2023届高考数学一轮复习收官卷（含解析）(北京专用)

2023届高考数学一轮复习收官卷（一）（北京卷）

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项.）

1.（2022・北京・潞河中学三模）已知集合4={》［-3＜》＜3/€2},3=3-1＜》42},则

AB=

A.(-1,2)B.(—1,2]C.{0,1}D.{0,1,2}

【答案】D

【详解】解：因为A={d—3＜x＜3,xeZ}={-2,—1,0,1,2},

则A3={0,1,2}.

故选：D.

2.（2022•北京房山•一模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2,-1），则z-z=

C.5-4iD.3-4i

【答案】A

【详解】由题意知，z=2—i,z=2+i,z-z=（2-i）（2+i）=4-i2=5.

故选：A.

3.（2022•北京•模拟预测）已知直线y="+I与圆Y-4x+y2=o相交于例，N两点,

且|MN|..2G，那么实数％的取值范围是（）

1444

A.—4领"—B.0领kL—C.A..0或k„――D.—领k0

3333

【答案】D

【详解】圆化简为标准方程为（x-2『+y2=4,圆心（2,0）到直线y=H+l的距离

4

解得：-产V。.

故选：D

4.（2022•北京•首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在（0,2）上单

调递减的是（）

A.y=2wB.y=-x3

Cx

C.y=cos—

2

【答案】C

【详解】对于A,函数〃x)=2凶的定义域为R,关于原点对称,

且/(-x)=2H=2W=/(%),所以函数/(x)为偶函数，

当xe(0,2)时/(劝=2*,函数f(x)单调递增，故A不符合题意;

对于B,函数/(x)=-d的定义域为R,关于原点对称，

且f(-x)=-(-幻3=/=-/(x)，所以函数/(x)为奇函数，

由事函数的性质知函数y=/在R上单调递增，

所以函数/(x)=-V在R上单调递减，故B不符合题意；

对于C,函数/(x)=cos5的定义域为R,关于原点对称,

且/(-x)=cos(-1)=cosj=/(x),所以函数/(A)为偶函数,

当xe(0,2)时］e(O,l),又(0,1)三(0,5，

所以函数f(x)=cos5在(0,1)上单调递减，故C符合题意;

2—r

对于D,函数f(x)=ln^—的定义域为(-2,2),关于原点对称,

2+x

且"-X)="=哈)T=Tn公T(x),

11_2x

所以/(X)是奇函数，又以(劝=

2-x2+x(2-x)(2+x)

令f"(x)<0=>-2<x<0,令f\x)>0=>0<x<2,

所以函数/(X)在(-2,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，故D不符合题意.

故选：C.

5.(2022•北京•首都师范大学附属中学三模)设函数/(x)=；sin(ox+0),xeR,其中

6y＞0,际＜乃.若《胡=；,./•(阴=0,且相邻两个零点之间的距离大于万，则()

A,…=-小B.—

324312

c17万、2Ibr

C.CO——---D.a)=—,(p=-----

324312

【答案】B

【详解】解：因为函数相邻两个零点之间的距离大于7，所以f(x)的最小正周期大于2万,

所以《＞方,

2

27r2

:.T=3兀，则—=3兀，即刃=不

5万x咨+，得sin(o+当=1.

o212

57c7C..jr

：.（p~-----=—F2QT,keZ.

122

因为网<万，所以取％=0,得/=去

271

co=—,（p=—.

312

故选：B.

6.（2022•北京•模拟预测）已知等差数列｛4｝,S“是数列｛q｝的前"项和，对任意的ne

N,均有*25“成立，则包的值不可能是（）

。6

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【详解】根据题意，等差数列｛4｝，对任意的"€N*,均有SgS,,成立,即凡是等差数列｛%｝

的前〃项和中的最大值，

必有4>0,公差d<0,

分3种情况讨论：

①4=0,此时$3=54,与、邑是等差数列仅“｝的前〃项和中的最大值，

此时4=4+31=0,则有勾=-31,

②为=0,此时邑=反，J、S$是等差数列｛《J的前〃项和中的最大值，

此时区=4+41=0,则有4=-4d,

%。%+9d5d

—=---------=—=5,

44+5dd

③4>0,见<0，色是等差数列｛4｝的前〃项和中的最大值，

此时甩=4+3">0,%=q+4"<0,则-3d<4<-4d,变形可得：-4<幺<-3,

3

幺+9

/二％+9d=d_4

1+—

%%+5d%+55.+5

dd

而多＜一3,则有3〈中＜5,

a4

综合可得：3殁野5.

“6

故选：A.

7.（2022•北京市大兴区兴华中学三模）李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，

经过1天后，用户人数A（f）=A（O）e",其中％为常数.已知小程序发布经过10天后有2000

名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（）（本题取lg2=O.3O）

A.31B.32C.33D.34

【答案】D

【详解】经过f天后，用户人数A（f）=A（O）e"

又小程序在发布时已有500名初始用户

4（0）=500

又小程序发布经过10天后有2000名用户

•••2（XX）=5（X）e10*

即4=*',可得怆4=Ige®

Alg4=10Z:lge.......①

当用户达到50000名时有50000=500/

即100=/,可得。100=lg*

2=kf/ge.......②

联立①和②可得殍=w,即

2t2t

皿1010…

故『=---=——~33.3

1g20.3

.•・用户超过50000名至少经过的天数为34天

故选：D.

8.（2022•北京•首都师范大学附属中学三模）如图，在正方体ABCO-AqGA中，E为

棱8c上的动点，F为棱用B的中点，则下列选项正确的是（）

4

A.直线AA与直线E尸相交

B.当E为棱BC上的中点时，则点E在平面尸的射影是点F

C,存在点E,使得直线AR与直线环所成角为30

D.三棱锥E-AD尸的体积为定值

【答案】D

【详解】A：由题意知，AA//4G，8Gu平面8GCB,AR<Z平面BGCB

所以AA〃平面与C°B,

又EFu平面BCCB,所以A"与EF不相交，故A错误；

B：连接A。、RF、AF、AE.CB,,如图，

少--------

/；'尸'I

；

当点E为8C的中点时，EF//CB、,又所以EFLAR,

若点E在平面AR尸的射影为尸，则EF上平面4。L，垂足为F,

所以EF_LAF,设正方体的棱长为2,则A£=AF=>/^EF=&,

在AAEF中，AF2+EF2工AE?,所以ZAFE卡90°,

即砂_L”不成立，故B错误；

C：建立如图空间直角坐标系。-孙z,连接BG，则4R〃8G，

所以异面直线EF与AD,所成角为直线EF与BC,所成角，

5

./

*产“r/

/\，/L

；m...JU-

//IT/r

jLii—中

X

设正方体的棱长为2,若存在点E(a,2,0)(0M“M2)使得EF与8G所成角为30°,

则8(2,2,0),尸(2,2,1),C,(0,2,2),所以E户=(2-〃0,1),配j=(—2,0,2),

所以EFBC；=2(i-2,又叵•■卜归到阳际30°,

得|2〃-2|=2忘XJ(2-4)2+1X*,解得a=4±5

不符合题意，故不存在点E使得EF与A"所成角为30",故C错误；

D：如图，

%---------^c,

...

由等体积法可知VE-ADF=^F-ADE，

又/3=京叱8尸4*6人人8/，

AD.AB,8尸为定值，所以匕•7£)£为定值，

所以三棱锥E-4D尸的体积为定值，故D正确.

故选：D.

9.(2022•北京师大附中高二期中)当〃EN时，将三项式(炉+工+1)”展开，可得到如图

所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：

(x2+1+1)。=1

(/+i+i)i=/+二+1

(①2+I+。2=勺4+2①3_|_3x2+2l+1

3

/+i+lj=谟+3^3_j_6/+7^3+QX2+3④+1

(x2+c+1/=x84-4x7+10x6+16x3+19x4+16x3+10x2+4c+1

6

广义杨辉三角形

第0行1

第1行111

第2行12321

第3行1367631

第4行14101619161041

若在（1+的（d+x+l）5的展开式中，/的系数为75,则实数a的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【详解】由广义杨辉三角形可得

（x2+x+l）5=x'°+5x9+15xs+30X7+45x6+5\xs+45x4+30x3+15x2+5x+l,

故（1+词（V+x+l）'的展开式中，苗的系数为15+30a=75,解得十=2.

故选：C.

10.（2022•北京市第三十五中学高三阶段练习）如图，△。与A，AA与A?是全等的等腰

直角三角形，片,色为直角顶点，。，4，42三点共线.若点耳，1分别是边上的动点

（不包含端点）.记加则（）

A.m>nB.m<nC.D.加，〃大小不能确

【答案】B

【详解】构建如下图示的直角坐标系，令耳（等,*），四（呼,日），A（&，0），4（2血,（）），

所以，可设［（不夜—为），K22c.-且用€（?,忘），*2€（乎,2&）,

则巾=0片06=*%2+*（2血-/）=2，

7

n=OB20Pt=—Y~xt+^-（>/2-x,）=1+^X[e（2,3）,

所以m<n.

故选：B.

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.）

11.（2022•北京•清华附中模拟预测）函数/"）=¥=的定义域为___________.

Vl-x

【答案】（0,1）

fx>0

【详解】由解析式知：，，、可得0<x<l,

[l-x>0

所以函数定义域为（0,1）.

故答案为：（0,1）

12.（2022•北京市第十二中学三模）已知双曲线（7:炉-*=1（6>0）的离心率为0,则

双曲线。的渐近线方程为.

【答案】y=±x

2

【详解】解：己知双曲线C:/一方=1仍>0）的离心率为夜，

所以£=Ji寿=血，解得力=i,

a

所以双曲线。的渐近线方程为y=±x,

故答案为：y=±x

13.（2022•北京•首都师范大学附属中学三模）若sintzcos/?-costzsin/=cos60,请写出

一组符合题意的分B•

【答案】e=45。、0=15。（答案不唯一）

【详解】解：因为sinacos/?-cos<zsin/7=sin（a-〃），cos60=cos（90-30）=sin30,

所以sin（a-0=sin3O,

所以c—尸=30。+4*360。，keZ或a-4=150。+左x360。，ZeZ,

不妨令a=45。、6=15°；

故答案为：a=45。、4=15°（答案不唯一）

14.（2022•北京八十中模拟预测）同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田

野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有

相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、

航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为

〃司=m'+庆7（其中。，6是非零常数，无理数e=2.71828…），对于函数f（x）以下

8

结论正确的是.

①如果”=那么函数”X)为奇函数；

②如果ab<0,那么/(X)为单调函数；

③如果而>0,那么函数f(x)没有零点；

④如果ab=1,那么函数.f(x)的最小值为2.

【答案】②③

【详解】对①：当。=〃时，函数〃x)=aeT+ae',此时/(—x)=ae*+四一'=/(x)为偶函

数，故①错误.

对②：当，活<()时，令。>0,6<0,函数y="e'在其定义域上为单调递增函数，函数>=二

e

在其定义域上也为单调递增函数，故函数〃力=""+4在其定义域上为单调递增函数；当

e

a<0,b>0,函数y=ae'在其定义域上为单调递减函数，函数y=2在其定义域上也为单

e

调递减函数，故函数〃力=改*+9在其定义域上为单调递减函数；综上：如果必<0,那

么/(X)为单调函数；故②正确.

对③：当〃>0,。>0时，函数f(x)="+bl22Jae口bl=2而>0,

当a<0力<0时，函数/(x)=-(-aex-be-')<-2^-aex)-(-be-x)=-2y[^b<0；

综上：如果而>0,那么函数〃x)没有零点；故③正确.

对④：由必=1,则人=」，

a

当“<0⑦<0时，函数/(x)=-\-aex--e-'|<-2l(-a^)•[|=-2；

函数f(x)=ae'+-e-r>2laeA

当a>0,b>0时、]x—1e-x=2c；

a

故必=1时，函数/(x)没有最小值；故④错误.

故答案为：②③

15.(2022•北京海淀•二模)在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实

数数列｛a,,｝,也｝分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：

a“+i=%+次,(〃=1,2L),描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.

若两组信息的初始信息强度满足4>4,则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论:

①xz〃wN*q>包；

9

②V"eN",a"+|>a“也M>b„；

③女eN*,使得当时，总有3-1<10一'°

2

④使得当〃〉AB寸，总有q-2<

an

其中，所有正确结论的序号是—

【答案】①②③

【详解】因为a“+i=2%+或,%]=a“+2/?“(〃=l,2L),两式作差得。用-或,故

｛4-々｝为常数列,

即。“一々=%-4>0,故％>2,①正确;

因为。e-。“=。“+2也+|-2=4+2，又｛%｝,｛〃,｝为正实数数列，故。“+”>0,故

4+1>“”，%>2,②正确；

由上知，佚T="卢=陛"卜七色’因为"i为常数，｛〃｝为单增数列，故当

〃一»+00时，0-0

bn

又I。/>0,故弘eN*,使得当〃>&时，总有鲁-1<10吗③正确；

b„

生一2==4又％心,=4W,故也-2=九=J=1-厘，

%44凡可％4

因为4-4为常数，

｛%｝为单增数列，故当时，马卢一°，故④错误.

故答案为：①②③.

三、解答题(共6小愿，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.)

16.(2022•北京•清华附中模拟预测)在一ABC中，a=2^,a2+c2->j3ac=b2.

⑴求8；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使一ABC存在且唯一确

定，求,AAC的面积.

条件①：h=3；

4

条件②：cosA=-；

条件③：一A3C的周长为4+26.

10

TT

【答案】⑴B=7

o

(2)选择条件②，选择条件③S=

2

(1)

+c2b

由余弦定理知，cosB=--~=J^=—,

lac2ac2

TT

因为fie(0,7t),所以B=~.

6

(2)

选择条件①：

把〃=2g,。=3代入片+/—6ac=Z?2中，化简得c?-6c+3=0,解得c=3土太，

所以存在两个_"C,不符合题意；

选择条件②：

43

因为cosA=1,Ae(0,7i),所以sinA=w，

2岛；_5G

ab

由正弦定理知,,所以6=-

sinAsinB^一亍

5

因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=-x—+—xi=3G+'

525210

所以的面积S=LbsinC=Lx2gx^^x3®”=+4

223102

选择条件③：

因为_AfiC的周长为4+26，且a=2石，所以6+c=4,

Xa2+c2-yj3ac-b2,所以12+c?-6c=〃=(4-c>,解得人=。=2,

所以ABC的面积S=，acsin3=,x2石X2X1=G.

222

17.(2022•北京市H^一学校高三阶段练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为

正方形，平面24。_L平面ABC。，PA±AD,R4=/W=2,在棱尸。上取点。，使得尸8〃

平面ACQ.

(1)求证：Q为尸。中点；

(2)求平面AC。与平面ABCD夹角的余弦值;

(3)求直线尸8到平面ACQ的距离.

11

p

【答案】(1)证明见解析

(2速

3

⑶拽

3

(1)

连接8。，交AC于点。，则平面「8。。平面ACQ=。。，

又因为尸8〃平面ACQ,PBu平面PBD,

则PB//OQ,

由于底面ABC。为正方形，所以点。为8。的中点，

因此可得。为9中点.

(2)

由(1)知。是PD的中点.

由于PAJ•平面ABCO,所以尸A,

故AB,A。,AP两两垂直，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示,

C(2,2,0)00,1,1),

设平面ACQ的法向量为”=(x,y,z),

n•AQ=y+z=0

所以故可设”=(-U,-l),

〃AC=2x+2y=0

平面A8CO的法向量为”=(0,0,1),

平面AC。与平面A8CD夹角为6>,

„,-mn1G

则2丽=存=丁,

(3)

由于心〃平面AC。，则依到平面AC。的距离，即3到平面AC。的距离.

BC=AD=(0,2,0),

12

2_2y/3

B到平面AC。的距离为耳二亍

即直线可到平面4CQ的距离为亚.

18.(2022•北京•人大附中模拟预测)某家电专卖店试销A&C三种新型空调，销售情

况如下表所示:

第一周第二周第三周第四周

A型数量(台)1110154

9

8型数量(台)1413B4

C型数量(台)61112C,

(1)从前三周随机选一周，若A型空调销售量比8型空调多，求A型空调销售量比C型空

调多的概率；

(2)为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空

调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列和数学期望；

(3)直接写出一组儿,坊,C.的值，使得表中每行数据的方差相等.

【答案】⑴g

(2)分布列见解析；

⑶A=16,84=8,C4=7

(1)

13

2

解：记事件M为“A型空调销售量比4型空调多"，则P(M)=］；

记事件N为“A型空调销售量比C型空调多”，则P(W)=1；

故若A型空调销售量比8型空调多，A型空调销售量比C型空调多的概率为

「网"=弛丝」

1P(M)2'

(2)

解：由题可知，在第二周抽取A型空调的概率为2=:，第三周抽取A型空调的概率为

15_3

40-8,

X的可能取值为0,1,2,

255

故P(x=o)=§、=透

八152311

P(X==1)=—X—4--X—=—,

383824

13]_

P(X=2)=-x-=

388

故X的分布列为:

X012

511

P

n248

则£(X)=0xA+lxH+2xl=—.

1224824

(3)

解：因为方差S?=-1(芭-工)+伍-X)---^(工〃-九)]，且表中每行方差相等.

所以S；=([(ll-X)2+(10-工)2+(15-4)2+(4-I/]

=S；=*[(14—x2)-+(9-々)-+(13-々)2+(氏一犬2)~]

2222

=5,=^[(6-^)+(ll-^)+(12-^)+(C4-^)]

甘.-11+10+15+4—14+9+13+B4-6+ll+12+C

其卬，玉=4，/=4'毛=44'

观察数据：第一组15,11,10,4;第二组：14,13,9,星；第三组：12,11,6,C4.

14

故可以将每组数据补成两对相邻数据，且和能被4整除，即4=16,8,=8,C4=7,

_11Q

则X=13,^=-(22+32+22+32)=—,

42

兀=ll,s；=l(32+22+22+32)=y,

2222

^=9,^=l(3+2+3+2)=y.

则s；=s；=s；.

故4=16,84=8(4=7满足题意.

19.(2022•北京•景山学校模拟预测)已知椭圆芯/+卷=13%>0)的离心率为日,

左、右顶点分别是4B,且|AB|=4.

(1)求椭圆£的标准方程；

(2)己知也N是椭圆£上异于48的不同两点，若直线川/与直线4V的斜率之积等于T,

判断直线也V是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

【答案】⑴二+丁=1

4

⑵过定点[■1,o)；

【详解】(1)解：由离心率e=£=@=Jl-4可得/=4/，

a2\a2

又由左、右顶点|AB|=4可得2a=4,所以a=2,b=l,

所以椭圆的方程为：—+/=1；

4

(2)解:由⑴可得A(-2,0),

当直线"N的斜率存在时，设直线的方程为》=丘+，，设”(不乂)，N(x2iy2),

{y=kx+tc.c

联立二一一整理可得：(1+4公)/+8依+4/-4=0,

[x-+4y-=4

A>0,Bp64^2r-4X(14-4^2)(4/2-4)>0,可得产<1+48,

~~8kt4r2-4

且…=由X.X^=-----7

1-1+4严

%.%=%%=（g+r）（5+r）

x,+2x,+2（X）+2）（^+2）（玉+2）（/+2）

,24z—4,Skt2

及+改（X+%）+/_1+4左之+'1+4/+才_t2-4k2

百W+2（玉+々）+44厂—4+2~~8kt4”—+16K

1+4/'1+4公

15

整理可得5r-16h+16/=o,可得/=，或f=2Z,符合A〉。，

所以直线MN的方程为：y=/(x+$或y=4(x+2),

所以直线恒过(-*0)或(-2,0)(舍去)，

所以直线MV的方程为：丫="+4上=%(》+9,可得直线MN恒过［-'0)点；

当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为x=f,代入椭圆的方程,可得y=±

设M&jl-J),NQ,-m,贝lj,,\'~4\1-4,>解得/=-£

V4V4kAM-kM=-j—---)丁=T5

或f=一2(舍)，

所以直线恒过定点,g,o),

综上所述：直线MN恒过定点］|,0；

20.(2022•北京•北大附中三模)已知函数〃x)=e*-alnx,aeR.

⑴当。=0时，若曲线y=/(x)与直线y=丘相切于点P,求点尸的坐标；

⑵当a=e时，证明：/(x)>e；

(3)若对任意x«0,+w),不等式/(x)>alna恒成立，求出。的取值范围.

【答案】⑴。⑹

(2)证明见解析

⑶((),e)

(1)

当a=O时，〃x)=e、J'(x)=e\

设P(x0,e%),则切线斜率2=炉>.

由切点性质，得，解得为=1.

e"=kx。

所以点P的坐标(l,e).

(2)

当a=e时，/(x)=ev-elnx,其中x>0,则尸(x)=e*—士，

16

令g(x)=e*-'|,其中x>0,则g<x)=e*+点>0,

故函数/'(x)在(0,+©)上单调递增,且7(1)=0,

当x变化时，x,/'(x),〃x)变化情况如下表：

X(0,1)1(1,+8)

/'(X)—0+

“X)单调递减极小值单调递增

由上表可知，上⑴丽=41)=e.所以f(x)Ne.

(3)

实数。的取值范围(0,e).理由如下：

方法一：(数形结合)

在(0,+e)上/(x)=e*-alnx>alna恒成立，即er>alnx+lna.

因而函数％=e*的图象在函数y2=a\nx+(Ana的图象上方.

考虑函数X=e”图象在函数y2=a\nx+a\na图象恰好有一个公共点的临界情形(如图所示),

此时它们在交点处有一条公切线机，设交点的横坐标为•%.

所以&■=6zlar0+a\na即一=lax0+Ina,

/飞

由巳"=且得=a,所以，=[2;)+In(/e*。)即21叫+/=0

%)玉)玉)

121

记〃(x)=21nx+x一一,XG(0,4-O>),则“(x)=二+1+二>0,所以〃(x)在(0,+功上是增函数.

17

又因为〃⑴=0,所以方程21叫+X。--=0的解是％=1.

“0

因此，当两函数恰好有一个交点时，交点坐标是(Le),此处公切线方程是丫=就.

所以当函数％=e'的图象在函数必的图象上方时，实数。的取值范围(0,e).

方法二：(同构变形)

显然a>0,在(0,+8)上〃x)=e'-alnx>alna恒成立，即e'』"-Inr>Ina恒成立即

eiw,-lnaAlnx恒成立，

所以er-llw+x-lno>x+lnx