2023-2024学年河北省石家庄市尚义重点学校高二（上）联考数学试卷（含解析）

2023.2024学年河北省石家庄市尚义重点学校高二(上)联考数学试卷

(9月份)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知向量力=(6,-2,6)5=(-3,1,x).则使必不成立的工为()

A.-2B.3C.-3D.4

2.若&=(1,0,1),K=(-1,2,3)，c=(0,1,1),则五-1+2。=()

A.(2,0,0)B.(2,-1,-1)C.(-2,0,1)D.(-2,-1,-1)

3.在空间直角坐标系中，点(1,-2,3)关于y轴对称点的坐标是()

A.(-1,2,3)B.(-1,-2,-3)C.(-1,2,-3)D.(1,-2,-3)

4.已知4(2,1,3),5(2,-2,6),C(3,6,6),则就在前上的投影向量为()

A.(0,-1.1)B.(0,-C.(0,门,一。)D.(0,1,-1)

5.已知4(3,2,0),F(0,4,0),5(3,0,2),则平面4BC的一个法向量是()

A.(1,1,1)B.(2,2,3)C.(2,3,3)

6.如图所示，在四面体。-ABC中，耐=a>OB=b^OC=c>点M在。4上，且加7=3而,

N为AOBC的重心，则而=()

A.|a-4-

343

B.-1a+|b+|c

113

TTT

c-a+-b-c

334

331

TTT

D-a+-b-c

442

7.a=(l,-l,O),b=(-1,0,1)，=(1,3,x),若江，b，,三向量共面，则实数%=()

A.3B.—3C.4D.—4

8.在三棱锥M—ABC中，MA1平面ABC,△ABC是正三角形，AB=2,="，尸是棱MC上一点，使

异面直线BC与ZF所成角的余弦值要，则/TBC：yM-ABF=()

A.iB.2C.iD.3

二、多选题(本大题共4小题，共20.()分。在每小题有多项符合题目要求)

9.关于空间向量，以下说法正确的是()

A,若直线/的方向向量与平面a的法向量的夹角等于130。，则直线1与平面a所成的角等于50。

B.已知向量自，瓦引组是空间的一个基底，则自+石石+*五+3也是空间的一个基底

C.若对空间中任意一点。，有而=+）而+：元，则P,A,B,C四点共面

ooZ

D.若有4>0,则落石的夹角是锐角

10.下列命题中是假命题的是（）

A.若非零向量日与平面a平行，贝皈所在直线与平面a也平行

B.若平面支，0的法向量分别为河=（0,1,3）,荻=（1,0,3）,则a〃/?

C.已知至为直线，的方向向量，元为平面a的法向量，则万，济=〃/a

D.若两个非零向量荏，而满足超+由=6，则荏〃而

11.如图，在平行六面体ABC。一&B1C1D1中，AB=AD=AA1=1,

且乙4〃B==/BAD=60。，则下列说法中正确的有（）

A.BDj=AA1+AD—AB

B.|西|=V-3

C.4cl1BD

D.直线4C1平面BCCiBi

12.如图，已知正方体4BCD-&B1GD1的棱长为2,E,F,G分别为4已AB,

BiG的中点，以下说法正确的是（）

A.ArC_L平面EFG

B.C到平面EFG的距离为

C.过点E,F,G作正方体的截面，所得截面的面积是3门

D.平面EGF与平面BCG/夹角余弦值为?

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知4（1,2,3）,8（-2,2,1）在直线，上，写出直线/的一个方向向量：u=.（坐标表示）

14.在平行六面体4BCD-4$iC也中，F为棱。Di的中点，E为棱8Bi上一点.记品=xAB+yAD+z彳否,

若x+y+z=g,则券=•

15.P为矩形4BCD所在平面外一点，P4上平面4BC。，若已知AB=5,4。=12,PA=d，则点P到8。的

距离为.

16.已知空间有三点4(一1,0,1),8(0,1,3),C(3,5,3),若在直线BC上存在一点M,使得AM_LBC,则点M的

坐标为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知空间三点4(—2,0,2),8(t-2,4,3),C(—4,s,l),设五=而，b=AC.

(1)若t=2时，当4,B,C三点共线时，求s的值；

(2)若s=2时，a+石与3垂直,求t的值.

18.(本小题12.0分)

如图，在三棱台4BC-&B1C1中，M,N分别为棱BC,AB的中点.设荏=d，AC=b＜京=乙

(1)用d,b＞才表示，而7,加认

(2)若4c=24G，用向量的方法证明&N〃平面GM4

19.(本小题12.0分)

如图，四边形力BCD为正方形，PD1平面ABCD,且PD=DC=2,M、E、F分别为PC、AB.BC的中点.

(1)求证：ME〃平面PAD：

(2)求直线EF到平面P4C的距离.

p

20.(本小题12.0分)

如图，在三棱锥P-ABC中，△「?!(:为等边三角形，PB=BC=4,AC=2<3.ABLAC.

(1)平面PAC，平面4BC；

(2)点D是棱BC上一点，当前=，而时，求PC与平面4PC所成角的正弦值.

21.(本小题12.0分)

如图，在三棱锥P-ABC中，侧棱PA1底面4BC,且PA=4C=2,BC=2，五，AC1BC,过棱PC的中点

E,作EF1PB交PB于点F,连接ZE,AF.

(1)确定点F的位置；

(2)证明：PB_L平面4EF；

(3)求平面4EF与平面P4C的夹角.

22.(本小题12.0分)

如图，三棱锥P—ABC的底面4BC为等腰直角三角形，LABC=90°,AB=2.D,E分别为AC,BC的中点,

PD_L平面力BC,PD=C，点M在线段PE上.

(1)试确定M的位置使得平面MBD，平面PBC；

(2)在(1)的条件下，判断直线AP与平面M8D的位置关系，并说明理由.

A

B

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：当a〃加寸，则存在唯一的实数;i使得刃=%，

(一3=62(._1

即1=一2九解得，=一5,

%=64L=-3

所以使0/B成立的化为-3.

故选：C.

由向量共线的充要条件结合向量的坐标运算即可求解.

本题考查向量共线的充要条件以及向量的坐标运算，属于基础题.

2.【答案】4

【解析】解：依题意，由五=(1,0,1),b=(-1,2,3)-c=(0,1,1),

可得五-b+2c=(1,0,1)-(-1,2,3)+2(0,1,1)

=(2,—2,-2)+(0,2,2)

=(2,0,0).

故选：A.

进行空间向量的坐标运算即可.

本题主要考查空间向量的坐标运算，属基础题.

3.【答案】B

【解析】解：在空间直角坐标系中，点(1,-2,3)关于y轴对称的点坐标为(—1,一2,-3).

故选：B.

根据空间中关于坐标轴对称的点的坐标特征可直接得到结果.

本题考查了空间中关于坐标轴对称的点的坐标特征，是基础题.

4.【答案】D

【解析】解:因为4(2,1,3),8(2,-2,6),C(3,6,6),

所以衣=(1,5,3)，AB=(0,-3,3)«

所以就AB=0+5x(-3)+3X3=-6，

因为|荏|=3。，

所以需=W=—。,

故而在何上的投影向量为^•焉=券而=-加=(°，1，-1).

故选：D.

根据投影向量的定义，分别计算出数量积万•荏及正，厢的模长，即可得出答案.

本题考查空间向量的数量积与投影的坐标表示，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：由题可知荏=(一3,2,0)，AC=(0,-2,2).

设历=(x,y,z)是平面/BC的法向量，

则元_L希，nLAC-

所以产亚=_3彳+2丫=0,可得卜="

(n•/IC=-2y+2z=0(y=z

取z=3,则x=2,y=3.

于是元=(2,3,3)是平面ABC的一个法向量.

故选：C.

由点坐标分别表示出向量而，血，再由空间向量垂直的坐标表示即可求出法向量.

本题考查法向量的定义，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：在四面体。-ABC中，

如图所示：

OA=a,08=b,配=3点M在。4上，且丽=39，N为△OBC的重心,

所以而=；疳+：沅=颉+9,

故而=|•=g9+：落

故而=而一而下一？五

334

故选：B.

直接利用中线向量和向量的加法和减法运算求出结果.

本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

7.【答案】D

【解析】解:vb=(—1,0,1),五=(1,

.■.a,打共线，

又益，ft,3三向量共面，则存在实数m,n使［=ni,+nB

m—n=l(n=-4

—m=3,解得？n=-3.

1n—xlx=—4

故选：D.

由共面向量定理可得.

本题考查共面向量的定义，属于基础题.

8.【答案】B

M

【解析】解：在MB上取E,使得EF〃BC,连接4E,卜

则异面直线BC与4F所成角为乙4FE(或其补角)，\

又在三棱锥M—Z8C中，MA平面ABC,AABC是正三角形，4B=2,MA=B/z\

<5，

则MC=MB=3,AE=AF,

设MF=tMC,贝ijEF=2t,ME=MF=33

22;x3t.=

AE=AM?+ME2_2MA-MEcosz.AMB=5+9t-2A/

9t2-lOt4-5,

••・异面直线BC与4F所成角的余弦值粤，

2fyT6-1

•••cos^AFE=af=r----------=12,解得t=1，

AFJ9t2-10t+5"3

21

A^F-ABC=3^M-ABF=^M-ABC1

J4-ABC：^M-ABF=2・

故选：B.

根据异面直线BC与AF所成角的余弦值要，在MB上取E,使得EF〃BC,连接4E,则异面直线BC与4F所成

角为4AFE(或其补角)，设MF=3t,解等腰三角形ZEF,求出点尸的位置，即可求出结果.

本题考查了异面直线所成角，重点考查了异面直线所成角的作法，属基础题

9.【答案】BC

【解析】解：因为直线，的方向向量与平面a的法向量的夹角等于130。，所以它们所在直线的夹角为50。,

则直线1与平面a所成的角等于90。-50°=40。.故A错误；

不存在x,y使得，x(a+b)+y(b+c)=a+/?+c>

所以d+3，b+c<N+弓+及不共面，能构成基底，故8正确：

^OP=xOA+yOB+zOC，dx+y+z=1)，则P，A,B,。四点共面，

OP-OA+OP-OA+2OB+；OC,且:+；+；=1,

□OZODZ

所以P,A,B,C四点共面，故C正确；

若五不>0,可为零角，所以不一定为锐角，故。错误.

故选：BC.

根据法向量与直线方向向量的夹角与直线方向向量和平面的夹角即可验证4选项；根据空间向量基本定理即

可验证B选项；根据四点共面的充要条件即可验证C选项；根据向量夹角的定义即可验证。选项.

本题主要考查命题真假判断与应用，考查转化能力，属于中档题.

10.【答案】ABC

【解析】解：若非零向量3与平面a平行，贝皈所在直线可能与平面a平行，也可能在平面a内，故A是假命

题;

因为万，则”/a或lua,故C为假命题;

0=2.

若元=2五,(4力0),则(0,1,3)="1,0,3),得,1=0,而此方程无解，所以。〃0不成立，故B为假命题;

.3=3A

两个非零向量荏，而满足四+而=6,即用=一而，则荏〃森，故。为真命题.

故选：ABC.

由假命题的定义结合空间向量与立体儿何的关系逐一辨认即可求解.

本题考查空间向量与立体几何的关系，属于基础题.

11.【答案】CD

【解析】解：设而=a，而=3,痂=3由题意，同=\b\=|c|=1，

<a,b>=<b,c>=<a,c>=60°，

选项A,西=而一荏=g(而+国)一荏，故A错误；

AB

选项3,|而［=I(一五+3+%2=I1+1+111+1故3错误；

Y1*TT,4

选项C,因为温=荏+而+丽>=方+3+高BD=AD-AB=b-a>

所以宿-BD=(a+b+cy-fb-a^a-b+b2-a-b-a-c

则有AG1BD,故C正确：

选项。，设点P为平面BDDiBi内的任意一点，由共面向量定理，

可设前=%前+丫西=-X五+x方+y3x,y&R,又碇=前一丽=五+石一乙

则砧-BP=(a+6-c)•(—xa.+xb+yc~)=—y+(y+x)a-c+(y—x~)b-c=-y++=0,

故直线4传_L平面BDDiBi，故。正确.

故选：CD.

根据向量的线性运算可判断4根据向量数量积的性质可判断B；由向量的数量积运算可判断C；通过向量

运算，得出直线方向向量与平面内任意直线所在向量的数量积为0,可判断D.

本题考查空间向量的线性运算及数量积运算，属中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：以。为原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

因为正方体ABC。-&B1C1D1的棱长为2,

E,F,G分别为4D,AB,BiQ的中点，

则4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),

D(0,0,0),公(2,0,2),8式2,2,2),

6(022),。式0,0,2),E(l,0,0),F(2,1,0),G(1,2,2),

因为碇=(—2,2,—2),前=(1,1,0),FG=(-1,1,2).

工■己切=-2+2-0=0,不？•丽=2+2-4=0，

所以4C1EF,ArC1FG,EF,FG在平面EFG上，EFOFG=F,

所以4C1平面EFG,故A正确；

设平面EFG的法向量为元=(x,y,z),因为前=(1,1,0),FG=(-1,1,2),CE=(1,-2,0)

EF-n=x+y=0,

所以

PG-n=—x+y+2z=0,

令x=l,则y=-1,故z=l,

所以平面EFG的一个法向量为元=(1,-1,1),

则点C到平面EFG的距离为d=喀瞿=用黑=<3,

|n|V14-14-1

所以点C到平面EFG的距离为q,故B选项正确；

因为OC，平面BCG%,则沆=(0,2,0)是平面BCCiBi的一个法向量，

因为平面EGF的一个法向量为元=

设平面EGF和平面BCCiBi的夹角为0,则。为锐角，

所以1皿即=繇=0。+踪:，+「？，故。选项正确；

对于C选项，取的中点H,的名的中点/,的中点/,连接E/,〃，/G,

GH,HF,如图所示，

因此E/7〃G,GH//E1,IJ//FH,

EF=JG=GH=EI=IJ=FH=Vl2+I2=«，

且正六边形EFHG/是过点E,F,G作正方体的截面,

所以其面积为：

S=6xx(C)2.sin60。=3，3,故C选项错误.

故选4BO.

本题利用空间向量求出法向量，再利用法向量求出夹角，再求出距离和面积即可.

本题主要考查利用空间向量求角和截面面积，属于中档题.

13.【答案】(—3,0,-2)答案不唯一

【解析】解:因为4(123),B(-2,2,1)在直线/上，

则直线，的一个方向向量过=AB=(-3,0,-2).

故答案为：(-3,0,-2)答案不唯一.

根据方向向量的定义可解.

本题考查方向向量的定义，属于基础题.

14.【答案】J

O

【解析】解：如图,

EF=EB]4-8/=EBi+B1D1+D±F

=ABB]+〃DD]=AAA1+AD-AB+〃AA1

=-AB+AD+(A+〃)AA1,

又罚=x而+y而+z^7，且x+y+z=；，

x=-1,y=l,z=2+〃，可得4+〃=§,由己知得〃————,

则"；+HI，即瓯=।两，可得爵—

故答案为：上.

根据已知条件，结合空间向量及其线性运算法则，即可求解.

本题主要考查空间向量及其线性运算法则，属于基础题.

151答案】75459

直线PA，平面ABCD,

•••APLBD,5LAE1BD,APnAE=A,AP,AEc^PAE,则B。_L面P4E

•••PE1BD,PE为所求的距离，

在力？AA4ABnOn中Hi，AAr»E^AB--AD=-5x12=-60,

在44PE中，PE=VAE2+AP2=J*弓+V^=

所以点P到BD的距离为售I

过A作4ELBD于E,连接PE,BDIjgfPXF,得出P到直线BD的高，然后计算即可.

本题主要考查空间几何体的距离问题，属于基础题.

16.【答案】(―II，—53)

【解析】解：设M(x,y,z),则彳而=(x+l,y,z—1)，BM=(x,y-l,z-3).

又前=(3,4,0)，AMIBC>BC//BM，

21

x=一而

z=3,

(y=

即点M的坐标为(—1|,—£3).

故答案为：(一意一靠,3).

设出点M的坐标M(x,y,z),列出关于x,y,z方程组，解之即可求得点M的坐标.

本题主要考查空间向量共线、垂直的性质，属于基础题.

17.【答案】解:(1)因为4(一2,0,2),B(t-2,4,3),C(-4,s,1),

所以苍=同=(t,4,l)，b=AC=(-2,s,-l).

当t=2时，a=(2,4,1),

因为A,B,C三点共线，所以日与3共线，

所以存在实数九使3=»；，即(2,4,1)=(-24,s；l,一；I),

2=-2A

所以4=S/l,

=—A

解得a=—1,s=—4,所以s=—4,

(2)由s=2得另=(-2,2,-1)，a+b=(t-2,6,0)，

因为d+坂与X垂直，

所以0+K)-K=(t-2,6,0)•(-2,2,-1)=4-2t+12=0)解得t=8.

【解析】（1）先根据题意表示出日石的坐标，再由共线向量定理列方程求解即可，

（2）表示出a+3的坐标，然后由两向量垂直列方程求解即可.

本题主要考查向量的数量积以及三点共线的应用，考查计算能力，属于中档题.

18.【答案】解：（1）而7=羽+丽=一矶+；四=一3+；落

A^M=A^A+AM=-AAi+AB+~BM=-c+a+^BC=-c+a+^（AC-AB）=-c+a+^b-^a=

|a+iK-c；

证明：（2）祠=亚+丽=布+；近=而+：（前一卷）=a+|b-|a=|a+1K,

AC=2A1C1,AiG=^AC,

ACr-AAt+A1C1—AAt+^AC=c+^b,

GM-C^A+AM——（c+-i>）+-u+—£>=-a-c,

又ArN=-c+

•••GM=A]N，

又•••&N仁平面GMA,GMu平面GAL4,

4N〃平面GMA.

【解析】（1）利用空间向量的线性运算法则求解即可；

（2）用G,B，乙表示出铜，可得的=而已再结合线面平行的判定定理即可证明.

本题主要考查了空间向量的线性运算，考查了利用空间向量证明线面平行，属于基础题.

19.【答案】解：（1）证明：取PD中点N,连接MN和AN,贝ijMN〃DC,且MN=：CD,

又底面4BCD为正方形，AE=^AB=^CD,

•••MN//AE,且4E=MN,

四边形MM4E为平行四边形，

AN//ME,

又ANu平面P4。，“后0平面「力。，

ME〃平面PAD；

（2）建立以D为坐标原点，DA，DC，9分别为》轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示：

则P(0,0,2),71(2,0,0),C(0,2,0),E(2,l,0),尸(1,2,0),

■■PA=(2,0,-2)>AC=(-2,2,0).AE=(0,1,0).

设平面PAC的法向量元=(x,y,z),则元-TA=n-~AC=

即2x—2z=0,—2x+2y=0,

令x=1,则z=1,y=1,

・•・n=(1,14),

・：E,F分别为A8,BC的中点，・・・EF〃AC.

又ACu平面P/C,EFC平面PAC,

・・・EF〃平面P4C,

点E到平面P4C的距离d=率*=三=孕.

|n|v33

直线EF到平面R4C的距离为[I

【解析】(1)取PD中点M连接MN和4N,则MN〃DC,利用三角形中位线定理及正方形的性质可得四边形

MN4E为平行四边形，结合线面平行的判定定理即可得出结论.

(2)建立以。为坐标原点，DA，DC，前分别为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示，设平面

P4C的法向量丘=(x,y,z),可得记-PA=n-AC=0>利用数量积运算性质可得元，求出点E到平面P4C的距

离(1=警,进而得出直线EF到平面P4C的距离.

1«1

本题考查了线面平行的判定定理、数量积运算性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力,

属于中档题.

20.【答案】解：(1)证明：因为A/MC为等边三角形，PB=BC=4,AC=

2/31

AB1AC,BC=4,AC=2y[~3>•-AB2+AC2=BC2,■■AB=2,

B

AB2+近=4+12=16=PB2,

：.ABLAP,且ACCMP=4

AB1平面PAC,乂ABu平面ABC,

二平面PAC1平面ABC；

(2)根据(1)建立如图的空间右手直角坐标系，根据题意可得：

4(0,0,0),B(2,0,0),P(0,/3,3)，C(0,2C,0)，

又说=:而，为《，室,0),

••.正=(0,C,-3)，AP=(0,^3,3)，而=©,殍,0)，

设平面P4。的一个法向量分别为沆=(x,y,z),

(m-AP=y/~3y+3z=0a

则一彳万42nc'令丫=「，则Z=_l,X=_Q

m-AD=-x———y=0/

33，

・•・平面PAD的一个法向量分别为访=(一|,二,一1),

设PC与平面4PD所成的角为。，

__,—._同•词_3+3_2£2

sind=Icos<PC>m\=同H沆|==M'

故PC与平面APC所成角的正弦值为平.

【解析】(1)由已知可得4B=2,再由勾股定理证明AB14P,从而得AB，平面PAC,再由面面垂直的判定

定理即可证明；

(2)建系，求得直线PC的方向向量与平面APO的一个法向量，再利用向量夹角公式即可求解.

本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查运算求解能力，属中档题.

21.【答案】（1）解：•.•侧棱PAJ■底面4BC,8。（2底面48。，.一418。,

又4clBC,ACr\PA=P,二BC1平面PAC,则BC1PC,

vEF1PB,•••△PEF-^PBC,可得蔡=嚣，

vPA=AC=2,PC=2V_2，又BC=2。，PB=4,

又E是PC的中点，PE=；PC=/N,

.・.pp=-P-E-P-C=-Q---X-2--Q-=11,

PB4

即尸在PB的四等分点处，距离P点较近;

（2）证明：vPA=AC,E为PC的中点，.MEIPC,

由(1)知BC，平面PAC,而BC