2023届云南省江川一中高三年级下册期末考试数学试题

2023届云南省江川一中高三下学期期末考试数学试题（理，A卷）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数/（x）=2sin（3x+。）（0>0,0<。<乃）的部分图像如图所示，若AB=5,点A的坐标为（一1,2）,若将函数

/（X）向右平移加机>0）个单位后函数图像关于y轴对称，则加的最小值为（）

2.设双曲线上+汇=1的一条渐近线为y=-2x,且一个焦点与抛物线无2=4y的焦点相同，则此双曲线的方程为

ab

（）

A.-x2-5y2=1B.5y2~—x2=1C.—y2-5x2=1D.5x2y2=1

4444

3.1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客

人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计,

发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针

落地后与直线相交的概率约为（）

1321

A.---B.-C.—D.一

2万717171

4.若集合A=1x|皆40，，B={x|—l<x<2},则AB=（）

A.[-2,2)B.(-1,1]c.(-1,1)D.(-1,2)

4z

5.已知复数z币则Z对应的点在复平面内位于(

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

6.设函数/'(%)是奇函数的导函数，当x>0时，/'(x)inx<--/(%),则使得(V-1)/(为>0成立

x

的X的取值范围是()

A.(-1,0).(0,1)B.(，》,一1)(1,-KO)

c.(-i,o)?(i,?)D.y,-i)u(o，D

7.羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成.某班级从3名男生A，4，和3名女生与，鸟，层中

各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则4和4两人组成一队参加比赛的概率为

214

C-

B.9-3-D.9

8.设S“是等差数列｛%｝的前〃项和，且S4=4+3,则生=()

A.-2B.-1C.1D.2

9.已知点A(x，y),8(£,必)是函数/(刀)=”«+加的函数图像上的任意两点，且y=/(x)在点

［土产处的切线与直线A8平行，贝!!()

A.。=0,5为任意非零实数B.b=0,。为任意非零实数

C.a、〜均为任意实数D.不存在满足条件的实数a,h

10.执行如图所示的程序框图，则输出的〃的值为()

A.12

C.34

22h

11.如图所示，在平面直角坐标系X。）‘中，尸是椭圆T+方=1（。>〃>0）的右焦点，直线y=羡与椭圆交于8,C

两点，且/8fC=90°,则该椭圆的离心率是（）

A指3I

A•-------B.-C.一

342

12.设团，〃是两条不同的直线，a,仅是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若mua,nu0,则加_1_〃

B.若e〃2，mua,nu/3,贝加〃〃

C.若〃mua,nuB，则aJ•6

D.若〃?J_a,mlIn»nil｛3,则aJ■尸

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若函数/（x）=2k"4在区间（-2,田）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围有.

Inx,x>1

14.已知函数/（x）=k,.,,若则"的取值范围是.

[3,x,1

15.如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为.

由主淑图候选）《图

16.记s“为数列｛%｝的前〃项和，若见=才一1,贝”7=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）设函数/（x）=|x+l|+|2x-l|.

（1）求不等式/（x）23的解集；

⑵若“X）的最小值为“，且x+>+z=a,求x2+（y+i）2+（z+2『的最小值.

18.（12分）已知椭圆：。：二+与=1（。>8>0）的四个顶点围成的四边形的面积为2厉，原点到直线2+4=1的

a~bab

距离为画.

4

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知定点P（0,2）,是否存在过p的直线/,使/与椭圆C交于A,B两点，且以为直径的圆过椭圆C的左

顶点？若存在，求出/的方程：若不存在，请说明理由.

19.（12分）已知/（力=k-4+卜+矶。〉0,/?>0）.

（I）当a=b=l时，解不等式〃力48-小

（U）若的最小值为1,求一^+士的最小值.

22

20.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：工+汇=1的左顶点为A，右焦点为b，P,Q为椭圆。上两

43

点，圆。：/+丁=/（厂＞0）.

（1）若PE_Lx轴，且满足直线AP与圆。相切，求圆。的方程；

（2）若圆。的半径为G，点P,。满足必p*°Q=—彳，求直线PQ被圆。截得弦长的最大值.

21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线4的倾斜角为30。，且经过点A（2,l）.以坐标原点O为极点，x轴正半

轴为极轴建立极坐标系，直线4：2cosO=3,从原点O作射线交4于点M,点N为射线OM上的点，满足

|QWHON|=12,记点N的轨迹为曲线C.

（I）求出直线4的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

（D）设直线4与曲线C交于P,Q两点，求|AP|・|Aa的值.

22.（10分）某网络商城在2019年1月1日开展“庆元旦”活动，当天各店铺销售额破十亿，为了提高各店铺销售的积

极性，采用摇号抽奖的方式，抽取了4（）家店铺进行红包奖励.如图是抽取的4（）家店铺元旦当天的销售额（单位：千元）

的频率分布直方图.

（1）求抽取的这4（）家店铺，元旦当天销售额的平均值；

（2）估计抽取的40家店铺中元旦当天销售额不低于4000元的有多少家；

（3）为了了解抽取的各店铺的销售方案，销售额在［0,2）和［8,10］的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究，求抽取的

店铺销售额在［0,2）中的个数二的分布列和数学期望.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据图象以及题中所给的条件，求出A。和9,即可求得/（X）的解析式，再通过平移变换函数图象关于）'轴对称,

求得〃?的最小值.

【详解】

由于A3=5,函数最高点与最低点的高度差为4,

'2777TT

所以函数/（X）的半个周期5=3,所以T=K=6no=§,

又4（一1,2）,0<0〈乃，则有2sin[-以。+9）=2,可得夕=需，

715万

所以/(x)=2sin=2sin

将函数/（X）向右平移m个单位后函数图像关于y轴对称，即平移后为偶函数，

所以的最小值为1,

故选：B.

【点睛】

该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的

变换关系，属于简单题目.

2、C

【解析】

求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程汇-三=1的渐近线方程为y=±j2x,由题意可得8=-4a,又02=1,

b-a

即人一。=1,解得"，b,即可得到所求双曲线的方程.

【详解】

解：抛物线犬=4），的焦点为（0,1）

22

xv

可得双曲线二+2=1仿>0,。<0)

abv)

v22

即为齐7］的渐近线方程为y

由题意可得=2,即匕=-4a

又/=1,即。—a=l

14

解得Q=_1，/?=—.

即双曲线的方程为上匚-5/=1.

4

故选：C

【点睛】

本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题.

3、D

【解析】

根据统计数据，求出频率，用以估计概率.

【详解】

704〜1

2212

故选:D.

【点睛】

本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.

4、C

【解析】

求出集合A，然后与集合B取交集即可.

【详解】

x+2

由题意,A=卜|言<0U{x|-2<x<l},则ACl8={x[—1<X<1},故答案为C.

【点睛】

本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题.

5、A

【解析】

利用复数除法运算化简Z,由此求得Z对应点所在象限.

【详解】

依题意z=')=2i(l_i)=2+2i,对应点为(2,2),在第一象限.

故选A.

【点睛】

本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.

6、D

【解析】

构造函数，令g(x)=lnx-/(x)(x>0),则g'(x)=ln矿+

由可得g'(x)<0,

则g(x)是区间(0,+纥)上的单调递减函数，

且g(l)=lnlx/(l)=O,

当(0,1)时Z/zx<0Ji(x)<0,(x2-1)f(x)>0;

2

当x£(1,+8)时,g(%)<0,丁bix>09.\f(x)<09(x-1)f(x)<0

•・VU)是奇函数，当x£(・l,0)时於)>0,(总1次0<0

・・・当工£(・8,・1)时4幻>0,(f・1)[/^)>0.

综上所述，使得1-16》)>()成立的X的取值范围是(-8,-1)口(0,1).

本题选择O选项.

点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似

乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、

化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据

题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解

决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

7、B

【解析】

根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为窈竿G,然后计算A和分在一组的数目为CC，

最后简单计算，可得结果.

【详解】

由题可知：

分别从3名男生、3名女生中选2人：

将选中2名女生平均分为两组：窄

将选中2名男生平均分为两组：爷

则选出的4人分成两队混合双打的总数为:

=18

33$$&一--

4和用分在一组的数目为C\C\=4

42

所以所求的概率为二;A

1o9

故选：B

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成机组，则要除以A：,即“!，审清题

意，细心计算，考验分析能力，属中档题.

8、C

【解析】

利用等差数列的性质化简已知条件，求得的的值.

【详解】

由于等差数列｛《,｝满足S4=2+3,所以q+。2+%+4=。4+3,%+。2+。3=3,3a2=3,4=1.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.

9、A

【解析】

求得了(x)的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得”=0，〃为任意非零实数.

【详解】

依题意/(x)=5为+2bx,y=/(x)在点1土产1处的切线与直线AB平行，即有

ay/x^+bx；-a«-bxf

a+/?(X]+x2)=

XI+x

2.2

V2

-旧)gen,

=-------------+b(x]+x2)>所以《2(餐+xj=北+«"，由于对任意占户2上式都成立，可得。=0,〃为非

零实数.

故选：A

【点睛】

本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题.

10、B

【解析】

列出循环的每一步，进而可求得输出的“值.

【详解】

根据程序框图，执行循环前：a=0,b=0,〃=0,

执行第一次循环时：«=1,b=2,所以：92+82440不成立.

继续进行循环，…,

当。=4,b=8时，6?+2?=40成立，〃=1,

由于a25不成立，执行下一次循环，

。=5,。=10,52+()2«40成立，〃=2,aN5成立，输出的〃的值为2.

故选：B.

【点睛】

本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.

11、A

【解析】

联立直线方程与椭圆方程，解得8和C的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得3c2=24,由离心率定义可得结

果.

【详解】

29+石

三+Jx=±——a

cn,b

由<，得2'所以

bb2

y=2y=2J

738)V3Q

由题意知尸(c,0),所以CF

22Jc----2-a.——2J

因为ZBFC=90°,所以J_CF,所以

、b2

BF-CF=[c+百23220.

c-a---+-—=c——a'+匚《=>一必=

244442

7

所以3c2=2",所以e=£=95,

a3

故选：A.

【点睛】

本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题.

12、D

【解析】

试题分析：,二。J■尸，故选D.

考点：点线面的位置关系.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、。=0或aN—

2

【解析】

函数/(%)=2卜山一户〃1的零点=方程法必=小+a的根，求出方程的两根为玉=-4a,x2=0,从而可得4/=0

或-4a<-2,即〃=0或

2

【详解】

函数/(x)=2k-2a|一心+a在区间(-2,欣)的零点O方程2A24=4村在区间(一2,田)的根，所以|x-2a|=2|x+a|,

解得：玉=-4〃，光2=0，

因为函数/(x)=2^24一4卜+同在区间(-2,w)上有且仅有一个零点，

所以Ta=0或Ta«-2,即a=0或aZ-L

2

【点睛】

本题考查函数的零点与方程根的关系，在求含绝对值方程时，要注意对绝对值内数的正负进行讨论.

14>[O,l]u[e,+oo)

【解析】

根据分段函数的性质，即可求出。的取值范围.

【详解】

当a>l时，Ina..1,

a..e,

当④1时,

所以噫必1,

故。的取值范围是[0,1]+8).

故答案为：[Ol]u[e,+oo).

【点睛】

本题考查分段函数的性质，已知分段函数解析式求参数范围，还涉及对数和指数的运算，属于基础题.

15>20万

【解析】

由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合，利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可.

【详解】

由三视图知，该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆

柱组合而成，其体积为乃x2?x4+—x—乃x23=20万.

83

故答案为：20万.

【点睛】

本题考查三视图以及几何体体积，考查学生空间想象能力以及数学运算能力，是一道容易题.

16、-254

【解析】

利用4=Sn-Sn_](〃>2)代入即可得到Sn-2=2(S,i-2)(〃>2),即｛S“一2)是等比数列，再利用等比数列的通项

公式计算即可.

【详解】

VS'q

由已知。”=才-1,得怎=才一1,即S,-5,1=才-1,所以5,-2=2(5,1-2)(〃22)

<?

又4=申—1,即$=-2,工-2=-4,所以{S,,—2}是以-4为首项，2为公比的等比数

列，所以S,一2=-4X2"T,即S'=2-2"+I,所以$7=2-28=—254。

故答案为：-254

【点睛】

本题考查已知S“与%的关系求S,，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

27

17、(1)或x21}(2)最小值为彳.

【解析】

(1)讨论x<—1,-l<x<^(三种情况，分别计算得到答案.

22

3

(2)计算得到x+y+z=e，再利用均值不等式计算得到答案.

【详解】

—3x,x<—1,

(1)/(x)=,-x+2,-14x<g,

01

3x,x>一,

I2

当时，由一3x23,解得x<一l；

当一14x4一时，由—x+223,解得x=—1；

2

当X〉」时，由3x23,解得xNl.

2

所以所求不等式的解集为或x'l}.

133

(2)根据函数图像知：当X=］时，。=/(力所以X+y+Z=］.

因为［x+(y+l)+(z+2)J

=£+(y+i)-+(z+2)-+2[x(y+l)+x(z+2)+(y+l)(z+2)]

<3[x2+(y+l)2+(z+2)2j,

3281

由x+y+z=j,可知[x+(y+l)+(z+2)]=i,

所以x?+(y+l)~+(z+2)~>—,

311

当且仅当x==,j=-,z=——时，等号成立.

222

【点睛】

本题考查了解绝对值不等式，函数最值，均值不等式，意在考查学生对于不等式，函数知识的综合应用.

18、(1)—+^-=1；(2)存在，且方程为y=迪X+2或y=^x+2.

5355

【解析】

(1)依题意列出关于a,b,c的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；(2)联立直线和椭圆得到

(3+5灯f+20入+5=0,要使以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点。卜石,0),则=结合韦达定理

可得到参数值.

【详解】

(1)直线±+±=1的一般方程为法+少一。8=0.

ab

lab=2后

*abV30",r2、,2

依题意『=^=三一，解得，故椭圆C的方程式为二+匕=1.

^a2+b2453

a2=b2+c2

(2)假若存在这样的直线/,

当斜率不存在时，以|A可为直径的圆显然不经过椭圆C的左顶点,

所以可设直线/的斜率为攵，则直线/的方程为丁=自+2.

厂"产，得。+5㈢f+2（）奴+5=0.

由，

3x+5y-=15''

由AMdOO产一20(3+5公)>0,得上e,+8.

/

记A,B的坐标分别为(9,%)，

20k5

=

则用+%29Xj4

3+5公3+5公

而乂%=（例+2）（依2+2）=左2Pz+2、（芭+%）+4.

要使以|为直径的圆过椭圆C的左顶点。卜后,0),则D4•=0，

即,%+（玉+逐）（尤2+右）=（k?+1）尤/a+（2%+6）（％+々）+9=0,

所以（公+1）五\-（2&+石）浅r+9=0,

整理解得々=拽或2

5

所以存在过P的直线/,使/与椭圆。交于A,3两点，且以为直径的圆过椭圆C的左顶点，直线/的方程为

2石ct86c

y-----无+2或y=----x+2.

55

【点睛】

本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次

的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解

决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式

的作用.

19,(I)[-2,21；(II)

42

【解析】

2x(x>1),

(I)当a=b=l时，"x)=k—l|+k+l|=<2(-14x41),令g(x)=8-f,作出/(x),g(x)的图像，结合图像即

-2x(x<-1).

可求解；

(n)结合绝对值三角不等式可得/(功=卜—。|+卜+421。+勿-(X-必=k+q=a+b=1,再由“1”的妙用可拼凑为

」？+[=!(—^+1)[(a+D+句，结合基本不等式即可求解；

a+12b2a+\2bL」

【详解】

2x(x>1),

(I)〃到=卜-1叶+1|=<2(7。41),

-2x(尤<-1).

令g(x)=8-x2,作出它们的大致图像如下：

由8-d=2xnx=2或x=~4(舍)，得点3横坐标为2,由对称性知,

点A横坐标为-2,

因此不等式f(x)W8-x2的解集为[—2,2].

(II)/(X)=|x-a|+|x+/?|>|(x+/?)-(x-a)|=|a+Z?|=a+/?=1.

111z11、「/1Z1ba+]1^13/T3V2

。+12b2a+12bL」2。+12b22242

取等号的条件为左二誓，即a+iQ联立j=厝a=3-2-72,

b=2晚一2.

因此W+*的最小值为2日

【点睛】

本题考查绝对值不等式、基本不等式，属于中档题

20、(1)x2+y~――(2)5/6

【解析】

试题分析：(D确定圆。的方程，就是确定半径的值，因为直线AP与圆。相切，所以先确定直线方程，即确定点P

331

坐标：因为P/Fx轴，所以PL/),根据对称性，可取P伺)，则直线AP的方程为y=/(x+2),根据圆心到

2

切线距离等于半径得一=忑(2)根据垂径定理，求直线P。被圆。截得弦长的最大值，就是求圆心。到直线PQ的

\b\3

距离的最小值.设直线PQ的方程为y=kx+b9则圆心。到直线PQ的距离d='I—,利用kop-kOQ=一3■得

收+i'4

3玉=°，化简得(3+4/必々+4奶(玉+々)+46=0,利用直线方程与椭圆方程联立方程组并结合韦达

定理得2/=4k2+3,因此d==j2_2(k；+l)，当左=0时，”取最小值，取最大值为卡•

试题解析：解：(1)

22

因为椭圆C的方程为土+匕=1,所以A(—2,0),尸(1,0).

43

3

因为轴，所以尸(1,±-),而直线AP与圆。相切，

2

根据对称性，可取p(i,a),

2

则直线AP的方程为y=g(x+2),

即x—2y+2=0.

2

由圆。与直线AP相切，得厂二有，

所以圆。的方程为一+丁=不

(2)

易知，圆。的方程为V+y2=3.

3

①当PQ_Lx轴时，kOP-kOQ^-ko^--,

所以尢》=±走，

OP2

此时得直线PQ被圆。截得的弦长为巨巨.

7

②当PQ与x轴不垂直时，设直线的方程为>=履+6,「（知y）,。（乙,%）（为々工0），

3八

首先由kOP・20Q=——,得3%］工2+4y%—0,

即3X}X2+4（fcVj+b）（kx2+b）=0,

所以（3+4&2）再入2+4劭（玉+*2）+402=0（*）.

y=kx+b

联立{fy2,消去x,得（3+4氏2）/+弘笈+46-12=0,

—+—=1

43

3kb4/-12

将％+々=代入（*）式,

EF'再"23+4公

得于=4r+3.

网

由于圆心。到直线PQ的距离为d

V+i

所以直线PQ被圆。截得的弦长为/=2>/^二尸=、4+-^—，故当攵=0时，/有最大值为卡.