广西贵港市名校2023-2024学年高二年级上册入学联考数学试题

2023年秋季高二年级入学检测卷

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷

上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一、二册，选择性必修第一册第一章。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.若复数z=(2-i)(3+7i),则Z的实部为()

A.13B.11C.-1D.1

2.已知集合M={x∣2x-1>3},N={x∣l<x+3<lθ},则MN=()

A.(2,5)B.(2,7)C.(-2,5)D.(-2,+00)

3.某学校为了解学生对乒乓球、羽毛球运动的喜爱程度，用按比例分配的分层随机抽样法从高一、高二、高

三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若

抽取的样本中高三年级的学生有45人，则样本容量为()

A.125B.IOOC.150D.120

4.要得到函数y=cos(τtr-l)的图象，需将函数y=cosπx的图象()

A.向左平移L个单位长度B.向右平移L个单位长度

π兀

C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度

5.在y=V,y=tanx,y=fsin—这3个函数中，奇函数的个数为()

X

A.OB.1C.2D.3

6.已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为3π,12兀，母线长为2,则该圆台的体积为()

A.6πB.18πC.7πD.21π

7.已知向量G=(m,l),b=(l,l),则'"，6的夹角为锐角”是＞—1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.若直线y=g无+3的倾斜角为α,直线y=Ax-5的倾斜角为3α,则左=()

4911

B.5C.一D.

2T

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知向量G4=(l,2),AB=(-3,1),OC=(Zn,4),OAlOC,则()

A.OB=(-2,3)B.AC=(9,2)

7

C.∣AB-(9C∣=√34D.。8在OC上的投影向量为一OC

40

10.已知直线无=1是函数/(x)=sin(2x+°)(闸＜向图象的一条对称轴，贝D()

A.φ=qB.“X)的图象关于点片,θ］对称

C.7(x)的图象关于直线X=詈对称D∙/(x)在e,1］上单调递减

11.已知一个正八面体ABCEC尸如图所示，AB=JΣ,则()

A.BE〃平面AOFB.点。到平面AFCE的距离为1

C.异面直线AE与BE所成的角为45°D.四棱锥E-ABCO外接球的表面积为4兀

12.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心

位于轮船正西25km处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是()

A.南偏西45°方向B.南偏西30°方向

C.北偏西30°方向D.北偏西25°方向

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.若直线x+6y—1=0与直线∕nx+2y-7=0垂直，则m=.

14.已知圆C：/+/+一4y+a=o的半径为3,则α=.

2

15.Iog9(x+1)+Iog9f-ɪr+4^的最小值为.

16.已知函数/(x)=｛,,，若从集合｛xwN∣x≤10｝中随机选取一个元素机，则函数

X~~4x,X20,

g(x)=/(/(x)-m)恰有7个零点的概率是.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.

17.(10分)

已知AABC的三个顶点为A(l,2),B(-l,2),C(5,4)∙。为BC的中点，AO所在的直线为∕.

(1)求/的一般式方程；

(2)若直线∕∣经过点B,且4〃/,求4在y轴上的截距.

18.(12分)

小晟统计了他6月份的手机通话明细清单，发现自己该月共通话IOO次，小晟将这IOO次通话的通话时间(单

位：分钟)按照(0,4),[4,8),[8,12),[12,16),[16,20),[20,24]分成6组，画出的频率分布直方图如

（2）求通话时间在区间［4,12）内的通话次数；

（3）试估计小晟这IOO次通话的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

19.（12分）

△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知CCoSA-αcos3+c=0.

（1）求A；

（2）若α=6,求aABC周长的取值范围.

20.（12分）

投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏.假设甲、乙、丙、丁是四位投壶游戏参与者，且甲、

乙、丙每次投壶时，投中与不投中的机会是均等的，丁每次投壶时，投中的概率为』.甲、乙、丙、丁每人每

3

次投壶是否投中相互独立，互不影响.

（1）若甲、乙、丙、丁每人各投壶1次，求只有一人投中的概率；

（2）甲、丁进行投壶比赛，若甲、丁每人各投壶2次，投中次数多者获胜，求丁获胜的概率.

21.（12分）

已知大气压强P（帕）随高度〃（米）的变化满足关系式InPO-InP=劭，PO是海平面大气压强.

Q）世界上有14座海拔8000米以上的高峰，喜马拉雅承包了10座，设在海拔4000米处的大气压强为〃'，

求在海拔8000米处的大气压强（结果用Po和p'表示）.

（2）我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表:

___________________平均海拔/米___________________

____________________第一级阶梯_________________________________________24000_____________________

第二级阶梯1000-2000

____________________第三级阶梯____________________200-1000

若用平均海拔的范围直接代表海拔的范围，设在第二级阶梯某处的压强为P1,在第三级阶梯某处的压强为P3,

40l8

左=10^,证明：p2≤pi≤e∕72.

22.（12分）

如图，在四棱锥P-ABC。中，Q4=AT>=2,3CO=A3=3,ABLAD,AB//CD,QA，平面ABCL）,

E,F分别为PO,BC的中点.

P

B

(1)证明：平面AEFj_平面PCD

(2)设PC与平面AEF交于点Q,作出点Q(说明作法)，并求PQ的长.

2023年秋季高二年级入学检测卷

数学参考答案

因为z=(2—i)(3+7i)=13+lli,所以Z的实部为13.

2.B

因为M={x∣x>2},N={x∣-2<x<7},所以MN=(2,7).

3.A

由图可知高三年级学生人数占总人数的36%,抽取的样本中高三年级的学生有45人，则样本容量为

4.B

将函数y=Cos兀T的图象向右平移上个单位长度得到y=Cos兀(X-L]=cos(πx-l)的图象.

5.D

a91

因为y=χ3,y=tanx,y=Vsin—这3个函数均为奇函数，所以奇函数的个数为3.

6.C

因为圆台的上底面和下底面的面积分别为3兀，12π,所以该圆台上底面和下底面的半径分别为G，2√3,

所以该圆台的高为=1,故该圆台的体积

V=g∕z(S]+y∣SlS2÷S2j=ɪ×1×(3π+V3π×12π÷12πj=7π.

7.A

若α,〃的夹角为锐角，则α∙Z?=m+1>0且Q,〃不同向，可得加›一1且加。1,故“。，人的夹角为锐

角”是“加>一1”的充分不必要条件.

8.D

£+4

依题意可得tana='，则tan2α=2'"n’=已,tan3a=tan(a+2a)=ɜ.=—,故

2v7

2l-tana31142

23

,C11

κ=tan3a=—.

2

9.AC

OB=OA+AB=(-2,3),A正确.因为。4,OC,所以Q4∙OC=m+8=0,R∣Jm=-8,所以

AC=OC—Q4=(—9,2),B错误.因为AB—OC=(5,-3),所以,8—0C∣=^=国，C正确.OB

在OC上的投影向量为半半•g=」6：12.θC=-OC,D错误.

\oc\\oc\(―8)-+4220

10.BCD

因为直线X=^l是/(x)图象的一条对称轴，所以2χ^+9=5+Zπ,JteZ.又帆卜?所以e=；.A

不正确.当X=B时，2%+；=2兀，所以/(x)的图象关于点(子,。)对称.B正确.因为

=sin=sin-=l,所以C正确.当工＜x＜%时，兀＜2%+二＜茫，/(x)单调递减.D

I1216231232

正确.

II.ABD

将正八面体ABCEnF置于一个正方体中，如图所示，该正八面体的顶点为正方体六个面的中心，由图可知，

BE//DF,因为8Eςt平面AOF,DPU平面ADF,所以BE〃平面AOF,A正确.连接8。(图略).由

图可知，点。到平面AbCE的距离为L50=1,B正确.

2

由图可知，AE〃CE,则直线AE与BF所成角即CF与BF所成角，因为ABCF为正三角形,所以NCF6=60°,

C错误.

四棱锥£—ABC。外接球的球心为正方形ABCD的中心，所以外接球的半径为1,故四棱锥E-ABCD外接

球的表面积为4兀，D正确.

12.BCD

如图，以小岛的中心为原点。，东西方向为X轴，Ikm为单位长度，建立如图所示的直角坐标系，则轮船所在

的位置为A(25,0),受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为Y+/=400,设轮船航线所在直线

的方程为y=Z(x-25),即京一y—25左=0,

由一瞥=>20,得或左<—因为tan45°=1<±<tan60。=石，所以该轮船的行驶路线可以是

TFTl333

南偏西30°方向，北偏西30°方向，北偏西25°方向.

13.-12

因为直线x+6y-l=0与直线如+2y-7=0垂直，所以〃zxl+2x6=0,解得加=一12.

14.-4

将圆C的方程转化为(x+l)2+(y-2)2=5-Q,因为圆C的半径为3,所以5—α=9,即α=T∙

15.1

(x2+l)3+4)=1+4+4.+晨5+2业2'=9,当且仅当4f=3,

即d=；时，等号成立，所以l0g9()+1OgG+4,=Iog2

X2+19(Λ+1)^

+4>Iog99=1.故

/_

logjf+1)+](唱9(3+4)的最小值为1.

ɪ

16.TT

由/(x)=0,得χ=-3,0,4,当x»0时，/(x)的最小值为4

由g(x)=O,得/(x)—〃?=一3,0.4,即/(%)=加一3,m,m+4,因为0≤m≤10,

所以-3≤m-3≤7.而加GN,当加=0时，方程"x)=m—3,/(x)=7",/(x)=m+4的实数解的

个数分别为3,3,2；当m∈{1,2,3}时，方程/(X)=加一3,,f(x)=m,/(X)=机+4的实数解的个数分

别为3,2,2；当方∈{4,5,6,7,8,9,10}时,方程/(X)=m一3,/(x)=m,/(x)=m+4的实数解的个

数均为2.所以当m∈{l,2,3}时，函数g(x)=∕(∕(x)-恰有7个零点，故所求概率为:

即x—y+l=0.……5分

(2)设4的方程为x-y+8=0,6分

将B(T,2)代入，得一1—2+b=0,即〃=3,……8分

所以4在y轴上的截距为3.……10分

18.解：(1)由(0.1+0.06+α+0.02+0.02+0.01)χ4=l,2分

得α=0.04.……4分

(2)因为通话时间在区间［4,12)内的频率为(0.06+0.04)x4=0.4,……6分

所以通话时间在区间[4,12)内的通话次数为I(X)XO.4=40.……8分

(3)这100次通话的平均时间的估计值为

(2x0.1+6x0.06+10x0.04+14x0.02+18x0.02+22x0.01)x4=7.28分钟.……12分

19.ft?：(1)因为CCOSA-αcosB+c=0,所以SinCCoSA—SinAeoSJB+sinC=0.....1分

又SinC=Sin(A+3)=SinACOS3+cosAsinB,......3分

所以sinCcosA+cosAsinβ=(sinC+sinB)cosA=0.......4分

因为SinC+sin3>(),所以CoSC=0∙......5分

又A∈(0,7Γ),所以A=].……6分

(2)由(1)可知，Q=6,所以b+c=6sin3+6sinC.......7分

SinA

Tl兀

由A=—,得3+C=—,则SinC=CoS3,……8分

22

则+c=6sinB+6cosB=6后Sinl8+4^,......乡分

因为8∈(θ,'],所以B+m[，Sin(B+：)e与,T,……10分

则8+C∈(6,6√5],故AABC周长的取值范围为(12,6+6√Σ]∙……12分

20.解：设甲、乙、丙、丁各自在一次投壶中投中分别记为事件A,B,C,D,

则P(A)=P(B)=P(C)=；,P(D)=∣.……1分

(1)设只有一人投中为事件E,则P(E)=P(A月而+ZB丽+通C力+Z月8)

=p(ABCD)+p(ABCD)+P(ABCD)+∕j(ABCD)……3分

(2)若甲投中O次，则丁至少投中1次；若甲投中1次，则丁投中2次.……8分

设丁获胜为事件则P(M)=I1—；)l-fl-ɪ'j+2×fl-⅛∣×W=品.……12分

21.(1)解：设在海拔8000米处的大气压强为p〃，

InPO-InP'=4000左，

<〃,.......2分

InPo-InP=8000人，

所以21n"=ln"，解得p"=Q.……5分

PPPO

(2)证明：设在第二级阶梯某处的海拔为外,在第三级阶梯某处的海拔为为，

则FnPiP2=107,......6分

InPo-In