2023-2024学年山西省忻州市高一年级下册开学考试数学试题

2023-2024学年山西省忻州市高一下册开学考试数学试题

一、单选题

1.已知集合4={削“2一%一6<。},3={削3-工>2},则AB=（）

A.{x∣-2<x<l}B.{Λ∣-3<x<l}

C.{x∣l<X<2}D.{Hlv%<3}

【正确答案】A

【分析】根据不等式的解法求解集合A、B,再根据集合的交集运算求解.

【详解】由题意可得：A={jdχ27_6vθ}={x_2<x<3},B={x∣3τ>2}={x∣x<l},

则AIB={x∣-2vx<l}.

故选：A.

2.“国=2”是“W=；”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】分别求出X的取值范围，根据充分条件、必要条件的定义即可做出选择.

【详解】由题意可知，|目=2可得x=2或x=-2；

而一；=?时，可得x=-2,所以“闪=2"U"T="

x-221'x-12

因此“卜|=2”是“六=；”的必要不充分条件.

故选：B

3.在直角坐标系Xs，中，若点P从点（3,0）出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方

1Ijr

向运动多到达点Q,则点。的坐标为（）

O

ɜ3√Γ

反一句

【正确答案】C

【分析】根据题意作出示意图，并利用三角形函数定义即可求得点。的坐标.

【详解】根据题意可知，作出图示如下:

根据题意可得OP=3,NPOQ=F,作。X轴且垂足为2；

O

利用三角函数定义可得OQl=3χcosNPOQ=迈，QQ1=3XSinNPOQ=巧；

22

'ɜ/ɜ3、

又。点在第四象限，所以点。的坐标为ʌ,--.

\7

故选：C

4.函数〃x)=log3(2x+4)-S的零点所在的一个区间是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

【正确答案】B

【分析】由零点存在定理，结合/(x)的单调性找到合适的区间即可.

【详解】/(x)在(一2,内)上单调递增，⅛∕(-l)=log32-l<log33-l-0,

f(O)=∣og34-^>ɪogʒɜ-ɪ>0.

则由零点存在定理得所求零点在区间(-1,0).

故选：B.

5.把函数y=∕(χ)图象上所有点的横坐标缩短到原来的：，纵坐标不变.再把所得曲线向

左平移;个单位长度，得到函数y=sin(x+"的图象，则〃X)=()

C.Sinl3X+2∣D.sin

【正确答案】A

【分析】根据三角函数图象变换规律求解析式.

【详解】函数y=sin(x+()的图象向右平移;个单位长度，得到

.(兀兀、.(πA

I43)I12)

再把所得的曲线所有点的横坐标伸长到原来的3倍，得到=Sine+展)

故选：A.

6.已知/+/=&,若+仁与恒成立，则女的最大值为()

a~⅛~+1

A.4B.5C.24D.25

【正确答案】C

【分析】由储+("+1)=幺+1,利用基本不等式整理得W+7≠7≥m7,根据恒成立问题

'/a⅛^÷1⅛+l

25

可得二≥1,运算求解即可得答案.

⅛+7l

【详解】：标+从=氏，所以/+(6+1)=/+1,

伊+%』伊

241)4+1)9a2

a2+b2+]+13≥2.+13=25

("W.+占上[-+川&a'x⅛r7ι

当且仅当4(“+1)=皿,即3∕=2(∕+l)=∙f(k+l)时等号成立,

a1b1+\5

49、25

h即π-T---ɔ----≥------，

a2b2÷1⅛+l

25

由题意可得：—-≥1,X⅛>0,解得0<Z≤24,

Z+1

故k的最大值为24.

故选：C.

7.设函数/(力=三：，则下列函数为奇函数的是()

A./(x-2)+lB./(x+2)-l

C.”X-1)+2D./(x+l)-2

【正确答案】A

【分析】将函数/(x)分离常数化简，利用函数图象的平移变换并根据反比例函数的奇偶性

即可得出结果∙

ɔ_ɪ.C

【详解】由“X)=：」可得"χ)=-i+-⅛,

2+xx+2

根据函数图象平移变换可知/(χ)=T+展是由函数y=:向左平移2个单位长度，再向

下平移1个单位长度得到的，

而y=*即为奇函数；

X

所以只需将/(X)反向平移，即向右平移2个单位得到2),再向上平移1个单位得到

2)+1,即/(x-2)+l=:为奇函数.

故选：A

t

8.已知45<74,lΓv75.^a=Iog47,⅛=Iog711,c=Iog81243,则()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【正确答案】C

【分析】先根据指对数的互化结合指数函数的单调性可判断“力的大小关系，再利用对数的

运算即可判断.

【详解】由a=log47可得：4"=7,由b=l0g7ll可得：7"=11,

所以4^=74,74Z,=114>由45<7∖<75可得：4a>5,4b<5,

5353

解得：a>->b,因为α=log47<log48=5,所以

5

又因为C=Ioggl243=logy3=∙^,所以h<c<a,

故选.C

二、多选题

9.已知幕函数/(x)=(加-3)/的图象过点(2,；),则()

A.””是偶函数B..f(x)是奇函数

C./(χ)在(e,O)上为减函数D.“X)在(0,+8)上为减函数

【正确答案】AD

【分析】利用累函数定义即过点(2，)可得m=一2,再根据函数奇偶性定义即可判断f(x)是

偶函数，由幕函数单调性即可判断D正确.

【详解】根据基函数定义可得4-3=1,解得，*=±2；

又因为图象过点(2,；),所以可得加=-2,B∣J∕(x)=χ-2=^:

易知函数/(x)的定义域为(0,+8)□(F,0),且满足〃—)=匚，=f∙=∕(x),

所以/(x)是偶函数，故A正确，B错误;

由基函数性质可得，当Xe(O,”)时，/(x)=X-为单调递减，再根据偶函数性质可得/(x)

在(-8,0)上为增函数；故C错误，D正确.

故选：AD

10.下列计算正确的是()

l+tanlO5_ʌ/ɜ

A.cos275=

41-tanlO53

C.tanI+tan44+tanltan44=1

【正确答案】AC

【分析】根据二倍角的余弦公式以及两角和的正切公式即可判断选项ABC,根据同角三角

函数之间的基本关系将切化弦即可计算出选项D的结果.

送.源，即A正确;

【详解】根据二倍角的余弦公式可得8^75J"

224

ɪ「-ΛBl+tanlO5tan45+tan105(AU1八工\“八6斗匚1、In也

由tan45=11可T得---------=---------------=tan45+105I=tanl50=-->所以B错

l-tanlO51-tan45tan105''3

误;

因为Um(I+44)=署黑署=1，所以tanl+tan44=ITanltan44'即

tanl÷tan44+tanltan44=1,所以C正确;

由于sin70[上f]=sin70(如迪-l]=sin70.限源。540

sin70=sin70∙型阻=现胆=1，所以D错误;

sin40sin40sin40

故选：AC

11.已知函数，(X)=ACOS(S+S)[A>O,0>O,∣同<]J的部分图象如图所示，则下列说法正

B./(χ)图象的对称中心为IJy+5，°J，zwz

C.直线X=是/(x)图象的一条对称轴

D.y=∕(χ)的图象与y=∣og无X的图象有3个交点

【正确答案】ABD

【分析】根据图像求出函数的解析式，然后逐项进行验证即可求解.

TSTTTΓ

【详解】由图可知：y=-1I^ir-γ∣=∣,所以T=兀,。=2,

又因为=ACOS(2x∙^+e)=0,所以2χ∙^+9=Mt+T,%∈Z,

ɪ乙ɪ乙1乙乙

也即9=%π-',%eZ,因为网所以夕=-g,

JND

Jr7ΓA

贝∣J∕(x)=Acos(2x-1),又因为/(O)=ACOS(-5)=5=2,所以A=4,

则/。)=48式2》一方)，故选项A正确；

令2x-5=Aπ+∙∣,^Z则x=g+∣^,Z?Z,所以函数f(x)图象的对称中心为

I—+y,0peZ,故选项B正确；

令2x-f=配％€2则%=”+3%€2,所以函数〃x)图象的对称轴为X="+3&eZ,所

32626

以直线X=]不是/(x)图象的一条对称轴，故选项C错误；

在同一坐标系内作出函数y=∕(χ)与y=iog75χ的图象，根据函数的图像可知：

1八，7兀八..7π,7兀、_13π八13π1,13π-,7π,,,

点C(j-,4),A(—,ɪogʃ;-),F(—,4),r0w(—,-ɪθgɔ-^x)>γ因δ为s当lzX==时，

τ46vo66260

y=log^-=21og-<2log4=4,所以函数y=∕(x)的图象与y=bgx的图象在

662275

X=?附近有两个交点，又2k>g2学>21og,4=4,所以函数y=∕(x)的图象与VTog^x的

66

1ɜσr

图象在X=Y附近没有交点，结合图象可知：函数y=∕(χ)的图象与y=iogeX的图象有3

6

个交点，故选项D正确，

Iy=f(χ)

故选.ABD

12.设f(x),g(x)都是定义域为(0,+功的单调函数，且对于任意x>0"(g(x)7nx)=2,

g("x)T=2g(x)T,则()

A./(1)=1B."l)>g(2)

C./(x)22xD.g(x)>l

【正确答案】BC

【分析】根据函数性质以及题目所给条件等式可知，利用待定系数法分别求得“χ),g(χ)的

解析式，代入即可求得函数值并比较大小得出结论.

【详解】因为"x)是(0,+8)上的单调函数，且对于任意x>0j(g(X)TnX)=2,

所以g(x)-lnx=c,其中C为常数，即g(x)=lnx+c,F(C)=2；

又因为g(∕(X)-I)=2g(x)-l,所以g(∕(c)-l)=2g(c)-l,

可得g⑴=2(InC+c)-l,即21nc+C-I=0,解得C=1,所以g(x)=lnx+l；

由g("X)-I)=2g(x)-l可得ln(∕(x)-l)+l=21nx+l,gp∕(x)=χ2+l;

所以/(1)=2,g(2)=ln2+l<2=/■⑴，即/(l)>g(2),所以A错误，B正确；

由/(x)—2x=f+i-2x=(x-l)2≥0可知，/(x)22x恒成立；即C正确；

由函数V=Inx的值域为(γo,xo)可知，g(x)>l不一定成立，故D错误.

故选：BC

关键点点睛：本题题眼在于利用“X)在(0,+功上单调且/(g(X)-InX)=2可求得

g(x)=lnx+c(其中C为常数)，结合其他条件即可求得了(x),g(x)的解析式.

三、填空题

13.设函数/(X)=卜若/(%)=5,则Xo=________.

[d+3,x<0

【正确答案】-夜

【分析】对X(I的取值范围进行分类讨论，分别代入计算即可得出符合题意的取值.

【详解】由题意可得，当天≥0时，/(⅞)=-⅞2+2⅞+3=5,此时方程无解；

当/<0时，/(⅞)=⅞2+3=5,解得为=一行或题=0(舍)

故-Q

14.已知命题p：:Hxe(O,+8),x-“石+l<0,若命题。是假命题，则”的取值范围是

【正确答案】a≤2

【分析】根据题意可得：∀X∈(0,+∞),x-04+I≥0恒成立，分离变量利用基本不等式即

可求解.

【详解】因为命题P:3Xe(O,+<»),x-α>A+l<O为假命题,

则命题：V.r∈(0,+∞),x—+1≥O为真命题，

所以α≤4+9在(0,+8)上恒成立，

=2当且仅当4=J=,也即x=l时取等号，

√Λ

所以4≤2,

故答案为.α≤2

15.彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史.按照图案的载体大致分为

彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等.其中蕴含着丰富的数学文化，如图1,漆器

图案中出现的“阿基米德螺线”是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的轨迹，这些螺

线均匀分布，将其简化抽象后得到图2,若NAoC=α,贝!!cosecos2αcosM的值为

图1图2

【正确答案】

O

【分析】根据图示可得NAoC=α=80，利用二倍角公式和诱导公式即可计算的出结果.

【详解】根据图2可知，动点A/将圆周九等分，所以NAoB=幽=40,

9

所以NAOC=α=80;

一sin2αcosIacos4asin8α

则Sinacosacos2acos4a

cosacosIacos4α==2_________________=8_____

SinaSinaSina

将ɑ=80代入可得ιsin6401sin(720-80)](

------=一×——×-------------=

Sina8sin80---8sin80------------8

即COSaCOS2acos40=一：.

故-：

O

16.已知函数/(x)=χ2-2x+m∙3∣T有唯一零点，则m=,/(x)<3%的解集为

【正确答案】1(0,2)

【分析】根据函数特征可知将x-1看成整体，即〃x)=(x-l)2-l+mRT,再利用换元法根

据函数奇偶性和单调性即可求得参数机的值，进而解出不等式.

【详解】令x-l=f,则g(。=产-1+底3”，所以g(f)为偶函数；

又函数有唯一零点，由对称性可知g(o)=-l+m=O,解得〃7=1；

易知函数“X)的图象关于X=I对称，且在口,”)上单调递增，/(O)=∕(2)=3,

则不等式/(x)<3%即为/(x)<3,由对称性可得0<x<2.

故1,(0,2)

关键点点睛：本题关键在于将f(x)看成是由y=/-2x和y=%3kT合成的函数，且两个函

数都关于x=l对称，再利用换元法判断出函数奇偶性和单调性即可求解.

四、解答题

17.(I)求0.0081—+敢兀-4)6+-(G-1)。;

V√8

(2)若Ig5=α,lg6=%,用α,%表示Iog3i5.

【正确答案】(1)—-π(2)1+---

3a+b-∖

【分析】(1)根据指数塞的运算结合根式运算求解;

(2)根据对数运算结合换底公式运算求解.

【详解】(1)

(2)

唾/5=1唱3+1%5=1+胃=1+*==l+

c10

18.已知COSa=2cos[α-∙∣

...ɪsmacosa

⑴求-；-----L的值;

l+cos^α

⑵在A3C中48为锐角，且SinA=Sina,cosB=豆地，求C的值.

10

【正确答案】(呜7

(2)Cq

4

【分析】(1)由题意可知cos”=2sinα,利用同角三角函数之间的基本关系即可求得

≡4i⑵根据⑴中的结论和平方关系即可求得W角的正弦和余弦值，再根

据两角和的余弦公式即可求出C的值.

【详解】(1)由COSa=2cos[α-∙∣J可得CoSa=2sinα,所以tana=^；

2

SinaCoSasin。COSatana2

所以

1+COS26Zsin2σ+2cos2tztan2α+29

即可得SnaCo*2

I+cosa9

(2)由于A3为锐角，且8sa=2sina,由sin?a+cos%=1,解得Sina=当；

∏∏..√5,2√5

即sinA=——,cosA=-----；

55

又因为COSB=豆叵，所以sin8=13；

1010

此时cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=×ɜλʌθ--X=,

5105102

又因为A+8∈(0,τι),所以A+8=：,

则C=Tt-(A+8)=亍

即C=*3K

4

19.已知函数=Inx+白J(x)的定义域为集合A∕(x)的值域为集合B.

⑴求集合Au(QB);

(2)已知集合C={x∣a≤x<a+2},若“xwC”是“xe5”的充分不必要条件，求。的取值范围.

【正确答案】(I)AU(48)=(-2,+e)

(2)(F-4][2,+∞)

【分析】(1)由对数函数定义域即可求得集合A,利用基本不等式可得集合8,再根据集合

的运算法则可求得A<j(¾B)=(-2,+∞)；

(2)根据题意可知集合C是集合8的真子集，再对参数a进行分类讨论即可得出结果.

[x>O//、

【详解】(1)由题意可知hiχH0,解得x>0且XW1，所以A=(0,1)51，+»)；

当Xe(I,+∞)时，/(x)=InX+—!—≥2,当且仅当x=e时，等号成立；

Inx

当xe(0,l)时，/(x)=∣nx+-jl-=-㈠nx)+(-*)≤-2,当且仅当XT寸，等号成立;

所以8=(9,—2][2,”)，伞3=(-2,2),

即AU(QB)=(-2,+8)；

(2)由"x∈C"是的充分不必要条件，所以集合C是集合8的真子集；

易知CX0,则需满足a≥2或4+2≤-2,解得α22或α≤-4;

所以”的取值范围是(9,T>[2,e>).

20.已知函数/(X)=GSin<wxcos0x-COS269X÷m.

⑴若“X)的图象关于直线X=葛对称，句,求〃尤)的单调递增区间;

JT

(2)在(1)的条件下，当XG0,y时，/和々是“X)的两个零点，求/(玉+超)一帆的值和

"，的取值范围.

【正确答案】(1)(ZeZ)

⑵TKI

【分析】(1)由倍角公式、和差公式化简/(χ),由整体法根据对称轴求得。，即可由整体

法进一步求得单调递增区间；

(2)由整体法确定％+%的值，即可求值.由正弦型函数图象及性质列不等式可求得，”的

取值范围.

【详解】(1)F(X)=走sin2妙一LCoS2s—，+加=Sinl2s—巴]一工+机，

222\6√2

“(X)的图象关于直线工卷对称，则2G得J=E+](Z∈Z),解得

93

ω=-k+-^k∈Z),

∣(则/(x)=Sin(3x-已卜ɪ

∙.∙0∈[17],Λω=-+m

22t

π2kππ

由3x-^∈2⅛π-^,2⅛π+∙^(Z∈Z)得x∈一，----H---(%eZ).

939

则/(X)的单调递增区间为竽十与+,依Z)；

τrJrTr4冗

(2),/X∈0,—,Λ3x--∈-—,2.和巧是/(x)的两个零点，

Tr4兀

.∙.3(xl+x2)--=π≈>3(xl+Λ2)=y

LSinX-J

262

令f=3x-Jπ,sinf=g-机在上恰有两个不同的解，1

62632U

∙,∙m的取值范围为[-/，

21.若函数f(χ)和g(X)的图象均连续不断./(χ)和g(X)均在任意的区间上不恒为Oj(X)

的定义域为，,g(x)的定义域为加存在非空区间AUaC/2),满足Vx∈Aj(x)g(x)≤0,

则称区间A为f(x)和g(x)的“。区间

⑴写出/(x)=Inr和g(x)=2*-4在(0,+8)上的一个。区间，，(无需证明)；

t

⑵若f(X)=2'-2--∣,g(X)=X2+奴+A[0,5]是“X)和g(x)的“ω区间”，求。的取值范

围.

【正确答案】(1)[1,2](答案不唯一，是[1,2]的子集即可)

(2)(-∞,-6]

【分析】(1)根据题意解不等式/(x)g(x)≤O,分析即可得结果：

(2)根据〃x)的单调性分析可得当xe[0,l)时，g(x)≥O,当x∈(L5]时，g(x)≤O,结合

二次函数的性质列式运算求解.

【详解】(1)令/(x)=lnr>O,解得x>l,

故当x>l时，/(x)>0,当X=I时，/(x)=0,当OCXCI时，/(x)<0；

令g(x)=2-4>0,解得x>2,

故当x>2时，g(x)>O,当x=2时，g(x)=0,当0<x<2时，g(x)<O;

若/(x)g(x)≤O,解得I<x≤2,

故/(x)g(x)≤0的解集为8=[1,2],

不妨取A=[1,2],则Aq3符合题意，

故"x)=lIU和g(x)=2*-4在(0,+巧上的一个。区间”为[1,2]；

(2)对"x)=2'-2τ-/,当0≤x∣<w≤5时，则0<2∙<2为，

可得-L>-L,即--L<一_L,

2x,242x'2*2

,,ʌ13cI13

i⅛2vf'----<2jt3--

2x'22x-2

.∙.∕(x)=2∙l-2-∙]在[0,5]上单调递增，且〃1)=2_2-'_]=0,

故当xw[0,l)时，/(x)<0,当χ=l时，则/(x)=0,当Xe(1,5]时，/(x)>0,

由题意可得：当χe[(U)时，g(x)≥O,当x∈(l,5]时，g(x)≤O,

g⑴=1+〃+力=0

注意到g(x)=f+以+3开口向上，由二次函数性质可得，g(0)=匕≥0,

g⑸=25+5α+b≤0

一。一1≥0

由6=—。一1消去人可得解得a≤-6

25+5t∕