2023年新高考数学一轮复习2-1 不等式的性质及常见不等式解法

专题2.1不等式的性质及常见不等式解法(知识点讲解)

【知识框架】

【核心素养】

1.结合集合，考查不等式的概念、性质，结合作差法，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.

2.结合函数的图象，考查不等式的解法，凸显直观想象、数学运算的核心素养.

【知识点展示】

(-)不等式的性质

1.实数的大小

(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.

(2)对于任意两个实数a和从如果a—6是正数，那么a>6；如果a—b是负数，那么如果〃一/)等于

零，那么a=6.2.不等关系与不等式

我们用数学符号’2"、"W连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符

号的式子，叫做不等式.

3.比较大小的常用方法

(1)作差法

一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法

把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.

(2)作商法

一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论.

*(3)函数的单调性法

将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系.

4.判断不等式是否成立的方法

(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.

(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断.

5.求代数式的取值范围

利用不等式性质求某些代数式的取值范围时.一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得

整体范围，是避免错误的有效途径.

6.不等式性质

(1)对称性：a>b<=>b<a.

(2)传递性：a>b,b>c=>a>c.

(3)可加性：a〉b=a+c>b+c.

(4)可乘性:a>b,c>O=>ac>bc；a>b,c<O=>ac<bc.

(5)加法法则:a>b,c>d=a+c>b+d.

(6)乘法法则:a>b>0,c>d>O=>ac>bd.

(7)乘方法则：a>b>O=an>b”(neN,n22).

⑻开方法则：a>b>0=踞>*(n£N,n22).

(二)不等式的解法

1.解一元二次不等式的一般步骤

(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.

(2)判：计算对应方程的判别式.(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实

根.

(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.

*2.分式不等式的解法

定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式.

招>0今外)虱x)>0,喘<0㈡"x)•虱x)v0.

噜°.

g(x)|g(x)W0.

Wx)=0

OAx)-g(x)>0或

[g(x)W0

危)？(/)以x)W0,Mx)=0

Wx)-g(x)<0或[g(x)W0.

g(x)[g(x)W0

3.简单的高次不等式的解法

高次不等式：不等式最高次项的次数高于2,这样的不等式称为高次不等式.

解法：穿根法

①将./(X)最高次项系数化为正数；

②将加)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；

③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方

根穿而不过，奇次方根穿过)；

④观察曲线显现出的/(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集.

4.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.

(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不

易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论.

(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二

次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式.

(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.

(三)绝对值不等式

1.绝对值不等式的解法

(1)形如|ax+b|2|cx+d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解.

(2)形如|ax+b|Wc(c>0)和|ax+b|2c(c>0)型不等式

①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集

不等式a>0a=0a<0

11ya{jr|一々VnVq)00

Ix\y>a{JC\或/V-a》{x|XTTO)R

Iy

②Iax+b|Wc(c〉O)和ax+b|2c(c>0)型不等式的解法Iax+b|<c=c<，x+l)Wc(c>0),

Iax+b|Nc=ax+bNc或ax+bW-c(c>0).

2.绝对值不等式的应用

如果a,b是实数,那么|a+b|W|a|+|b|,当且仅当ab20时，等号成立.

(四)几条常用结论

1.倒数性质的几个必备结论

(1)«>/?,

(2)战0助=鼻.

,~里八八、ab

(3)a>b>0,0<c<d=^->j.

(4)0<a<x<b或。<了<*0=9¥；.

2.两个重要不等式

若a>b>0,加>0,则

b6+加bb~m

(1)<-r―；->---(6—w>0).

'­a+maa—nr)

aa+加aa~ni

(2掌钻

【常考题型剖析】

题型一用不等式表示不等关系

例1.(2010•浙江•高考真题(文))某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为

500万元，七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八

月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x的最小值

【答案】20

【解析】

【详解】

把一月份至十月份的销售额相加求和，列出不等式，求解.七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.

所以一月份至十月份的销售总额为：

3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2心7000,解得1+x%92.2(舍)或1+x%>1.2,

所以Xm：20・

【规律总结】

用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：

①审题.通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量.找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不

少于”“不多于”“超过”“不超过”等.

②列不等式组：分析题意，找出己知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示.

题型二：比较数或式子的大小

例2.(2022•全国•模拟预测(理))已知a>b>,>0,则下列结论正确的是()

a

A.化卜>1B.

bh

c.bgpiogjD.

bab

【答案】D

【解析】

【分析】

根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即

可得答案.

【详解】

因为“>b>L>0,所以a>l,

对于A：a-h>0,所以故人错误；

对于B：；>1,所以在(0,内)上为增函数，

bb

又a>b,所以bgj'bg/,故B错误;

bb

，vi-.log«-logb=logo+logb=logab

入JJcL：abaaa，

babbb

因为:>1,ab>\,所以％2>吗1=°,

bbb

所以故C错误；对于D：b---(a-^\=b-a+[--=(a-b)[^^],

ha\b)ba\ab)

因为a-b>0,ab>\,

所以=—g]<0,即-],故D正确.

aybJ\ab)ab

故选：D

例3.比较大小：

(1)比较x2+*+l与2(x+y-l)的大小;

(2)设aWR且存0,比较a与公的大小.

【答案】见解析

【解析】(1)9+"+I~2(x+y~1)=%2-2X+1+"—2〉+2=(工一1)2+什-1)2+1>0,

，x2+y2+1>2(x+j>—1).

⑵由

当。=±1时，a=>；

当一1<。<0或a>I时，a>：；

当aV-l或OVqVl时，a<k

【领悟技法】

1.比较大小的常用方法

(1)作差法

一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化

等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.

(2)作商法

一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论.

(3)函数的单调性法

将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系.

题型三：不等式性质及其应用

例4.(2022・上海•高考真题)已知a>6>c>4,下列选项中正确的是()

A.a+d>b+cB.a+ob+d

C.ad>beD.ac>bd【答案】B

【解析】

【分析】

用不等式的基本性质得解.

【详解】

3>2>1>0,但3+0=2+1,3xO<2xl,A、C错

\-a>b>c>d,:.a>c,b>d,所以a+c>b+d.B正确.

•.-30>2>-l>-2,fH30x(-l)<2x(-2),D错.

故选:B.

例5.（2014•四川•高考真题（文））若a>b>0,c<d<0,则一定有

.ah—abab一ab

A.—>—B.-<—C.—>-D.—<一

cdccldcdc

【答案】D

【解析】

【详解】

本题主要考查不等关系.已知a>b>0,c<d<0,所以-1>一1>0,所以-：>-2,故;<2.故选。

acdede

例6.【多选题】（2021•河北高三二模）若实数a,b满足44<。3。，则下列选项中一定成立的有（）

A.“2〈从B.ai<biC.e«-b<1D.In<0

【答案】AD

【解析】

根据条件，可行0〉a〉b或b〉a〉0,逐一分析四个选项，即可得答案.

【详解】

因为。4<〃3/7,所以。3（。一力）<0,

。3<0Q3>0

所以J或,

a-b>0a-b<0

所以0>a>b或b>Q>0,

所以故A正确;

若0>。>。，则〃3>加，故B错误；若0>a>b,则。一。>0,所以故C错误;

因为0>a>b或6〉。〉0,所以0<2<1,

b

所以In<0,故D正确.

故选：AD

【规律总结】

1.判断不等式的真假.

（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件.

（2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件;

二是取值要简单，便于验证计算.

（3）若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错

误，只需举一反例.

2.证明不等式

（1）要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.

（2）应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更

不能随意构造性质与法则.

3.求取值范围

（1）建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围.

（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转

化，就有可能扩大其取值范围.

4.掌握各性质的条件和结论.在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘（除）以一

个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定.

题型四：不等式的解法

例7.（2020•全国•高考真题（理））设集合Z={x|x2-4W0},5={x|2x+a<0},且力门8="|-2姿1},则a=（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意首先求得集合A.B,然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数«的值.

【详解】求解二次不等式X2-440可得：A={x\-2<x<2},

求解一次不等式2x+a40可得：B=

由于Ac8={xl-24x41},故：一3=1,解得：a=—2.

2

故选：B.

例8.（广东高考真题（理））不等式卜-1|+卜+2|之5的解集为.

【答案】（F，—3]u[2,yo）.

【解析】

-2%-1,x<—2

令/(x)=|x_l|+|x+2],则/(x)={3,-2<x<l,

2x+l,x>1

(1)当x<—2时，由/(x)25得—2尤—125,解得xW—3,此时有xW-3；

(2)当一时，/(x)=3,此时不等式无解；

(3)当x>l时，由/(x)25得2x+125,解得xN2,此时有xN2；

综上所述，不等式k一1|+k+2|N5的解集为(Y°，-3L[2,T8).

例9.(2019•天津•高考真题(文))设xeR,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为.

【答案】(-1,()

【解析】

【分析】

通过因式分解，解不等式.

【详解】

3x2+x-2<0,

即(x+l)(3x-2)<0,

BP-l<x<|,

一2

故式的取值范围是

例10.(2022•上海•高考真题)不等式上<0的解集为.【答案】｛x|0<x<l｝

X

【解析】

【分析】

根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.

【详解】

x-1[x—1<01>0

一<°=八或八，解第一个不等式组，得0<x<l,第二个不等式组的解集为空集.

x[x>0[x<0

故答案为：｛x|0<x<l)

【规律方法】

1.解一元二次不等式的一般步骤

(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.

(2)判：计算对应方程的判别式.

(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根.

(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.

2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.

(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不

易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论.

(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二

次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式.

(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.

【易错警示】忽视二次项系数的符号致误

3.形如|x-a|+|x-b2c(或Wc)型的不等式主要有三种解法：

(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(-8,a],(a,b],(b,+8)(此处设

a〈b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集.

⑵几何法:利用|x-a1+|x-b|>c(c>O)的几何意义:数轴上到点X|=a和x=b的距离之和大于c的全体，

X—a|+|x—b|x—a—(x—b)|=\a-b.

(3)图象法：作出函数匕=|x-a|+|x—b]和y?=c的图象，结合图象求解.

题型五：绝对值不等式的应用

例11.(2022•陕西•交大附中模拟预测(理))己知wR,则“忖<1且|y|<2"是“|x+小3”的()条件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

【分析】

判断充分性可利用绝对值三角不等式，由|x+M<3分园<1，3<2可以举反例

【详解】

解：充分性:若则1+计4国+|1<3,充分性得证;

必要性：若卜+)，|<3,取户2,y=。5满足条件，但不能得出

故为非必要条件；

综上所述，"|x|<1,|计<2”是“|x+M<3”的充分不必要