2023-2024学年江苏省徐州市高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年江苏省徐州市高二上册期末数学模拟试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.抛物线-=4歹的准线方程是()

A.y=2B.y=-2c.y=lD.y=T

【正确答案】D

【分析】根据抛物线准线方程的概念即可选出选项.

【详解】解:由题知/=4,所以2=2,且抛物线开口向上，

所以其准线方程为:歹=-1.

故选:D

2.双曲线/-己=1的渐近线方程是()

3

A.y=+—%B.y=±V3xC.y=+3xD.y=±\x

33

【正确答案】B

【分析】由双曲线的标准方程可直接求得双曲线的渐近线的方程.

2

【详解】在双曲线/一己_=1中，a=\,b=B因此，该双曲线的渐近线方程为歹=±JJx.

故选：B.

本题考查利用双曲线的标准方程求渐近线方程，属于基础题.

3.在y轴上截距为-2,倾斜角为60”的直线方程为O

A.y/3x-y-2=GB.x-伤-2石=0

C.>/3x—y+2,=0D.x—y/3y+2=0

【正确答案】A

【分析】根据斜截式直接整理可得.

【详解】因为倾斜角为60°,所以斜率左=JJ.

由斜截式可得直线方程为：丫=瓜-2,即底-y-2=0.

故选：A

4.中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.意思

是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里数是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则

该马第七天走的里数为()

35070014002800

A.B.——C.-------D.

127127127127

【正确答案】B

【分析】根据题意可知，每天行走的里程数成等比数列,利用等比数列的前”项和公式即可求得结果.

【详解】由题意得，马每天行走的里程数成等比数列,

设第"天行走的里数为%,则数列｛4｝是公比为q=g的等比数列;

由七天一共行走了700里可得“+…

H1IC*TII7=700'

2

44800448001700

解得力=_____x__-____

12712764—127

即该马第七天走的里数为理.

127

故选：B

5.已知函数/(x)=sin2x,则()

A.1B.1D.73

【正确答案】B

【分析】根据导数的定义以及复合函数的求导法则即可求解.

【详解】由导数的定义可知Hm兀］，

Ax16J

又/'(x)=2cos2x,

故嚏=W=i,

故选：B

6.已知集合A和8分别是由数列｛4〃+3｝和｛3"｝的前100项组成，则Zc8中元素的和为()

A.270B.273C.363D.6831

【正确答案】A

【分析】先求出数列｛4〃+3｝和｛3"｝的公共项，满足公共项小于等于数列｛4〃+3｝的100项，求出

项数，然后再求和.

【详解】设数列｛4〃+3｝的第加项与数列｛3"｝的第t项相等，

即4/w+3=3'，所以

(4-1/-3C°4Z(-l)°+C；4,-1(-l)'+C；4,-2(-l)2++C1才(一1『+C；4。&1)一3

m=------=-------------------------------------------

44

又因为加,〃eN*,所以/=2〃+l(〃eN*),

所以数列｛4〃+3｝与数列｛3"｝的公共项构成的数列为｛32词｝.

又因为｛4〃+3｝的第100项为403,

而32gl<403的〃=1,2,

所以则4cB中元素的和为.32ml+32x2+1=27+243=270

故选：A

7.已知48分别为椭圆C：，+/=l(a>b>0)的左、右顶点，点尸在直线x=。上，直线产“与C

ab‘

的另外一个交点为2。为坐标原点，若OPLBQ,则C的离心率为()

1C肥D.回

A.-B

3-i22

【正确答案】C

【分析】由题，设P(a,。，可得直线处方程为：y—(x+a),将其与椭圆方程联立，后利用

2av

uiuUUL1

韦达定理可表示出0坐标，后利用OP.30=0可得答案.

【详解】由题，设尸(a/),因/(一。,0),则直线口方程为.y=—+a

2。'

y=­(x+a)

22a,消去y并化简得:

将其与椭圆方程联立：

二+匕=1

/b2

2

222222a七4叽

(46++2atx+a/-4ab=0,由韦达定理有.》x

4b2+t2

a卜〃-r)

32则与

4b2+t2

2)4tb2

代入歹=_L(x+a),可得。

2a''4〃+t2'4b2+t2'

/

—4与2

则尸。,0P=(a,t).又OP工BQ,

、4〃+t2'4〃+

uuruuur,1th1ta2

则。P.8Q=4J"=0n»2=a2.

4h2+t2

则e2=£1=°?一产=也=L=e=

a2a22h222

故选：C

8已知a=0.99-ln0.99,b=Lc=L01-LOUnLOl,则()

A.a<b<cB.c<b<a

C.h<c<aD.b<a<c

【正确答案】B

【分析】设/(x)=x—Inx,x>0,利用导数可得八x)在(0,1)上单调递减，从而有/(0.99)>/(1)=1,

即”方；令g(x)=x-xlnx(x>0),利用导数可得g(x)在［1,+8)上单调递减，从而有

g(1.01)<g(l)=l,即cYb,即可得答案.

【详解】设/(x)=x—lnx,x>0,则有/(x)=l—上=一，

XX

所以当O<X<1时，/'(x)<0,/(x)单调递减；当尤>1时，/'(x)>0,"X)单调递增；

所以〃0.99)>〃1)=1,

即有0.99—In0.99>1,

故a>6;

令g(x)=x-xInx(x>0),则g'(x)=l-(lnx+l)=-lnx,

所以当0<x<l时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当x〉l时，g'(x)<0,g(x)单调递减；

所以g(1.01)<g(l)=l,

BP1.01-1.011nl.01<l,

故c<b,

综上所述，则有c<b<a.

故选：B

方法点睛：对于比较大小的题目，常用的方法有：(1)作差法；(2)作商法；(3)利用函数的单调性进行

比较.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.己知曲线C：T—+匕=1,则下列说法正确的是()

A.若C是椭圆，则其长轴长为

B.若〃?<0,则C是双曲线

C.C不可能表示一个圆

D.若加=1,则。上的点到焦点的最短距离为注

2

【正确答案】BC

【分析】根据加2+1〉〃?可知若为椭圆，则焦点在x轴上，进而可判断A,进而可判断BC,根据椭圆

的几何性质可判断D.

【详解】由于加2+1—加=（〃?—，］+—＞0＞所以加？+1〉加，

I2J4

对于A,当〃?〉0时，故C：V—+己=1表示焦点在x轴上的椭圆，故椭圆的长轴长为2j〃?2+i,

m~+1m

故A错误，

对于B,当机＜0时，C是双曲线，故B正确，

对于C,由于“2+1〉加，故C不可能表示一个圆，故C正确，

对于D,m=l时，。：工+己=1,表示焦点在x轴上的桶圆，且此时/=2,〃=1,c?=1,

21

故椭圆上的点到焦点的最小距离为a-。=a-1,故D错误，

故选:BC

+

10.已知数列｛%｝满足q+2&++2"-'an=n-T',则（）

A.q=4

B.｛4｝的前B项和为150

C.｛（一1）"4｝的前11项和为一14

D.｛|可一10|｝的前16项和为168

【正确答案】ACD

【分析】根据递推公式得4=2/7+2,进而根据等差数列的求和公式即可判断AB,根据并项求和可判

断C,根据正负去绝对值以及等差数列求和可判断D.

【详解】由6+2%++2"-%,,=〃-2旬得：当〃22时，q+2a2++2"-2《1=(〃-1>2",两

式相减得2"%“=〃2用一(〃一1)2"=(〃+1)2",

故%=2〃+2,(〃32),当〃=1时，％=4也符合，故氏=2〃+2,

对于A4=4,故A正确，

对于B,｛4｝的前10项和为(4+2j)xlO=]3o,故B错误,

对于C,{(T)"%}的前11项和为-q-~aw--4+5，(-2)=-14,故C正确,

对于D,当%—10=2〃—8>0,解得”〉4

10-a,l<n<3

所以-10]=<n,〃eN*

an-10,»>4

所以｛|%-10|｝的前16项和为

(10-aJ+(10-a2)+(10-a3)+(a4-10)+(a5-10)+(a16-10)

(6+4+2)+(0+2+4++24)=12+(0+2^)13-i68，故D正确,

故选：ACD

11.连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点，拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要

应用.若/(x)的图象是一条连续不断的曲线,Txe(4力)J(x)的导函数/'(x)都存在，且/'(x)的

导函数/"(x)也都存在.若玉。e(a,b)，使得/"(%)=0,且在%的左、右附近,/〃(x)异号,则称点

(Xo，/(x。))为曲线y=的拐点.则以下函数具有唯一拐点的是()

A.f(x)=(x+1)"B./(X)=J+2x~+3x

C.f(x)=xexD./(x)=lax+x2+sinx

【正确答案】BCD

【分析】根据拐点的定义及零点存在定理对选项求二阶导函数，判断其是否有异号零点即可.

【详解】关于选项A:7(x)=(x+l)2,所以/'(x)=2(x+l),

/•"(x)=2w0，根据拐点定义可知,y=f(x)没有拐点；

关于选项B：f(x)=x3+2x2+3x,所以/r(x)=3x2+4x+3,

2

即/"(%)=6工+4=0,解得了二-§,

(2、，、-1',+°0,,/"（力＞0,

且工£-oc,--时,/"(X)<O,X£

故_：'/(一1)为y=/(x)的拐点；

关于选项C：/(x)=xe*,/'(x)=(x+l)e，，

令f(x)=(x+2)e'=0,解得x=-2,

且x€(-力,-2)时J"(x)<0,x€(-2,+8)时J〃(X)>0,

故(一2J(-2))为尸/(x)的拐点；

关于选项D:/(x)=Inx+f+sinx,//(x)=—+2x+cosx,

=--^-+2-sinx,

因为/〃(3)=—2-sing<0,/〃(l)=l—sinl>0,

所以切使得/"(%)=0成立，

由于/"(%)在(0,+8)是连续不断可导的，

所以/"'(%)在(0,+8)有异号函数值，

故V=/(x)存在拐点.

故选:BCD

12.在平面直角坐标系X。”中，已知椭圆兰+金=1的左、右焦点分别为片，凡，点A,昆产在椭圆

43

上，且04,08,贝ij()

A.当P不在x轴上时，△可入的周长为6

B.使乃是直角三角形的点尸有4个

C.^^-<AB<2y[2

7

11_7

D.d+赤一五

【正确答案】ABD

【分析】根据椭圆的焦点三角形即可判断AB,根据坐标运算以及两点间距离公式即可判断D,由D的

结论，结合不等式以及坐标运算即可判断C.

【详解】《+q=1中a=2,b=0,c=l,

43

对于A,△尸片鸟的周长为|坨|+|「玛|+闺用=2a+2c=6,故A正确，

对于B,当点尸在椭圆的上下顶点时，此时|尸耳|=|「£|=|耳用=2,故/片尸工=60’,因此当点p在

椭圆上时，口咫不可能为直角，故当鸟为直角三角形时，此时耳月或尸鸟，片用,

故满足条件的尸有4个，故B正确，

设力（玉,乂）,8（》2，、2）,由于。/-L。8,则由于。4。8=中2+%％=0,,进而得（西》2）2=（凹乃）2，

即可（XIN化简得；卜;+&2）=1-+々2再2,

1111_11_11

+7

“+nR2=22+22=7~T\7v2、=T

0°再乂％+%2+3J工2+3J、3+工3+9

I4JI4；44

117

对于C,由D可知一+―7=一，故

OA20B212

MLiiL2

|何=|例+|0川勺网2+画)(木焉〉

wrM陆T丽尸

，当且仅当徵'=胃•，即|04|=|。回时取等号，故”a3生"，又

X：+k+%2+%2=x,2+x2+3*+3手力*222

|时=2今+x2）+6=7--^-X2X,,故当

司,多有一个为0时,M却取最大值为J7,故网］，故c错误,

故选：ABD

圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或

由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用.另外在解析几何中还要注意

向量的应用，如本题中根据向量垂直得坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知直线4:（〃?+3）x+5y=5,4：（掰+6）x+2y=8,若/J/4,则加的值为.

【正确答案】-8

【分析】根据两直线平行满足的关系即可求解.

2（W+3）=5（ZM+6）

【详解】由“〃2可得＜得=-8，

一8（加+3）#—5（加+6）'m

故-8

14.己知等差数列｛%｝的公差dxO,若a”/，%成等比数列，则幺的值为.

a

【正确答案】-

3

【分析】根据等比中项以及等差数列基本量的计算即可化简求解.

【详解】由4,。2,。6得=。避6=(q+d)2=%(%+5d)nd=3%,所以"二」,

15.已知函数/（x）=lnx-6-1,若/（x）40恒成立，则实数。的取值范围为.

【正确答案】e，+°°

Inx-1Inx-1

【分析】/（x）40恒成立即a2在（0,+8）上恒成立,只需。2即可，构造新函数

x

xmax

求导求单调性及最大值即可.

【详解】解:由题知/（X）40恒成立,

即lnx-ar-1三0在（0,+8）上恒成立,

Inx-1Inx-1।

即a2在（0,+8）上恒成立，即a>

xX/max

、」(\lnx-1二匚［、］1—(inx—1)2—Inx

记g(x)=--------，所以g(x)=—J―-二——

XXX

当x«0,e2)时g'(x)>0,g(x)单调递增，

9

当xe(e2,+oo)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,

所以g(x)max=g(e2)=!,

所以ae—,+00^.

故答案为：1，+°0］

16.已知抛物线E:_/=4x的焦点为尸,M为E上一点，以线段板为直径的圆。与E交于另外一

点N,C为圆心，O为坐标原点.当A/N//OC时，ON的长为,点C到歹轴的距离为.

【正确答案】①.1②.土56

2

【分析】易知焦点/(1,0)，根据〃,N在抛物线上设出坐标，易知圆心C为的中点即可求出

y2+4V.

C,由MN//OC利用斜率相等可得%外=4,再根据直径所对的圆周角为90,可得

I82)

MNLNF/BOCLNF,利用向量数量积为0可得p一m2+仔=。，联立及可解得必2=8+4后,

根据两点间距离公式可得|ON|=1,点。到夕轴的距离为其横坐标的绝对值等于注6.

号,凹)，如下图所示:

【详解】由题意知”,N在抛物线上，设加

y八

他物线焦点F(l,0),HI心C为“尸的中点，所以

182)

A

V.—弘

由MN//OC可得k….=匕…即=~餐=2

2i__>3%+4

448

44M

整理可得=2',即%外=4；

乂+先必+4-

又因为狼为直径，且点N在圆C上,所以MN上NF,

又因为A/N//OC,所以OCJ.N/,可得W=o，

又"T(V=4Q3T巴册2_4/)1

即五/X及不+竽=0,整理得%2一)

；+16=0,

联立弘力=4可得乂4一16必2-16=0,解得必2=8+4逐或%2=8一4仆＜0(舍)

2

所以土441

yj-8+4下一2+5

因此|0N|=件"=

《9-4氐4（若-2）=1;

乂2+48+4V5+4_3+V5

点C到丁轴的距离为C点横坐标的绝对值，即

8-82

故1,2±且

2

关键点点睛：本题的关键在于利用几何关系实现从形到数的转化，将直线平行转化成斜率相等，将直

径所对的圆周角为直角转化成向量数量积为0,从而得出坐标之间的等量关系在进行计算求解.

四、解答题：本题6小题，共70分.解答应写出件字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①％=9,②&=20,③/+%=13这三个条件中选择两个,补充在下面问题中，并进行解答.

已知等差数列｛%｝的前n项和为GN,.,.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设“=」一，求数列也｝的前〃项和7；.

anan+l

注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.

【正确答案】(1)atl=n+l,neN*

11

⑵小T而用

【分析】(1)根据｛《,｝是等差数列,设出公差为"，选择两个选项,将首项公差代入,解方程组,即可求得

基本量，写出通项公式；

(2)根据(1)中的通项公式，写出｛4｝的通项，利用裂项相消即可求得前〃项和T“.

【小问1详解】

由于｛%｝是等差数列,设公差为d,

=a,+7d=9=2

当选①②时:«解得4

,

S5=5a1+10rf=20d=1

所以｛%｝的通项公式%=2+("-l)xl=〃+l,〃eN*.

4=W+7d=9q=2

选①③时：-cc」0，解得

出+%=2q+94=13d=1

所以｛a“｝的通项公式=2+(〃-1)x1=〃+1,加£N*.

S—5(7,+1Od—20q=2

选②③时：＜sccn0，解得

g+%=2q+9d=13d=\

所以｛%｝的通项公式巴=2+(rt-l)xl=M+l,«eN*,

【小问2详解】

由(1)知，an=〃+1,〃eN,

71111

所以d=-----=(、

4%(〃+1)(〃+2)71+1〃+2

,__1___n_

~2~~n+2~2(n+2y

18.已知圆C[:厂++2x—6y+5=0,圆G：x~+y~—10x+5=0.

（i）判断G与G的位置关系；

（2）若过点（3,4）的直线/被G、。2截得的弦长之比为1：2,求直线/的方程.

【正确答案】（1）外切（2）x—y+1=0或x+5y—23=0

【分析】（1）计算出|。。2|，利用几何法可判断两圆的位置关系：

（2）对直线/的斜率是否存在进行分类讨论，在直线/的斜率不存在时，直线验证即可；在直线/的斜

率存在时，设直线/的方程为日-夕+4-3左=0,利用勾股定理结合点到直线的距离公式可得出关于

左的方程，解出左的值，即可得出直线/的方程.

【小问1详解】

解：圆G：（x+l）2+（y_3）2=5的圆心为6（T3）,半径为4=逐，

圆。2：（x-5『+/=20的圆心为G（5,0），半径为4=2

因为ICC21=J（-l-5『+（3-Op=36=4+4,所以圆G与圆G外切.

【小问2详解】

解：当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=3,直线/与圆G相离，不符合题意;

当直线/的斜率存在时，设/的方程为y=Mx-3）+4,即米—y+4—3左=0,

I1-4AI|2k+4|

则圆心（到直线/的距离为4=,圆心G到直线/的距离为/=/，

J112I।1一/七2I1

所以，直线/被圆G截得的弦长为2

直线/被圆G截得的弦长为2.

|1-44

由题意可得2

9）1

即4（1一4人）=（2攵+4）,解得女=1或左=一1,

经检验，&=1或左=—1均符合题意.

所以直线/的方程为X—夕+1=0或x+5y—23=0.

19.某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路余下的外围是抛

物线的一段，48的中垂线恰是该抛物线的对称轴，。是Z8的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯

形力88区域种植草坪，其中4民均在该抛物线上.经测量，直路48段长为60米，抛物线的

顶点P到直路Z8的距离为40米.以。为坐标原点，Z8所在直线为x轴建立平面直角坐标系xQy.

(1)求该段抛物线的方程；

(2)当长为多少米时，等腰梯形草坪N8CD的面积最大？

【正确答案】(1)丁=一工/+4030x30

“45

(2)20米

【分析】⑴丁=ox2+c,把5(30,0),P(0,40)两点坐标代入求解即可；

⑵,由梯形的面积公式，可得梯形ABCD的面积为

S-2(x+30)^20--^x2^,0<x<30,构造函数/(x)=(x+BO)'。-*》],0cx<30,求导

可知当x=10时，该函数/(无)有唯一的极大值点，则改点也是函数的最大值点，即可求解.

【小问1详解】

设该抛物线的方程为y=ax2+c,由条件知，8(30,0),尸(0,40),

c=40

[c=40

所以《心.八，解得<2，

ax30-+c=40a=--

45

2

故该段抛物线的方程为丁=-一-X2+40,-30<X<30.

45

【小问2详解】

由(1)可设C1,40—]

，所以梯形Z8CD的面积

S=1(2x+60)140-^x2h=2(x+30)120--^-x2j,0<x<30,

设/(x)=(x+30)(20—：x2),0<》<30,

则/«)=_/_9+20=_(1%+3。),令/，(x)=0,解得x=io,

当0<x<10时，/'(x)>OJ(x)在(0,10)上是增函数；

当10<%<30时，/'(》)<0,/(')在(10,30)上是减函数.

所以当x=10时，/(x)取得极大值，也是最大值.

故当CD长为20米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大.

20.已知曲线C:y=/在点>0)处的切线与x轴的交点为(x“+”0),〃eN*,且%

(1)求数列｛%｝的通项公式；

125

(2)设S”为数列｛“•X,｝的前〃项和，求使得S,>——成立的正整数〃的最小值.

64

【正确答案】(1)

2

(2)8

【分析】(1)根据切线方程的求解得切线方程为歹=2x„(X-)+x；,y=0得X,+产(%>0),

即可判断为等比数列，进而进行求解，

(2)根据错位相减法求解S“，即可根据S“的单调性求解.

【小问1详解】

因为》=彳2,所以y'=2x,

所以曲线。上点(x“，兄)(x,>0)处的切线方程为y=2x„(x-x„)+xt

令夕=0,得当+i=；x”(x”>0)，即^^=；，

又罚=;,所以｛怎｝是以3为首项，3为公比的等比数列.

故卜｝的通项公式为x,=]x

【小问2详解】

由(1)知,n-xn

«1„_12

所以=~+~T+

"222+F52(I=F7

1——

n22"

两式相减得，-s,=-+4+4+

2"22223

1一一

2

因为〃・4二二〉。，所以S“+]>S”，

PCc7+2247125。8+2251125

7271286482812864

125

所以使得>——成立的正整数〃的最小值为8.

"64

22

21.已知双曲线C：S-g=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为",6，且|耳勾=4,过K的直线/与C

的左支交于48两点，当直线/垂直于x轴时，M卸=2后.

(1)求C的标准方程；

(2)设O为坐标原点，线段的中点为E,射线0E交直线x=-l于点。，点G在射线OE上，

且|。3『=2]。。卜|。同，设直线片G,鸟G的斜率分别为左也，求勺•总的值.

【正确答案】(1)工-匕

22

【分析】(1)根据题意列出关于。力的方程，解出即可得结果;

(2)设直线/的方程为》=吵-2,联立直线与双曲线的方程结合韦达定理求出£点坐标，根据题意

得出y。，由斜率计算公式即可得结果.

【小问1详解】

将X=c代入双曲线可得x=±d,

a

a2+b~=4

由条件知，，2b2厂解得/=〃=2.

—=2V2

所以C的标准方程为工-匕=1.

22

【小问2详解】

设直线/的方程为x=〃U—2,

WJ

联立22消去x并整理得,m2-4my+2=0,

x=my-2

m2-1<0,

则〈

16w2-8（m2-l）>0,

设小M.M，则…者

2m2

所CC11I以及=广用=修广2=目

所以直线OE的方程为y=mx,则%=,

2m4〃/

因为|0G『=2］。。卜|。同，所以