%2.7063.8416.63510.828

【答案】（1）至少有99.9%的把握认为选择新能源汽车与年龄有关.

（2）分布列见详解，E（X）=1.2.

n(ad-be)2

【分析】（1）根据2x2列联表中的数据以及公式力2=进行计算求解.

(a+〃)(c+d)(a+c)(/?+4)

（2）利用二项分布进行计算求解.

【详解】（1）由题可知:

选择新能源汽车选择传统汽车合计

40岁以下6535100

40岁以上（包含40岁）4060100

合计10595200

所以上端线磊等

所以至少有99.9%的把握认为选择新能源汽车与年龄有关.

（2）由题可知，从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机抽取,

抽取的是“选择新能源汽车”的人的概率为0.4，所以X~3（3,0.4）,

所以X的可能取值为：0,1,2,3,且

P(X=O)=C5xO.4oxO.63=0.216；

p(X=1)=C；x0.4'x0.62=0.432；

尸(X=2)=C；x0.42xO.61=0.288；

P(X=3)=《x。甲x0.60=0.064；

所以X的分布列为:

X0123

P0.2160.4320.2880.064

数学期望E(X)=1x0.432+2x0.288+3x0.064=1.2.

21.从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每

次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.

(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X,求X的分布列；

(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记”次传球后球在甲手中的

概率为p,,〃=1,2,3,,

①直接写出Pl，2，P3的值；

②求P〃+i与P”的关系式，并求p.

【答案】(D分布列见解析

⑵①Pi=O，P2=；,。3=；；②P.+i=-；P“+；，”=l，2,3：11+

【分析】(1)由离散型随机变量的分布列可解；

(2)记4“表示事件“经过"次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求

=-；P,,+g，再由数列知识，由递推公式求得通项公式,

【详解】(1)X可能取值为1,2,3,

p(X=l)=年=』；p(X=2)=华=3；p(X=3)=卑

、/C；10、/C；5、'C110

所以随机变量X的分布列为

(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且〃次传球后球在甲手中的概率为％,〃=1,2,3,

E士c2121

贝IJ有四=。，。2=g=/，凸=^=]，

记4表示事件“经过〃次传球后，球在甲手中”，

+F

A,+i=A,-A.+i+4.A，+i