河南省信阳市罗山县彭新镇一中2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷

河南省信阳市罗山县彭新一中2023-2024学年九年级上学期开学

数学试卷（解析版）

一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.）

1.（3分）若方程（％-1）7+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）

A.m#1B.〃?20

C.m20且加WlD.m为任意正实数

2.（3分）一元二次方程，-8x-1=0配方后可变形为（）

A.（x+4）2=17B.（x+4）2=15C.（x-4）2=17D.（%-4）2=15

3.（3分）方程3=0的根是（）

A.x=3B.xi=3，X1—-3

4.（3分）已知命题“关于x的一元二次方程/+公+1=0,当匕<0时必有实数解”，能说明

这个命题是假命题的一个反例可以是（）

A.b=-IB.b=2C.b=-2D.b=Q

5.（3分）下列关于x的一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）

A./+1=0B.x2+x-1=0C.X2+2X-3=0D.4/-4x+l=0

6.（3分）若xi=-1是关于x的方程/+加"5=0的一个根,则此方程的另一个根%2=（）

A.-5B.AC.5D.-A

55

7.（3分）已知xi、m是关于x的方程/-or-2=0的两根，下列结论一定正确的是（）

A.B.Xl+X2>0C.X\9X2>0D.Xl<0,X2<0

8.（3分）菱形ABC。的一条对角线长为6,边AB的长为方程/-7尹10=0的一个根，则

菱形ABCQ的周长为（）

A.8B.20C.8或20D.10

9.（3分）今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60,“（长

边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600川.设

扩大后的正方形绿地边长为第外下面所列方程正确的是（）

A.x(x-60)=1600B.x(x+60)=1600

C.60(x+60)=1600D.60(%-60)=1600

10.（3分）有一个两位数，它的数字和等于8,交换数字位置后，则原来的两位数为（）

A.26B.62C.26或62D.以上均不对

二、填空题（每小题3分，共15分）

II.（3分）关于x的一元二次方程，+bx+c=0的两根为xi=l,X2—2,则/+6x+c分解因

式的结果为.

12.（3分）关于x的一元二次方程（机-1）x2-〃?x+l=0有两个不相等的实数根，则〃?的

取值范围是.

13.（3分）已知xi,也是关于x的一元二次方程W-5x+a=0的两个实数根，且加2-也2

=10,则a=.

14.（3分）一个三角形的两边长为3和4,若第三边长是方程f-8x+15=0的一个根，则

这个三角形的形状为,面积为.

15.（3分）以下是龙湾风景区旅游信息：

旅游人数收费标准

不超过30人人均收费80元

超过30人每增加1人,人均收费降低1元，

但人均收费不低于50元

根据以上信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元.从中可以

推算出该公司参加旅游的人数为.

三、解答题

16.用适当的方法解下列方程.

（1）W-2x=2x+l；

（2）/-2x=3；

（3）（x-1）（x+3）=12；

（4）⑵+1）2+3（2j+l）+2=0.

17.已知关于x的一元二次方程-（，〃+2）x+2=0.

（1）求证：不论，〃为何值，方程总有实数根；

（2）机为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？

18.如图所示，在宽为20〃?，长为30/n的矩形地面上修建两条同样宽的道路，若耕地面积

需要551机2,求修建的路宽为多少？

19.已知关于x的一元二次方程(a+c)x1+2bx+Ca-c)=0,其中a,b

(1)如果x=-l是方程的根，试判断AABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断AABC的形状，并说明理由；

(3)如果△A8C是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

20.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12机的住房墙，为方便进出,

在垂直于住房墙的一边留一个加宽的门，猪舍面积为80〃/

住房墙

21.水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每

天可售出100斤，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，张阿姨决定

降价销售.

(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤(用

含x的代数式表示)；

(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

22.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中为优选品种，提高产量，某农业科技小

组对A,B两个品种各种植了10亩.收获后A,B两个品种的售价均为2.4元/&g,A,B

两个品种全部售出后总收入为21600元.

(1)请求出A,B两个品种去年平均亩产量分别是多少？

(2)今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A,预计A,B两个品种平均亩产

量将在去年的基础上分别增加“％和2a%.由于B品种深受市场的欢迎，而A品种的售

价不变.A,B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加空

9

23.手机下载一个APP,缴纳一定数额的押金，就能以每小时0.5至！J1元的价格解锁一辆自

行车任意骑行…最近的网红非“共享单车”莫属.共享单车为解决市民出行的“最后一

公里”难题帮了大忙，随意停放、加装私锁、大卸八块等毁坏单车的行为也层出不穷.某

共享单车公司一月投入部分自行车进入市场，一月底发现损坏率不低于10%,使可使用

的自行车达到7500辆.

(1)一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆？

(2)二月份的损坏率达到20%,进入三月份，该公司新投入市场的自行车比二月份增长

4a%,毁坏共享单车的行为引起了一场国民素质的大讨论，三月份的损坏率下降为工，

4

三月底可使用的自行车达到7752辆，求〃的值.

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.）

1.（3分）若方程（机-1）/+x=l是关于x的一元二次方程，则相的取值范围是（）

A.mB.机20

C.且相D.为任意正实数

【分析】根据一元二次方程的定义进行解答.

【解答】解：依题意得：，1W0,

解得e2.

故选：A.

【点评】本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整

式方程叫做一元二次方程，一般形式是a/+fex+c=0（且“W0）.特别要注意的条

件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.

2.（3分）一元二次方程7-8x-1=0配方后可变形为（）

A.（x+4）2=17B.（x+4）2=15C.（%-4）2=17D.24）2=15

【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得.

【解答】解：：X2-8X-3=0,

.'.X2-lx—1,

5x+16=l+16,即（x-4）3=17,

故选：C.

【点评】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

3.（3分）方程3=0的根是（）

A.x=3B.xi=3,X2=-3

cD

--xj=V3>X2=-V3

【分析】这个式子先移项，变成/=3,从而把问题转化为3的平方根.

【解答】解：移项得7=3,

-*.x=±V8-

故选：D.

【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未

知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成(。20)的形式，利用

数的开方直接求解.(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：/=“

a)?=b(.a,b同号且0)；(x+a)2=b(b20)；a(x+/>)2=cCa,c同号且ar0).法

贝U：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1,再开平方取正负，分开求得方程

解”.(2)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.

4.(3分)已知命题“关于x的一元二次方程/+公+1=0,当6V0时必有实数解”，能说明

这个命题是假命题的一个反例可以是()

A.b=-1B.b=2C.b=-2D.b=0

【分析】先根据判别式得到△=序-4,在满足fe<0的前提下，取匕=-1得至IJA<0,

根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是b=-1可作为说明这个命题是假命题的一

个反例.

【解答】解：A=b2-4,由于当6=-5时，而AV。，所以当b=-l时.

故选：A.

【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题

设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以

写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定

理.也考查了根的判别式.

5.(3分)下列关于x的一元二次方程中，有两个相等实数根的是()

A.7+1=0B./+x-l=0C./+2x-3=0D.47-4x+l=0

【分析】逐一求出四个选项中方程的判别式△的值，由此即可得出结论.

【解答】解：A、在方程/+1=2中，A=02-5X1X1=-6<0,

此方程无解；

B、在方程f+x-7=0中，A="-4X1X(-4)=5>0,

,此方程有两个不相等的实数根；

C、在方程f+2x-3=7中，A=22-2X1X(-3)=16>7,

此方程有两个不相等的实数根；

。、在方程4/-7x+l=0中，△=(-4)2-4X6X1=0,

•••此方程有两个相等的实数根.

故选：D.

【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是

解题的关键.

6.(3分)若xi=-1是关于x的方程7+，蛆-5=0的一个根,则此方程的另一个根X2=()

A.-5B.AC.5D.-A

55

【分析】设方程的另一根为"，由一个根为m=-1,利用根与系数的关系求出两根之积,

列出关于X2的方程，求出方程的解得到X2的值，即为方程的另一根.

【解答】解：•."]=-1是关于X的方程/+〃LL5=0的一个根，设另一个为X2,

.*•-leX2=-4,

解得：X2=5,

则方程的另一根是小=5.

故选：C.

【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系：XI,X2是一元二次方程/+灰+。=0

(〃#0)的两根时，Xl+X2=-—,X1>X2=—.

aa

7.(3分)已知"、我是关于x的方程x2-or-2=0的两根，下列结论一定正确的是()

A.B.xi+x2>0C.xi*x2>0D.xi<0,JC2Vo

【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△>(),由此即可得出xiWr,结

论A正确；

8、根据根与系数的关系可得出xi+%2=a,结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；

C、根据根与系数的关系可得出X1・X2=-2,结论C错误；

。、由XI・JQ=-2,可得出XI、双异号，结论£>错误.

综上即可得出结论.

【解答】解：A；△=(-a)2-4X4X(-2)=/+5>0,

.'.Xl^X3,结论A正确；

8、♦.”]、是关于x的方程d-ax-2=0的两根，

.\X2+X2=a,

•・•〃的值不确定，

二•B结论不一定正确；

C>Vxix一是关于□的方程x2-ax-2=6的两根,

/.xiex2=-6,结论C错误;

£）、Vxrx2=-8,

，X1、X2异号，结论。错误.

故选：A.

【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当A>0时，方程有两个不

相等的实数根”是解题的关键.

8.（3分）菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长为方程/-7>10=0的一个根，则

菱形ABCZ）的周长为（）

A.8B.20C.8或20D.10

【分析】边A8的长是方程）2-7）'+10=0的一个根，解方程求得y的值，根据菱形ABCQ

的一条对角线长为6,根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD

的周长.

【解答】解：•解方程，-7/10=2得：），=2或5

••,对角线长为2,2+2<2；

二菱形的边长为5.

，菱形ABCD的周长为4X7=20.

故选：B.

【点评】本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角

形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可.

9.（3分）今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60〃？（长

边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加16OO/〃2.设

扩大后的正方形绿地边长为笛力下面所列方程正确的是（）

A.x（x-60）=1600B.x（x+60）=1600

C.60（x+60）=1600D.60（x-60）=1600

【分析】设扩大后的正方形绿地边长为山；，根据“扩大后的绿地面积比原来增加1600〃/”

建立方程即可.

【解答】解：设扩大后的正方形绿地边长为X"?,根据题意得

x2-60x=1600,即x（x-60）=1600.

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到

等量关系.

10.（3分）有一个两位数，它的数字和等于8,交换数字位置后，则原来的两位数为（

A.26B.62C.26或62D.以上均不对

【分析】首先设原两位数个位数字为x,则十位数字为8-x,则原来的两位数是10(8

-x)+x,交换数字位置后得到的新的两位数是10x+8-%,再根据新的两位数与原两位数

之积为1612列出方程，再解即可.

【解答】解：设原两位数个位数字为x,则十位数字为8-x

[10(8-JC)+x][10x+3-x]=1612,

解得：xi=6,X3—2,

当x=6时，7-x=2,

当x=2时，4-x=6,

则原来的两位数为62或26,

故选：C.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等

量关系，列出方程.

二、填空题(每小题3分，共15分)

11.(3分)关于x的一元二次方程7+必+。=0的两根为xi=l,X1—2,则/+bx+c分解因

式的结果为(x-1)(x-2).

【分析】已知了方程的两根，可以将方程化为：a(x-xi)(x-x2)=0(4W0)的形式,

对比原方程即可得到所求代数式的因式分解的结果.

【解答】解：已知方程的两根为：Xl=l,X4=2,可得：

(x-1)(x-7)=0,

.,.x1+hx+c=(x-4)(x-2).

【点评】一元二次方程G?+6X+C=0(a¥0,a、氏c是常数)，若方程的两根是xi和

贝!1a^+bx+c—a(x-xi)(x-X2)

12.(3分)关于x的一元二次方程(根-1)/-mr+l=0有两个不相等的实数根，则机的

取值范围是且.

【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式4=62-4农＞0,建立关于m

的不等式，求出，"的取值范围.还要注意二次项系数不为0.

【解答】解：•••方程为一元二次方程，

(nz-1)#0,即m#3,

：方程有两个不相等实数根，

△=（-m）2-4（.m-5）=（/w-2）2>8,

♦♦

综合得m^\且m于7.

故答案为：力且机W2.

【点评】总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

①△>00方程有两个不相等的实数根；

②X=0=方程有两个相等的实数根；

③AVOo方程没有实数根.

（2）一元二次方程的二次项系数不为0.

13.（3分）已知xi,垃是关于工的一元二次方程7-5x+q=0的两个实数根，且xJ-九??

=10,则a=21.

-4-

【分析】由两根关系，得根XI+X2=5,x\9x2=a,解方程得到XI+%2=5,即加-及=2,

即可得到结论.

【解答】解：由两根关系，得根X1+X2=3,X\*x2=a,

由工82-X22=10得（X1+/2）（X2-X2）=10,

若元1+X3=5,即％|-%4=2,

:.（XI-X3）2=（X1+X3）2-4x3・JC2=25-4〃=4,

•〃一21

4

故答案为：21.

4

【点评】本题考查了根与系数的关系：若xi,X2是一元二次方程以2+以+°=0（a^0）的

两根时，X\+X2—--,X1X2=£>.

aa

14.（3分）一个三角形的两边长为3和4,若第三边长是方程7-8x+15=0的一个根，则

这个三角形的形状为等腰三角形或直角三角形，面积为京或6.

【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其

周长和面积.

【解答】解：解方程7-8x+15=2,得xi=3,*=5,即第三边的边长为3或4.

第三边的边长V7,

.•.第三边的边长为8或5.

当x=5时，

又42+46=52,.•.此三角形是直角三角形,

这个三角形的面积是：AX3X8=6.

2

当x=3时，此三角形是等腰三角形，

等腰三角形的高为底后，

此等腰三角形的面积为工X4X«五；

3

故答案为：等腰三角形或直角三角形，K而或7.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了三角

形三边的关系.

15.(3分)以下是龙湾风景区旅游信息:

旅游人数收费标准

不超过30人人均收费80元

超过30人每增加1人,人均收费降低1元，

但人均收费不低于50元

根据以上信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元.从中可以

推算出该公司参加旅游的人数为40.

【分析】首先确定是否超过三十人，然后设参加这次旅游的人数为x人，根据总费用为

2800元列出一元二次方程求解即可.

【解答】解：(因为30义80=2400<2800,所以人数超过30人；

设参加这次旅游的人数为x人，依题意可知：x[80-(x-30)]=2800

解之得，x=40或x=70,

当x=70时,80-(x-30)=80-40=40<50,

&〃bsp;即：参加这次旅游的人数为40人.

故答案为：40.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数

学解决生活中实际问题的能力.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，

找出合适的等量关系，列出方程，再求解.

三、解答题

16.用适当的方法解下列方程.

(1)x2-2x=2x+l；

(2)?-2x=3；

(3)(x-1)(x+3)=12；

(4)(2y+l)2+3(2y+l)+2=0.

【分析】(1)利用配方法求解求解即可;

(2)利用因式分解法求解即可；

(3)利用因式分解法求解即可；

(4)利用因式分解法求解可得.

【解答】解：(1)?-2x=5x+1,

2

x-2x=lf

x2-7x+4=1+4,即)(x-2)2=3,

••x-2=±A/^，

：.X6=2+J^,X5=1-V5；

(2)x6-2x=3,

X4-2X-3=7,

(x-3)(x+1)=4,

・・・x-3=0或x+7=0,

/.XI=8,X2=-1；

(3)(x-7)(x+3)=12,

X2+4X-15=0,

(x+5)(x-3)=0,

/.x+5=4或尤-3=0,

AA3=-5,X2=4;

(4)(2y+l)3+3(2y+6)+2=0,

(7y+l+2)(8y+l+l)=2,

・・・2y+3=4或2y+2=5,

o

.*.yi=-—,y2=-1.

8

【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、

配方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求

解.

17.已知关于x的一元二次方程“u2-(nz+2)x+2=0.

(1)求证：不论机为何值，方程总有实数根；

(2)，"为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？

【分析】(1)根据根的判别式即可求出答案.

(2)根据因式分解法可求出方程的两根，根据题意给出的条件即可求出的值.

【解答】(1)证明：△=(/n+2)2-6/M=(W-2)228,

.•.当取任何值时，方程总有实数根.

(2)解：rm2-(w+4)尤+2=0,

(x-3)(mx-2)=0,

，x=6或尸上，

m

由题意可知：且mW3且"?W-1,

由题意可知：m=l.

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属

于基础题型.

18.如图所示，在宽为20/71,长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，若耕地面积

需要551〃春求修建的路宽为多少？

【分析】可以把两条互相垂直的小路平移到矩形两边上，这样便于表达耕地的长(30-x)

m,宽260-x)"?,根据耕地的面积可以列出方程，再解方程即可.

【解答】解：设修建的路宽为切7,依题意得：

(30-x)(20-%)=551,

解得：xi=l,及=49(不合题意，舍去).

答：修建的路宽为1机.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是利用平移表示出耕地的长和宽,

再根据耕地的面积列出方程.

19.已知关于x的一元二次方程(a+c)^+2bx+(a-c)=0,其中a,b

(1)如果x=-l是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断aABC的形状，并说明理由；

(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

【分析】⑴把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0,整理得a=b,从而可判断三角形

的形状；

(2)根据判别式的意义得△=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,即层+°2=42,然后根据

勾股定理可判断三角形的形状；

(3)利用等边三角形的性质得a=b=c,方程化为/+、=0,然后利用因式分解法解方

程.

【解答】解：(1)△ABC是等腰三角形：

理由：把x=-1代入方程得a+c-26+a-c=5,则a=6；

(2)ZVIBC为直角三角形；

理由：根据题意得△=(2b)2-7(a+c)(a-c)=0,即b2+c4=a2,所以△ABC为直

角三角形；

(3):△ABC为等边三角形，

••ct=b=Ci

，方程化为/+x=6,解得Xl=0,X5=-1.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程a^+bx+c—O(aWO)的根与△—b2-4ac

有如下关系：当△>()时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的

实数根；当△<()时，方程无实数根.

20.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12机的住房墙，为方便进出,

在垂直于住房墙的一边留一个\m宽的门，猪舍面积为80w2?

住房墙

【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为x,n可以得出平行于墙的一边的长为（25-

2x+l）m.根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了.

【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为X,“可以得出平行于墙的一边的长为（25

-2x+l）m,由题意得

x（25-4x+l）=80,

化简，得/-13x+40=6,

解得：xi=5,%8=8,

当x=5时，26-3x=16>12（舍去），26-2x=10<12,

答：所围矩形猪舍的长为10〃?、宽为8m

【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元

二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键.

21.水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每

天可售出100斤，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，张阿姨决定

降价销售.

（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是（100+200X）斤（用含

x的代数式表示）；

（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

【分析】（1）销售量=原来销售量+下降销售量，据此列式即可；

（2）根据销售量X每斤利润=总利润列出方程求解即可.

【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+上；

0.1

（2）根据题意得：（4-2-x）（100+200x）=300,

解得：■或x=l,

4

当工=工时，销售量是100+200X』；

32

当x=4时,销售量是100+200=300（斤）.

;每天至少售出260斤，

•»x=1.

答：张阿姨需将每斤的售价降低1元.

【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从

而利润.第二问，根据售价和销售量的关系，以利润作为等量关系列方程求解.

22.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为优选品种，提高产量，某农业科技小

组对A,3两个品种各种植了10亩.收获后A,8两个品种的售价均为2.4元/总，A,B

两个品种全部